新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第7章隨機(jī)變量及其分布7.4二項(xiàng)分布與超幾何分布7.4.1二項(xiàng)分布課件新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

第七章7.4.1二項(xiàng)分布基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.通過(guò)實(shí)例了解伯努利試驗(yàn),掌握二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征.2.能用二項(xiàng)分布解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)

二項(xiàng)分布1.伯努利試驗(yàn):我們把只包含

可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn).

2.n重伯努利試驗(yàn):我們將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn).n重伯努利試驗(yàn)具有如下共同特征:(1)同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次;

各次試驗(yàn)成功的概率相同(2)各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.兩個(gè)

3.二項(xiàng)分布一般地,在n重伯努利試驗(yàn)中,設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X的分布列為P(X=k)=

,k=0,1,2,…,n.

如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記作X~B(n,p).4.二項(xiàng)分布的均值與方差(1)兩點(diǎn)分布:如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,那么E(X)=p,D(X)=p(1-p).(2)二項(xiàng)分布:如果X~B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(1-p).

當(dāng)n=1時(shí),即為兩點(diǎn)分布過(guò)關(guān)自診1.在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,各次試驗(yàn)的結(jié)果相互有影響嗎?提示

在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,各次試驗(yàn)的結(jié)果相互之間無(wú)影響.因?yàn)槊看卧囼?yàn)是在相同條件下獨(dú)立進(jìn)行的,所以第i+1次試驗(yàn)的結(jié)果不受前i次結(jié)果的影響(其中i=1,2,…,n-1).2.[北師大版教材習(xí)題]設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(6,),則P(X=3)=(

)A3.[北師大版教材習(xí)題]若某人每次射擊命中目標(biāo)的概率都為0.6,則經(jīng)過(guò)3次射擊,此人至少有2次命中目標(biāo)的概率為(

)A4.[北師大版教材習(xí)題]設(shè)隨機(jī)變量ξ~B(10,0.8),求E(ξ).解

因?yàn)棣蝵B(10,0.8),所以E(ξ)=10×0.8=8.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一n重伯努利試驗(yàn)概率的求法【例1】

甲、乙兩人各射擊一次,擊中目標(biāo)的概率分別是,假設(shè)每次射擊是否擊中目標(biāo)相互獨(dú)立,甲、乙相互之間沒(méi)有影響.(結(jié)果需用分?jǐn)?shù)作答)(1)求甲射擊3次,至少有1次未擊中目標(biāo)的概率;(2)若兩人各射擊2次,求甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)1次的概率.變式探究

1在本例(2)的條件下,求甲、乙均擊中目標(biāo)1次的概率.變式探究

2在本例(2)的條件下,求甲未擊中目標(biāo),乙擊中目標(biāo)2次的概率.規(guī)律方法

n重伯努利試驗(yàn)概率求法的三個(gè)步驟

一判斷依據(jù)n重伯努利試驗(yàn)的特征,判斷所給試驗(yàn)是不是n重伯努利試驗(yàn)二分拆將復(fù)雜事件表示成若干個(gè)互斥事件的并三計(jì)算就每個(gè)事件依據(jù)n重伯努利試驗(yàn)的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式計(jì)算變式訓(xùn)練1現(xiàn)有4個(gè)人去參加某娛樂(lè)活動(dòng),該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)游戲可供參加者選擇.為增加趣味性,約定:每個(gè)人通過(guò)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己參加哪個(gè)游戲,擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人參加甲游戲,擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人參加乙游戲.(1)求這4個(gè)人中恰有2人參加甲游戲的概率;(2)求這4個(gè)人中參加甲游戲的人數(shù)大于參加乙游戲的人數(shù)的概率.探究點(diǎn)二求兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值【例2】

某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為p=0.6.(1)求投籃1次時(shí)命中次數(shù)X的均值;(2)求重復(fù)5次投籃時(shí),命中次數(shù)Y的均值.解

(1)投籃1次,命中次數(shù)X的分布列如下表.X01P0.40.6則E(X)=0.6.(2)由題意,重復(fù)5次投籃,命中的次數(shù)Y服從二項(xiàng)分布,即Y~B(5,0.6),則E(Y)=5×0.6=3.規(guī)律方法

常見(jiàn)的兩種分布的均值設(shè)p為一次試驗(yàn)中成功的概率,則(1)兩點(diǎn)分布E(X)=p;(2)二項(xiàng)分布E(X)=np.熟練應(yīng)用上述公式可大大減少運(yùn)算量,提高解題速度.變式訓(xùn)練2某射擊隊(duì)對(duì)9位運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊測(cè)試,每位運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行3次射擊,至少命中2次則通過(guò)測(cè)試,已知每位運(yùn)動(dòng)員每次射擊命中的概率均為,各次射擊是否命中相互獨(dú)立,且每位運(yùn)動(dòng)員本次測(cè)試是否通過(guò)相互獨(dú)立,設(shè)9位運(yùn)動(dòng)員中有X人通過(guò)本次測(cè)試,則E(X)=

.

