人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊期末知識(shí)梳理+題型解題方法+專題過關(guān)專題02 實(shí)數(shù)（原卷版）

專題02實(shí)數(shù)【9個(gè)考點(diǎn)知識(shí)梳理+題型解題方法+專題訓(xùn)練】考點(diǎn)一：算術(shù)平方根算術(shù)平方根的定義：一個(gè)正數(shù)SKIPIF1<0的平方等于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的算術(shù)平方根。表示為SKIPIF1<0。算術(shù)平方根的性質(zhì)：①算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性：算術(shù)平方根本身大于等于0，算術(shù)平方根的被開方數(shù)也大于等于0。即SKIPIF1<0≥0，SKIPIF1<0≥0。非負(fù)性的應(yīng)用：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)分別等于0。即若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<00。②一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)數(shù)本身。即SKIPIF1<0SKIPIF1<0。③一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。再根據(jù)這個(gè)數(shù)的正負(fù)去絕對(duì)值符號(hào)。即SKIPIF1<0SKIPIF1<0。④規(guī)定0的算術(shù)平方根是0。⑤算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)有0和1。算術(shù)平方根的估算：利用夾逼法對(duì)算術(shù)平方根進(jìn)行估算?！究荚囶}型1】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根【解題方法】根據(jù)定義以及表示方法求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根。注意這個(gè)數(shù)本身是算術(shù)平方根時(shí)要先計(jì)算出它的值在求它的算術(shù)平方根。例題講解：1．（2022春?汶上縣期中）9的算術(shù)平方根是（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．81（2022春?哈巴河縣期中）SKIPIF1<0的算術(shù)平方根是（）A．4 B．2 C．±4 D．±2【考試題型2】算術(shù)平方根的非負(fù)性【解題方法】根據(jù)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)分別等于0進(jìn)行求解。注意非負(fù)數(shù)還有絕對(duì)值，偶次方。例題講解：2．（2022春?鏡湖區(qū)校級(jí)期中）若SKIPIF1<0，則x+y的值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考試題型3】算術(shù)平方根的性質(zhì)【解題方法】根據(jù)一個(gè)算的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)本事，一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，在根據(jù)絕對(duì)值求解。例題講解：3．（2022春?巴東縣期中）若a＝SKIPIF1<0，則a＝（）A．5 B．±SKIPIF1<0 C．±5 D．﹣5（2022秋?長寧區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：SKIPIF1<0＝．考點(diǎn)二：平方根平方根的定義：一個(gè)數(shù)SKIPIF1<0的平方等于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則這個(gè)數(shù)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平方根。表示為SKIPIF1<0。平方根的性質(zhì)：①正數(shù)SKIPIF1<0的平方根有2個(gè)，分別是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，他們互為相反數(shù)。②規(guī)定0的平方根是0。所以0的平方根只有一個(gè)，就是它本身。③負(fù)數(shù)沒有平方根。求一個(gè)數(shù)的平方根：求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算就做開平方，與平方預(yù)算互為逆運(yùn)算。即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0?？杀硎緸镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0?！究荚囶}型1】求一個(gè)數(shù)的平方根【解題方法】根據(jù)定義以及表示方法求解。例題講解：7．（2022春?郾城區(qū)期中）9的平方根是（）A．±3 B．±9 C．3 D．﹣3【考試題型2】根據(jù)平方根的性質(zhì)求值【解題方法】利用正數(shù)的平方根互為相反數(shù)，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)和為0求解。例題講解：8．（2022春?岳麓區(qū)校級(jí)期中）若2m﹣4與3m﹣1是同一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根，則這個(gè)正數(shù)為（）【考試題型3】利用平方根解方程【解題方法】根據(jù)定義以及表示方法求解。例題講解：9．（2022春?通城縣期中）求下列各式中的x．（1）x2﹣143＝1；（2）4x2﹣16＝0．考點(diǎn)三：立方根立方根的定義：一個(gè)數(shù)SKIPIF1<0的立方等于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則這個(gè)數(shù)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的立方根。