簡并半導(dǎo)體中載流子濃度的一般表達(dá)式

簡并半導(dǎo)體中載流子濃度的一般表達(dá)式此時，費米分布函數(shù)不能簡化為玻爾茲曼函數(shù)，同時積分函數(shù)不能簡化，將積分上限擴(kuò)充至無限。則有：令：并做積分變換，則：令：則：被稱為費米積分，其值可以數(shù)值積分得到。非簡并情況弱簡并情況簡并情況同理，可推導(dǎo)簡并半導(dǎo)體價帶空穴濃度表達(dá)式：求解簡并半導(dǎo)體的電子與空穴濃度十分困難。數(shù)值求解----利用電中性條件，列出EF滿足的方程，通過計算機(jī)編程求解。電子濃度隨溫度增加而增加，不會出現(xiàn)飽和溫區(qū)（簡并時雜質(zhì)未充分電離）。雜質(zhì)濃度越高，電離率越低。ND越接近或大于NC，或NA接近或大于NV，半導(dǎo)體發(fā)生簡并化。半導(dǎo)體簡并化的雜質(zhì)濃度與雜質(zhì)電離能有關(guān)。電離能越小，半導(dǎo)體簡并化的雜質(zhì)濃度越少。簡并情況的計算程序也適應(yīng)于非簡并情況，計算結(jié)果相同。§4.4載流子的漂移運動有外加電壓時，導(dǎo)體內(nèi)部的載流子受到電場力的作用，沿著電場作定向運動形成電流。均勻半導(dǎo)體中，不加電場時，載流子的運動是隨機(jī)的，速度的平均值為零。電子在電場力作用下的定向運動稱為漂移運動，定向運動的速度稱為漂移速度。4.4.1遷移率考慮空穴在半導(dǎo)體中的運動。下面討論的空穴的速度矢量是平均值。在dt時間內(nèi)空穴的運動距離為：vpdt在dt時間內(nèi)小柱體斷面A、B間流過的電荷量：電流密度----單位時間流過單位面積的電荷：

P:單位體積空穴數(shù)，q：空穴電量加電場后，空穴速度的平均值不再為零。一般情況下，漂移速度正比于外加電場強(qiáng)度，所以，對于空穴，電流密度對于電子，電流密度比例系數(shù)稱為空穴的遷移率；稱為電子的遷移率。電子的漂移速度與電場強(qiáng)度方向相反，但電子電流與電場相同。

在嚴(yán)格周期性勢場（理想）中運動的載流子在電場力的作用下將獲得加速度，其漂移速度應(yīng)越來越大。

實際晶體中的勢場偏離嚴(yán)格周期性（雜質(zhì)，晶格缺陷，晶格振動），載流子在晶體中運動受到碰撞（散射）而改變運動方向。在穩(wěn)定外場下有穩(wěn)定的漂移速度。電場加速不斷碰撞（散射）遷移率的意義：表征了在單位電場下載流子的平均漂移速度。它是表示半導(dǎo)體電遷移能力的重要參數(shù)。遷移率的決定因素：載流子的有效質(zhì)量（影響電場的加速作用）。散射幾率。不同散射機(jī)構(gòu)對載流子的散射概率不同：電離雜質(zhì)對載流子的散射概率。晶格振動對載流子的散射概率。T↑，載流子的運動速度↑，散射幾率↓；電離雜質(zhì)的散射幾率Pi與溫度T和雜質(zhì)濃度Ni的關(guān)系：雜質(zhì)濃度↑，電離雜質(zhì)數(shù)↑，散射中心↑，散射幾率↑。晶格振動的聲學(xué)波散射幾率Ps與溫度T的關(guān)系：Ps∝T3/2

