一次不等式(不等式組)的競(jìng)賽教師版

一次不等式(不等式組)的競(jìng)賽教師版不等式和方程一樣，也是代數(shù)里的一種重要模型．在概念方面，它與方程很類似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性質(zhì)，而且“數(shù)學(xué)的基本結(jié)果往往是一些不等式而不是等式”．本講是系統(tǒng)學(xué)習(xí)不等式的基礎(chǔ)．下面先介紹有關(guān)一次不等式的基本知識(shí)，然后進(jìn)行例題分析．1．不等式的基本性質(zhì)這里特別要強(qiáng)調(diào)的是在用一個(gè)不等于零的數(shù)或式子去乘(或去除)不等式時(shí)，一定要注意它與等式的類似性質(zhì)上的差異，即當(dāng)所乘(或除)的數(shù)或式子大于零時(shí)，不等號(hào)方向不變(性質(zhì)(5))；當(dāng)所乘(或除)的數(shù)或式子小于零時(shí)，不等號(hào)方向要改變(性質(zhì)(6))．2．區(qū)間概念在許多情況下，可以用不等式表示數(shù)集和點(diǎn)集．如果設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且a＜b，那么(1)滿足不等式a＜x＜b的數(shù)x的全體叫作一個(gè)開(kāi)區(qū)間，記作(a，b)．如圖1－4(a)．(2)滿足不等式a≤x≤b的數(shù)x的全體叫作一個(gè)閉區(qū)間，記作[a，b]．如圖1－4(b)．(3)滿足不等式a＜x≤b(或a≤x＜b)的x的全體叫作一個(gè)半開(kāi)半閉區(qū)間，記作(a，b](或[a，b))．如圖1－4(c)，(d)．3．一次不等式的一般解法一元一次不等式像方程一樣，經(jīng)過(guò)移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、整理后，總可以寫成下面的標(biāo)準(zhǔn)型：ax＞b，或ax＜b．為確定起見(jiàn)，下面僅討論前一種形式．一元一次不等式ax＞b．(3)當(dāng)a=0時(shí)，用區(qū)間表示為(-∞，+∞)．例1解不等式分析與解因y2+1＞0，所以根據(jù)不等式的基本性質(zhì)有例2解不等式為x+2＞7，解為x＞5．這種錯(cuò)誤沒(méi)有考慮到使原不等式有意義的條件：x≠6．解將原不等式變形為解之得所以原不等式的解為x＞5且x≠6．例3已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且y＜x+9，試比較解首先解關(guān)于x的方程得x=-10．將x=-10代入不等式得y＜-10+9，即y＜-1．例4解關(guān)于x的不等式：解顯然a≠0，將原不等式變形為3x+3-2a2＞a-2ax，即(3+2a)x＞(2a+3)(a-1)．說(shuō)明對(duì)含有字母系數(shù)的不等式的解，也要分情況討論．例5已知a，b為實(shí)數(shù)，若不等式(2a-b)x+3a-4b＜0解由(2a-b)x+3a-4b＜0得(2a-b)x＜4b-3a．由②可求得將③代入①得所以b＜0．于是不等式(a-4b)x+2a-3b＞0可變形為因?yàn)閎＜0，所以下面舉例說(shuō)明不等式組的解法．不等式組的解是不等式組中所有不等式解的公共部分．若不等式組由兩個(gè)不等式組成，分別解出每一個(gè)不等式，其解總可以歸納成以下四種情況之一(不妨設(shè)α＜β)：解分別為：x＞β；x＜α；α＜x＜β；無(wú)解．如圖1－5(a)，(b)，(c)，(d)所示．若不等式組由兩個(gè)以上不等式組成，其解可由下面兩種方法求得：(1)轉(zhuǎn)化為求兩兩不等式解的公共部分．