北京市昌平區(qū)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

北京市昌平區(qū)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，則下列選項(xiàng)中的兩個(gè)事件為互斥事件的是（）A.至多有1個(gè)白球；都是紅球 B.至少有1個(gè)白球；至少有1個(gè)紅球C.恰好有1個(gè)白球；都是紅球 D.至多有1個(gè)白球；至多有1個(gè)紅球2．“冰雹猜想”數(shù)列滿足：，，若，則（）A.4 B.3C.2 D.13．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A.250 B.210C.160 D.904．展開式的第項(xiàng)為（）A. B.C. D.5．已知橢圓是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，設(shè)以為對角線的橢圓內(nèi)接平行四邊形的一組鄰邊斜率分別為，則（）A.1 B.C. D.6．已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，是雙曲線上的點(diǎn)，軸，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.7．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一.如圖是一個(gè)窗花的圖案，以正六邊形各頂點(diǎn)為圓心、邊長為半徑作圓，陰影部分為其公共部分.現(xiàn)從該正六邊形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自于陰影部分的概率為（）A. B.C. D.8．已知隨機(jī)變量，且，，則為（）A.0.1358 B.0.2716C.0.1359 D.0.27189．設(shè)，“命題”是“命題”的（）A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)、，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點(diǎn)P為橢圓與雙曲線的交點(diǎn)，且，則當(dāng)取最大值時(shí)的值為（）A. B.C. D.11．為發(fā)揮我市“示范性高中”的輻射帶動(dòng)作用，促進(jìn)教育的均衡發(fā)展，共享優(yōu)質(zhì)教育資源．現(xiàn)分派我市“示范性高中”的5名教師到，，三所薄弱學(xué)校支教，開展送教下鄉(xiāng)活動(dòng)，每所學(xué)校至少分派一人，其中教師甲不能到學(xué)校，則不同分派方案的種數(shù)是（）A.150 B.136C.124 D.10012．用這3個(gè)數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則事件“這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)”與事件“這個(gè)三位數(shù)大于342”（）A.是互斥但不對立事件 B.不是互斥事件C.是對立事件 D.是不可能事件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知空間向量，，，若，，共面，則實(shí)數(shù)___________.14．若圓和圓的公共弦所在的直線方程為，則______15．已知向量，，且，則實(shí)數(shù)______.16．已知，，且，則的最小值為___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知曲線C的方程為（1）判斷曲線C是什么曲線，并求其標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線l交曲線C于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線l的方程18．（12分）如圖，在三棱錐中，底面，．點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）已知點(diǎn)在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長19．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若不等式在區(qū)間上恒成立，求k的取值范圍20．（12分）在二項(xiàng)式的展開式中；（1）若，求常數(shù)項(xiàng)；（2）若第4項(xiàng)的系數(shù)與第7項(xiàng)的系數(shù)比為，求：①二項(xiàng)展開式中的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和；②二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和21．（12分）如圖是一拋物線型機(jī)械模具的示意圖，該模具是拋物線的一部分且以拋物線的軸為對稱軸，已知頂點(diǎn)深度4cm，口徑長為12cm（1）以頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）為滿足生產(chǎn)的要求，需將磨具的頂點(diǎn)深度減少1cm，求此時(shí)該磨具的口徑長22．（10分）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=2，E，F(xiàn)分別為AD和PB的中點(diǎn).請用空間向量知識解答下列問題：（1）求證：EF//平面PDC；（2）求平面EFC與平面PBD夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)試驗(yàn)過程進(jìn)行分析，利用互斥事件的定義對四個(gè)選項(xiàng)一一判斷即可.【詳解】對于A：“至多有1個(gè)白球”包含都是紅球和一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“至多有1個(gè)白球”與“都是紅球”不是互斥事件.故A錯(cuò)誤；對于B：“至少有1個(gè)白球”包含都是白球和一紅一白，“至少有1個(gè)紅球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至少有1個(gè)白球”與“至少有1個(gè)紅球”不是互斥事件.故B錯(cuò)誤；對于C：“恰好有1個(gè)白球”包含一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“恰好有1個(gè)白球”與“都是紅球”是互斥事件.故C錯(cuò)誤；對于D：“至多有1個(gè)紅球”包含都是白球和一紅一白，“至多有1個(gè)白球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至多有1個(gè)白球”與“至多有1個(gè)紅球”不是互斥事件.故D錯(cuò)誤.故選：C2、A【解析】根據(jù)題意分別假設(shè)為奇數(shù)、偶數(shù)的情況，求出對應(yīng)的即可.【詳解】由題意知，因?yàn)?，若為奇?shù)時(shí)，，與為奇數(shù)矛盾，不符合題意；若為偶數(shù)時(shí)，，可得，符合題意.不符合故選：A3、B【解析】設(shè)為等比數(shù)列，由此利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和為能求出結(jié)果【詳解】設(shè)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為為等比數(shù)列，為等比數(shù)列，解得故選：B4、B【解析】由展開式的通項(xiàng)公式求解即可【詳解】因?yàn)?，所以展開式的第項(xiàng)為，故選：B5、C【解析】根據(jù)橢圓的對稱性和平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱兩點(diǎn)，所以不妨設(shè)，即，因?yàn)槠叫兴倪呅我彩侵行膶ΨQ圖形，所以也是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，所以不妨設(shè)，即，，得：，即，故選：C6、C【解析】根據(jù)條件可得與，進(jìn)而可得，，的關(guān)系，可得解.