T↑，晶格振動↑，散射幾率↓；光學(xué)波對載流子散射也隨溫度升高而增強(qiáng)，變化甚至更明顯。較低溫度下占主導(dǎo)較高溫度下占主導(dǎo)散射越強(qiáng)，遷移率越小。遷移率與散射概率成反比：雜質(zhì)濃度Ni較低，遷移率隨溫度上升而下降。Ni增大，遷移率隨溫度不再快速變化。Ni很大，遷移率隨溫度增大略有上升。4.4.2電導(dǎo)率半導(dǎo)體中同時存在電子和空穴時的總電流：根據(jù)歐姆定律的微分形式：則：N型半導(dǎo)體：P型半導(dǎo)體：本征半導(dǎo)體：材料的電導(dǎo)率由載流子濃度和遷移率共同決定。較低溫度，電導(dǎo)率隨溫度迅速增加。

雜質(zhì)電離隨溫度升高而增加，載流子數(shù)目隨之增加。中間溫度區(qū)，電導(dǎo)率隨溫度升高而降低。

雜質(zhì)基本電離，載流子數(shù)目不再增多，而晶格散射作用增大。

高溫區(qū)，電導(dǎo)率隨溫度升高而增加。

本征激發(fā)占主導(dǎo)，與雜質(zhì)無關(guān)，載流數(shù)目隨溫度升高而增大。

載流子數(shù)目的增大占主導(dǎo)，晶格散射作占次要。電阻率ρ為電導(dǎo)率σ的倒數(shù)：

ρ=1/σ。室溫下，常用半導(dǎo)體的電阻率與雜質(zhì)濃度的關(guān)系。4.4.3霍爾效應(yīng)僅依靠電導(dǎo)的測量極大的限制了對半導(dǎo)體材料的深入分析和研究?；魻栃?yīng)對半導(dǎo)體的性能分析提供了特別重要的信息。下面介紹霍爾效應(yīng)（考慮空穴導(dǎo)電）：受到磁場的洛倫茲偏轉(zhuǎn)力：（方向沿-y方向）沿-y方向運動，導(dǎo)致半導(dǎo)體切片兩邊電荷積累。穩(wěn)定時產(chǎn)生沿y方向的電場E。電流密度：橫向電場正比于電流密度與磁感應(yīng)強(qiáng)度的乘積，比例系數(shù)為霍爾系數(shù)。同理，對于N型半導(dǎo)體：電場沿-y方向：霍爾系數(shù)是負(fù)值：半導(dǎo)體的霍爾效應(yīng)比金屬強(qiáng)的多。由霍爾系數(shù)確定導(dǎo)電類型。電子和空穴對霍爾系數(shù)的貢獻(xiàn)彼此抵消。

電子和空穴的運動方向相反，受洛倫茲力方向相同，因此對側(cè)面電荷積累起抵消作用。電子和空穴的濃度差不多時，霍爾系數(shù)公式要重新推導(dǎo)。穩(wěn)定條件的確定只有一種載流子橫向電場力與洛倫茲力平衡有兩種載流子總的橫向電流為零電子和空穴在x方向的速度：-μnEx和μpEy

。電子和空穴在y方向的電流：穩(wěn)定條件下，總的橫向電流為0，即：則有：得出：

x方向的電流密度為：得出：霍爾系數(shù)為：

§4.5非平衡載流子及載流子的擴(kuò)散運動4.5.1穩(wěn)態(tài)與平衡態(tài)穩(wěn)態(tài)：系統(tǒng)狀態(tài)不隨時間變化。平衡態(tài)：系統(tǒng)狀態(tài)不隨時間變化，且與外界沒有物質(zhì)及能量交換。平衡態(tài)下，能帶中的電子分布服從費米分布。載流子濃度滿足。下標(biāo)0代表平衡態(tài)。平衡態(tài)是一種動態(tài)平衡。產(chǎn)生率G：單位時間單位體積產(chǎn)生的電子-空穴對數(shù)。復(fù)合率R：單位時間單位體積復(fù)合掉的電子-空穴對數(shù)。平衡狀態(tài)下，導(dǎo)帶電子和價帶空穴都是由熱激發(fā)產(chǎn)生的，G0=R0。材料內(nèi)的電子和空穴數(shù)目達(dá)到穩(wěn)定值。非平衡載流子：除去熱激發(fā)之外，還可以借助其他方法產(chǎn)生載流子，使載流子電子和空穴的濃度超過熱平衡是的數(shù)值n0和p0。這種過剩的載流子稱為非平衡載流子。通常可以用光學(xué)或電學(xué)的方法產(chǎn)生非平衡載流子。對半導(dǎo)體照射光子能量超過禁帶寬度的光波----光注入。對PN節(jié)施加正向偏壓----電注入。以光注入為例：產(chǎn)生率與復(fù)合率相等時再次達(dá)到穩(wěn)態(tài)。以穩(wěn)定的光照射半導(dǎo)體，光照開始時，G>R。電子空穴濃度升高。復(fù)合率升高。

