半群的半群結(jié)構(gòu)

半群的半群結(jié)構(gòu)

0關(guān)于有限群的階段研究半組代換法理論是20世紀(jì)50年代發(fā)展起來的一個(gè)新代換法分支。它在自動(dòng)機(jī)理論,符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng),計(jì)算機(jī)科學(xué),組合數(shù)學(xué),代數(shù)表示論,算子代數(shù)和概率論等方面都有廣泛的應(yīng)用。群論是現(xiàn)代基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論和學(xué)科分支之一,它在數(shù)學(xué)本身以及現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的許多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。有限群論不管是從自身的理論研究,還是從它的實(shí)際應(yīng)用來說,都占據(jù)著突出的地位。近幾十年來,有限群的研究取得了一系列的重大成果。所以,有限群是近年來研究最活躍的一個(gè)代數(shù)學(xué)分支。至今,對(duì)有限群的結(jié)構(gòu)研究還遠(yuǎn)未完成,探索新的思想方法力爭(zhēng)取得新的突破顯得尤為迫切和重要。我們?cè)O(shè)G是有限群,在G的冪集P(G)={A∶A?G}上定義運(yùn)算:則容易證明P(G)在上述運(yùn)算下作成一個(gè)半群,我們稱它為有限群G的冪集半群,簡(jiǎn)稱為群冪集半群。關(guān)于一個(gè)代數(shù)的冪集半群的研究,開始于20世紀(jì)50年代。特別地,在文獻(xiàn)中,Tamura與Shafer對(duì)半群的冪集半群作了研究;在文獻(xiàn)中,Putahs對(duì)半群的冪集半群的半格分解作了研究。另一方面,在文獻(xiàn)中,JorgeAlmeida等人對(duì)半群的冪集算子及冪偽簇作了研究,并且在文獻(xiàn)中,JorgeAlmeida還列舉了一些冪集半群、冪集算子及冪偽簇的已被研究的性質(zhì)和還有待研究的一些問題。而且這兩方面的研究工作,一直持續(xù)到現(xiàn)在。現(xiàn)在我們著手建立有限群的冪集半群的概念與性質(zhì),進(jìn)而研究它的結(jié)構(gòu)。從而可以利用有限群的冪集半群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu),去研究有限群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)。我們認(rèn)為這是值得探索的新方法。本文首先給出了群冪半群P(G)的特殊子集與特殊元;然后研究了P(G)的Green關(guān)系,從而得到了P(G)的D-類結(jié)構(gòu),并且這一結(jié)論包含了文獻(xiàn)中給出的正則D-類的結(jié)論。本文未定義的術(shù)語及符號(hào)請(qǐng)參考文獻(xiàn),。1特殊子集和特殊元1.1子半群的區(qū)別—特殊子集從P(G)的定義出發(fā),為了書寫方便,我們分別記A{g},{g}A(A?G,g∈G)為Ag,gA。由于Υ∈P(G),以后記為0。令則P+(G)是P(G)的子半群。對(duì)g∈G有{g}∈P(G),以后也把{g}記為g。因此在文中,請(qǐng)讀者結(jié)合上下文區(qū)分是g∈G,還是g∈P(G)。設(shè)1是G的單位元,令容易證明P1(G)是P(G)的子半群,并且我們定義其中g(shù)∈G,并且P(G)是G的冪集。我們也很容易證明下列性質(zhì)的成立。命題1.1(1)設(shè)H是G的子群,則P(H)是P(G)的子半群;(2)設(shè)A∈P(G),g∈G,則1.2hpa的等元當(dāng)及其最適合的分布在一個(gè)半群中,冪等元具有很好的性質(zhì),某個(gè)時(shí)候還可以反映出半群的特征結(jié)構(gòu)。定理1.2H是P(G)的冪等元當(dāng)且僅當(dāng)H=0,或者H是G的子群。