三角形輔助線的添加方法和經(jīng)典習(xí)題和答案

1-2- 龍文教育·教育 一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，若直接證不出來，可連接兩點或延長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1：已知如圖1-1：D、E為△ABC內(nèi)兩點,求證:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.證明：（法一）將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N，在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE;（1）在△BDM中，MB＋MD＞BD；（2）在△CEN中，CN＋NE＞CE；（3）由（1）＋（2）＋（3）得：AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC（法二：）如圖1-2，延長BD交AC于F，延長CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：AB＋AF＞BD＋DG＋GF

（三角形兩邊之和大于第三邊）（1）GF＋FC＞GE＋CE（同上）………………（2）DG＋GE＞DE（同上）……（3）由（1）＋（2）＋（3）得：AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1：已知D為△ABC內(nèi)的任一點，求證：∠BDC＞∠BAC。分析：因為∠BDC與∠BAC不在同一個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長BD交AC于點E，這時∠BDC是△EDC的外角，∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∴∠BDC＞∠BAC證法二：連接AD，并延長交BC于F∵∠BDF是△ABD的外角∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD即：∠BDC＞∠BAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖3-1：已知AD為△ABC的中線，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求證：BE＋CF＞EF。分析：要證BE＋CF＞EF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個三角形中，而由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同一個三角形中。證明：在DA上截取DN＝DB，連接NE，NF，則DN＝DC，在△DBE和△DNE中：∵∴△DBE≌△DNE（SAS）∴BE＝NE（全等三角形對應(yīng)邊相等）同理可得：CF＝NF在△EFN中EN＋FN＞EF（三角形兩邊之和大于第三邊）∴BE＋CF＞EF。注意：當證題有角平分線時，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的性質(zhì)得到對應(yīng)元素相等。四、有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖4-1：AD為△ABC的中線，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：BE＋CF＞EF證明：延長ED至M，使DM=DE，連接CM，MF。在△BDE和△CDM中，∵∴△BDE≌△CDM（SAS）又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定義）∴∠3＋∠2=90°即：∠EDF＝90°∴∠FDM＝∠EDF＝90°在△EDF和△MDF中∵∴△EDF≌△MDF（SAS）∴EF＝MF（全等三角形對應(yīng)邊相等）∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形兩邊之和大于第三邊）∴BE＋CF＞EF注：上題也可加倍FD，證法同上。注意：當涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。五、有三角形中線時，常延長加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖5-1：AD為△ABC的中線，求證：AB＋AC＞2AD。分析：要證AB＋AC＞2AD，由圖想到：AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左邊比要證結(jié)論多BD＋CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去。證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，則AE＝2AD∵AD為△ABC的中線（已知）∴BD＝CD（中線定義）在△ACD和△EBD中∴△ACD≌△EBD（SAS）∴BD＝CF（全等三角形對應(yīng)邊相等）∴BD＝2CE十、連接已知點，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖10-1；AC、BD相交于O點，且AB＝DC，AC＝BD，求證：∠A＝∠D。分析：要證∠A＝∠D，可證它們所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB＝DC和對頂角兩個條件，差一個條件，，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若連接BC，則△ABC和△DCB全等，所以，證得∠A＝∠D。證明：連接BC，在△ABC和△DCB中∵∴△ABC≌△DCB(SSS)∴∠A＝∠D(全等三角形對應(yīng)邊相等)十一、取線段中點構(gòu)造全等三有形。例如：如圖11-1：AB＝DC，∠A＝∠D求證：∠ABC＝∠DCB。分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中點N，連接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需證∠NBC＝∠NCB，再取BC的中點M，連接MN，則由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。問題得證。證明：取AD，BC的中點N、M，連接NB，NM，NC。則AN=DN，BM=CM，在△ABN和△DCN中∵∴△ABN≌△D