6關(guān)于兒童部分與整體關(guān)系認知發(fā)展的實驗研究67歲兒童用非除法運算解答包含除的實驗

6關(guān)于兒童部分與整體關(guān)系認知發(fā)展的實驗研究67歲兒童用非除法運算解答包含除的實驗

一、材料和實驗過程在數(shù)學概念中，部分和整體之間的關(guān)系反映為數(shù)量關(guān)系。包含除的數(shù)量關(guān)系是求一個數(shù)包含幾個另一個數(shù)。就數(shù)的部分與整體關(guān)系看,包含除的被除數(shù)作為整體數(shù),除數(shù)作為部分數(shù)。為了表述上的方便,把整體數(shù)稱為“總數(shù)”,相同部分數(shù)稱為“每份數(shù)”,相同部分數(shù)的·份數(shù)稱為“份數(shù)”。整體數(shù)包含部分數(shù),在包含除范圍內(nèi),是總數(shù)包含多少份每份數(shù)。對包含除的數(shù)量關(guān)系的理解,則是對總數(shù)包含多少份每份數(shù)這一關(guān)系的掌握。發(fā)展心理學認為,兒童智慧發(fā)展的每個階段,在客觀世界的不同事物及其呈現(xiàn)形式的影響下,有他自己觀察世界和解釋世界的認知方式。本實驗對未學過乘除的6—7歲兒童進行調(diào)查,看他們能否解答和如何解答包含除的問題。探討兒童對數(shù)的部分與整體關(guān)系的認知的發(fā)展,及其對包含除概念形成的影響。被試:幼兒園大班兒童和小學一年級第一學期學生各93名,平均年齡分別為6歲3個月和7歲4個月。每個被試符合會二十以內(nèi)的加減但不會乘除的兩個條件。材料:測驗題目*共為12個包含除的問題。系由三個實驗因素按照L12(3122)正交表編擬的。題目詳見附錄。三個實驗因素是:1)題目的不同類別,即由提出問題的不同方式把12個題目分為圖示題、文字題和應(yīng)用題;2)每份數(shù)的多少,即把12個題中的6個題,每份數(shù)為1,另6個題的每份數(shù)為4;3)所求份數(shù)的多少,即把12個題中的6個題,份數(shù)為2,另6個題的份數(shù)為5。每份數(shù)的多少和所求份數(shù)的多少是實驗考察的主要因素。方式:對6歲兒童的測驗,個別進行。對7歲兒童采用集體測驗和個別詢問相結(jié)合的方式。為了避免測驗時題目的先后測驗而產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差,全部測驗題對每個被試都是隨機的。在主要實驗進行后,為了進一步考察實驗的主要因素,進行了補充實驗。選擇6為總數(shù),其每份數(shù)為1、2、3,份數(shù)為6、3、2,以及18為總數(shù),其每份數(shù)為1、2、3、6、9,份數(shù)為18、9、6、3、2,按照圖示題、文字題和應(yīng)用題,編出24道包含除的題目。對36名6—7歲兒童進行個別測驗。三、結(jié)果與分析一、6-7歲兒童用非排除法回答排除結(jié)果(一)含除的人數(shù)和數(shù)量關(guān)系表7在本實驗條件下,兒童解答包含除的問題的成績,總平均為74.05分。實驗中沒有發(fā)現(xiàn)根本不會解答的被試。成績在60分以上的人數(shù)有133人,占全體人數(shù)的百分之七十二。得100分的人數(shù)有39人,占全體人數(shù)的百分之二十一。這說明6—7歲兒童對包含除的問題已具有一定的解答能力,對包含除的數(shù)量關(guān)系的理解已達到一定的水平。7歲兒童的平均成績?yōu)?6.70分,6歲兒童的平均成績?yōu)?1.42分。相差5.28分。雖然·統(tǒng)計檢驗認為無顯著差別。