表示為SKIPIF1<0。立方根的性質(zhì)：①任何數(shù)都有立方根且只有一個(gè)。正數(shù)的立方根是正數(shù)；0的立方根是0；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)。②一個(gè)數(shù)的立方根的立方等于它本身。即SKIPIF1<0。③一個(gè)數(shù)的立方的立方根等于它本身。即SKIPIF1<0。④一個(gè)數(shù)的立方根的相反數(shù)等于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)的立方根。即SKIPIF1<0。⑤立方根等于它本身的數(shù)有0和±1。求一個(gè)數(shù)的立方根：求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算叫做開立方，與立方運(yùn)算互為逆運(yùn)算。【考試題型1】求一個(gè)數(shù)的立方根【解題方法】根據(jù)立方根的定義及其表示方法求解。例題講解：10．（2022秋?蕭縣期中）﹣SKIPIF1<0的立方根為（）A．﹣SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．﹣SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【考試題型2】立方根的性質(zhì)【解題方法】根據(jù)立方根，平方根的性質(zhì)判斷即可。例題講解：11．10．（2022春?建安區(qū)期中）下列各式：①SKIPIF1<0＝±3；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0＝0.6；④±SKIPIF1<0＝±5；⑤SKIPIF1<0＝﹣2；⑥SKIPIF1<0＝﹣3．其中正確的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【考試題型3】利用立方根解方程【解題方法】根據(jù)立方根的定義及其表示方法求解。例題講解：12．（2022春?禹城市期中）解下列方程（1）x2﹣121＝0；（2）64（x﹣2）3﹣1＝0．【考試題型4】算術(shù)平方根、平方根以及立方根的綜合【解題方法】根據(jù)三者的定義、表示方法以及性質(zhì)進(jìn)行求解。例題講解：13．（2022秋?南安市期中）已知實(shí)數(shù)a+9的一個(gè)平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2，求2a+b的算術(shù)平方根．考點(diǎn)四：無理數(shù)無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)的小數(shù)叫做無理數(shù)。無理數(shù)的三種形式：①開方開不盡的數(shù)。如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0...②無限不循環(huán)小數(shù)。（特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)）如0.101001000100001…（兩個(gè)1之間依次多一個(gè)0）③含有π的式子。無理數(shù)的估算：無理數(shù)的估算多采用夾逼法進(jìn)行。例如：估算SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0計(jì)算SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0計(jì)算SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0【考試題型1】判斷無理數(shù)【解題方法】根據(jù)無理數(shù)的三種形式即可判斷無理數(shù)。例題講解：14．（2022秋?南崗區(qū)校級(jí)期中）在1.41，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，﹣π，0.2，SKIPIF1<0中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考試題型2】無理數(shù)的估算【解題方法】通?？疾鞜o理數(shù)在哪兩個(gè)正數(shù)之間或無理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分，根據(jù)夾逼法判斷無理數(shù)在那兩個(gè)正數(shù)之間，由此也可判斷無理數(shù)的整數(shù)部分，然后用無理數(shù)減去它的整數(shù)部分來得到無理數(shù)的小數(shù)部分。例題講解：15．（2022秋?江都區(qū)期中）估計(jì)5﹣SKIPIF1<0的值在（）A．2到3之間 B．3到4之間 C．4到5之間 D．5到6之間（2022春?倉山區(qū)校級(jí)期中）已知a是SKIPIF1<0的整數(shù)部分，b是SKIPIF1<0的小數(shù)部分，則ab＝．考點(diǎn)五：實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)的定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。實(shí)數(shù)的分類：可根據(jù)定義分類：可根據(jù)正負(fù)分類：注意：熟悉鞏固有理數(shù)的分類?！究荚囶}型1】實(shí)數(shù)分類【解題方法】根據(jù)無理數(shù)的兩種分類方法進(jìn)行分類即可。例題講解：16．（2022春?永善縣期中）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號(hào)中：0.3，﹣1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，3.14，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0.125，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0負(fù)數(shù)集合{…}；整數(shù)集合{…}；有理數(shù)集合{…}；無理數(shù)集合{…}．