非平衡少子濃度遠(yuǎn)大于平衡少子濃度。達(dá)到穩(wěn)態(tài)后的某個時刻：產(chǎn)生率與復(fù)合率相等時再次達(dá)到穩(wěn)態(tài)。將光撤除，即撤除對熱平衡的擾動。產(chǎn)生率下降載流子濃度降低下面針對N型半導(dǎo)體中的少子空穴，定量計算非平衡載流子的濃度和隨時間的衰減規(guī)律。4.5.2壽命光照停止后，熱激發(fā)仍然存在，因此載流子的產(chǎn)生率不為零。凈復(fù)合率γ=復(fù)合率R-產(chǎn)生率G，其中G=G0。載流子復(fù)合的途徑：直接復(fù)合：導(dǎo)帶電子直接落入價帶與空穴復(fù)合。（能帶角度）

電子和空穴在運動中相遇而復(fù)合，使一對電子和空穴同時消失。間接復(fù)合：導(dǎo)帶電子先落入禁帶中的雜質(zhì)能級再落入價帶與空穴復(fù)合。（能帶角度）凈復(fù)合率γ正比于（pn-ni2）。平衡態(tài)時：γ=0。

Si，Ge等半導(dǎo)體材料，直接復(fù)合概率較小，間接復(fù)合起主導(dǎo)作用。間接復(fù)合率：間接復(fù)合率：其中：

由：得出：間接復(fù)合率主要取決于少數(shù)載流子。分子最有效的復(fù)合中心位于禁帶中央附近的深能級。因此n1和p1也較小。分母凈復(fù)合率正比于非平衡少子濃度。任意時刻t，少子濃度為p(t)；時刻t+δt，少子濃度為p(t+δt)。用γ代表空穴的凈復(fù)合率，其中δp代表空穴濃度的增量，光照停止后為負(fù)值。極限情況：由此得到空穴濃度p滿足的微分方程：解為：設(shè)光照停止的時刻為t=0，得出積分常數(shù)C=?p(0)，則有：非平衡載流子濃度隨時間指數(shù)衰減。非平衡載流子的濃度不是突然降為0的行為說明非平衡載流子具有“生存時間”。在t~t+δt，時間內(nèi)消失的非平衡載空穴數(shù)為：平均生存時間為：非平衡載流子的壽命。1、非平衡少數(shù)載流子的影響處于主導(dǎo)、決定地位——τp即為非平衡少數(shù)載流子壽命。2、當(dāng)t=τp時，，故壽命標(biāo)志著非平衡載流子濃度減小到原值的1/e所經(jīng)歷的時間；壽命越短，衰減越快。3、τp:

高純Si≥103μs；高純Ge≥104μs；高純GaAs≤10-8~10-9s4、晶格不完整性的存在會促使非平衡載流子的復(fù)合進(jìn)而壽命降低。非平衡載流子壽命的測量稱為鑒定半導(dǎo)體材料晶體質(zhì)量的常規(guī)手段。

一維擴(kuò)散方程4.5.3擴(kuò)散運動以N型半導(dǎo)體為例：空穴—非平衡少子Δp(x)擴(kuò)散流密度（單位時間通過單位面積（垂直x軸）的粒子數(shù)）反映非平衡少數(shù)載流子擴(kuò)散本領(lǐng)假設(shè)半導(dǎo)體對光的吸收相當(dāng)強(qiáng)，只在表面極薄的一層產(chǎn)生非平衡載流子，從而在表面與體內(nèi)形成載流子的濃度差異。

