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安徽省馬鞍山市含山中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖所示,直三棱柱中,,,分別是,的中點(diǎn),,則與所成角的余弦值為()A. B.C. D.2.已知命題,,若是一個(gè)充分不必要條件,則的取值范圍是()A. B.C. D.3.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于不同的兩點(diǎn),則的值為A.2 B.1C. D.44.已知向量,且與互相垂直,則k=()A. B.C. D.5.某城市2017年的空氣質(zhì)量狀況如下表所示:污染指數(shù)3060100110130140概率其中污染指數(shù)時(shí),空氣質(zhì)量為優(yōu);時(shí),空氣質(zhì)量為良;時(shí),空氣質(zhì)量為輕微污染,該城市2017年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為()A. B.C. D.6.某老師希望調(diào)查全校學(xué)生平均每天的自習(xí)時(shí)間.該教師調(diào)查了60位學(xué)生,發(fā)現(xiàn)他們每天的平均自習(xí)時(shí)間是3.5小時(shí).這里的總體是()A.楊高的全校學(xué)生;B.楊高的全校學(xué)生的平均每天自習(xí)時(shí)間;C.所調(diào)查的60名學(xué)生;D.所調(diào)查的60名學(xué)生的平均每天自習(xí)時(shí)間.7.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題:“今有俸糧三百零五石,令五等官(正一品、從一品、正二品、從二品、正三品)依品遞差十三石分之,問(wèn),各若干?”其大意是,現(xiàn)有俸糧石,分給正一品、從一品、正二品、從二品、正三品這位官員,依照品級(jí)遞減石分這些俸糧,問(wèn),每個(gè)人各分得多少俸糧?在這個(gè)問(wèn)題中,正三品分得俸糧是()A.石 B.石C.石 D.石8.等差數(shù)列中,,則前項(xiàng)的和()A. B.C. D.9.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,M是拋物線上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作MN⊥l于N.若△MNF是邊長(zhǎng)為2的正三角形,則p=()A. B.C.1 D.210.在等差數(shù)列中,已知,則數(shù)列的前6項(xiàng)之和為()A.12 B.32C.36 D.7211.若雙曲線的漸近線方程為,則的值為()A.2 B.3C.4 D.612.已知直線l:,則下列結(jié)論正確的是()A.直線l的傾斜角是B.直線l在x軸上的截距為1C.若直線m:,則D.過(guò)與直線l平行的直線方程是二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.曲線的一條切線的斜率為,該切線的方程為_(kāi)_______.14.若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是,則__________15.已知為拋物線上任意一點(diǎn),為拋物線的焦點(diǎn),為平面內(nèi)一定點(diǎn),則的最小值為_(kāi)_________.16.定義點(diǎn)到曲線的距離為該點(diǎn)與曲線上所有點(diǎn)之間距離的最小值,則點(diǎn)到曲線距離為_(kāi)__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知圓C1圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),且與直線相切(1)求圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線l過(guò)點(diǎn)M(1,2),直線l被圓C1所截得的弦長(zhǎng)為,求直線l的方程18.(12分)一個(gè)盒中裝有編號(hào)分別為、、、的四個(gè)形狀大小完全相同的小球.(1)從盒中任取兩球,列出所有的基本事件,并求取出的球的編號(hào)之和大于的概率;(2)從盒中任取一球,記下該球的編號(hào),將球放回,再?gòu)暮兄腥稳∫磺?,記下該球的編?hào),列出所有的基本事件,并求的概率.19.(12分)已知數(shù)列,若_________________(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上,然后對(duì)題目進(jìn)行求解①;②,,;③,點(diǎn),在斜率是2的直線上20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(Ⅰ)寫出橢圓C的普通方程和直線l的傾斜角;(Ⅱ)若點(diǎn)P(1,2),設(shè)直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),求|PA|·|PB|的值21.(12分)命題:函數(shù)有意義;命題:實(shí)數(shù)滿足.(1)當(dāng)且為真時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若是的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知橢圓的離心率為,橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合,過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)若以為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】取的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為,然后可得或其補(bǔ)角即為與所成角,然后在中求出答案即可.【詳解】取的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為,,,所以或其補(bǔ)角即為與所成角,設(shè),則,,在,,故選:A2、A【解析】先化簡(jiǎn)命題p,q,再根據(jù)是的一個(gè)充分不必要條件,由q求解.