但7歲兒童的高分組人數(shù)比6歲兒童要多些。較難題目的正確人數(shù),7歲兒童比6歲兒童要多些。說明6歲兒童對包含除數(shù)量關(guān)系的理解程度,在數(shù)量偏大時受到一定的影響。(二)不同難度復合因素的研究從表1中看到,從理論上比較,R值的大小說明三個實驗因素的單獨作用。結(jié)果認為,影響兒童成績的因素,最主要的是每份數(shù)的多少,其次是所求份數(shù)的多少,再其次是題目的不同類別的影響。但是,從實際上看,每個題目同時包含著三個實驗因素及其條件。因此,需要注意復合因素的作用,即組合的認知條件。為了尋找影響兒童解答成績的復合因素,在12個測驗題目的難易次序的基礎(chǔ)上作出數(shù)量分類圖。見圖1。從圖1中看到,12個難度不同的測驗題,因距離系數(shù)不同而產(chǎn)生類聚,大致可歸納為四類。顯示了6—7歲兒童用非除法運算解答包含除題目時,從易到難發(fā)展的四個段落,依從于四種前后連貫的組合的認知條件。即,第一,對每份數(shù)為1、份數(shù)最多為5的圖示題,易于解答。當應(yīng)用題的情境與兒童的熟悉經(jīng)驗相連時,那末每份數(shù)為1、份數(shù)最多為2的應(yīng)用題,也容易解答。第二,能夠解答每份數(shù)為1,份數(shù)最多為5的文字題和應(yīng)用題,對每份數(shù)為4、份數(shù)最多為2的圖示題和文字題也能解答。第三,對每份數(shù)為4、份數(shù)最多為5的圖示題和每份數(shù)為4、份數(shù)最多為2的應(yīng)用題,能夠解答。第四,對每份數(shù)為4,份數(shù)最多為5的文字題和應(yīng)用題,在比較晚些時候才能解答。二、在使用非排除法作業(yè)來解決排除問題的活動時，孩子們可以理解數(shù)字關(guān)系的指標(一)理解每份數(shù)和精準數(shù)兒童對題目的分析綜合活動反映出對題目的數(shù)量關(guān)系的理解程度。我們對被試的錯誤解答的性質(zhì)加以歸納分析,劃分為如下幾個階段,并確立指標。發(fā)展基礎(chǔ)與先決條件。被試不能解答的第一種情況是,大多數(shù)不回答,有的被試用題目中的某個數(shù)字來回答。這些被試都不會用自己的話來解釋題目,不明白題目“問的是什么”。這類錯誤的題次占總錯誤的65.87%。我們認為,對包含除的“分配”的意義理解與否,是包含除的問題能否解答的先決條件。第一階段與第一項指標。被試不能解答的第二種情況是,他們看了(聽了)題目之后,用題中二個數(shù)字相加的和來回答。這類錯誤的題次占總錯誤的7.92%。這時,被試對題目的“分配”的意義已有了理解,但未真正理解,他們不能把問題與條件聯(lián)系起來。對二個數(shù)字在題目中的意義不理解,多數(shù)情況不知道總數(shù)是哪個數(shù),不知道它是作什么用的。我們認為,認識包含除題目中的總數(shù),并認識到總數(shù)的作用是被分配的,可以分解的。這是認識包含除的數(shù)量關(guān)系的第一項指標。第二階段和第二項指標。被試不能解答的第三種情況是,有的如同第二種情況,有的表現(xiàn)如解答第7題,他們進行筆算時書寫為4+4=8,而回答時卻說“8里面有4個4”,不理解8分作二份時,一份是4。這類的錯誤題次占總錯誤的13.12%。其錯誤原因是兒童知道總數(shù)可以被分配,但如何被分配,用什么方法分配,沒有被理解到。要突破這一思維困難,需要對“每份數(shù)”和“份數(shù)”有所理解。如果兒童對每份數(shù)的一份與一份的量之間的對應(yīng)關(guān)系不理解的話,那末就不能用每份數(shù)的“單位標準”去分解總數(shù)。