2024屆河南省豫北重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研模擬試題含解析

2024屆河南省豫北重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．2021年7月，某文學(xué)網(wǎng)站對(duì)該網(wǎng)站的數(shù)字媒體內(nèi)容能否滿足讀者需要進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查部門隨機(jī)抽取了名讀者，所得情況統(tǒng)計(jì)如下表所示：滿意程度學(xué)生族上班族退休族滿意一般不滿意記滿分為分，一般為分，不滿意為分.設(shè)命題：按分層抽樣方式從不滿意的讀者中抽取人，則退休族應(yīng)抽取人；命題：樣本中上班族對(duì)數(shù)字媒體內(nèi)容滿意程度的方差為.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.2．直線的傾斜角，則其斜率的取值范圍為（）A. B.C. D.3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)，，其內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為（）A. B.C. D.4．設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)，則（）A.2 B.C. D.5．若直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.6．已知點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓：的切線，設(shè)其中一個(gè)切點(diǎn)為，則的取值范圍為（）A. B.C. D.7．已知，則在方向上的投影為（）A. B.C. D.8．若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.9．已知橢圓及以下3個(gè)函數(shù)：①；②；③，其中函數(shù)圖象能等分該橢圓面積的函數(shù)個(gè)數(shù)有（）A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè) D.3個(gè)10．設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，過總能作圓的切線，則的最大值為（）A. B.1C. D.11．設(shè)，若函數(shù)，有大于零的極值點(diǎn)，則A. B.C. D.12．如果命題為真命題，為假命題，那么（）A.命題，都是真命題 B.命題，都是假命題C.命題，至少有一個(gè)是真命題 D.命題，只有一個(gè)是真命題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．計(jì)算：________14．下圖是4個(gè)幾何體的展開圖，圖①是由4個(gè)邊長為3的正三角形組成；圖②是由四個(gè)邊長為3的正三角形和一個(gè)邊長為3的正方形組成；圖③是由8個(gè)邊長為3的正三角形組成；圖④是由6個(gè)邊長為3的正方形組成若直徑為4的球形容器（不計(jì)容器厚度）內(nèi)有一幾何體，則該幾何體的展開圖可以是______（填所有正確結(jié)論的番號(hào)）15．若＝，則x的值為_______16．已知數(shù)列滿足，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率是，且過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求面積的最大值.18．（12分）一個(gè)完美均勻且靈活的平衡鏈被它的兩端懸掛，且只受重力的影響，這個(gè)鏈子形成的曲線形狀被稱為懸鏈線（如圖所示）.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系后，懸鏈線對(duì)應(yīng)的函數(shù)近似是一個(gè)雙曲余弦函數(shù)，其解析式可以為，其中，是常數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，判斷并證明的奇偶性；（2）當(dāng)時(shí)，若最小值為，求的最小值.19．（12分）已知命題：“曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”，命題：“曲線表示雙曲線”.（1）若是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場開展滑雪促銷活動(dòng).該滑雪場的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過1小時(shí)免費(fèi)，超過1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）.有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過1小時(shí)離開的概率分別為，；1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)離開的概率分別為，；兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過3小時(shí).求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；21．（12分）已知在公差不為0的等差數(shù)列中，，且構(gòu)成等比數(shù)列的前三項(xiàng)（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列___________，求數(shù)列的前項(xiàng)和請(qǐng)?jiān)冖?；②；③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上，并完成解答22．（10分）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且經(jīng)過點(diǎn)；（2）焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，經(jīng)過點(diǎn).