我們將P(G)的冪等元集記為E(G),則0,1,G∈E(G),并且顯然有0是P(G)的零元,1是P(G),P+(G),P1(G)的單位元,G是P+(G),P1(G)的零元。1.3r是pg逆元的假設(shè)在一個(gè)半群中,同冪等元一樣,正則元也反映了很好的性質(zhì),并且與冪等元有密切的聯(lián)系。定理1.3R是P(G)的正則元當(dāng)且僅當(dāng)存在H∈E(G),g∈G使R=gH。證明:(必要性)設(shè)R是P(G)的正則元。若R=0,則結(jié)論顯然成立。下面假設(shè)R≠0。則存在A∈P(G)使R=RAR。從而H=AR∈E(G),并且H≠0,即R=RH。又由于G是有限群,故即｜R｜=｜H｜。因此存在g∈G使R=gH。(充分性)若存在H∈E(G),g∈G使R=gH,則存在Hg-1∈P(G)使故R是P(G)的正則元。下面我們來看P(G)的逆元。定理1.4R是P(G)的逆元當(dāng)且僅當(dāng)R是P(G)的正則元。證明:必要性顯然成立,下證充分性。設(shè)R是P(G)的正則元,則由定理1.3知,存在進(jìn)而存在Hg-1=g-1Hg-1使得故R是P(G)的逆元。2pg與綠色關(guān)系2.1當(dāng)當(dāng)apg由于G是有限群,因此P(G)是有限的。假設(shè)｜G｜=k,則｜P(G)｜=2k,并且P(G)是周期半群。下面我們通過一般半群的Green關(guān)系的定義得到P(G)的Green關(guān)系。定理2.1設(shè)A,B∈P(G),則有,(5)ADB當(dāng)且僅當(dāng)AJB。證明:(1)若ALB,則存在C∈P(G),使得B=CA。顯然可以讓C≠0,取x∈C則同理可證｜A｜≥｜B｜。因此｜A｜=｜B｜。進(jìn)而由G的有限性知,B=xA。反之,若B=xA,則有A=x-1B。因此ALB。(2)、(3)同(1)可證。(4)AHB當(dāng)且僅當(dāng)ALBRA當(dāng)且僅當(dāng)存在x,y∈G使B=xA且B=Ay。(5)由于P(G)是周期半群,故ADB當(dāng)且僅當(dāng)AJB。2.2子群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)對(duì)任意半群S,設(shè)D是S的一個(gè)D-類,x∈D。假設(shè)I,Λ分別是D的R-類,L-類的指標(biāo)集。我們記D的R-類為Ri(i∈I),L-類為Lλ(λ∈Λ)。對(duì)i∈I,λ∈Λ,設(shè)Hi=Ri∩Lx和Hλ=Lλ∩Rx。則{Hi∶i∈I}是包含于Lx的所有H-類,和{Hλ∶λ∈Λ}是包含于Rx的所有H-類。設(shè){qλ∶λ∈Λ},{ri∶i∈I}是S1的元素族,并且使得i∈I,λ∈Λ。xqλ∈Hλ,rix∈Hi。我們稱三元對(duì)[x,{qλ∶λ∈Λ},{ri∶i∈I}]為D的標(biāo)架,而稱三元對(duì)[Hx,{qλ∶λ∈Λ},{ri∶i∈I}]為D的完全標(biāo)架。若D-類D包含有m個(gè)R-類和n個(gè)L-類,則由D的標(biāo)架知即分別是Rx,Lx的H-類構(gòu)成的集合的勢(shì)。因此D的完全標(biāo)架可以看成是由D的所有H-,R-,L-類構(gòu)成。事實(shí)上,設(shè)Hiλ=Ri∩Lλ,i∈I,λ∈Λ,則由Green引理有設(shè)A∈P(G),若A=0,顯然0所在的D-類D0={0}。因此下面的討論中,除特別說明外,始終假設(shè)A≠0。設(shè)B∈P+(G),下面我們定義兩個(gè)集合,BA={bA∶b∈B},AB={Ab∶b∈B}。顯然有A所在的L-類、R-類分別為進(jìn)而有A所在的H-類特別地當(dāng)是的子群時(shí)就是群G關(guān)于子群A的所有左陪集構(gòu)成的集合,AG就是群G關(guān)于子群A的所有右陪集構(gòu)成的集合。并且關(guān)于上面的兩個(gè)集合還有如下明顯的性質(zhì)。命題2.2設(shè)B∈P+(G),(1)若G是Abel群,則BA=AB;(2)設(shè)G是非Abel群,若A是G的正規(guī)子群,則BA=AB。