我們認為,認識包含除中的每份數(shù)是一份有多少元素,是從總數(shù)中分出來的一份,突出“一份”的觀念,理解一份與一份的量之間的對應(yīng)關(guān)系,利用每份數(shù)去分解總數(shù),直至分完,并理解到把總數(shù)分解為多少份每份數(shù)就是總數(shù)包含多少份每份數(shù)。這是第二項指標。這項指標是認識包含除的數(shù)量關(guān)系的關(guān)鍵。第三階段和第三項指標。被試不能解答的第四種情況是,當所求份數(shù)超過3時,被試在解題時,情緒產(chǎn)生波動。如解答“18里面有幾個2”時,有的被試畏難急躁,說“太多了,太長了,沒有做過”(太多,太長是指2連加的次數(shù))。這是被試由于緊張不能有次序的思維。還有的被試在作連加運算時,由于忘了總數(shù)而發(fā)生錯誤。這類錯誤題次占總錯誤的13.09%。其原因可能是,在總數(shù)被分解時,隨著所求份數(shù)的增加,對思維的主體提出更高的要求。要求主體能夠建構(gòu)平行的二個等差數(shù)列的運算系統(tǒng),即:第一個等差數(shù)列為份數(shù)從1份到2份、3份……若干份,相鄰數(shù)相差為1,第二個等差數(shù)列為從1份的量到2份的量、3份的量……若干份的量,相鄰數(shù)相差的值為每份數(shù)。二個數(shù)列平行對應(yīng)。此外,在運算時,還要求主體,當二個數(shù)列同時每遞增一次時,必須將第二個數(shù)列上的最后一個數(shù)與題目中的總數(shù)相比較,時時不忘總數(shù)。當比較后認為它與總數(shù)相同時,那末與它相對應(yīng)的第一個數(shù)列上的那個份數(shù),就是總數(shù)包含多少份每份數(shù)的答案。我們認為,當包含除的題目中總數(shù)和所求份數(shù)偏大時,能夠建構(gòu)平行的二個等差數(shù)列的運算系統(tǒng),運算過程中時時不忘總數(shù)。這是第三項指標。下面舉例說明達到理解第二項和第三項指標的表現(xiàn)。鄭×,6歲4個月。對第12題的運算過程是:“1個小朋友——4本書,2個小朋友——8本書,3個小朋友——12本書,4個小朋友——16本書,5個小朋友——20本書,所以20本書能夠分給5個小朋友?！庇秩缭S×,6歲5個月。實驗者在他解答第12題后接著問他:“28本書可以分給幾個小朋友?”“因為20本書——5個小朋友,(那末)24本書——6個小朋友,28本書——7個小朋友,可以分給7個小朋友?！睂嶒炚咭娝麑χ笜苏莆蛰^好,從難加試一題?！懊總€小朋友分得10個蘋果,80個蘋果能分給幾個小朋友?”他的回答是:“10個蘋果分給1個小朋友,20個蘋果分給2個小朋友,……80個蘋果分給8個小朋友?！?二)種認知條件中所處的地位和作用在本文中已經(jīng)指出,兒童解答包含除的成績主要因每份數(shù)和份數(shù)的多少的變化而受到影響。為了簡略地說明問題,我們參照圖1的分類結(jié)果,對補充實驗中的每份數(shù)和份數(shù)的數(shù)量變化,劃分為四種認知條件的組合。圖2是每個指標在四種認知條件中所處的地位和作用。從圖2中看到,當兒童對包含除的“分配”意義理解之后,在不同的認知條件下,理解每個指標的要求是不一樣的。在第一種條件下,即每份數(shù)為1,份數(shù)多于2時,是否理解第一項指標是主要矛盾。符合第一種條件的題目,有助于對第一項指標的理解。在第二種條件下,即當每份數(shù)多于2,份數(shù)最多為2時,是否理解第二項指標是正確解答的關(guān)鍵。要理解第二項指標,用符合第二種條件的題目訓練兒童比較適宜。關(guān)于第三項指標,它突出地表現(xiàn)在第三和第四種條件下。