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文檔簡介

重慶市綦江區(qū)南州中學2022-2023學年高三5月綜合質量檢測試題數學試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數的大致圖像為()A. B.C. D.2.已知三點A(1,0),B(0,),C(2,),則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為()A. B.C. D.3.一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的體積為()A. B.C. D.4.設全集為R,集合,,則A. B. C. D.5.在平面直角坐標系中,已知角的頂點與原點重合,始邊與軸的非負半軸重合,終邊落在直線上,則()A. B. C. D.6.已知復數z1=3+4i,z2=a+i,且z1是實數,則實數a等于()A. B. C.- D.-7.如圖,某幾何體的三視圖是由三個邊長為2的正方形和其內部的一些虛線構成的,則該幾何體的體積為()A. B. C.6 D.與點O的位置有關8.已知橢圓:的左、右焦點分別為,,點,在橢圓上,其中,,若,,則橢圓的離心率的取值范圍為()A. B.C. D.9.不等式組表示的平面區(qū)域為,則()A., B.,C., D.,10.在復平面內,復數z=i對應的點為Z,將向量繞原點O按逆時針方向旋轉,所得向量對應的復數是()A. B. C. D.11.已知數列的前項和為,且,,則()A. B. C. D.12.如圖,在中,點為線段上靠近點的三等分點,點為線段上靠近點的三等分點,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.“北斗三號”衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓.設地球半徑為R,若其近地點?遠地點離地面的距離大約分別是,,則“北斗三號”衛(wèi)星運行軌道的離心率為__________.14.從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名代表,甲被選中的概率為__________.15.曲線在點處的切線方程為______.16.在三棱錐中,,三角形為等邊三角形,二面角的余弦值為,當三棱錐的體積最大值為時,三棱錐的外接球的表面積為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知直線與拋物線交于兩點.(1)當點的橫坐標之和為4時,求直線的斜率;(2)已知點,直線過點,記直線的斜率分別為,當取最大值時,求直線的方程.18.(12分)在直角坐標系中,曲線上的任意一點到直線的距離比點到點的距離小1.(1)求動點的軌跡的方程;(2)若點是圓上一動點,過點作曲線的兩條切線,切點分別為,求直線斜率的取值范圍.19.(12分)已知半徑為5的圓的圓心在x軸上,圓心的橫坐標是整數,且與直線4x+3y﹣29=0相切.(1)求圓的方程;(2)設直線ax﹣y+5=0(a>0)與圓相交于A,B兩點,求實數a的取值范圍;(3)在(2)的條件下,是否存在實數a,使得弦AB的垂直平分線l過點P(﹣2,4),若存在,求出實數a的值;若不存在,請說明理由.20.(12分)己知等差數列的公差,,且,,成等比數列.(1)求使不等式成立的最大自然數n;(2)記數列的前n項和為,求證:.21.(12分)已知都是各項不為零的數列,且滿足其中是數列的前項和,是公差為的等差數列.(1)若數列是常數列,,,求數列的通項公式;(2)若是不為零的常數),求證:數列是等差數列;(3)若(為常數,),.求證:對任意的恒成立.22.(10分)已知拋物線:()上橫坐標為3的點與拋物線焦點的距離為4.(1)求p的值;(2)設()為拋物線上的動點,過P作圓的兩條切線分別與y軸交于A、B兩點.求的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

通過取特殊值逐項排除即可得到正確結果.【詳解】函數的定義域為,當時,,排除B和C;當時,,排除A.故選:D.【點睛】本題考查圖象的判斷,取特殊值排除選項是基本手段,屬中檔題.2、B【解析】

選B.考點:圓心坐標3、B【解析】

還原幾何體可知原幾何體為半個圓柱和一個四棱錐組成的組合體,分別求解兩個部分的體積,加和得到結果.【詳解】由三視圖還原可知,原幾何體下半部分為半個圓柱,上半部分為一個四棱錐半個圓柱體積為:四棱錐體積為:原幾何體體積為:本題正確選項:【點睛】本題考查三視圖的還原、組合體體積的求解問題,關鍵在于能夠準確還原幾何體,從而分別求解各部分的體積.4、B【解析】分析:由題意首先求得,然后進行交集運算即可求得最終結果.詳解:由題意可得:,結合交集的定義可得:.本題選擇B選項.點睛:本題主要考查交集的運算法則,補集的運算法則等知識,意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.5、C【解析】

