2024屆江西南康市南康中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

2024屆江西南康市南康中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知m，n表示兩條不同的直線，表示平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則2．雙曲線C:的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作雙曲線C的兩條漸近線的垂線，垂足分別為H1，H2.若，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.23．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面MBD的距離是（）A. B.C. D.4．若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B.C. D.且5．已知雙曲線右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為（）A.2 B.C. D.6．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1，1，2)，B(－3，1，－2)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.(－2，1，2) B.(－1，1，0)C.(－2，0，1) D.(－1，1，2)7．連續(xù)拋擲一枚硬幣3次，觀察正面出現(xiàn)的情況，事件“至少2次出現(xiàn)正面”的對(duì)立事件是（）A.只有2次出現(xiàn)反面 B.至多2次出現(xiàn)正面C.有2次或3次出現(xiàn)正面 D.有2次或3次出現(xiàn)反面8．等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則A.8 B.10C.12 D.149．“且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件10．參加抗疫的300名醫(yī)務(wù)人員，編號(hào)為1，2，…，300.為了解這300名醫(yī)務(wù)人員的年齡情況，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取15名醫(yī)務(wù)人員的年齡進(jìn)行調(diào)查.若抽到的第一個(gè)編號(hào)為6，則抽到的第二個(gè)編號(hào)為（）A.21 B.26C.31 D.3611．已知橢圓：，左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的最大值為5，則的值是A.1 B.C. D.12．如圖，在平行六面體中，AC與BD的交點(diǎn)為M，設(shè)，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________.14．已知直線與直線平行，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_____15．已知直線，，為拋物線上一點(diǎn)，則到這兩條直線距離之和的最小值為_(kāi)__________.16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和.則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上一點(diǎn)滿足，且的面積為（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線．設(shè)直線交軸于，交軸于，且點(diǎn)，求的軌跡方程18．（12分）已知等差數(shù)列滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）已知圓的圓心在直線上，且圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線所在的直線的方程.20．（12分）已知直線l的斜率為-2，且與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成三角形的面積等于1．圓C的圓心在第四象限，直線l經(jīng)過(guò)圓心，圓C被x軸截得的弦長(zhǎng)為4．若直線x－2y－1＝0與圓C相切，求圓C的方程21．（12分）已知橢圓C：的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．離心率為，（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓C相交于D，E兩點(diǎn)，直線：與x軸相交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為①求四邊形ODHE（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的取值范圍；②證明：直線過(guò)定點(diǎn)G，并求點(diǎn)G的坐標(biāo)22．（10分）一款小游戲的規(guī)則如下：每盤(pán)游戲都需拋擲骰子三次，出現(xiàn)一次或兩次“6點(diǎn)”獲得15分，出現(xiàn)三次“6點(diǎn)”獲得120分，沒(méi)有出現(xiàn)“6點(diǎn)”則扣除12分(即獲得－12分)（Ⅰ）設(shè)每盤(pán)游戲中出現(xiàn)“6點(diǎn)”的次數(shù)為X，求X的分布列；（Ⅱ）玩兩盤(pán)游戲，求兩盤(pán)中至少有一盤(pán)獲得15分概率；（Ⅲ）玩過(guò)這款游戲的許多人發(fā)現(xiàn)，若干盤(pán)游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒(méi)有增加反而減少了．請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析解釋上述現(xiàn)象

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)空間直線與平面間的位置關(guān)系判斷【詳解】若，，也可以有，A錯(cuò)；若，，也可以有，B錯(cuò)；若，，則或，C錯(cuò)；若，，則，這是線面垂直的判定定理之一，D正確故選：D2、D【解析】將條件轉(zhuǎn)化為該雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，可得，由離心率公式即可得解.【詳解】由題意，(為坐標(biāo)原點(diǎn))，所以該雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，所以，即，所以離心率.故選：D.3、A【解析】等體積法求解點(diǎn)到平面的距離.【詳解】連接，，則，，由勾股定理得：，，取BD中點(diǎn)E，連接ME，由三線合一得：ME⊥BD，則，故，設(shè)到平面MBD的距離是，則，解得：，故點(diǎn)到平面MBD的距離是.故選：A4、A【解析】根據(jù)雙曲線定義，且焦點(diǎn)在y軸上，則可直接列出相關(guān)不等式.【詳解】若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則必有：，且解得：故選：5、B【解析】，得出到漸近線的距離為，由此可得的關(guān)系，從而求得離心率【詳解】因?yàn)?，而，所以是等邊三角形，到直線的距離為，又，漸近線方程取，即，所以，化簡(jiǎn)得故選：B6、B【解析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式直接求解【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，1，，，1，，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是，，，1，故選：B.7、D【解析】根據(jù)對(duì)立事件的定義即可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)立事件是指事件A和事件B必有一件發(fā)生，連續(xù)拋擲一枚均勻硬幣3次，“至少2次出現(xiàn)正面”即有2次或3次出現(xiàn)正面，對(duì)立事件為0次或1次出現(xiàn)正面，即“有2次或3次出現(xiàn)反面”故選：D8、C【解析】假設(shè)公差為,依題意可得.所以.故選C.考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì).9、A【解析】按照充分必要條件的判斷方法判斷，“且”能否推出“”，以及“”能否推出“且”，判斷得到正確答案，【詳解】當(dāng)且時(shí)，成立，反過(guò)來(lái)，當(dāng)時(shí)，例：，不能推出且.所以“且”是“”的充分不必要條件.