湖南省張家界市2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

湖南省張家界市2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若在處取得極值，且恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A. B.C. D.2．直線x－y＋1＝0被橢圓＋y2＝1所截得的弦長(zhǎng)|AB|等于（）A. B.C. D.3．方程表示的曲線是A.兩條直線 B.兩條射線C.兩條線段 D.一條直線和一條射線4．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列判斷正確的是（）A.在區(qū)間上，函數(shù)增函數(shù) B.在區(qū)間上，函數(shù)是減函數(shù)C.為函數(shù)的極小值點(diǎn) D.2為函數(shù)的極大值點(diǎn)5．直線的傾斜角的大小為（）A. B.C. D.6．七巧板是中國古代勞動(dòng)人民發(fā)明的一種傳統(tǒng)智力玩具，它由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（）A. B.C. D.7．已知點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則（）A. B.C. D.8．已知且，則下列不等式恒成立的是A. B.C. D.9．已知x是上的一個(gè)隨機(jī)的實(shí)數(shù)，則使x滿足的概率為（）A. B.C. D.10．已知關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為（）A.或 B.C.或 D.11．若x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A.1 B.0C.?1 D.?312．“且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)列滿足，，則______.14．千年一遇對(duì)稱日，萬事圓滿在今朝，年月日又是一個(gè)難得的“世界完全對(duì)稱日”（公歷紀(jì)年日期中數(shù)字左右完全對(duì)稱的日期）.數(shù)學(xué)上把這樣的對(duì)稱自然數(shù)叫回文數(shù)，兩位數(shù)的回文數(shù)共有個(gè)（），其中末位是奇數(shù)的又叫做回文奇數(shù)，則在內(nèi)的回文奇數(shù)的個(gè)數(shù)為___15．某甲、乙兩人練習(xí)跳繩，每人練習(xí)10組，每組不間斷跳繩計(jì)數(shù)的莖葉圖如圖，則下面結(jié)論中所有正確的序號(hào)是___________.①甲比乙的極差大；②乙的中位數(shù)是18；③甲的平均數(shù)比乙的大；④乙的眾數(shù)是21.16．設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校高二年級(jí)全體學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)測(cè)試，學(xué)校利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從甲班、乙班各抽取五名同學(xué)的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)（單位：分）得到如下莖葉圖，若甲、乙兩班數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等且平均數(shù)也相等.（1）求出莖葉圖中m和n的值：（2）若從86分以上（不含86分）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，求此兩人都來自甲班的概率.18．（12分）如圖1，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，將△BCD沿對(duì)角線BD折起到△BDC′的位置，如圖2所示，并使得平面BDC′⊥平面ABD，E是BD的中點(diǎn)，F(xiàn)A⊥平面ABD，且FA=.圖1圖2（1）求平面FBC′與平面FBA夾角的余弦值；（2）在線段AD上是否存在一點(diǎn)M，使得⊥平面?若存在，求的值；若不存在，說明理由.19．（12分）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，且的面積為1.（1）求橢圓的短軸長(zhǎng)；（2）過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，若為等邊三角形，求的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）設(shè)為的導(dǎo)數(shù)，若方程的兩根為，且，當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)任意的恒成立，求正實(shí)數(shù)的最小值.21．（12分）命題存在，使得；命題對(duì)任意的，都有（1）若命題p為真時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若命題q為假時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）如果命題為真命題，命題為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)已知在處取得極值，可得，將在恒成立，轉(zhuǎn)化為，只需求，求出最小值即可得答案【詳解】解：，，由在處取得極值，得，解得，所以，，其中，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極小值，，恒成立，轉(zhuǎn)化為，令，，則，，令得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即得，故選：D2、A【解析】聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求距離.【詳解】由得交點(diǎn)為(0,1)，，則|AB|＝＝.故選：A.3、D【解析】由，得2x+3y?1=0或.即2x+3y?1=0(x?3)為一條射線，或x=4為一條直線.∴方程表示的曲線是一條直線和一條射線.故選D.點(diǎn)睛：在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡）上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：（1）曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；（2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線在求解方程時(shí)要注意變量范圍.4、D【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可求解.【詳解】對(duì)于A，在區(qū)間，，故A不正確；對(duì)于B，在區(qū)間，，故B不正確；對(duì)于C、D，由圖可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以為函數(shù)的極大值點(diǎn)，故C不正確，D正確.故選：D5、B【解析】由直線方程,可知直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則，又，所以，故選6、D【解析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，計(jì)算出陰影部分區(qū)域的面積和正方形區(qū)域的面積，然后利用幾何概型的概率公式計(jì)算出所求事件的概率.【詳解】設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為，則面積為，陰影部分由一個(gè)大等腰直角三角形和一個(gè)梯形組成大等腰直角三角形的面積為，梯形的上底為，下底為，高為，面積為，故所求概率故選：D.7、C【解析】根據(jù)空間兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合對(duì)稱性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，所以,因此，故選：C8、C【解析】∵且，∴∴選C9、B【解析】先解不等式得到的范圍，再利用幾何概型的概率公式進(jìn)行求解.