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由抽樣比再乘以可得退休族應(yīng)抽取人數(shù)可判斷命題，求出上班族對(duì)數(shù)字媒體內(nèi)容滿意程度的平均分，由方差公式計(jì)算方差可判斷，再由復(fù)合命題的真假判斷四個(gè)選項(xiàng)，即可得正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)橥诵葑鍛?yīng)抽取人，所以命題正確；樣本中上班族對(duì)數(shù)字媒體內(nèi)容滿意程度的平均分為，方差為，命題正確，所以為真，、、為假命題，故選：2、B【解析】根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系，確定正確選項(xiàng).【詳解】直線的傾斜角為，則斜率為，在上為增函數(shù).由于直線的傾斜角，所以其斜率的取值范圍為，即.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查傾斜角和斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】根據(jù)圖可得：為定值，利用根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為6的雙曲線的右支，從而寫出其方程即得【詳解】解：如圖設(shè)與圓切點(diǎn)分別為、、，則有，，，所以根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為4的雙曲線的右支（右頂點(diǎn)除外），即、，又，所以，所以方程為故選：A4、C【解析】由導(dǎo)數(shù)的定義可得，即可得答案【詳解】根據(jù)題意，，故.故選：C5、D【解析】由題可知，曲線表示一個(gè)半圓，結(jié)合半圓的圖像和一次函數(shù)圖像即可求出的取值范圍.【詳解】由得，畫出圖像如圖：當(dāng)直線與半圓O相切時(shí)，直線與半圓O有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，，所以，由圖可知，此時(shí)，所以，當(dāng)直線如圖過點(diǎn)A、B時(shí)，直線與半圓O剛好有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，由圖可知，當(dāng)直線介于與之間時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以.故選：D.6、B【解析】設(shè)，得到，利用橢圓的范圍求解.【詳解】解：設(shè)，則，，，因?yàn)?，所以，即，故選：B7、C【解析】利用向量數(shù)量積的幾何意義即得【詳解】,故在方向上的投影為：故選：C8、D【解析】函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增等價(jià)于在上恒成立，即在上恒成立，然后易得，最后求出范圍即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，在定義域上單調(diào)遞增等價(jià)于在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，分離參數(shù)得，所以，即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的通解：若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上恒成立；若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在區(qū)間上恒成立；然后再利用分離參數(shù)求得參數(shù)的取值范圍即可.9、C【解析】由橢圓的幾何性質(zhì)可得橢圓的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù),函數(shù)為奇函數(shù),其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則①②滿足題意,對(duì)于函數(shù)在軸右側(cè)時(shí)，，只有時(shí)，，即函數(shù)在軸右側(cè)的圖像顯然不能等分橢圓在軸右側(cè)的圖像的面積,又函數(shù)為偶函數(shù),其圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則函數(shù)在軸左側(cè)的圖像顯然也不能等分橢圓在軸左側(cè)的圖像的面積,即函數(shù)的圖像不能等分該橢圓面積，得解.【詳解】解：因?yàn)闄E圓的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于①，函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可知的圖象能等分該橢圓面積；對(duì)于②，函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可知的圖象能等分該橢圓面積；對(duì)于③，對(duì)于函數(shù)在軸右側(cè)時(shí)，，只有時(shí)，，即函數(shù)在軸右側(cè)的圖像（如圖）顯然不能等分橢圓在軸右側(cè)的圖像的面積,又函數(shù)為偶函數(shù),其圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則函數(shù)在軸左側(cè)的圖像顯然也不能等分橢圓在軸左側(cè)的圖像的面積,即函數(shù)的圖像不能等分該橢圓面積，即函數(shù)圖象能等分該橢圓面積的函數(shù)個(gè)數(shù)有2個(gè)，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的對(duì)稱性，重點(diǎn)考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.10、D【解析】根據(jù)題意，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系以及直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，即可求得的最大值.