如求解(2)不等式組的解一般是個(gè)區(qū)間，求解的關(guān)鍵是確定區(qū)間的上界與下界，如求解確定上界：由x＜4，x＜8，x＜5，x＜2，從4，8，5，2這四個(gè)數(shù)中選最小的數(shù)作為上界，即x＜2．確定下界：由x＞-4，x＞-6，x＞0，x＞-3．從-4，-6，0，-3中選最大的數(shù)作為下界，即x＞0．確定好上、下界后，則原不等式組的解為：0＜x＜2．不等式組中不等式的個(gè)數(shù)越多，(2)越有優(yōu)越性．例6解關(guān)于x的不等式組解解①得4mx＜11，③解②得3mx＞8．④(1)當(dāng)m=0時(shí)，③，④變?yōu)樵坏仁浇M無(wú)解．(2)當(dāng)m＞0時(shí)，③，④變形為(3)當(dāng)m＜0時(shí)，由③，④得

例7〖2006年威海中考〗小明和小亮共下了10盤圍棋，小明勝一盤計(jì)1分，小亮勝一盤計(jì)3分．當(dāng)他倆下完第9盤后，小明的得分高于小亮；等下完第10盤后，小亮的得分高于小明．他們各勝過(guò)幾盤？（已知比賽中沒(méi)有出現(xiàn)平局）【分析】此題是一道反映不等關(guān)系的應(yīng)用題，抓住“當(dāng)他倆下完第9盤后，小明的得分高于小亮；等下完第10盤后，小亮的得分高于小明”這樣的關(guān)鍵語(yǔ)句表示不等關(guān)系；另外應(yīng)當(dāng)明確在比賽中，小明贏的盤數(shù)恰好等于小亮輸?shù)谋P數(shù)．【詳解】設(shè)下完10盤棋后，小亮勝了盤，根據(jù)題意得，，解得，則不等式組的正整數(shù)解為，所以小亮勝3盤，小明勝7盤．例8〖2006年衡陽(yáng)中考〗市政公司為綠化一段沿江風(fēng)光帶，計(jì)劃購(gòu)買甲、乙兩種樹(shù)苗共500株，甲種樹(shù)苗每株50元，乙種樹(shù)苗每株80元．有關(guān)統(tǒng)計(jì)表明：甲、乙兩種樹(shù)苗的成活率分別為90％和95％．（1）若購(gòu)買樹(shù)苗共用了28000元，求甲、乙兩種樹(shù)苗各多少株?（2）若購(gòu)買樹(shù)苗的錢不超過(guò)34000元，應(yīng)如何選購(gòu)樹(shù)苗?（3）若希望這批樹(shù)苗的成活率不低于92％，且購(gòu)買樹(shù)苗的費(fèi)用最低，應(yīng)如何選購(gòu)樹(shù)苗?【分析】：由題意可知，第一題存在等量關(guān)系，考慮用方程來(lái)解決；后兩個(gè)問(wèn)題存在不等關(guān)系，可用不等式來(lái)解決．【詳解】（1）設(shè)購(gòu)甲種樹(shù)苗x株，則乙種樹(shù)苗為(500－x)株．依題意得50＋80(500—)＝28000解之得：＝400∴500－＝500－400＝100即：購(gòu)買甲種樹(shù)苗400株，乙種樹(shù)苗100株．（2）由題意得：50＋80(500－)34000．解之得200即：購(gòu)買甲種樹(shù)苗不小于200株．（3）由題意可得90%x＋95％(500—x)≥92％·500∴300設(shè)購(gòu)買兩種樹(shù)苗的費(fèi)用之和為y元，則＝50＋80(500－)＝40000－30所以＝40000－30，其中的值隨的增大而減小，所以＝300時(shí)有最小值，＝40000－30300＝31000．【考點(diǎn)】本題考察了方程與不等式知識(shí)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用．例9〖希望杯培訓(xùn)〗下表給出甲、乙、丙三種食物的維生素的含量及成本：甲乙丙維生素（單位/千克）400600400維生素（單位/千克）800200400成本（元/千克）654某食物營(yíng)養(yǎng)研究所將三種食物混合成110千克的混合物，使之至少需含48400單位的維生素及52800單位的維生素．