【詳解】由得，即，所以使x滿足的概率為故選：B.10、A【解析】由一元二次不等式的解集可得且，確定a、b、c間的數(shù)量關(guān)系，再求的解集.【詳解】由題意知：且，得，從而可化為，等價(jià)于，解得或.故選：A.11、B【解析】先畫出可行域，由，得，作出直線，過點(diǎn)時(shí)，取得最大值，求出點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)中可得答案【詳解】不等式組表示的可行域如圖所示，由，得，作出直線，過點(diǎn)時(shí)，取得最大值，由，得，即，所以的最大值為，故選：B12、A【解析】按照充分必要條件的判斷方法判斷，“且”能否推出“”，以及“”能否推出“且”，判斷得到正確答案，【詳解】當(dāng)且時(shí)，成立，反過來，當(dāng)時(shí)，例：，不能推出且.所以“且”是“”的充分不必要條件.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的判斷，重點(diǎn)考查基本判斷方法，屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)遞推關(guān)系依次求得的值.【詳解】依題意數(shù)列滿足，，所以.故答案為：14、【解析】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合題中定義、組合的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】?jī)晌粩?shù)的回文奇數(shù)有，共個(gè)，三位數(shù)的回文奇數(shù)有，四位數(shù)的回文奇數(shù)有，所以在內(nèi)的回文奇數(shù)的個(gè)數(shù)為，故答案為：15、①③④【解析】根據(jù)莖葉圖提供的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的極差、中位數(shù)、均值、眾數(shù)再判斷【詳解】由莖葉圖，甲的極差是37－8＝29，乙的極差是23－9＝14，甲極差大，①正確；乙中位數(shù)是，②錯(cuò)；甲平均數(shù)是：，乙的平均數(shù)為：16.9，③正確；乙的眾數(shù)是21，④正確故答案為：①③④16、4【解析】設(shè)，寫出、的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示有，根據(jù)橢圓的有界性即可求的最大值.【詳解】由題意知：，，若，∴，，∴，而，則，而，∴當(dāng)時(shí)，.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及橢圓的有界性求最值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)莖葉圖得甲班中位數(shù)為，由此能求出，根據(jù)由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，從86分以上(不含86分)的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，用列舉法寫出基本事件總數(shù)，再利用古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【小問1詳解】根據(jù)莖葉圖可知1班中位數(shù)為86，則，又∵，且故【小問2詳解】由（1）可知，甲班86分以上有2人，乙班86以上有2人設(shè)甲班86分以上2人為，，乙班86分以上2人為，，從中任取兩名同學(xué)共有，，，，,共有6組基本事件，且每組出現(xiàn)都是等可能的記：“從86分以上（不含86分）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，兩人都來自甲班”為事件M，事件M包括：共1個(gè)基本事件，由古典概型的計(jì)算概率的公式知∴所以兩人都來自甲班的概率為18、（1）（2）不存在，理由見解析【解析】（1）利用垂直關(guān)系，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量和，利用公式，即可求解；（2）若滿足條件，，利用向量的坐標(biāo)表示，判斷是否存在點(diǎn)滿足.【小問1詳解】∵，E為BD的中點(diǎn)∴CE⊥BD，又∵平面⊥平面ABD，平面平面，⊥平面，∴⊥平面ABD，如圖以E原點(diǎn)，分別以EB、AE、EC′所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，0，0)，A(0，-，0)，D(-1，0，0)，F(xiàn)(0，-，2)，(0，0，)，∴=(-1，-，2)，=(-1，0，)，=(1，，0)，設(shè)平面的法向量為=(x，y，z)，則，取z=1，得平面的一個(gè)法向量=(，1，1)，設(shè)平面FBA的法向量為=(a，b，c)，則取b=1，得平面FBA的一個(gè)法向量為=(-，1，0)，∴設(shè)平面ABD與平面的夾角為θ，則∴平面ABD與平面夾角的余弦值為.【小問2詳解】假設(shè)在線段AD上存在M(x，y，z)，使得平面，設(shè)(0≤λ≤1)，則(x，y+，z)=(-1，，0)，即(x，y+，z)=(-λ，，0)，∴，，z=0，∴，是平面的一個(gè)法向量由∥，得，此方程無解.∴線段AD上不存點(diǎn)M，使得平面.19、（1）2（2）【解析】（1）根據(jù)題意表示出的面積，即可求得結(jié)果；（2）分類討論直線斜率情況，然后根據(jù)是等邊三角形，得到，聯(lián)立直線和橢圓方程，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示上述關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可得答案.【小問1詳解】因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，，所以，則橢圓的短軸長(zhǎng)為2.【小問2詳解】若為等邊三角形，應(yīng)有，即.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，且，此時(shí)若為等邊三角形，則點(diǎn)應(yīng)為長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，且，即.當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線的方程為，且，此時(shí)若為等邊二角形，則點(diǎn)應(yīng)為短軸頂點(diǎn)，此時(shí),不為等邊三角形.當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)其方程為，則直線的方程為.由得,同理.因?yàn)椋?，解?因?yàn)?，所以，則，即.綜上，的取值范圍是.20、（1）（2）1【解析】（1）先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線方程；（2）將已知方程結(jié)合其兩根，進(jìn)行變式，求得，利用該式再將不等式變形，然后將不等式的恒成立問題變?yōu)楹瘮?shù)的最值問題求解.【小問1詳解】由題意可得，所以切點(diǎn)為，則切線方程為：.【小問2詳解】由題意有：，則，因?yàn)榉謩e是方程的兩個(gè)根，即.兩式相減，則，則不等式，可變?yōu)?，兩邊同時(shí)除以得，，令，則在上恒成立.整理可得，在上恒成立，令，則，①當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，又，則在上恒成立；②當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，則，不符合題意.綜上：，所以的最小值為1.21、（1）p為真時(shí)或，q為假時(shí)；（2）{或}.【解析】（1）p為真應(yīng)用判別式求參數(shù)范圍；q為真，根據(jù)恒成立求參數(shù)范圍，再判斷q為假對(duì)應(yīng)的參數(shù)范圍.（2）由題設(shè)易得p、q一真一假，討論p、q的真假，結(jié)合（1）的結(jié)果求a的