我們可以在群G中定義下面兩個(gè)特殊的子集,則RG(A),LG(A)具有如下性質(zhì):(3)若A是G的子群,則(4)若G是Abel群,則證明(1)顯然RG(A)≠0,因?yàn)?∈RG(A)。?x1,x2∈RG(A),則存在y1,y2∈G使得進(jìn)而Ax1x2=y1Ax2=y1y2A,故x1x2∈RG(A)。又由于G是有限群,因此RG(A)是G的子群。同理可證,LG(A)也是G的子群。進(jìn)而y∈LG(A),并且yA=Ax∈LG(A)A。因此ARG(A)LG(A)A。同理可證LG(A)A?ARG(A)。下面證明LG(A)A=(GA)∩(AG)。由ARG(A)=LG(A)A知,LG(A)A(GA)∩(AG)。對(duì)B∈(GA)∩(AG),存在x,y∈G使因此x∈LG(A),即B=xA∈LG(A)A。故(GA)∩(AG)LG(A)A。設(shè)G∶LG(A)=m,G∶LG(A)=n。又設(shè)群G關(guān)于關(guān)于子群LG(A)的左陪集代表系為{ri∶i=1,…,m},和子群RG(A)的右陪集代表系為{qλ∶λ=1,…,n},其中取q1=r1=1。下面我們對(duì)x∈G,A,B?G定義命題2.5(1)ri(LG(A)A)∩rj(LG(A)A)=Φ當(dāng)且僅當(dāng)i≠j;證明(1)充分性顯然成立,下證必要性。若i≠j,即ri≠rj。進(jìn)而ri-1rjLG(A)。假設(shè)因此ri-1rj∈LG(A)。這與ri-1rjLG(A)矛盾。(2)同(1)可證。另一方面,由于所以對(duì)?Ax∈AG,存在λ∈{1,…,n},使得x∈RG(A)qλ,即存在y∈RG(A)使得x=yqλ。(4)同(3)可證。(5)顯然有。又由命題定理2.6(D-類的結(jié)構(gòu))設(shè)D是P(G)的D-類,A∈D,則存在y∈G使得x2A=yx1A。進(jìn)而即rix1ALrix2A。由于在半群中,R-關(guān)系是左同余,則顯然有rix1ARrix2A。因此rix1AHrix2A,即存在LA的一個(gè)H-類H′,使得ri(LG(A)A)H′。利用文獻(xiàn)[1,chapter2,Lemma2.3]容易證明,同理可證,D有n個(gè)L-類,并且λ∈{1,…,m},綜上所述,把{qλ∶λ=1,…,n},{ri∶i=1,…,m}作為P(G)的元素族,并且因此[A,{qλ∶λ=1,…,n},{ri∶i=1,…,m}]是D的標(biāo)架。推論2.7(正則S-類的結(jié)構(gòu))設(shè)D是P(G)的D-類,則有D是正則的當(dāng)且僅當(dāng)E(A)≠Υ。因此,存在H∈E(D),并且有證明:充要條件由半群的正則D-類的性質(zhì)立即可得,并且(1)是顯然的,下面我們只證明(2)。由H∈E(D)知,H是G的子群。由命題2.3可得,RG(H)=LG(H)=NG(H)。取{x1∶i=1,…,m}(x1=1)為群G關(guān)于子群NG(H)的右陪集代表系。則{xi-1∶i=1,…,m}為群G關(guān)于子群NG(H)的左陪集代表系。因此由定理2.6有致謝:本文在撰寫過程中得到了我們的導(dǎo)師游泰杰教授,指導(dǎo)教師李先崇副教授,和徐波副教授的悉心指導(dǎo)gP(A)=P(gA),P(A)g=P(Ag)。證明:H是P(G)的冪等元在有限群G中,H2=H?H=0,或者H是G的子群。(1)ALB當(dāng)且僅當(dāng)存在x∈G使B=xA;(2)ARB當(dāng)且僅當(dāng)存在y∈G使B=Ay;(3)AJB當(dāng)且僅當(dāng)存在x,y∈G使B=xAy;(4)AHB當(dāng)且僅當(dāng)存在x,y∈G使B=xA=Ay;證明(1)由群的交換性顯然成立。(2)由子群的正規(guī)性立即可得。命題2.3(1)RG(A),LG(A)是G的子群;(2)NG(A)?RG(A)∩LG(A);RG(A)=LG(A)=NG(A);RG(A)=RG(A)=G。(2)、(3)、(4)顯然成立。命題2.4ARG(A)=證明:先證ARG(A)=LG(A)A。對(duì)?Ax∈ARG(A),存在y∈G使H∈E(G),g∈G使R=gH。由命題2.4有進(jìn)而存在使得(3)顯然有2.4d為多模類,且級(jí)為0,其又為0(6)同(5)可證。(1)若A=