即是說,當每份數(shù)多于2,份數(shù)為3或多于3時,不理解第三項指標則難以正確解答。為了使兒童達到對第三項指標的理解,用符合第三和第四種條件的題目訓練兒童,效果要好些。三、關(guān)于6—在用非除法運算解答包含除的活動中,兒童理解數(shù)量關(guān)系的思維水平兒童在用非除法運算對包含除的問題作出正確解答的過程中,對包含除數(shù)量關(guān)系的理解有幾種思維水平。將在實驗中看到的多種解答方法,歸納為如下三種水平。即:(一)非算術(shù)運算的方法;(二)連加同數(shù)或連減同數(shù)的方法;(三)數(shù)的同數(shù)分解組成的方法。表2是補充實驗的一個結(jié)果,三種解答方法在不同題目類別的認知條件下的發(fā)展。非算術(shù)運算的方法。在圖示題條件下的表現(xiàn),以解答第4題為例。有的被試把每4朵花劃一個圈,數(shù)一數(shù)有幾個圈,則回答用幾個花瓶。有的被試在每4朵花后點一個小點作為標記,數(shù)一數(shù)有幾個小點,則回答要用幾個花瓶。有的被試在每4朵花后寫一個數(shù)字,開始數(shù)4朵花,寫上“1”,接著數(shù)4朵花,寫上“2”,直至最后4朵花,寫上“5”,可直接從最后一個數(shù)字來回答要用幾個花瓶。在文字題條件下的表現(xiàn),以解答“6里面有幾個2”這一題為例。有的被試用手比劃,見圖3。有的被試用畫圓點然后分份的方法進行。在應(yīng)用題條件下的表現(xiàn),以第12題的解答為例。有的被試是自己先畫出實物圖,其數(shù)目與題中總數(shù)相同,然后按每份數(shù)分份,最后數(shù)出有5份,則回答20本書能夠分給5個小朋友。有的被試是畫出代表實物的符號,如直線或圓點,然后分份和數(shù)一數(shù)有幾份來回答。連加同數(shù)或連減同數(shù)的方法,主要表現(xiàn)在文字題和應(yīng)用題的解答活動中。以解答第12題為例。有的被試是畫出代表實物的“壓縮性”符號,如一個圓點代表每份數(shù)的值,即4本書。一面畫圓點,一面作數(shù)的連加運算,畫出5個圓點,也就是4連加5次等于20,5個圓點表示20本書分給5個小朋友。有的被試不再畫圖,而是直接寫出每份數(shù)的值,寫上1個4,表示1個小朋友拿4本書,一面寫數(shù)字,一面作數(shù)的連加運算,寫上5個4,就是4連加5次等于20,表示20本書分給5個小朋友。有的被試能夠直接進行筆算,如4+4+4+4+4=20,或20-4-4-4-4-4=0這些被試的解答活動已從非算術(shù)運算的方法過渡到算術(shù)運算的方法。但是,實驗中觀察到,6—7歲兒童的算術(shù)運算能力還處在從逐一加算向按數(shù)群加算的發(fā)展過程中。數(shù)的同數(shù)分解組成的方法,主要表現(xiàn)在應(yīng)用題和文字題的解答活動中。如有的被試用“因為4加5次等于20,所以20本書分給5個小朋友”,或者“因為20里面有5個4,所以20本書可以分給5個小朋友”來回答第12題。又如解答“18里面有幾個3”這一題時,被試回答:“因為3個3合起來是9,9和9合起來是18,3個3再加3個3,共6個3,所以18里面有6個3。”從表2中看到,三種解答方法的正確題次,在全部正確題次中,分別為163,242,202。這說明6—7歲兒童用非除法運算解答包含除的解答方法中,連加同數(shù)或連減同數(shù)的方法上升為主導地位,數(shù)的同數(shù)分解組成的方法已有了一定的發(fā)展,而非算術(shù)運算的方法仍然是必需的。從三種解答方法的發(fā)展,可以看出6—7歲兒童掌握包含除數(shù)量關(guān)系的思維水平的發(fā)展。