利用誘導公式以及二倍角公式,將化簡為關于的形式,結合終邊所在的直線可知的值,從而可求的值.【詳解】因為,且,所以.故選:C.【點睛】本題考查三角函數中的誘導公式以及三角恒等變換中的二倍角公式,屬于給角求值類型的問題,難度一般.求解值的兩種方法:(1)分別求解出的值,再求出結果;(2)將變形為,利用的值求出結果.6、A【解析】分析:計算,由z1,是實數得,從而得解.詳解:復數z1=3+4i,z2=a+i,.所以z1,是實數,所以,即.故選A.點睛:本題主要考查了復數共軛的概念,屬于基礎題.7、B【解析】

根據三視圖還原直觀圖如下圖所示,幾何體的體積為正方體的體積減去四棱錐的體積,即可求出結論.【詳解】如下圖是還原后的幾何體,是由棱長為2的正方體挖去一個四棱錐構成的,正方體的體積為8,四棱錐的底面是邊長為2的正方形,頂點O在平面上,高為2,所以四棱錐的體積為,所以該幾何體的體積為.故選:B.【點睛】本題考查三視圖求幾何體的體積,還原幾何體的直觀圖是解題的關鍵,屬于基礎題.8、C【解析】

根據可得四邊形為矩形,設,,根據橢圓的定義以及勾股定理可得,再分析的取值范圍,進而求得再求離心率的范圍即可.【詳解】設,,由,,知,因為,在橢圓上,,所以四邊形為矩形,;由,可得,由橢圓的定義可得,①,平方相減可得②,由①②得;令,令,所以,即,所以,所以,所以,解得.故選:C【點睛】本題主要考查了橢圓的定義運用以及構造齊次式求橢圓的離心率的問題,屬于中檔題.9、D【解析】

根據題意,分析不等式組的幾何意義,可得其表示的平面區(qū)域,設,分析的幾何意義,可得的最小值,據此分析選項即可得答案.【詳解】解:根據題意,不等式組其表示的平面區(qū)域如圖所示,其中,,

設,則,的幾何意義為直線在軸上的截距的2倍,

由圖可得:當過點時,直線在軸上的截距最大,即,當過點原點時,直線在軸上的截距最小,即,故AB錯誤;

設,則的幾何意義為點與點連線的斜率,由圖可得最大可到無窮大,最小可到無窮小,故C錯誤,D正確;故選:D.【點睛】本題考查本題考查二元一次不等式的性質以及應用,關鍵是對目標函數幾何意義的認識,屬于基礎題.10、A【解析】

由復數z求得點Z的坐標,得到向量的坐標,逆時針旋轉,得到向量的坐標,則對應的復數可求.【詳解】解:∵復數z=i(i為虛數單位)在復平面中對應點Z(0,1),

∴=(0,1),將繞原點O逆時針旋轉得到,

設=(a,b),,則,即,

又,解得:,∴,對應復數為.故選:A.【點睛】本題考查復數的代數表示法及其幾何意義,是基礎題.11、C【解析】

根據已知條件判斷出數列是等比數列,求得其通項公式,由此求得.【詳解】由于,所以數列是等比數列,其首項為,第二項為,所以公比為.所以,所以.故選:C【點睛】本小題主要考查等比數列的證明,考查等比數列通項公式,屬于基礎題.12、B【解析】

,將,代入化簡即可.【詳解】.故選:B.【點睛】本題考查平面向量基本定理的應用,涉及到向量的線性運算、數乘運算,考查學生的運算能力,是一道中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

畫出圖形,結合橢圓的定義和題設條件,求得的值,即可求得橢圓的離心率,得到答案.【詳解】如圖所示,設橢圓的長半軸為,半焦距為,因為地球半徑為R,若其近地點?遠地點離地面的距離大約分別是,,可得,解得,所以橢圓的離心率為.故答案為:.【點睛】本題主要考查了橢圓的離心率的求解,其中解答中熟記橢圓的幾何性質,列出方程組,求得的值是解答的關鍵,著重考查了推理與計算能力,屬于基礎題.14、【解析】

甲被選中,只需從乙、丙、丁、戊中,再選一人即有種方法,從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名共有種方法,根據公式即可求得概率.【詳解】甲被選中,只需從乙、丙、丁、戊中,再選一人即有種方法,從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名共有種方法,.故答案為:.【點睛】本題考查古典概型的概率的計算,考查學生分析問題的能力,難度容易.15、【解析】

對函數求導,得出在處的一階導數值,即得出所求切線的斜率,再運用直線的點斜式求出切線的方程.【詳解】令,,所以,又,所求切線方程為,即.故答案為:.【點睛】本題考查運用函數的導函數求函數在切點處的切線方程,關鍵在于求出在切點處的導函數值就是切線的斜率,屬于基礎題.16、【解析】

