雙穩(wěn)系統(tǒng)隨機共振特性的研究

雙穩(wěn)系統(tǒng)隨機共振特性的研究

1.隨機共振譜峰的獲取1981年，ivor等人提出了建立晚古氣候條件的概念。隨機共振成像（sr）是一個廣泛研究的主題，包括噪聲背景下的弱信號檢測、矩陣信息編碼等。相應的物理系統(tǒng)包括單穩(wěn)或多穩(wěn)系統(tǒng)和閾值系統(tǒng)。隨機共振理論假設，在一些非線性動態(tài)系統(tǒng)中，輸入信號隨著噪聲強度的變化而改變，輸出的信噪比會出現峰值，產生與動態(tài)中的共振現象類似的共振現象。因此，被稱為隨機共振。從光譜的角度來看，系統(tǒng)的隨機共振意味著一個包含簡合噪聲和噪聲輸入的系統(tǒng)，該系統(tǒng)隨著噪聲強度的變化而變化，并且譜值是輸出光譜的信號頻率。目前,隨機共振在信號處理方面的研究很多,特別是利用雙穩(wěn)系統(tǒng)研究弱信號的放大識別、傳輸還原等更顯示出了其獨特的優(yōu)勢.對于小參數信號(幅度、頻率和噪聲強度均小于1),根據絕熱近似或線性響應理論,雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出在時域和頻域中有著明顯的隨機共振表現形式,而對于大參數信號(至少幅度、頻率或噪聲強度之一大于1),通過二次采樣方法,在系統(tǒng)輸出的信號頻率處也可獲得隨機共振譜峰.無論是大參數還是小參數信號,人們總是希望最大限度地從雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出中獲取系統(tǒng)輸入的信息量,并盡可能提高輸出的信噪比.利用一個雙穩(wěn)系統(tǒng)進行這方面的研究已有很多報道,然而,利用兩個或更多個雙穩(wěn)系統(tǒng)的級聯來研究隨機共振問題還不多見.本文將以兩級雙穩(wěn)系統(tǒng)為研究對象,探討級聯雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機共振的特性,為其實際中諸如信號檢測等方面的應用提供一定的研究基礎.2.隨機共振現象最簡單的雙穩(wěn)系統(tǒng)是dx/dt=μx-x3(μ>0),對應的勢函數為U(x)=-1/2μx2+1/4x4.若將兩個這樣的系統(tǒng)進行串聯相接(級聯),如圖1,則當系統(tǒng)輸入為單頻正弦信號s(t)=asin(2πf0t)和高斯白噪聲n(t)時,第一級和第二級雙穩(wěn)系統(tǒng)所對應的Langevin方程分別為dx1/dt=μ1x1-x31+asin(2πf0t)+n(t),(1a)dx2/dt=μ2x2-x32+x1(t),(1b)dx1/dt=μ1x1?x31+asin(2πf0t)+n(t),(1a)dx2/dt=μ2x2?x32+x1(t),(1b)其中x1(t)既是第一級雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出,又是第二級雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸入.在小參數條件下,且t→∞時,x1(t)的均值行為將成為一個周期函數,于是方程(1b)解x2(t)的均值行為也可近似為一個周期函數.這兩個周期函數都可表示成E[x(t)]=ˉxsin(2πf0t-ˉφ),(2)E[x(t)]=xˉsin(2πf0t?φˉˉ),(2)其中幅值ˉxxˉ和相位ˉφφˉˉ近似表示為ˉx=aE[x2]DrΚ√r2Κ+π2f20?(3a)ˉφ=arctan(πf0rΚ),(3b)rΚ=1√2πexp(-ΔUD),(3c)xˉ=aE[x2]DrKr2K+π2f20√?(3a)φˉˉ=arctan(πf0rK),(3b)rK=12√πexp(?ΔUD),(3c)rK是Kramers逃逸速率,ΔU=μ2/4是雙穩(wěn)系統(tǒng)的勢壘高度,勢壘的最低點位于xm=±√μ?E[x2]xm=±μ√?E[x2]是靜態(tài)系統(tǒng)(a=0)依賴于噪聲強度D的方差,在兩態(tài)情況下有近似關系E[x2]=x2m.