用非算術(shù)運算的方法進行解答時,思維表現(xiàn)為“物質(zhì)化”的,需要借助實物形象、符號象征的支持,在直覺行動思維水平和形象思維水平上把握總數(shù)包含多少份每份數(shù)這一關(guān)系。后來,經(jīng)過若干小階段,抽象能力提高了,“符號化”功能漸趨簡化,發(fā)展到用數(shù)字連加或連減的方法進行解答。這時,兒童對包含除數(shù)量關(guān)系的理解,從非算術(shù)運算到算術(shù)運算,從外部活動到內(nèi)部思維。以后,隨著運算技能的熟練,大腦對運算過程及其結(jié)果加以概括,達到用數(shù)的同數(shù)分解組成的方法進行解答。這種方法已趨向“口訣化”。這時兒童對總數(shù)包含多少份每份數(shù)這一關(guān)系的把握,已從“一步一步的”加減運算的比較擴展的思維,發(fā)展到“一步的”近似口訣運算的比較簡捷的思維。四、數(shù)的同數(shù)分解組成1.實驗結(jié)果指出,6—7歲兒童用非除法運算解答包含除的高級的方法是數(shù)的同數(shù)分解組成。我們知道,數(shù)的分解組成是兒童對數(shù)的部分與整體關(guān)系的認知的綜合表現(xiàn)。數(shù)的分解組成,是把看作為整體的一個數(shù)分解為二個或二個以上的部分數(shù),以及把幾個部分數(shù)組成為一個整體數(shù)。其中,把整體數(shù)分解為二個或二個以上的相同部分數(shù)及其組成,是數(shù)的分解組成的特殊形式,我們把它稱之為數(shù)的同數(shù)分解組成。它在加減運算中表現(xiàn)為連加同數(shù)或連減同數(shù)。當它與乘除相連系時,跟一般的連加連減就有所不同,出現(xiàn)了“份數(shù)”這一數(shù)量。這時,對數(shù)的部分與整體關(guān)系的認知,進入了一個新的發(fā)展階段,也是對數(shù)概念和運算概念的理解的進一步深化。因為,作為一個整體的數(shù),既可以通過數(shù)的不相同的部分數(shù)的分解組成去認識它,又可以通過數(shù)的相同的部分數(shù)的分解組成去認識它。應(yīng)該看到,數(shù)的同數(shù)分解組成,為兒童的運算概念從加減向乘除過渡,提供了轉(zhuǎn)換的可能。如果說,數(shù)的分解組成,是構(gòu)成加減運算的基礎(chǔ),那末,數(shù)的同數(shù)分解組成,則應(yīng)看作是構(gòu)成乘除運算的基礎(chǔ)。正如梅欽斯卡婭在《算術(shù)教學心理學》一書中曾經(jīng)指出,“應(yīng)當掌握數(shù)的組成知識,應(yīng)當分解被除數(shù),知道它與其它數(shù)的關(guān)系”,才能正確掌握除法。2.本實驗用總數(shù)、每份數(shù)和份數(shù)的相互關(guān)系來表示包含除的被除數(shù)、除數(shù)和商的相互關(guān)系。我們認為,乘法和等分除的數(shù)量關(guān)系也能同樣得以概括。總數(shù)、每份數(shù)和份數(shù)的相互關(guān)系是從乘法、等分除、包含除的數(shù)量關(guān)系中抽象概括出來的一種“基本結(jié)構(gòu)”、“基本原理”。如果學生在學習乘除之前,掌握總數(shù)、每份數(shù)和份數(shù)之間的相互關(guān)系,那末,在學習乘除時,對于理解乘法和加法的關(guān)系、除法和減法的關(guān)系、除法和乘法的關(guān)系、等分除和包含除的關(guān)系,可能會容易些,有利于加速掌握乘除概念。至于包含除應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系,例如總價、單價和數(shù)量的關(guān)系,