考點(diǎn)六：實(shí)數(shù)的性質(zhì)實(shí)數(shù)的相反數(shù)：同有理數(shù)一樣，只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。實(shí)數(shù)的絕對(duì)值：同有理數(shù)一樣，正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)?！究荚囶}型1】求實(shí)數(shù)的相反數(shù)與絕對(duì)值【解題方法】利用求有理數(shù)的相反數(shù)與絕對(duì)值的方法進(jìn)行求解。例題講解：17．（2022春?南靖縣期中）下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）A．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0（2022秋?遼陽期中）1﹣SKIPIF1<0的絕對(duì)值是（）A．1﹣SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0﹣1 C．1+SKIPIF1<0 D．±（1﹣SKIPIF1<0）考點(diǎn)七：實(shí)數(shù)與數(shù)軸實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系：同有理數(shù)一樣，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系?；橄喾磾?shù)的兩個(gè)實(shí)數(shù)在原點(diǎn)的兩側(cè)，且到原點(diǎn)距離相等。實(shí)數(shù)的絕對(duì)值表示實(shí)數(shù)到原點(diǎn)的距離?！究荚囶}型1】確定數(shù)軸上的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)【解題方法】利用已知條件求出點(diǎn)到原點(diǎn)的距離即可得到點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)。注意點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)還是右側(cè)，即實(shí)數(shù)的正負(fù)。例題講解：17．（2022秋?濱江區(qū)校級(jí)期中）如圖，面積為3的正方形ABCD的頂點(diǎn)A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為﹣1，若AD＝AE，則數(shù)軸上點(diǎn)E所表示的數(shù)為（）A．SKIPIF1<0﹣1 B．SKIPIF1<0+1 C．﹣SKIPIF1<0+1 D．SKIPIF1<0考點(diǎn)八：實(shí)數(shù)的大小比較任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以進(jìn)行大小比較，正實(shí)數(shù)大于0大于負(fù)實(shí)數(shù)。兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)進(jìn)行比較時(shí)絕對(duì)值大的反而小。數(shù)軸上右邊的實(shí)數(shù)恒大于數(shù)軸上左邊的實(shí)數(shù)。兩個(gè)正無理數(shù)進(jìn)行比較時(shí)，若根指數(shù)相同，被開方數(shù)越大則無理數(shù)越大，若被開方數(shù)不同，則可利用無理數(shù)的估算進(jìn)行比較大小。【考試題型1】無理數(shù)的大小比較【解題方法】利用比較方法逐一比較。若在特點(diǎn)的范圍內(nèi)，可以采用賦值法比較。例題講解：18．（2022秋?天河區(qū)校級(jí)期中）a，b是有理數(shù)，它們在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，把a(bǔ)，﹣a，b，﹣b按照從小到大的順序排列，正確的是（）A．a(chǎn)＜﹣b＜b＜﹣a B．a(chǎn)＜b＜﹣b＜﹣a C．a(chǎn)＜﹣b＜﹣a＜b D．﹣b＜a＜b＜﹣a（2022春?昭陽區(qū)期中）已知0＜a＜1，則a，SKIPIF1<0，a2，SKIPIF1<0的大小關(guān)系為（）SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考點(diǎn)九：實(shí)數(shù)的簡單運(yùn)算運(yùn)算法則同有理數(shù)，先算乘方，再算乘除，最后算加減。有括號(hào)的先算括號(hào)，先算小括號(hào)，再算中括號(hào)，最后算大括號(hào)。對(duì)無理數(shù)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，只有根指數(shù)與被開方數(shù)相同的兩個(gè)無理數(shù)才能進(jìn)行加減。計(jì)算方法與合并同類項(xiàng)類似，根指數(shù)與被開方數(shù)不變，把它前面的數(shù)進(jìn)行加減。【考試題型1】實(shí)數(shù)的運(yùn)算【解題方法】結(jié)合算術(shù)平方根、平方根、立方根、有理數(shù)與無理數(shù)的運(yùn)算法則、實(shí)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。例題講解：19．【考試題型2】定義新運(yùn)算法則【解題方法】根據(jù)定義運(yùn)算法則，結(jié)合算術(shù)平方根、平方根、立方根、有理數(shù)與無理數(shù)的運(yùn)算法則、實(shí)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。例題講解：20．22．（2022春?應(yīng)城市期中）計(jì)算：（1）SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0．23．（2022春?西城區(qū)校級(jí)期中）對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b定義兩種運(yùn)算：a▲b＝SKIPIF1<0，a▼b＝SKIPIF1<0并且定義運(yùn)算順序仍然是先做括號(hào)內(nèi)的，例如（﹣2）▲3＝3、（﹣2）▼3＝﹣2、（（﹣2）▲3））▼2＝2，那么（SKIPIF1<0▲2）▼SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0 B．