2024屆江西省贛州尋烏縣第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆江西省贛州尋烏縣第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則不同的排法有（）A.24種 B.6種C.4種 D.12種2．若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，則的值為（）A.5 B.3C.4 D.23．已知圓，過點(diǎn)P的直線l被圓C所截，且截得最長弦的長度與最短弦的長度比值為5∶4，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則最大值為（）A.3 B.4C.5 D.64．已知，若，是第二象限角，則=（）A. B.5C. D.105．四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，若，則等于（）A.1 B.C. D.26．已知，那么函數(shù)在x＝π處的瞬時(shí)變化率為（）A. B.0C. D.7．等差數(shù)列中，已知，則（）A.36 B.27C.18 D.98．已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，準(zhǔn)線為l，若l與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形面積為，則雙曲線C的離心率為（）A.3 B.C. D.9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，（）A.11 B.20C.33 D.3510．已知l，m是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，且，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則11．在一次體檢中，發(fā)現(xiàn)甲、乙兩個(gè)單位的職工中體重超過的人員的體重如下（單位：）.若規(guī)定超過為顯著超重，從甲、乙兩個(gè)單位中體重超過的職工中各抽取1人，則這2人中，恰好有1人顯著超重的概率為（）A. B.C. D.12．若直線：與直線：平行，則a的值是（）A.1 B.C.或6 D.或7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足，則其通項(xiàng)公式_______14．長方體中，，已知點(diǎn)與三點(diǎn)共線且，則點(diǎn)到平面的距離為________15．在棱長為2的正方體中，點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)Q在平面上，則的最小值為________.16．過拋物線的焦點(diǎn)F作斜率大于0的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)（A在B的上方），且l與準(zhǔn)線交于點(diǎn)C，若，則_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（1）求角B；（2）若，角B的角平分線交AC于點(diǎn)D，，求CD的長18．（12分）如圖，在棱長為的正方體中，為中點(diǎn)（1）求二面角的大小；（2）探究線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由19．（12分）已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：當(dāng)時(shí)，.20．（12分）已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，（1）求邊AC上的中線所在直線方程；（2）求的面積21．（12分）已知等比數(shù)列{}的各項(xiàng)均為正數(shù)，，，成等差數(shù)列，，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，且.（1）求{}和{}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為.求證：.22．（10分）已知圓C經(jīng)過、兩點(diǎn)，且圓心在直線上（1）求圓C的方程；（2）若直線經(jīng)過點(diǎn)且與圓C相切，求直線的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由已知可得只需對剩下3人全排即可【詳解】解：甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則只需對剩下3人全排即可，則不同的排法共有，故選：B2、B【解析】由題意判斷橢圓焦點(diǎn)在軸上，則，解方程即可確定的值.【詳解】有題意知：焦點(diǎn)在軸上，則，從而，解得：.故選：B.3、C【解析】由題意，點(diǎn)P在圓C內(nèi)，且最長弦的長度為直徑長10，則最短弦的長度為8，進(jìn)而可得，所以點(diǎn)P的軌跡為以C為圓心，半徑為3的圓，從而即可求解.【詳解】解：由題意，圓，所以圓C是以為圓心，半徑為5的圓，因?yàn)檫^點(diǎn)P的直線l被圓C所截，且截得最長弦的長度與最短弦的長度比值為5∶4，所以點(diǎn)P在圓C內(nèi)，且最長弦的長度為直徑長10，則最短弦的長度為8，所以由弦長公式有，所以點(diǎn)P的軌跡為以C為圓心，半徑為3的圓，所以，故選：C.4、D【解析】先由誘導(dǎo)公式及同角函數(shù)關(guān)系得到，再根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡，最后由二倍角公式化簡求值即可.【詳解】∵，∴，∵是第二象限角，∴，∴故選：D5、B【解析】運(yùn)用向量的線性運(yùn)用表示向量，對照系數(shù)，求得，代入可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，解得，所以，故選：B.6、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求出，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可得到結(jié)論【詳解】由題設(shè)，，所以，函數(shù)在x＝π處瞬時(shí)變化率為，故選：A7、B【解析】直接利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】解：由題得.