【詳解】因?yàn)槊},或,又是的一個(gè)充分不必要條件,所以,解得,所以的取值范圍是,故選:A3、D【解析】本題首先可以通過(guò)直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)確定直線的斜率存在,然后設(shè)出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立,求出以及的值,然后通過(guò)拋物線的定義將化簡(jiǎn),最后得出結(jié)果【詳解】因?yàn)橹本€交拋物線于不同的兩點(diǎn),所以直線的斜率存在,設(shè)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線方程為,由可得,,因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為,所以根據(jù)拋物線的定義可知,,所以,綜上所述,故選D【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的相關(guān)性質(zhì),主要考查了拋物線的定義、過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線相交的相關(guān)性質(zhì),考查了計(jì)算能力,是中檔題4、C【解析】利用垂直的坐標(biāo)表示列方程求解即可.【詳解】由與互相垂直得,解得故選:C.5、A【解析】根據(jù)互斥事件的和的概率公式求解即可.【詳解】由表知空氣質(zhì)量為優(yōu)的概率是,由互斥事件的和的概率公式知,空氣質(zhì)量為良的概率為,所以該城市2017年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率,故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了互斥事件,互斥事件和的概率公式,屬于中檔題.6、B【解析】由總體的概念可得答案.【詳解】某老師希望調(diào)查全校學(xué)生平均每天的自習(xí)時(shí)間,該教師調(diào)查了60位學(xué)生,發(fā)現(xiàn)他們每天的平均自習(xí)時(shí)間是3.5小時(shí),這里的總體是全校學(xué)生平均每天的自習(xí)時(shí)間.故選:B.7、D【解析】令位官員(正一品、從一品、正二品、從二品、正三品)所分得的俸糧數(shù)是公差為數(shù)列,利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求,進(jìn)而求出正三品即可.【詳解】正一品、從一品、正二品、從二品、正三品這位官員所分得的俸糧數(shù)記為數(shù)列,由題意,是以為公差的等差數(shù)列,且,解得.故正三品分得俸糧數(shù)量為(石).故選:D.8、D【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可求得,根據(jù)等差數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】數(shù)列為等差數(shù)列,,解得:;.故選:D.9、C【解析】根據(jù)正三角形的性質(zhì),結(jié)合拋物線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示:準(zhǔn)線l與橫軸的交點(diǎn)為,由拋物線的性質(zhì)可知:,因?yàn)槿簟鱉NF是邊長(zhǎng)為2的正三角形,所以,,顯然,在直角三角形中,,故選:C10、C【解析】利用等差數(shù)列的求和公式結(jié)合角標(biāo)和定理即可求解.【詳解】解:等差數(shù)列中,所以等差數(shù)列的前6項(xiàng)之和為:故選:C.11、A【解析】根據(jù)雙曲線方程確定焦點(diǎn)位置,再根據(jù)漸近線方程為求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線所以焦點(diǎn)在x軸上,又因?yàn)闈u近線方程為,所以,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì),還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】A.將直線方程的一般式化為斜截式可得;B.令y=0可得;C.求出直線m斜率即可判斷;D.設(shè)要求直線的方程為,將代入即可.【詳解】根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng):對(duì)于A,直線l:,即,其斜率,則傾斜角是,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,直線l:,令y=0,可得,l在x軸上的截距為,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,直線m:,其斜率,,故直線m與直線l不垂直,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,設(shè)要求直線的方程為,將代入,可得t=0,即要求直線為,D正確;故選:D二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】使用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式求得切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值,并根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義等于切線斜率求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo),進(jìn)而得到切點(diǎn)坐標(biāo),然后利用點(diǎn)斜式求出切線方程即可.【詳解】的導(dǎo)數(shù)為,設(shè)切點(diǎn)為,可得,解得,即有切點(diǎn),則切線的方程為,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的加法運(yùn)算,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,和求切線方程,難度不大,關(guān)鍵是正確的使用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式求得切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值,14、0【解析】由函數(shù),又由,則,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),即可求解函數(shù)的最大值,得到答案.