2022年天津南開中學(xué)高三數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析

2022年天津南開中學(xué)高三數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.某企業(yè)從2005年初貸款M萬元，年利率為m，從該年末開始，每年償還的金額都是萬元，并計(jì)劃恰好在10年內(nèi)還清，則=

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：C2.已知是非空集合，命題甲：，命題乙：，那么

（

）A.甲是乙的充分不必要條件

B.甲是乙的必要不充分條件C.甲是乙的充要條件

D.甲是乙的既不充分也不必要條件參考答案：B3.設(shè)函數(shù)則的遞增區(qū)間為(

)

A

B

C

D參考答案：B略4.命題P：若x,y∈R.則｜x｜+｜y｜＞1是｜x+y｜>1的充分而不必要條件；

命題q

：函數(shù)y=的定義域是（一∞，一1］U［3，＋∞），則A.“pVq”為假

B.“pq”為真

C.“”為真

D.“”為真參考答案：D5.若滿足約束條件，則的最大值等于（

）A．7

B．6

C．5

D．4參考答案：B作可行域，則直線過點(diǎn)(2,0)時z取最大值6.

6.已知，則Mar的值是(A)2

(B)-2

(C)3

(D)-3參考答案：A略7.“”是“”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A略8.點(diǎn)、、、在半徑為的同一球面上，點(diǎn)到平面的距離為，，則點(diǎn)與中心的距離為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B【知識點(diǎn)】點(diǎn)線面的位置關(guān)系因?yàn)樵O(shè)中心為D,計(jì)算可得，

設(shè)S在平面射影為H,則可得,可求得為所求。

所以，

故答案為：B9.《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一，書中有這樣的一道題目：把個面包分給個人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的份為A．

B．

C．

D．參考答案：A10.地球北緯圈上有A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在東經(jīng)處，點(diǎn)B在西經(jīng)處，若地球半徑為R，則A、B兩地在緯度圈上的劣弧長與A、B兩地的球面距離之比為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某商人將彩電先按原價(jià)提高40%，然后“八折優(yōu)惠”，結(jié)果是每臺彩電比原價(jià)多賺144元，那么每臺彩電原價(jià)是元．參考答案：1200【考點(diǎn)】一次函數(shù)的性質(zhì)與圖象．【分析】設(shè)每臺彩電原價(jià)是x元，由題意可得（1+40%）x?0.8﹣x=144，解方程求得x的值，即為所求．【解答】解：設(shè)每臺彩電原價(jià)是x元，由題意可得（1+40%）x?0.8﹣x=144，解得x=1200，故答案為1200．【點(diǎn)評】本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12.已知tan（+α）=，α∈（，π），則tanα的值是；cosα的值是．參考答案：﹣；﹣?？键c(diǎn)： 兩角和與差的正切函數(shù)；任意角的三角函數(shù)的定義．專題： 三角函數(shù)的求值．分析： 利用兩角和與差的正切函數(shù)及任意角的三角函數(shù)的定義，即可求得tanα與cosα的值．解答： 解：tan（+α）=，∴tanα=tan[（+α）﹣]===﹣；又α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣．故答案為：；．點(diǎn)評： 本題考查兩角和與差的正切函數(shù)及任意角的三角函數(shù)的定義，屬于中檔題．13.已知的方程為，直線與交于兩點(diǎn)，當(dāng)取最大值時__________，面積最大時，__________．參考答案：2

1或714.設(shè)函數(shù)f（x）=|x+a|，g（x）=x﹣1，對于?x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：a≥﹣1【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題．【專題】計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)f（x）=|x+a|，g（x）=x﹣1，對于?x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，可得﹣a≤1，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：由題意，函數(shù)f（x）=|x+a|，g（x）=x﹣1，對于?x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，∴﹣a≤1，∴a≥﹣1，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥﹣1．故答案為：a≥﹣1．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度中等．15.如圖，過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線與圓于A，B，C，D四點(diǎn)，則|AB|．|CD|=________參考答案：416.銳角中，角所對的邊長分別為，若，則角等于

．參考答案：【知識點(diǎn)】正弦定理；解三角方程。C8【答案解析】

解析：由正弦定理得，可化為，又，所以，又為銳角三角形，得.【思路點(diǎn)撥】先由正弦定理轉(zhuǎn)化成角與角的關(guān)系即可解得A.17.已知，，如果與的夾角為直角，則

．參考答案：∵，，且與的夾角為直角，∴，解得：∴，∴故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知一個袋子里有形狀一樣僅顏色不同的6個小球，其中白球2個，黑球4個.現(xiàn)從中隨機(jī)取球，每次只取一球.（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“連續(xù)取球四次，至少取得兩次白球”的概率；（2）若每次取球后都不放回袋中，且規(guī)定取完所有白球或取球次數(shù)達(dá)到五次就終止游戲，記游戲結(jié)束時一共取球X次，求隨機(jī)變量X的分布列與期望.參考答案：（1）記事件表示“第i次取到白球”（），事件表示“連續(xù)取球四次，至少取得兩次白球”，則：.

……2分

……4分

……5分或者：記隨機(jī)變量表示連續(xù)取球四次，取得白球的次數(shù).易知

……2分則……5分

（2）易知：隨機(jī)變量X的取值分別為2，3，4，5

……6分，

，

……10分∴隨機(jī)變量X的分布列為：X2345P

……11分∴隨機(jī)變量X的期望為：

……12分19.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，證明：對一切正整數(shù)，

都有：參考答案：解：（Ⅰ）∵∴

（Ⅱ）由得檢驗(yàn)知，滿足∴變形可得∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差

解得（Ⅲ）由（Ⅱ）知代入得=∵∴∴∴即∴

∴略20.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（Ⅰ）若在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若，求函數(shù)的極小值；參考答案：（Ⅰ）,由題意可得在上恒成立；∴，

∵，∴，

∴時函數(shù)的最小值為，∴

（Ⅱ）

當(dāng)時，

令得，解得或（舍），即

當(dāng)時，，當(dāng)時，∴的極小值為21.（本小題滿分12分）命題p：關(guān)于x的不等式，對一切恒成立；命題q：函是增函數(shù)．若p或q為真，p且q為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：p為真：△=4-16<0

-2<<2

------------2分q為真：3-2>1

<1

------------4分

因?yàn)閜或q為真，p且q為假

p,q一真一假

------------6分當(dāng)p真q假時，

1≤

------------8分當(dāng)p假q真時，

------------10分的取值范圍為

------------12分22.（13分）直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=120°，AC=CB=A1A=1.（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）求三棱錐A-A1CB的體積；（Ⅲ）求二面角A1-CB-A的正切值.

參考答案：

解析：方法1：

（Ⅰ）解：在三棱柱中C1B1∥CB，平面且平面則∥平面.……3分（Ⅱ）解：因?yàn)?=×1×(1×1×sin120°)=.…………6分（Ⅲ）解:在平面ABC內(nèi)過點(diǎn)A向BC做垂線AD，交BC延長線于點(diǎn)D，連結(jié)A1D.因?yàn)锳1A⊥平面ABC，所以A1D⊥BD.所以∠A1DA是二面角A1-CB-A的平面角.容易求出AD=，所以tan∠A1DA===.即二面角A1-CB-A的正切值是………………13分方法2：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則有A(1，0，0)，A1(1，0，1)，B(-，，0)，B1(-，，1)，C1(0，0，1).

（