【詳解】因?yàn)檫^過總能作圓的切線，故點(diǎn)在圓外或圓上，也即直線與圓相離或相切，則，即，解得，故的最大值為.故選：D.11、B【解析】設(shè)，則，若函數(shù)在x∈R上有大于零的極值點(diǎn)即有正根，當(dāng)有成立時(shí)，顯然有，此時(shí)．由，得參數(shù)a的范圍為．故選B考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值12、D【解析】由命題為真命題,可判斷二者至少有一個(gè)為真命題，由為假命題，可判斷二者至少有一個(gè)為假命題，由此可得答案.【詳解】命題為真命題，說明二者至少有一個(gè)為真命題，為假命題,說明二者至少有一個(gè)為假命題，綜合上述，可知命題，只有一個(gè)是真命題，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)無窮等比數(shù)列的求和公式直接即可求出答案.【詳解】.故答案為：.14、①【解析】根據(jù)幾何體展開圖可知①正四面體、②正四棱錐、③正八面體、④正方體，進(jìn)而求其外接球半徑，并與4比較大小，即可確定答案.【詳解】若幾何體外接球球心為，半徑為，①由題設(shè)，幾何體為棱長為3的正四面體，為底面中心，則，，所以，可得，即，滿足要求；②由題設(shè)，幾何體為棱長為3的正四棱錐，為底面中心，則，所以，可得，即，不滿足要求；③由題設(shè)，幾何體為棱長為3的正八面體，其外接球直徑同棱長為3的正四棱錐，故不滿足要求；④由題設(shè)，幾何體為棱長為3的正方體，體對(duì)角線的長度即為外接球直徑，所以，不滿足要求；故答案為：①15、4或9.【解析】分析：先根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)得，解方程得結(jié)果詳解：因?yàn)椋剑砸虼它c(diǎn)睛：組合數(shù)性質(zhì)：16、【解析】由題，用累乘法求得通項(xiàng)公式：，則，通過裂項(xiàng)求和即可得出結(jié)果.【詳解】由題，所以累乘法求通項(xiàng)公式：，所以，經(jīng)驗(yàn)證時(shí)，符合.所以，則.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）2.【解析】(1)根據(jù)已知條件列出關(guān)于a、b、c的方程組即可求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l和x軸垂直時(shí)，根據(jù)已知條件求出此時(shí)△AOB面積；直線l和x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線方程為點(diǎn)斜式y(tǒng)＝kx＋t，代入橢圓方程得二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理和弦長得k和t關(guān)系，表示出△AOB的面積，結(jié)合基本不等式即可求解三角形面積最值.【小問1詳解】由題知，解得，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】當(dāng)軸時(shí)，位于軸上，且，由可得，此時(shí)；當(dāng)不垂直軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，與橢圓交于，，由，得.得，，從而已知，可得.∵.設(shè)到直線的距離為，則，結(jié)合化簡得此時(shí)的面積最大，最大值為2.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，綜上，的面積的最大值為2.18、（1）偶函數(shù)（2）10【解析】(1)根據(jù)偶函數(shù)定義直接判斷可知；(2)由基本不等式求得的最小值，得到a、b的關(guān)系，然后代入目標(biāo)式，分離常數(shù)，然后可得.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)镽，因?yàn)樗詾榕己瘮?shù).【小問2詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).由題知，即，因?yàn)?，所以，即所以令，，則，所以，所以，當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).所以的最小值為10.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)方程為焦點(diǎn)在軸上的橢圓的條件列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.（2）求得為真命題時(shí)的取值范圍，結(jié)合是的必要不充分條件列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】（1）若是真命題，所以，解得，所以的取值范圍是.（2）由（1）得，是真命題時(shí)，的取值范圍是，為真命題時(shí)，，所以的取值范圍是因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以，所以，等號(hào)不同時(shí)取得，所以【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓、雙曲線，考查必要不充分條件求參數(shù).20、【解析】甲、乙兩人所付費(fèi)用相同即為、、，求出相應(yīng)的概率，利用互斥事件的概率公式，可求出甲、乙兩人所付費(fèi)用相同的概率；【詳解】兩人所付費(fèi)用相同，相同費(fèi)用可能為0，40，80元，兩人都付0元的概率為，兩人都付40元的概率為，兩人都付80元的概率為，故兩人所付費(fèi)用相同的概率為.21、（1），（2）答案見解析【解析】（1）設(shè)的公差為，根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到，即可求，從而求出的通項(xiàng)公式，所以，即可求出等比數(shù)列的公比，從而求出的通項(xiàng)公式；（2）若選①：則，利用裂項(xiàng)相消法求和即可；若選②：則，根據(jù)等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得；若選