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的判斷，重點(diǎn)考查基本判斷方法，屬于基礎(chǔ)題型.10、B【解析】將300個(gè)數(shù)編號(hào)：001，002，003，，3000，再平均分為15個(gè)小組，然后按系統(tǒng)抽樣方法得解.【詳解】將300個(gè)數(shù)編號(hào)：001，002，003，，3000，再平均分為15個(gè)小組，則第一編號(hào)為006，第二個(gè)編號(hào)為.故選：B.11、D【解析】由題意可知橢圓是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，利用橢圓定義得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由過(guò)橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑的長(zhǎng)最短，可知當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可【詳解】由0＜b＜2可知，焦點(diǎn)在x軸上，∵過(guò)F1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|當(dāng)AB垂直x軸時(shí)|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此時(shí)|AB|＝b2，則5＝8﹣b2，解得b，故選D【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了橢圓的定義，考查橢圓的通徑公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題12、B【解析】根據(jù)向量加法和減法法則即可用、、表示出.【詳解】故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題意可得圓心坐標(biāo)為，半徑為1，利用平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)特征可得所求的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】由題意知，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，設(shè)圓關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的圓為，所以，半徑為1，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：14、【解析】由兩直線平行的判定可得求解即可，注意驗(yàn)證是否出現(xiàn)直線重合的情況.【詳解】由題設(shè)，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題設(shè).故答案為：15、【解析】過(guò)作，垂足分別為，由直線為拋物線的準(zhǔn)線，轉(zhuǎn)化，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值【詳解】過(guò)作，垂足分別為拋物線的焦點(diǎn)為直線為拋物線的準(zhǔn)線由拋物線的定義，故，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值故最小值為點(diǎn)到直線的距離：故答案為：16、【解析】根據(jù)公式求解即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)橐策m合此等式，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）利用可得，由橢圓關(guān)系可求得，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）將與橢圓方程聯(lián)立可得，得，結(jié)合韋達(dá)定理可確定點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得方程，進(jìn)而得到，化簡(jiǎn)整理即可得到所求軌跡方程.【小問(wèn)1詳解】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知：；，即，，，解得：，，解得：（舍）或，，橢圓的方程為：；【小問(wèn)2詳解】由得：，，整理可得：；，解得：，，則，令，解得：；令，解得：；，即，又，，則的軌跡方程為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解問(wèn)題，解題基本思路是能夠利用變量表示出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)之間關(guān)系，化簡(jiǎn)整理消掉變量得到所求軌跡方程；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略題目中的限制條件，軌跡中出現(xiàn)多余的點(diǎn).18、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用裂項(xiàng)法可求得.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，可得，由可得，即，解得，，故.【小問(wèn)2詳解】解：，因此，.19、（1）；（2）或.【解析】（1）求出線段中點(diǎn)，進(jìn)而得到線段的垂直平分線為，與聯(lián)立得交點(diǎn)，∴.則圓的方程可求（2）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，可知切線方程為.當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，由到此直線的距離為，解得，即可到切線所在直線的方程.試題解析：（1）線段的中點(diǎn)為，∵，∴線段的垂直平分線為，與聯(lián)立得交點(diǎn)，∴.∴圓的方程為.（2）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為.當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，則到此直線的距離為，解得，∴切線方程為.故滿足條件的切線方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求法，圓的切線，中點(diǎn)弦等問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用圓的特性，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解20、【解析】先根據(jù)題意設(shè)直線方程，由條件求出直線的方程，再根據(jù)條件列出等量關(guān)系，求出圓心和半徑，進(jìn)而求得答案.【詳解】解：設(shè)直線l的方程為y＝－2x＋b（b＞0），它與兩坐標(biāo)軸的正半軸的交點(diǎn)依次為，，因?yàn)橹本€l與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形的面積等于1，所以，解得b＝2，所以直線l的方程是，即由題意，可設(shè)圓C的圓心為，半徑為r，又因?yàn)閳AC被x軸截得的弦長(zhǎng)等于4，所以①，由于直線與圓相切，所以圓心C到直線的距離②，所以①②聯(lián)立得：，解得：或，又圓心在第四象限，所以，則圓心，，所以圓C方程是.21、（1）；（2）①；②詳見(jiàn)解析；.【解析】（1）由題得，即求；（2）①由題可設(shè)，利用韋達(dá)定理法可得，進(jìn)而可得四邊形ODHE面積，再利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可求范圍；②由題可得，令，通過(guò)計(jì)算可得，即得.【小問(wèn)1詳解】由題可得，解得，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問(wèn)2詳解】①由題可知，可設(shè)直線，，由，可得，∴，，∴，∴四邊形ODHE面積，令，則，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，取等號(hào)，∴，∴四邊形ODHE面積取值范圍為；②由上可得，直線，令，得，由，可得，∴，∴直線過(guò)定點(diǎn)G.22、（Ⅰ）分布列見(jiàn)解析（Ⅱ）（Ⅲ）見(jiàn)解析【解析】（Ⅰ）先得到可能的取值為，，，，根據(jù)每次拋擲骰子，出現(xiàn)“6點(diǎn)”的概率為，得到每種取值的概率，得到分布列；（Ⅱ）計(jì)算出每盤(pán)游戲沒(méi)有獲得15分的概率，從而得到兩盤(pán)中至少有一盤(pán)獲得15分的概率；（Ⅲ）設(shè)每盤(pán)游