2023-2024學(xué)年福建省福州市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

2023-2024學(xué)年福建省福州市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)函數(shù)的圖象在點處的切線為，則與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值為（）A. B.C. D.2．已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1作直線l交橢圓C于M，N兩點，則的周長為（）A.3 B.4C.6 D.83．在正方體中，為棱的中點，為棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值是（）A. B.C. D.5．某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的體積為（）A. B.C. D.6．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，已知△的頂點，，且，則△的歐拉線的方程為（）A. B.C. D.7．程大位是明代著名數(shù)學(xué)家，他的《新編直指算法統(tǒng)宗》是中國歷史上一部影響巨大的著作.它問世后不久便風(fēng)行宇內(nèi)，成為明清之際研習(xí)數(shù)學(xué)者必讀的教材，而且傳到朝鮮、日本及東南亞地區(qū)，對推動漢字文化圈的數(shù)學(xué)發(fā)展起了重要的作用.卷八中第33問是：“今有三角果一垛，底闊每面七個.問該若干？”如圖是解決該問題的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖，求得該垛果子的總數(shù)為（）A.120 B.84C.56 D.288．設(shè)分別是橢圓的左、右焦點，P是C上的點，則的周長為（）A.13 B.16C.20 D.9．方程表示橢圓的充分不必要條件可以是（）A. B.C. D.10．函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.11．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)且的點的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓為橢圓長軸的端點，為橢圓短軸的端點，，分別為橢圓的左右焦點，動點滿足面積的最大值為面積的最小值為，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.12．球O為三棱錐的外接球，和都是邊長為的正三角形，平面PBC平面ABC，則球的表面積為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則___________.14．已知命題：方程表示焦點在軸上的橢圓；命題：方程表示雙曲線.若為真，則實數(shù)的取值范圍為______.15．若滿足約束條件，則的最小值為________.16．已知橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上一點，垂直于軸，且為等腰三角形，則橢圓的離心率為__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓過點，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過作斜率分別為的兩條直線，分別交橢圓于點，且，證明：直線過定點.18．（12分）命題p：直線l：與圓C：有公共點，命題q：雙曲線的離心率（1）若p，q均為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若為真，為假，求實數(shù)m的取值范圍19．（12分）已知等差數(shù)列的前項和為，滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式與前項和；（2）求的值.20．（12分）在二項式的展開式中；（1）若，求常數(shù)項；（2）若第4項的系數(shù)與第7項的系數(shù)比為，求：①二項展開式中的各項的二項式系數(shù)之和；②二項展開式中各項的系數(shù)之和21．（12分）2021年7月25日，在東京奧運會自行車公路賽中，奧地利數(shù)學(xué)女博士安娜·基秣崔天以3小時52分45秒的成績獲得冠軍，震驚了世界！廣大網(wǎng)友驚呼“學(xué)好數(shù)理化，走遍天下都不怕”．某市對中學(xué)生的體能測試成績與數(shù)學(xué)測試成績進行分析，并從中隨機抽取了200人進行抽樣分析，得到下表（單位：人）：體能一般體能優(yōu)秀合計數(shù)學(xué)一般5050100數(shù)學(xué)優(yōu)秀4060100合計90110200（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為“體能優(yōu)秀”還是“體能一般”與數(shù)學(xué)成績有關(guān)？（結(jié)果精確到小數(shù)點后兩位）（2）①現(xiàn)從抽取的數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人中，按“體能優(yōu)秀”與“體能一般”這兩類進行分層抽樣抽取10人，然后，再從這10人中隨機選出4人，求其中至少有2人是“體能優(yōu)秀”的概率；②將頻率視為概率，以樣本估計總體，從該市中學(xué)生中隨機抽取10人參加座談會，記其中“體能優(yōu)秀”的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望和方差參考公式：，其中參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.250.0102.0722.7063.8415.0246.63522．（10分）在等差數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線為，求x、y軸上截距，進而可得與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積，利用導(dǎo)數(shù)研究在上的最值即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，，則，又，所以切線為，當(dāng)時，當(dāng)時，又，所以與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，則，當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上遞減，在上遞增，即.故選：C2、D【解析】由的周長為，結(jié)合橢圓的定義，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，即，如圖所示，根據(jù)橢圓的定義，可得的周長為故選：D.3、D【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，計算平面的法向量，利用線面角的向量公式即得解【詳解】不妨設(shè)正方體的棱長為2，連接，以為坐標(biāo)原點如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，由于平面，平面，故又正方形，故平面故平面，所以為平面的一個法向量，故直線與平面所成角正弦值為.故選：D4、C【解析】由題意確定流程圖的功能，然后計算其輸出值即可.