【詳解】由已知得，設(shè)點(diǎn)，由軸，則，代入雙曲線方程可得，即，又，所以，即，整理可得，故，解得或（舍），故選：C.7、D【解析】求得陰影部分的面積，結(jié)合幾何概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求的概率.【詳解】設(shè)正六邊形的邊長為，則其面積為.陰影部分面積為，故所求概率為.故選：D8、C【解析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可求概率.【詳解】由題設(shè)可得，，故選：C.9、A【解析】根據(jù)充分、必要條件的概念理解，可得結(jié)果.【詳解】由，則或所以“”可推出“或”但“或”不能推出“”故命題是命題充分且不必要條件故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查充分、必要條件的概念理解，屬基礎(chǔ)題.10、D【解析】由橢圓的定義及雙曲線的定義結(jié)合余弦定理可得，，的關(guān)系，由此可得，再利用重要不等式求最值，并求此時(shí)的的值.【詳解】設(shè)為第一象限的交點(diǎn)，、，則、，解得、，在中，由余弦定理得：，∴，∴，∴，∴，∴，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，此時(shí)故選：D11、D【解析】對甲所在組的人數(shù)分類討論即得解.【詳解】當(dāng)甲一個(gè)人去一個(gè)學(xué)校時(shí)，有種；當(dāng)甲所在的學(xué)校有兩個(gè)老師時(shí)，有種；當(dāng)甲所在的學(xué)校有三個(gè)老師時(shí)，有種；所以共有28+48+24=100種.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：排列組合常用方法有：簡單問題直接法、小數(shù)問題列舉法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、至少問題間接法、復(fù)雜問題分類法、等概率問題縮倍法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.12、B【解析】根據(jù)題意列舉出所有可能性，進(jìn)而根據(jù)各類事件的定義求得答案.【詳解】由題意，將2,3,4組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的情況有：{234,243,324,342,423,432}，其中偶數(shù)有{234,324,342,432}，大于342的有{423,432}.所以兩個(gè)事件不是互斥事件，也不是對立事件.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】根據(jù)向量共面，可設(shè)，先求解出的值，則的值可求.【詳解】因?yàn)椋?，共面且，不共線，所以可設(shè)，所以，所以，所以，所以，故答案為：1.14、【解析】由兩圓公共弦方程，將兩圓方程相減得到，結(jié)合已知列方程組求、，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，兩圓方程相減可得：，即為公共弦，∴，可得，∴.故答案為：.15、【解析】利用向量平行的條件直接解出.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，且，所以，解?故答案為：.16、25【解析】根據(jù)，，且，由，利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為25，故答案為：25三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)橢圓的定義即可判斷并求解；(2)根據(jù)點(diǎn)差法即可求解中點(diǎn)弦斜率和中點(diǎn)弦方程.【小問1詳解】設(shè)，，E(x，y)，∵，，且，點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓設(shè)橢圓C的方程為，記，則，，，，，曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】根據(jù)橢圓對稱性可知直線l斜率存在，設(shè)，則，由①－②得，，∴l(xiāng)：，即.18、（1）證明見解析；（2）；（3）或【解析】本小題主要考查直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角等基礎(chǔ)知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.首先要建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，證明線面平行只需求出平面的法向量，計(jì)算直線對應(yīng)的向量與法向量的數(shù)量積為0，求二面角只需求出兩個(gè)半平面對應(yīng)的法向量，借助法向量的夾角求二面角，利用向量的夾角公式，求出異面直線所成角的余弦值，利用已知條件，求出的值.試題解析：如圖，以A為原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.（1）證明：=（0，2，0），=（2，0，）.設(shè)，為平面BDE的法向量，則，即.不妨設(shè)，可得.又=（1，2，），可得.因?yàn)槠矫鍮DE，所以MN//平面BDE.（2）解：易知為平面CEM的一個(gè)法向量.設(shè)為平面EMN的法向量，則，因?yàn)?，，所?不妨設(shè)，可得.因此有，于是.所以，二面角C—EM—N的正弦值為.（3）解：依題意，設(shè)AH=h（），則H（0，0，h），進(jìn)而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.所以，線段AH的長為或.【考點(diǎn)】直線與平面平行、二面角、異面直線所成角【名師點(diǎn)睛】空間向量是解決空間幾何問題的銳利武器，不論是求空間角、空間距離還是證明線面關(guān)系利用空間向量都很方便，利用向量夾角公式求異面直線所成的角又快又準(zhǔn)，特別是借助平面的法向量求線面角，二面角或點(diǎn)到平面的距離都很容易.19、（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極大值為﹣1，無極小值（2）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，即可求出極值；（2）令，利用分離參數(shù)法得到，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減∴當(dāng)時(shí)，取得極大值﹣1所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減極大值為﹣1，無極小值【小問2詳解】由，得，令，只需.求導(dǎo)得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，∴k的取值范圍為20、（1）60（2）①1024；②1【解析】（1）根據(jù)二項(xiàng)式定理求解（2）根據(jù)二項(xiàng)式定理與條件求解，二項(xiàng)式系數(shù)之和為，系數(shù)和可賦值【小問1詳解】若，則，（，…，9）令∴∴常數(shù)項(xiàng)為.【小問2詳解】，（，…，），解得①②令，得系數(shù)和為21、（1）（2）cm【解析】（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得拋物線過點(diǎn)，將此點(diǎn)代入方程中可求出的值，從而可得拋物線方程，（2）設(shè)此時(shí)的口徑長為，則拋物線過點(diǎn)，代入拋物線方程可求出的值，從而可求得答案【小問1詳解】由題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)轫旤c(diǎn)深度4，口徑長為12，所以該拋物線過點(diǎn)，所以，得，所以拋物線方程為；【小問2詳解】若將磨具的頂點(diǎn)深度減少，設(shè)此時(shí)的口徑長為，則可得，得，所以此時(shí)該磨具的口徑長22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出平面的法向量，再求出，判斷是否與法垂直即可