求三種食物所需量與成本的關(guān)系式．【詳解】設(shè)需甲、乙兩種食物分別為千克，則丙需千克，設(shè)共需成本元，應(yīng)有【考點(diǎn)】本題考察了列不等式組的能力，解題關(guān)鍵應(yīng)抓住體現(xiàn)不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語(yǔ).如“至少”等．練習(xí)一元一次不等式(組)是初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題中經(jīng)常出現(xiàn)的重點(diǎn)內(nèi)容。根據(jù)不等式的基本性質(zhì)和一元一次不等式（組）的解的概念，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行變換，可以巧妙解決一些關(guān)于不等式（組）的競(jìng)賽題。巧用不等式的性質(zhì)例1要使a5＜a3＜a＜a2＜a4成立，則a的取值范圍是（）A.0＜a＜1B.a＞1C.－1＜a＜0D.a＜－1分析：由a3＜a到a2＜a4，是在a3＜a的兩邊都乘以a，且a＜0來(lái)實(shí)現(xiàn)的；在a3＜a兩邊都除以a，得a2＞1，顯然有a＜－1。故選D點(diǎn)評(píng)：本題應(yīng)用不等式的性質(zhì)，抓住題目給出的一個(gè)不等式作為基礎(chǔ)進(jìn)行變形，確定a的取值范圍。例2已知6＜＜10，≤≤，，則的取值范圍是。分析：在≤≤的兩邊都加上，可得≤≤，再由6＜＜10可得9＜＜30，即9＜＜30點(diǎn)評(píng)：本題應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)，在≤≤的兩邊都加上后，直接用關(guān)于的不等式表示，再根據(jù)6＜＜10求出的取值范圍。由不等式的解集確定不等式中系數(shù)的取值范圍例3若關(guān)于的不等式組的解集為，則的取值范圍是。分析：由①得，解之得。由②得。因?yàn)樵坏仁浇M的解集為，所以，所以。點(diǎn)評(píng)：本題直接解兩個(gè)不等式得到且。若，則其解集為，若，則其解集為，而原不等式的解集為，所以，即。對(duì)此理解有困難的學(xué)生，可以通過(guò)在數(shù)軸上表示不等式的解集來(lái)幫助理解。若不等式的解集是，則不等式。分析：原不等式可化為。因?yàn)椋杂散诘?，代入①得?，所以。由得。把代入得。點(diǎn)評(píng)：本題先由不等式解集的不等號(hào)方向判斷＜0，從數(shù)值上判斷，從而確定的關(guān)系及的符號(hào)。不等式系數(shù)的符號(hào)決定了不等式解集中的不等號(hào)的方向，其數(shù)值決定了取值范圍的邊界，因此，反過(guò)來(lái)可以通過(guò)不等式的解集來(lái)確定不等式中系數(shù)的符號(hào)及參數(shù)的取值范圍。利用不等式求代數(shù)式的最大值設(shè)均為自然數(shù)，且，又，則的最大值是。分析：均為自然數(shù)，且，所以在這七個(gè)數(shù)中，后面的一個(gè)數(shù)比前面的數(shù)至少大1，159=，，所以的最大值為19。當(dāng)取最大值時(shí)，，140≥，，所以的最大值為20。當(dāng)、都取最大值時(shí)，120=，所以，所以的最大值為22。所以的最大值是19+20+22=61。點(diǎn)評(píng)：本題根據(jù)已知條件先分別確定、、的最大值，再求出的最大值。其關(guān)鍵在于利用自然數(shù)的特征，用放縮法建立關(guān)于、、的不等式。例6在滿足，的條件下，能達(dá)到的最大值是。分析：將轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)字母的代數(shù)