【詳解】運行程序，不滿足，，，不滿足，，，不滿足，，，不滿足，，，不滿足，，，不滿足，，，滿足，利用裂項求和可得：.故選：C.【點睛】識別、運行程序框圖和完善程序框圖的思路：(1)要明確程序框圖的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)(2)要識別、運行程序框圖，理解框圖所解決的實際問題(3)按照題目的要求完成解答并驗證5、A【解析】可由三視圖還原原幾何體，然后根據(jù)題意的邊角關(guān)系，完成體積的求解.【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖：其中平面，，則該四面體的體積為.故選：A.6、D【解析】由題設(shè)條件求出垂直平分線的方程，且△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，結(jié)合歐拉線的定義，即垂直平分線即為歐拉線.【詳解】由題設(shè)，可得，且中點為，∴垂直平分線的斜率，故垂直平分線方程為，∵，則△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，∴△的歐拉線的方程為.故選：D7、B【解析】按照框圖中程序，逐步執(zhí)行循環(huán)，即可求得答案.【詳解】第一次循環(huán)：，，第二次循環(huán)：，，第三次循環(huán)：，，第四次循環(huán)：，，第五次循環(huán)：，，第六次循環(huán)：，，第七次循環(huán)：，，退出循環(huán)，輸出.故選：B8、B【解析】利用橢圓的定義及即可得到答案.【詳解】由橢圓的定義，，焦距，所以的周長為.故選：B9、D【解析】由“方程表示橢圓”可求得實數(shù)的取值范圍，結(jié)合充分不必要條件的定義可得出結(jié)論.【詳解】若方程表示橢圓，則，解得或.故方程表示橢圓的充分不必要條件可以是.故選：D.10、B【解析】方程有兩個根，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的單調(diào)性與極值【詳解】函數(shù)定義域是，有兩個零點，即有兩個不等實根，即有兩個不等實根設(shè)，則，時，，遞減，時，，遞增，極小值＝，而時，，時，，所以故選：B11、A【解析】由題可得動點M的軌跡方程，可得，，即求.【詳解】設(shè)，，由，可得=2，化簡得.∵△MAB面積的最大值為面積的最小值為，∴，，∴，即，∴故選：A12、B【解析】取中點為T，以及的外心為，的外心為，依據(jù)平面平面可知為正方形，然后計算外接球半徑，最后根據(jù)球表面積公式計算.【詳解】設(shè)中點為T，的外心為，的外心為，如圖由和均為邊長為的正三角形則和的外接圓半徑為，又因為平面PBC平面ABC，所以平面，可知且，過分別作平面、平面的垂線相交于點即為三棱錐的外接球的球心，且四邊形是邊長為的正方形，所以外接球半徑，則球的表面積為，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求導(dǎo)數(shù)，代入可得.【詳解】因為所以，則，故.故答案為：14、【解析】既然為真，那么就是為真，即p是假，并且q是真，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義即可解出?！驹斀狻俊邽檎妫鄍為假，q為真；考慮p為真的情況：解得……①；由于p為假，∴或；由于q為真，∴，即……②；由①和②得：；故答案為：.15、5【解析】作出可行域，作直線，平移該直線可得最優(yōu)解【詳解】作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，直線中是直線的縱截距，代入得，即平移直線，當(dāng)直線過點時取得最小值5故答案為：516、.【解析】通過垂直于軸,可以求出，由已知為等腰三角形，可以得到，結(jié)合關(guān)系，可以得到一個關(guān)于離心率的一元二次方程，解方程求出離心率.【詳解】∵垂直于，∴可得，又∵為等腰三角形，∴，即，整理得，解得.【點睛】本題考查了求橢圓離心率問題，關(guān)鍵是通過已知條件構(gòu)造出關(guān)于離心率的方程.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由離心率、過點和橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程求得，由此可得橢圓方程；（2）當(dāng)直線斜率不存在時，表示出兩點坐標(biāo)，由兩點連線斜率公式表示出，整理可得直線為；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達定理的形式，代入中整理可得，由此可得直線所過定點；綜合兩種情況可得直線過定點.【詳解】（1）橢圓過點，即，；，又，，橢圓的方程為：.（2）當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)直線方程為，則，則，，解得：，直線方程為；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組得：，設(shè)，則，（*），則，將*式代入化簡可得：，即，整理得：，代入直線方程得：，即，聯(lián)立方程組，解得：，，直線恒過定點；綜上所述：直線恒過定點.【點睛】思路點睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的直線過定點問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；③利用韋達定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達定理可整理得到變量間的關(guān)系，從而化簡直線方程；④根據(jù)直線過定點的求解方法可求得結(jié)果.18、（1），；（2）.【解析】(1)求出，成立的等價條件，即可求實數(shù)的取值范圍；(2)若“”為假命題，“”為真命題，則、一真一假，當(dāng)真假時，求出的取值范圍，當(dāng)假真時，求出的取值范圍，然后取并集即可得答案【小問1詳解】若命題為真命題，則，解得：，若命題為真命題，則且，，解得，∴，均為真命題，實數(shù)的取值范圍是，；【小問2詳解】若為真，為假，則、一真一假；①當(dāng)真假時，即“”且“或”，則此時的取值范圍是；當(dāng)假真時，即“或”且“”，則此時的取值范圍是；綜上,的取值范圍是19、（1），；（2）.【解析】(1)設(shè)出等差數(shù)列的公差，借助前項和公式列式計算作答.(2)由(1)的結(jié)論借助裂項相消去求解作答.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因，，則，解得，于是得，，所以數(shù)列的通項公式為，前項和.【小問2詳解】由(1)知，，所以.20、（1）60（2）①1024；②1【解析】（1）根據(jù)二項式定理求解（2）根據(jù)二項式定理與條件求解，二項式系數(shù)之和為，系數(shù)和可賦值【小問1詳解】若，則，（，…，9）令∴∴常數(shù)項為.【小問2詳解】，（，…，），解得①②令，得系數(shù)和為21、（1）不能，理由見解析；（2）①，②，【解析】（1）運用公式求出，比較得出結(jié)論.（2）①先用分層抽樣得到“體能優(yōu)秀”與“體能一般”的人數(shù)，再利用公式計算至少有2人是“體能優(yōu)秀”的概率.②根據(jù)已知條件知此分布列為二項分布，故利用數(shù)學(xué)期望和方差的公式即可求出答案【小問1詳解】由表格的數(shù)據(jù)可得，，故不能在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為“體能優(yōu)秀”還是“體能