探究點(diǎn)三二項(xiàng)分布的應(yīng)用【例3】

高二(1)班的一個(gè)研究性學(xué)習(xí)小組在網(wǎng)上查知,某珍稀植物種子在一定條件下發(fā)芽成功的概率為,該研究性學(xué)習(xí)小組又分成兩個(gè)小組進(jìn)行驗(yàn)證性試驗(yàn).(1)第一小組做了5次這種植物種子的發(fā)芽試驗(yàn)(每次均種下一粒種子),求他們的試驗(yàn)中至少有3次發(fā)芽成功的概率.(2)第二小組做了若干次發(fā)芽試驗(yàn)(每次均種下一粒種子),如果在一次試驗(yàn)中種子發(fā)芽成功就停止試驗(yàn),否則將繼續(xù)進(jìn)行下次試驗(yàn),直到種子發(fā)芽成功為止,但試驗(yàn)的次數(shù)最多不超過(guò)5次.求第二小組所做種子發(fā)芽試驗(yàn)的次數(shù)ξ的分布列.解

(1)至少有3次發(fā)芽成功,即有3次、4次、5次發(fā)芽成功.設(shè)5次試驗(yàn)中種子發(fā)芽成功的次數(shù)為隨機(jī)變量X,規(guī)律方法

1.二項(xiàng)分布的簡(jiǎn)單應(yīng)用是求n重伯努利試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率.解題的一般思路是:根據(jù)題意設(shè)出隨機(jī)變量→分析出隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布→找到參數(shù)n,p→寫出二項(xiàng)分布的分布列→將k值代入求解概率.2.利用二項(xiàng)分布求解“至少”“至多”問(wèn)題的概率,其實(shí)質(zhì)是求隨機(jī)變量在某一取值范圍內(nèi)的概率,一般轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件發(fā)生的概率的和,或者利用對(duì)立事件求概率.變式訓(xùn)練3[蘇教版教材例題]設(shè)某保險(xiǎn)公司吸收10000人參加人身意外保險(xiǎn),該公司規(guī)定:每人每年付給公司120元,若意外死亡,公司將賠償10000元.如果已知每人每年意外死亡的概率為0.006,那么該公司會(huì)賠本嗎?解

設(shè)這10

000人中意外死亡的人數(shù)為X,依題意,隨機(jī)變量X~B(10

000,0.006).于是,X的分布列為P(X=k)=0.006k(1-0.006)10

000-k.當(dāng)死亡人數(shù)為X時(shí),公司要賠償X萬(wàn)元,此時(shí)公司的利潤(rùn)為(120-X)萬(wàn)元.由上述分布,公司賠本的概率為P(120-X<0)=1-P(X≤120)這說(shuō)明,公司幾乎不會(huì)賠本.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)n重伯努利試驗(yàn)的概念及特征;(2)二項(xiàng)分布的概念及表示;(3)二項(xiàng)分布的均值、方差;(4)二項(xiàng)分布的性質(zhì).2.方法歸納:公式法,數(shù)學(xué)建模.3.常見(jiàn)誤區(qū):對(duì)于隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布容易判斷錯(cuò)誤.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)12341.(多選題)下列事件中隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布的有(

)A.隨機(jī)變量ξ表示重復(fù)拋擲一枚骰子n次中出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)B.某射手擊中目標(biāo)的概率為0.9,從開(kāi)始射擊到擊中目標(biāo)所需的射擊次數(shù)ξC.有一批產(chǎn)品共有N件,其中M件為次品,采用有放回抽取方法,ξ表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)(M<N)D.有一批產(chǎn)品共有N件,其中M件為次品,采用不放回抽取方法,ξ表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)(M<N)AC1234解析

對(duì)于A,由于每拋擲一枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的概率都是相等的,且相互獨(dú)立,故隨機(jī)變量ξ表示重復(fù)拋擲一枚骰子n次中出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)服從二項(xiàng)分布,故A正確;對(duì)于B,對(duì)于某射手從開(kāi)始射擊到擊中目標(biāo)所需的射擊次數(shù)ξ,每次試驗(yàn)不是獨(dú)立的,與其他各次試驗(yàn)結(jié)果有關(guān),故不是二項(xiàng)分布,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,有一批產(chǎn)品共有N件,其中M件為次品,采用有放回抽取方法,每一次抽取中出現(xiàn)次品的概率都是相等的,且相互獨(dú)立,故ξ表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)(M<N)服從二項(xiàng)分布,故C正確;對(duì)于D,由于采用不放回抽取方法,每一次抽取中出現(xiàn)次品的概率不一定相等,故ξ表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)(M<N)不服從二項(xiàng)分布,故D錯(cuò)誤.故選AC.12342.有8件產(chǎn)品,其中4件是次品,從中有放回地取3次(每次1件),若X表示取得次品的次數(shù),則P(X≤2)等于(

)D12343.若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,即X~B(n,p),且E(X)=3,p=,則n=

,D(X)=

.

2112344.[2023重慶開(kāi)州期末]某批發(fā)市場(chǎng)對(duì)某種商品的日銷售量(單位:噸)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),最近50天的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:日銷售量11.52天數(shù)102515頻率0.2ab若以上表中頻率作為概率,且每天的銷售量相互獨(dú)立.(1)求從這50天中隨機(jī)選取的5天中該種商品恰好有兩天的銷售量為1.5噸的概率;(2)已知每噸該商品的銷售利潤(rùn)為2千元,X(單位:千元)表示該種商品某兩天銷售利潤(rùn)的和,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.1234(2)X的可能取值為4,5,6,7,8,則P(X=4)=0.22=0.04,P(X=5)=2×0.2×0.5=0.2