遼寧省2022-2023學年高一上學期期末考試數學試題（含解析）

高一上學期期末數學試題考試時間：120分鐘滿分：150分第I卷(選擇題，共60分)一、單項選擇題(本小題共8小題，每小題5分，共40分，每小題只有一個選項符合要求)1.已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則實數SKIPIF1<0的取值范圍為()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】利用交集定義直接求解．【詳解】由集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴實數a取值范圍為：SKIPIF1<0．故選：C2.對任意實數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列命題中真命題是()A.“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充要條件B.“SKIPIF1<0是無理數”是“SKIPIF1<0是無理數”的充要條件C.“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分條件D.“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分條件【答案】B【解析】【分析】通過反例可知ACD錯誤；根據充要條件和必要條件的定義可知B正確.【詳解】對于A，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時可以SKIPIF1<0，必要性不成立，A錯誤；對于B，當SKIPIF1<0為無理數時，根據SKIPIF1<0為有理數，可知SKIPIF1<0為無理數，充分性成立；當SKIPIF1<0為無理數時，根據SKIPIF1<0為有理數可得SKIPIF1<0為無理數，必要性成立；SKIPIF1<0“SKIPIF1<0是無理數”是“SKIPIF1<0是無理數”的充要條件，B正確；對于C，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，但是SKIPIF1<0，故“SKIPIF1<0”不是“SKIPIF1<0”的充分條件，C錯誤；對于D，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，但是SKIPIF1<0，所以“SKIPIF1<0”不是“SKIPIF1<0”的充分條件，D錯誤.故選：B.3.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】根據指數函數以及對數函數的性質，確定a,b,c的范圍，即可比較大小，可得答案.【詳解】由函數SKIPIF1<0為增函數可知SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0為增函數可得SKIPIF1<0，由由SKIPIF1<0為增函數可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：D4.某數學競賽有5名參賽者，需要解答五道綜合題，這五個人答對的題數如下：3，5，4，2，1，則這組數據的60%分位數為()A.3 B.3.5 C.4 D.4.5【答案】B【解析】【分析】首先將數據從小到大排列，求得SKIPIF1<0，則第SKIPIF1<0分位數為第SKIPIF1<0個數與第SKIPIF1<0個數的平均數，即可得解.【詳解】解：這五人答對的題數從小到大排列為：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以第SKIPIF1<0分位數為SKIPIF1<0.故選：B5.函數SKIPIF1<0的反函數SKIPIF1<0的定義域為()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】根據反函數的定義域為原函數的值域，先求出原函數的值域，即可得出答案.詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0反函數的定義域為原函數的值域，SKIPIF1<0反函數SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，故選：D.6.在同一坐標系內，函數SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的圖象可能是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據冪函數的圖象與性質，分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0討論，利用排除法，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，若SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0遞增，此時SKIPIF1<0遞增，排除D；縱軸上截距為正數，排除C，即SKIPIF1<0時，不合題意；若SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0遞減，又由SKIPIF1<0遞減可排除A，故選B.【點睛】本題主要考查了冪函數的圖象與性質的應用，其中解答中熟記冪函數的圖象與性質是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.7.已知SKIPIF1<0，則()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】由SKIPIF1<0確定出1<a<2，再由SKIPIF1<0轉化可得b的取值情況而得解.【詳解】因SKIPIF1<0則，a>1，此時SKIPIF1<0，則有a<2，即1<a<2，又SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，b<1，所以SKIPIF1<0.故選：C8.已知函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則實數SKIPIF1<0的取值范圍是()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】根據題意得到SKIPIF1<0，根據函數單調性得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到不等式，求出實數SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.【詳解】若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，故只需SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，實數SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：C二、多項選擇題(本小題共4道題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有錯誤答案得0分)9.設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是兩個非零向量，則下列描述錯誤的有()A.若SKIPIF1<0，則存在實數SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.B.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.C.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0反向.D.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0一定同向【答案】ACD【解析】【分析】根據向量加法的意義判斷選項A，C；根據平面向量加法的平行四邊形法則可判斷選項B；根據平面向量平行的性質可判斷選項D.【詳解】對于選項A：當SKIPIF1<0，由向量加法的意義知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方向相反且SKIPIF1<0，則存在實數SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，故選項A錯誤；對于選項B：當SKIPIF1<0，則以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為鄰邊的平行四邊形為矩形，且SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是這個矩形的兩條對角線長，則SKIPIF1<0，故選項B正確；對于選項C：當SKIPIF1<0，由向量加法的意義知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方向相同，故選項C錯誤；對于選項D：當SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同向或反向，故選項D錯誤；綜上所述：選項ACD錯誤，故選：ACD.10.