【詳解】由函數(shù),因?yàn)?,所以,?dāng)時(shí),則,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦函數(shù)的性質(zhì),以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),其中解答中根據(jù)余弦函數(shù),轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,著重考查了轉(zhuǎn)化思想,以及推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、3【解析】利用拋物線的定義,再結(jié)合圖形即求.【詳解】由題可得拋物線的準(zhǔn)線為,設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為,則根據(jù)拋物線的定義可知,∴要求取得最小值,即求取得最小,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小,為.故答案為:3.16、2【解析】設(shè)出曲線上任意一點(diǎn),利用兩點(diǎn)間距離公式表達(dá)出,利用基本不等式求出最小值.【詳解】當(dāng)時(shí),顯然不成立,故,此時(shí),設(shè)曲線任意一點(diǎn),則,其中,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)即為最小值.故答案為:2三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)或【解析】(1)由圓心到直線的距離求得半徑,可得圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),求得直線l被圓C1所截得的弦長(zhǎng)為,符合題意;當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)出直線方程,由已知弦長(zhǎng)可得圓心到直線的距離,再由點(diǎn)到直線的距離公式列式求k,則直線方程可求【小問(wèn)1詳解】∵原點(diǎn)O到直線的距離為,∴圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為;【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線方程為x=1,代入,得,即直線l被圓C1所截得的弦長(zhǎng)為,符合題意;當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為,即∵直線l被圓C1所截得的弦長(zhǎng)為,圓的半徑為2,則圓心到直線l的距離,解得∴直線l的方程為,即綜上,直線l的方程為或18、(1)基本事件答案見(jiàn)解析,概率為;(2)基本事件答案見(jiàn)解析,概率為.【解析】(1)利用列舉法列舉出所有的基本事件,并確定事件“取出的球的編號(hào)之和大于”所包含的基本事件數(shù),利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果;(2)利用列舉法列舉出所有的基本事件,并確定事件“”所包含的基本事件數(shù),利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果.【詳解】(1)記“從盒中任取兩球,取出球的編號(hào)之和大于”為事件,樣本點(diǎn)表示“從盒中取出、號(hào)球”,且和表示相同的樣本點(diǎn)(以此類推),則樣本空間為,則,根據(jù)古典概型可知,從盒中任取兩球,取出球的編號(hào)之和大于的概率為;(2)記“”為事件,樣本點(diǎn)表示第一次取出號(hào)球,將球放回,從盒中取出號(hào)球(以此類推),則樣本空間,則,所以,故事件“”的概率為.19、答案見(jiàn)解析.【解析】(1)若選①,根據(jù)通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和的關(guān)系求解通項(xiàng)公式即可;若選②,根據(jù)可得數(shù)列為等差數(shù)列,利用基本量法求解通項(xiàng)公式即可;若選③,根據(jù)兩點(diǎn)間的斜率公式可得,可得數(shù)列為等差數(shù)列進(jìn)而求得通項(xiàng)公式;(2)利用裂項(xiàng)相消求和即可【詳解】解:(1)若選①,由,所以當(dāng),,兩式相減可得:,而在中,令可得:,符合上式,故若選②,由(,)可得:數(shù)列為等差數(shù)列,又因?yàn)?,,所以,即,所以若選③,由點(diǎn),在斜率是2的直線上得:,即,所以數(shù)列為等差數(shù)列且(2)由(1)知:,所以20、(I)見(jiàn)解析;(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)利用平方法消去θ得到橢圓C的普通方程為,根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義求出直線的斜率,從而可得結(jié)果;(Ⅱ)把直線的方程,代入中,利用直線參數(shù)方程的幾何意義求出直線的斜率結(jié)合韋達(dá)定理可得結(jié)果.試題解析:(Ⅰ)消去θ得到橢圓C的普通方程為∵直線的斜率為,∴直線l的傾斜角為(Ⅱ)把直線的方程,代入中,得即,∴t1·t2=4,即|PA|·|PB|=421、(1);(2)【解析】(1)首先將命題,化簡(jiǎn),然后由為真可得,均為真,取交集即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)將是的充分不必要條件轉(zhuǎn)化為是的必要不充分條件,進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】(1)若命題為真,則,解得,當(dāng)時(shí),命題,若命題為真,則,解得,所以,因?yàn)闉檎?,所以,均為真,所以,所以,所以?shí)數(shù)的取值范圍為(2)因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件,所以是的必要不充分條件,所以,所以或,所以,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)真值表判斷復(fù)合命題中的單個(gè)命題的真假,根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)的取值范圍,同時(shí)考查一元二次不等式的解法,分式不等式的解法.第(2)問(wèn)關(guān)鍵是將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合間的真包含關(guān)系22、(1);(2)【解析】(1)由離心率得到,由橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合,得到,進(jìn)而可求出結(jié)果;(2
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