(3a)式的幅值ˉx取決于噪聲強度D,即系統(tǒng)的響應受噪聲強度的控制,它首先隨D增大到一個極大值,然后再減小,這就是著名的隨機共振現象.為直觀比較兩級系統(tǒng)輸出x1(t)和x2(t)的隨機共振行為,令n(t)=√2Dg(t)?g(t)是均值為零方差為1的白噪聲,并取方程(1)無量綱的各參數為:μ1=μ2=1,a=0.3,f0=0.01,D=0.31,采樣頻率fs=5,方程(1)采用四階Runge-Kutta法數值計算(以下同),計算步長Δt=1/fs=0.2.取數據長度為1024點進行快速傅里葉變換(FFT)運算,并為清楚起見,時域顯示長度取4000點,于是得到兩級雙穩(wěn)系統(tǒng)輸入輸出的時域波形和頻域譜圖,如圖2所示.圖2示出典型的隨機共振現象,從頻譜上看,在信號頻率f0處,兩級雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出譜峰均高出輸入譜峰很多,而第二級的輸出譜峰又比第一級的高.從時域波形來看,系統(tǒng)輸入端的信號已幾乎淹沒于噪聲中而不能辨識,但在兩級雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出端,頻率為f0的信號都被共振顯現出來,而且第二級的輸出波形又比第一級的光滑.這種頻譜峰值進一步增高和時域波形變光滑的特性表明,雙穩(wěn)系統(tǒng)的級聯是可以提高隨機共振效果的,這種特性機理可以從雙穩(wěn)系統(tǒng)輸出的功率譜來加以解釋.根據絕熱近似理論,一個雙穩(wěn)系統(tǒng)輸出的功率譜中包含兩部分內容,一部分是由輸入正弦信號引起的S1(f),它與輸入信號同頻,另一部分是由噪聲引起的S2(f),它具有洛倫茲分布形式.其中S1(f)=2μ4a2exp(-μ2/2D)/(πD2)(2μ2exp(-μ2/2D)/π2)+(2πf0)2δ(f0-f),(4a)S2(f)=[1-μ3a2exp(-μ2/2D)/(π2D2)(2μ2exp(-μ2/2D)/π2)+(2πf0)2]×[4√2μ2exp(-μ2/4D)/π(2μ2exp(-μ2/2D)/π2)+(2πf)2].(4b)由方程(4)可知,第一級雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出x1(t)仍然是由周期信號和噪聲構成,但這種信號構成不同于輸入s(t)+n(t).一方面,x1(t)的周期信號p(t)不再是正弦波信號,其波形不僅因非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)的作用而近似變?yōu)榫匦尾?含有豐富的高頻分量,而且因隨機共振其基頻信號幅值比s(t)的幅值a大得多.另一方面,x1(t)中的噪聲也不再是白噪聲n(t),而是具有洛倫茲分布的色噪聲Q(t).對(4b)式進行傅里葉反變換,可求得Q(t)的相關函數近似為E[Q(t)Q(t+τ)]=2D′τ0exp(-|τ|τ0).(5)顯然Q(t)是一個噪聲強度D′≠D,相關時間τ0≠0的指數型色噪聲,D′和τ0與輸入信號的各參數和系統(tǒng)參數有關.當這樣的噪聲Q(t)作用于第二級雙穩(wěn)系統(tǒng)后,其相應的Langevin方程為dx2/dt=μ2x2-x32+Q(t).(6)由于(6)式中的色噪聲Q(t)具有非零相關時間,Q(t)包含了對歷史的記憶,所以(6)式過程不再是馬爾可夫的,于是隨機變量x2隨時間t的演化概率ρ(x2,t)不再遵循Fokker-Planck方程(FPE),而成為一個很復雜的無窮階偏微分方程,即D?ρ(x2,t)?t=∞∑n=1n∏m=1[-D??xΚ(n)m(x)].(7)(7)式求解非常困難,盡管可以用各種近似截斷方法,得到有效的FPE來進行求解,但由于長的相關時間τ0仍然引起諸如負擴散系數和各種發(fā)散問題,因此要想用一維有效FPE來獲得精確的解析式仍然具有相當難度.如果用二維馬爾可夫過程來等效代替方程(6),即dx2/dt=μ2x2-x32+y,(8a)dy/dt=-1τ0y+1τ0n(t),(8b)對應的FPE為?