某校組織全體高一學生參加了主題為“青春心向黨，奮斗正當時”的知識競賽，隨機抽取了100名學生進行成績統(tǒng)計，發(fā)現抽取的學生的成績都在50分至100分之間，進行適當分組后(每組的取值區(qū)間均為左閉右開)，畫出頻率分布直方圖(如圖)，下列說法正確的是()(小數點后保留一位)A.在被抽取的學生中，成績在區(qū)間SKIPIF1<0內的學生有20人B.這100名學生的平均成績?yōu)?4分C.估計全校學生成績的中位數為86.7D.估計全校學生成績的樣本數據的70%分位數為91.5【答案】BC【解析】【分析】由頻率和為1可求解x，再由頻率分布直方圖的頻率計算人數和中位數、平均成績，根據百分數定義計算70%分位數，對選項逐個判斷.【詳解】對于A，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以成績在區(qū)間SKIPIF1<0內的學生人數為SKIPIF1<0，故A不正確；對于B，平均成績?yōu)镾KIPIF1<0分，故B正確；對于C，設中位數為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故C正確；對于D，設樣本數據的70%分位數約為SKIPIF1<0分，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故D不正確.故選：BC.11.在邊長為4的正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0在正方形(含邊)內，滿足SKIPIF1<0，則下列結論正確的是()A.若點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上時，則SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0C.若點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上時，SKIPIF1<0D.當SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上時，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0【答案】AD【解析】【分析】根據題意建立平面直角坐標系，然后利用向量的線性坐標運算逐個分析判斷即可.詳解】如圖建立平面直角坐標系，則SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，對于A，由題意可得線段SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以A正確，對于B，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以B錯誤，對于C，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不滿足，所以SKIPIF1<0不成立，所以C錯誤，對于D，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取等號，所以當SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上時，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，所以D正確，故選：AD12.已知函數SKIPIF1<0，則()A.SKIPIF1<0的定義域是SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0是偶函數C.SKIPIF1<0是單調增函數D若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0【答案】AC【解析】【分析】根據對數函數確定函數定義域即可判斷選項A，利用函數奇偶性定義判斷選項B，結合復合函數的單調性、函數單調性性質即可判斷選項C，由單調性解不等式即可判斷選項D.【詳解】解：函數SKIPIF1<0的定義域滿足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的定義域是SKIPIF1<0，故A正確；所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是非奇非偶函數，故B不正確；由于函數SKIPIF1<0，由復合函數單調性可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為單調增函數，又函數SKIPIF1<0，由復合函數單調性可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為單調增函數，所以SKIPIF1<0是單調增函數，故C正確；由SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的單調增函數，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故D不正確.故選：AC.第II卷(選擇題，共90分)三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13.已知SKIPIF1<0的范圍為SKIPIF1<0,且每個隨機變量對應概率相等，(1)SKIPIF1<0______；(2)若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______.【答案】①.SKIPIF1<0②.SKIPIF1<0【解析】【分析】分析符合題意的SKIPIF1<0取值情況再計算概率.【詳解】SKIPIF1<0且SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0取值為16,36,46，故SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.14.已知函數SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的增函數，則SKIPIF1<0的取值范圍是______.【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】由已知，要想保證函數SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的增函數，需滿足分段函數兩部分在各自區(qū)間上單調遞增，然后再滿足連續(xù)單增，即比較當SKIPIF1<0時，左邊函數的最大值小于等于右邊函數的最小值，列式即可完成求解.【詳解】由已知，函數SKIPIF1<0是定義為在SKIPIF1<0上的增函數，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為單調遞增函數，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為單調遞增函數，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<015.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均大于0)，則SKIPIF1<0的值為______.【答案】15【解析】【分析】利用平面向量基本定理和向量三角形法則，可表示SKIPIF1<0，進而求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值，即可求出結果.【詳解】如圖所示，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，①在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，代入①，得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.16.已知函數SKIPIF1<0，(1)當方程SKIPIF1<0有三個不同的實根，SKIPIF1<0______，.(2)當方程SKIPIF1<0有四個不同的實根，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是______.【答案】①.0或2##2或0②.12【解析】【分析】(1)畫出函數圖像直接得到答案；(2)從圖像觀察出SKIPIF1<0分別是函數SKIPIF1<0和SKIPIF1<0自變量，SKIPIF1<0是函數SKIPIF1<0的兩個自變量，代入化簡求解.