故選：B8、C【解析】先由已知結(jié)合拋物線的定義求出，從而可得拋物線的準(zhǔn)線方程，則可求出準(zhǔn)線l與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為，然后由題意可得，進(jìn)而可求出雙曲線的離心率詳解】依題意，拋物線準(zhǔn)線，由拋物線定義知，解得，則準(zhǔn)線，雙曲線C的兩條漸近線為，于是得準(zhǔn)線l與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為，原點(diǎn)為O，則面積，雙曲線C的半焦距為c，離心率為e，則有，解得故選：C9、B【解析】由數(shù)列的性質(zhì)可得，計(jì)算可得到答案.【詳解】由題意，.故答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系分析選項(xiàng)A,C,D，由平面與平面垂直的判定定理判定選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A.由，，直線l，m可能相交、平行，異面，故不正確.選項(xiàng)B.由，，則，故正確.選項(xiàng)C.由，，直線l，m可能相交、平行，異面，故不正確.選項(xiàng)D.由,,則可能相交，可能平行，故不正確.故選：B11、B【解析】列舉出所有選取的情況，再找出滿足題意的情況，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】不妨用表示每種抽取情況，其中是指甲單位抽取1人的體重，代表從乙單位抽取人的體重.則所有的可能有16種，如下所示：，，，，，，，，，，，，，，，其中滿足題意的有6種：，，，，，故抽取的這2人中，恰好有1人顯著超重的概率為：.故選：.12、D【解析】根據(jù)直線平行的充要條件即可求出【詳解】依題意可知，顯然，所以由可得，，解得或7故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】構(gòu)造法可得，由等比數(shù)列的定義寫出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得.【詳解】令，則，又，∴，故，而，∴是公比為，首項(xiàng)為，則，∴.故答案為：.14、【解析】利用坐標(biāo)法，利用向量共線及垂直的坐標(biāo)表示可求，即求.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)辄c(diǎn)與三點(diǎn)共線且，，設(shè)，即，∴，∴，∴，即，∴點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.15、【解析】數(shù)形結(jié)合分析出的最小值為點(diǎn)到平面的距離，然后利用等體積法求出距離即可.【詳解】因?yàn)?，且平面，平面，所以平面，所以的最小值為點(diǎn)到平面的距離，設(shè)到平面的距離為，則，所以，即，解得，故答案為：.16、2【解析】分別過A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，由可求.【詳解】分別過A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，設(shè)，，則，∴，∴.故答案為：2.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化得，進(jìn)而得；（2）根據(jù)題意得，進(jìn)而在中，由余弦定理即可得答案.【小問1詳解】解：因?yàn)?，所以由正弦定理可得，所以，即，因?yàn)?，所以，故，因?yàn)椋浴拘?詳解】解：由（1）可知，又；所以，，，所以，在，由余弦定理可得，即，解得18、（1）（2）點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩個(gè)平面的法向量代入公式求解即可；（2）假設(shè)存在，設(shè)，利用相等向量求出坐標(biāo)，利用線面平行的向量法代入公式計(jì)算即可.【小問1詳解】如下圖所示，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．所以，設(shè)平面的法向量，所以，即，令，則，，所以，連接，因?yàn)?，，，平面，平面，平面，所以平面，所以為平面的一個(gè)法向量，所以，由圖知，二面角為銳二面角，所以二面角的大小為【小問2詳解】假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得平面，設(shè)，，，因?yàn)槠矫?，所以，即所以，即解得所以在線段上存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí)點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)19、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）利用前n項(xiàng)和與的關(guān)系即求；（2）由題知，然后利用裂項(xiàng)相消法即證.【小問1詳解】由，可得，兩式相減可得，當(dāng)時(shí)，，滿足，所以.【小問2詳解】∵，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，.20、（1）（2）【解析】（1）先求得的中點(diǎn)，由此求得邊AC上的中線所在直線方程.（2）結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式求得的面積.【小問1詳解】的中點(diǎn)為，所以邊AC上的中線所在直線方程為.【小問2詳解】直線的方程為，到直線的距離為，，所以.21、（1）（2）證明見解析【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，成等差數(shù)列，解得．由，利用通項(xiàng)公式解得，可得．由數(shù)列的前項(xiàng)和，且，時(shí)，，化簡整理即可得出；（2），利用裂項(xiàng)求和方法、數(shù)列的單調(diào)性即可證明結(jié)論【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，成等差數(shù)列，，即，化為：，解得，，即，解得，數(shù)列的前項(xiàng)和，且，時(shí)，，化為：，，數(shù)列是每項(xiàng)都為1的常數(shù)列，，化為【小問2詳解】證明：，數(shù)列的前項(xiàng)和為，22、（１）；（２）【解析】（1）根據(jù)圓心在弦的垂直平分線上，先求出弦的垂直平分線的方程與聯(lián)立可求得圓心坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間的距離公式求得半徑，進(jìn)而求得圓