ρ(x2,y,t)?t=-??x{(μ2x2-x32+y)ρ(x2,y,t)}+??y[1τ0yρ(x2,y,t)]+Dτ20?2?y2ρ(x2,y,t),(9)那么,由于方程(9)中不存在細致平衡,因此其精確解的推導仍然十分困難.對方程(9)定態(tài)解的深入研究表明,概率交換的通道和機理已發(fā)生了變化,主要的概率交換已不在兩穩(wěn)態(tài)區(qū)域之間的交界線上,交界線上的概率極大值移到了別的地方.因此色噪聲雙穩(wěn)系統(tǒng)的首通時間和Kramers逃逸速率也就無法獲得.當方程(6)等號右端加上周期信號p(t),即x1(t)作用于第二級雙穩(wěn)系統(tǒng)時,為得到第二級雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出功率譜,原則上可以先根據雙時聯合概率分布得到隨機變量x2(t)的相關函數E[x2(t)x2(t+τ)],再對這一相關函數進行傅里葉變換即可.然而因為得不到概率分布ρ(x2,t)的精確解析式,以及相應的躍遷概率,所以x2(t)的相關函數無法解析算出,進而功率譜也無法得到.對于第二級雙穩(wěn)系統(tǒng),盡管不能給出輸出功率譜的解析式,但定性分析可以想象,這一功率譜在形式上與方程(4)非常接近,所不同的是:由于輸入噪聲本質地從白譜變化到色譜,也就是噪聲強度從D變化為D′,故而噪聲成為引導功率譜改變的主要因素;周期信號s(t)變化到p(t),雖然引起信號的形狀和幅值發(fā)生大的改變,但它不是引起功率譜改變的主要因素,因為它仍然保持周期信號的頻率特征,只影響功率譜中信號頻率處的譜值,這是由雙穩(wěn)系統(tǒng)對周期信號的幅值敏感性所決定的.所以方程(4)中的幾個常數項將根據噪聲的變化以積分形式出現,而不再是簡單的系數.根據方程(4)的形式,可以確定,當噪聲通過兩級雙穩(wěn)系統(tǒng)后,系統(tǒng)在低頻區(qū)域將噪聲逐級加大,噪聲在此低頻區(qū)域所聚集的能量也逐級增多,于是布朗粒子更容易在此低頻區(qū)域越過勢壘形成以信號頻率作切換躍遷運動的隨機共振現象.因此當第一級雙穩(wěn)系統(tǒng)發(fā)生隨機共振時,其輸出x1(t)的行為呈現很強的周期形式,即具有很高的信噪比,而x1(t)在第二級雙穩(wěn)系統(tǒng)的進一步作用下,自然能在信號頻率f0處得到一個比前一級系統(tǒng)輸出譜峰更高的隨機共振譜峰,圖2中能看到一個更好的隨機共振效果.另外,對于一定量的噪聲輸入,無論級聯雙穩(wěn)系統(tǒng)如何改變噪聲頻譜的分布形式,噪聲在任意一級系統(tǒng)中的總能量均保持恒定不變.因此當兩級雙穩(wěn)系統(tǒng)將大部分噪聲能量集中于低頻區(qū)域后,噪聲頻譜高頻區(qū)域的能量必然減小,導致高頻幅值進一步降低.于是從時域波形上看,級聯雙穩(wěn)系統(tǒng)像是一個波形整形器,它將超過一定幅度的變化銳化成矩形波的邊緣,并將波頂和波底的高頻小幅抖動濾除,所以由圖2能看到一個更加光滑、去掉高頻毛刺的二級輸出隨機共振矩形時域波形.圖2反映了各參數配合最佳時兩級雙穩(wěn)系統(tǒng)產生“最優(yōu)”隨機共振的情況,即它首先是第一級雙穩(wěn)系統(tǒng)產生隨機共振,然后第二級雙穩(wěn)系統(tǒng)進一步優(yōu)化.如果參數的變化使第一級雙穩(wěn)系統(tǒng)未達到隨機共振狀態(tài),那么通過第二級雙穩(wěn)系統(tǒng)的優(yōu)化能否得到“最優(yōu)”的隨機共振,這一點有著重要的實際意義.為此,我們通過改變參數來進一步數值研究這一問題.首先考察系統(tǒng)的頻譜性能.取不同的噪聲強度D,并將信號頻率f0從0.01增大到0.40,其他參數同圖2.對方程(1)數值計算,在兩級雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出中,分別得到包含頻率f0信號的各自譜圖.