3 C．6 D．3SKIPIF1<0【專題過關(guān)】一．平方根（共3小題）1．（2022秋?鯉城區(qū)校級(jí)期中）49的平方根是（）A．±7 B．7 C．﹣7 D．不存在2．（2022春?花山區(qū)校級(jí)期中）已知（x+1）2＝9，則實(shí)數(shù)x的值為（）A．2 B．﹣4 C．2或﹣4 D．﹣2或43．（2022秋?昌平區(qū)期中）已知一個(gè)正數(shù)m的兩個(gè)平方根為3a﹣7和a+3，求a和m的值．二．算術(shù)平方根（共2小題）4．（2022春?昭平縣期中）按如圖所示程序框圖計(jì)算，若輸入的值為x＝16，則輸出結(jié)果為（）A．SKIPIF1<0 B．±SKIPIF1<0 C．4 D．﹣SKIPIF1<05．（2022春?南譙區(qū)期中）若SKIPIF1<0，|b|＝5，且ab＜0，則a+b的算術(shù)平方根為（）A．4 B．2 C．±2 D．3三．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根（共2小題）6．（2022春?禹城市期中）若m、n滿足SKIPIF1<0+|n﹣1|＝0，則（m+n）3的平方根為（）A．4 B．8 C．±4 D．±87．（2022秋?拱墅區(qū)校級(jí)期中）若SKIPIF1<0，則3a+2b＝．四．立方根（共3小題）8．（2022春?高昌區(qū)期中）下列等式成立的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（2022秋?沈北新區(qū)期中）SKIPIF1<0的平方根是（）A．±8 B．±4 C．±2 D．±SKIPIF1<010．（2022秋?鹽都區(qū)期中）已知：x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算術(shù)平方根．五．無理數(shù)（共2小題）11．（2022秋?海州區(qū)期中）下列八個(gè)數(shù)：﹣8，2.7，﹣2，SKIPIF1<0，0.EQ\*jc2\*"Font:TimesNewRoman"\*hps18\o\ad(\s\up9(·),6)，0，3SKIPIF1<0，0.8080080008……（每兩個(gè)8之間逐次增加一個(gè)0），無理數(shù)的個(gè)數(shù)有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)12．（2022秋?碑林區(qū)校級(jí)期中）在下列各數(shù)中，無理數(shù)是（）A．SKIPIF1<0 B．3.1415926 C．SKIPIF1<0 D．﹣SKIPIF1<0六．實(shí)數(shù)（共1小題）13．（2022春?順平縣期中）在下列各數(shù)中，哪些數(shù)是有理數(shù)，哪些數(shù)是無理數(shù)，哪些數(shù)是整數(shù)？SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，3.14，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0.15，SKIPIF1<0．七．實(shí)數(shù)的性質(zhì)（共3小題）14．（2022秋?太原期中）實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的絕對(duì)值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．6 D．﹣615．（2022春?盂縣期中）下列說法中正確的（）A．2022的相反數(shù)表示為﹣（﹣2022） B．9的算術(shù)平方根表示為SKIPIF1<0 C．﹣π的絕對(duì)值表示為|π| D．16的立方根表示為SKIPIF1<016．（2022春?平輿縣期中）對(duì)于結(jié)論：當(dāng)a+b＝0時(shí)，a3+b3＝0也成立．若將a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，由此得出這樣的結(jié)論：“如果兩數(shù)的立方根互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)也互為相反數(shù)”．若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0互為相反數(shù)，且x+5的平方根是它本身，求x+y的立方根．八．實(shí)數(shù)與數(shù)軸（共3小題）17．（2022秋?鄞州區(qū)期中）如圖，面積為5的正方形ABCD的頂點(diǎn)A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為1，若點(diǎn)E在數(shù)軸上，（點(diǎn)E在點(diǎn)A的右側(cè)）且AB＝AE，則E點(diǎn)所表示的數(shù)為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<018．（2022春?新羅區(qū)校級(jí)期中）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖，則|a﹣b|﹣SKIPIF1<0的結(jié)果是（）A．2a﹣b B．b﹣2a C．b D．﹣b19．（2022春?哈巴河縣期中）如圖，一只螞蟻從點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸向右爬了2個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn)B，點(diǎn)A表示﹣SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)B所表示的數(shù)為m．（1）實(shí)數(shù)m的值是；（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；（3）在數(shù)軸上還有C、D兩點(diǎn)分別表示實(shí)數(shù)c和d，且有|2c+d|與SKIPIF1<0互為相反數(shù)，求2c﹣3d的平方根．九．實(shí)數(shù)大小比較（共3小題）20．（2022秋?輝縣市期中）在實(shí)數(shù)0、﹣4、﹣π、﹣SKIPIF1<0中，最小的數(shù)是（）A．0 B．﹣4 C．﹣π D．﹣SKIPIF1<