【詳解】當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0畫圖為觀察圖像發(fā)現當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，有三個不同的實根；觀察圖像發(fā)現當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0個不同的實根，SKIPIF1<0，并且SKIPIF1<0SKIPIF1<0分別是函數SKIPIF1<0和SKIPIF1<0自變量，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0；SKIPIF1<0是函數SKIPIF1<0的兩個自變量，又因為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故SKIPIF1<0故答案為：0或2；12四、解答題(本題共6小題，共70分.解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)17.(1)當SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0的值.(2)化簡求值：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【解析】【分析】(1)根據指數的運算，代入計算即可得到結果；(2)根據對數的運算，代入計算即可得到結果.【詳解】(1)因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0(2)原式SKIPIF1<018.為了更好了解新高一男同學的身高情況，某校高一年級從男同學中隨機抽取100名新生，分別對他們的身高進行了測量，并將測量數據分為以下五組：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0進行整理，如下表所示：組號分組頻數第1組SKIPIF1<05第2組SKIPIF1<035第3組SKIPIF1<030第4組SKIPIF1<020第5組SKIPIF1<010合計100(1)在答題紙中，畫出頻率分布直方圖：(2)若在第3，4兩組中，用分層抽樣的方法抽取5名新生，再從這5名新生中隨機抽取2名新生進行體能測試，求這2名新生來自不同組的概率.【答案】(1)作圖見解析(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)根據表中數據補全頻率分布直方圖即可求解；(2)根據分層抽樣先求出兩組抽取的人員數并對這5名人員進行標記，然后列出所有的基本事件個數，根據古典概型的概率公式即可求解.【小問1詳解】頻率分布直方圖如下圖所示：【小問2詳解】因為第3，4組共有50名新生，所以利用分層抽樣從中抽取5名，每組應抽取的人數分別為：第3組：SKIPIF1<0名，第4組：SKIPIF1<0名，設第3組抽取的3名新生分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，第4組抽取的2名新生分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.從這5名新生中隨機抽取2名新生，有以下10種情況：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0這2名新生來自不同組的情況有以下6種：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故所求的概率SKIPIF1<0.19.已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0為何值時，(1)求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行？平行時它們是同向還是反向？【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)平行，反向.【解析】【分析】(1)直接由向量的數乘，坐標加減法運算，以及向量模的計算公式求解；(2)利用向量平行的條件即可求出SKIPIF1<0的值，再判斷結論即可.【小問1詳解】向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【小問2詳解】若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行，則存在實數SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0，這時SKIPIF1<0，所以它們平行，且反向.20.設函數SKIPIF1<0(SKIPIF1<0且SKIPIF1<0)是定義域為SKIPIF1<0的奇函數.(1)求實數SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值為SKIPIF1<0，求實數SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)根據奇函數SKIPIF1<0求解即可；(2)根據SKIPIF1<0求出a的值，再求出SKIPIF1<0，利用換元法得到SKIPIF1<0，再分為SKIPIF1<0時，和SKIPIF1<0時兩種情況求解即可.【小問1詳解】SKIPIF1<0是定義域為SKIPIF1<0的奇函數，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，符合條件.故SKIPIF1<0；【小問2詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(舍)，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是單調遞增函數，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函數圖象的對稱軸為SKIPIF1<0，①當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.②當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不符合SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0.21.布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它得名于荷蘭數學家魯伊茲·布勞威爾，簡單地講就是對于滿足一定條件的連續(xù)實函數SKIPIF1<0，存在一個點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，那么我們稱該函數為“不動點"函數，而稱SKIPIF1<0為該函數的一個不動點．現新定義：若SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的次不動點．(1)判斷函數SKIPIF1<0是否是“不動點”函數，若是，求出其不動點；若不是，請說明理由(2)已知函數SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的次不動點，求實數SKIPIF1<0的值：(3)若函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上僅有一個不動點和一個次不動點，求實數SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)是“不動點”函數，不動點是2和SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0.【解析】【分析】(1)根據不動點定義列出方程，求解方程即可作答.(2)根據次不動點定義列出方程，求解方程即可作答.(3)設出不動點和次不動點，建立函數關系，求出函數最值推理作答.【小問1詳解】依題意，設SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的不動點，即SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是“不動點”函數，不動點是2和SKIPIF1<0.【小問2詳解】因SKIPIF1<0是“次不動點”函數，依題意有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以實數SKIPIF1<0的值是SKIPIF1<0.【小問3詳解】設SKIPIF1<0分別是函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的不動點和次不動點，且SKIPIF1<0唯一，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，顯然函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，顯然函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，綜上得：SKIPIF1<0，所以實數SKIPIF1<0的取值范圍SKIPIF1<0.【點睛】思路點睛：涉及函數新定義問題，理解新定義，找出數量關系，聯(lián)想與題意有關的數學知識和方法，再轉化、抽象