根據題意作出圖象,利用三垂線定理找出二面角的平面角,再設出的長,即可求出三棱錐的高,然后利用利用基本不等式即可確定三棱錐的體積最大值,從而得出各棱的長度,最后根據球的幾何性質,利用球心距,半徑,底面半徑之間的關系即可求出三棱錐的外接球的表面積.【詳解】如圖所示:過點作面,垂足為,過點作交于點,連接.則為二面角的平面角的補角,即有.∵易證面,∴,而三角形為等邊三角形,∴為的中點.設,.∴.故三棱錐的體積為當且僅當時,,即.∴三點共線.設三棱錐的外接球的球心為,半徑為.過點作于,∴四邊形為矩形.則,,,在中,,解得.三棱錐的外接球的表面積為.故答案為:.【點睛】本題主要考查三棱錐的外接球的表面積的求法,涉及二面角的運用,基本不等式的應用,以及球的幾何性質的應用,意在考查學生的直觀想象能力,數學運算能力和邏輯推理能力,屬于較難題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

(1)設,根據直線的斜率公式即可求解;(2)設直線的方程為,聯(lián)立直線與拋物線方程,由韋達定理得,,結合直線的斜率公式得到,換元后討論的符號,求最值可求解.【詳解】(1)設,因為,即直線的斜率為1.(2)顯然直線的斜率存在,設直線的方程為.聯(lián)立方程組,可得則,令,則則當時,;當且僅當,即時,解得時,取“=”號,當時,;當時,綜上所述,當時,取得最大值,此時直線的方程是.【點睛】本題主要考查了直線的斜率公式,直線與拋物線的位置關系,換元法,均值不等式,考查了運算能力,屬于難題.18、(1);(2)【解析】

(1)設,根據題意可得點的軌跡方程滿足的等式,化簡即可求得動點的軌跡的方程;(2)設出切線的斜率分別為,切點,,點,則可得過點的拋物線的切線方程為,聯(lián)立拋物線方程并化簡,由相切時可得兩條切線斜率關系;由拋物線方程求得導函數,并由導數的幾何意義并代入拋物線方程表示出,可求得,結合點滿足的方程可得的取值范圍,即可求得的范圍.【詳解】(1)設點,∵點到直線的距離等于,∴,化簡得,∴動點的軌跡的方程為.(2)由題意可知,的斜率都存在,分別設為,切點,,設點,過點的拋物線的切線方程為,聯(lián)立,化簡可得,∴,即,∴,.由,求得導函數,∴,,,∴,因為點滿足,由圓的性質可得,∴,即直線斜率的取值范圍為.【點睛】本題考查了動點軌跡方程的求法,直線與拋物線相切的性質及應用,導函數的幾何意義及應用,點和圓位置關系求參數的取值范圍,屬于中檔題.19、(2)(x﹣2)2+y2=2.(2)().(3)存在,【解析】

(2)設圓心為M(m,0),根據相切得到,計算得到答案.(2)把直線ax﹣y+5=0,代入圓的方程,計算△=4(5a﹣2)2﹣4(a2+2)>0得到答案.(3)l的方程為,即x+ay+2﹣4a=0,過點M(2,0),計算得到答案.【詳解】(2)設圓心為M(m,0)(m∈Z).由于圓與直線4x+3y﹣29=0相切,且半徑為5,所以,即|4m﹣29|=2.因為m為整數,故m=2.故所求圓的方程為(x﹣2)2+y2=2.(2)把直線ax﹣y+5=0,即y=ax+5,代入圓的方程,消去y,整理得(a2+2)x2+2(5a﹣2)x+2=0,由于直線ax﹣y+5=0交圓于A,B兩點,故△=4(5a﹣2)2﹣4(a2+2)>0,即22a2﹣5a>0,由于a>0,解得a,所以實數a的取值范圍是().(3)設符合條件的實數a存在,則直線l的斜率為,l的方程為,即x+ay+2﹣4a=0,由于l垂直平分弦AB,故圓心M(2,0)必在l上,所以2+0+2﹣4a=0,解得.由于,故存在實數使得過點P(﹣2,4)的直線l垂直平分弦AB.【點睛】本題考查了直線和圓的位置關系,意在考查學生的計算能力和轉化能力.20、(1);(2)證明見解析【解析】

(1)根據,,成等比數列,有,結合公差,,求得通項,再解不等式.(2)根據(1),用裂項相消法求和,然后研究其單調性即可.【詳解】(1)由題意,可知,即,∴.又,,∴,∴.∴,∴,故滿足題意的最大自然數為.(2),∴...從而當時,單調遞增,且,當時,單調遞增,且,所以,由,知不等式成立.【點睛】本題主要考查等差數列的基本運算和裂項相消法求和,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.21、(1);(2)詳見解析;(3)詳見解析.【解析】

(1)根據,可求得,再根據是常數列代入根據通項與前項和的關系求解即可.(2)取,并

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