表明：非平衡載流子擴(kuò)散速度與其濃度的梯度成正比，擴(kuò)散方向與梯度方向相反。在x→x+dx范圍內(nèi)，單位時間內(nèi)增加的空穴數(shù)增加的空穴密度凈復(fù)合空穴密度

設(shè)底面積為A單位時間通過x處小體積元的空穴密度單位時間通過x+dx處小體積元的空穴密度一維擴(kuò)散方程同時考慮擴(kuò)散與復(fù)合過程，則有

一維擴(kuò)散方程的穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)通解其中

樣品足夠厚邊界條件平均擴(kuò)散距離1、非平衡少數(shù)載流子從光照表面向內(nèi)部按指數(shù)式衰減2、Lp表示空穴在邊擴(kuò)散邊復(fù)合過程中，減少至原值1/e時擴(kuò)散的距離Lp標(biāo)志非平衡少子深入樣品的平均距離，稱為擴(kuò)散長度。3、著名的愛因斯坦關(guān)系非平衡少子濃度的空間分布。其中3、通常μn

>μp

→Dn

>Dp

電子與空穴的擴(kuò)散不同步，電子快，空穴慢1、表明了非簡并情況下載流子遷移率與擴(kuò)散系數(shù)之間的關(guān)系2、實驗證明，愛因斯坦關(guān)系適合于非平衡載流子

解平衡空穴濃度：平衡電子濃度：由于，則有：X=0處，電子濃度與空穴濃度的比值為：4.5.4連續(xù)性方程下面分析非平衡載流子同時存在擴(kuò)散運動和漂移運動時的運動規(guī)律。N型半導(dǎo)體外場下漂移電流：電子、空穴電流都與電場方向一致總電流

擴(kuò)散電流+漂移電流=

空穴電流

電子電流

擴(kuò)散流密度

擴(kuò)散電流密度

連續(xù)性方程

——擴(kuò)散、漂移、復(fù)合與產(chǎn)生同時存在時，少數(shù)載流子所遵守的運動方程。

單位體積內(nèi)空穴隨時間的變化率為少子p(x,t)單位時間單位體積內(nèi)空穴變化量g為除熱激發(fā)外其他外界作用的產(chǎn)生率。熱平衡時的產(chǎn)生率等于復(fù)合率，即G0=R0。N型半導(dǎo)體；P型半導(dǎo)體。得出空穴的運動連續(xù)性方程空穴流密度：同理，P型半導(dǎo)體中電子流密度為：電子運動的連續(xù)性方程：連續(xù)性方程反應(yīng)了半導(dǎo)體中載流子運動的普遍規(guī)律，是研究半導(dǎo)體器件原理的基本方程之一。由電子和空穴的擴(kuò)散運動和漂移運動所產(chǎn)生的總電流為：【例】設(shè)有一均勻的N型硅樣品，在左半部用一穩(wěn)定的光照射，均勻產(chǎn)生電子空穴對，產(chǎn)生率為g0，若樣品兩邊都很長，試求穩(wěn)態(tài)時樣品兩邊的空穴濃度分布。解設(shè)左右分界處為x=0，寫出連續(xù)性方程穩(wěn)態(tài)時，解上面左式得，

同理得出X=0處，p(x)及其導(dǎo)數(shù)dp/dx連續(xù)：解得：代入作業(yè)：2.摻施主濃度ND=1015

cm?3

的n型硅，由于光的照射產(chǎn)生了非平衡載流子Δn=Δp=1014cm?3

。試計算這種情況下準(zhǔn)費米能級的位置，并和原來的費米能級做比較。假定Si本征濃度ni=7.8×109cm-3.3.一塊電阻率為3Ω·cm的n型硅樣品（對應(yīng)空穴遷移率up=500cm2/V.S)

，空穴壽命τp

=5μs，在