在各自的每一譜圖中度量頻率f0處的譜峰高度h,可分別得到對應第一和第二級雙穩(wěn)系統(tǒng)輸出的譜峰高度h隨信號頻率f0變化的h1-f0和h2_f0關系曲線,如圖3所示.由圖3看到,對于任意噪聲強度D,兩條曲線隨f0的增大將在某個低頻f′0處相交,而且相交前第二級雙穩(wěn)系統(tǒng)輸出的譜高大于第一級的,而相交后第二級雙穩(wěn)系統(tǒng)的譜高小于第一級的,且比第一級的譜高衰減迅速.這種現象表明,級聯雙穩(wěn)系統(tǒng)并非總像圖2那樣能夠提高信號頻率f0處的譜高,無論第一級雙穩(wěn)系統(tǒng)輸出是否達到隨機共振,第二級雙穩(wěn)系統(tǒng)將在有限的低頻范圍(f0<f′0)內來增強f0處的譜高,此低頻范圍取決于噪聲強度D.D大,則f′0也大,于是可增強f0處譜高的低頻范圍就寬一些.這說明D的增大使兩條曲線相交的頻率f′0向高頻移動.另一種描述系統(tǒng)頻率特性的方法是分別取不同的信號頻率f0,考察f0處的譜高隨噪聲強度的變化規(guī)律.設噪聲強度D從0.01增加變化到2.30,其他參數同圖2.數值計算方程(1),用圖2同樣的方法,可分別得到對應于第一和第二級雙穩(wěn)系統(tǒng)f0處的輸出的譜峰高度h隨噪聲強度D變化的h1-D和h2_D關系曲線,如圖4所示.由圖4看出,對任意信號頻率f0,兩條曲線h1_D和h2_D的共同特點是二者都有一個極大峰值,即隨機共振譜峰.這一譜峰值隨f0的增大,不僅變得低而平緩,而且需要更大的噪聲強度D來共振產生.這種特性與方程(3a)的隨機共振性質相一致.這里我們感興趣的是兩條曲線h1_D和h2_D之間的關系.由圖4可知,頻率f0較低時(如f0=0.01和0.04),在噪聲強度大于某個值D′(即兩條曲線的相交處)后,無論第一級雙穩(wěn)系統(tǒng)輸出是否達到隨機共振,第二級雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出譜高始終大于第一級的輸出譜高.當f0增大到某個值時(如f0=0.07),兩條曲線于某一再稍大一點的噪聲強度處相交,并幾乎重合下去.若繼續(xù)再增大f0(如f0=0.10),則對任意噪聲強度,第二級雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出譜高將始終小于第一級的輸出譜高.這種現象與圖3對照進一步表明,第二級雙穩(wěn)系統(tǒng)可以在頻率f0<f′0=0.07(對于圖2的參數)范圍內來增強f0處的譜高,但能否確實在此低頻范圍提高f0處的譜峰,還要看噪聲強度和信號頻率間的關系.如果f0小,則只需要不大的噪聲強度就可以使級聯雙穩(wěn)系統(tǒng)f0處的輸出譜峰提高.反之f0大,則需要較大的噪聲強度來提高這一譜峰.這實際上與圖3的結論相一致,即反之D的增大可以使信號頻率f0向高頻移動,并保持級聯雙穩(wěn)系統(tǒng)f0處的譜峰始終提高.但f0越增大接近f′0,則級聯雙穩(wěn)系統(tǒng)輸出的譜高增量越小.至于級聯雙穩(wěn)系統(tǒng)的時域特性,為便于說明,取圖3噪聲強度D=0.31所對應的f′0≈0.051作為信號頻率f0,其他參數同圖2,數值計算方程(1)得到圖5結果.可以看到,兩級系統(tǒng)在f0處的輸出譜峰值幾乎相等,這與上面的頻譜分析結果一致.而從圖5的時域波形來看,其情形與圖2有較大差別,這種差別一方面是波形不一樣,另一方面是圖5中x2(t)的高頻小幅毛刺不像圖2那樣濾除得干凈.前者的原因是由非隨機共振點造成的,后者的原因是由于非線性的雙穩(wěn)系統(tǒng)使噪聲能量非線性地從高頻向低頻聚集,其趨勢是頻率越高,幅值衰減越快,因此第二級雙穩(wěn)系統(tǒng)的作用是根據各頻率成分非線性不等幅地濾掉了第一級雙穩(wěn)系統(tǒng)輸出波形的高頻小幅毛刺,即它對高頻成分幅度壓縮得多一些,而對靠近低頻區(qū)域的“中頻”分量壓縮得則少一些,特別是進入低頻區(qū)域后,它不僅不壓縮反而增大信號分量的幅度.于是當前級雙穩(wěn)系統(tǒng)輸出波形中包含較大幅度的中頻成分時,后級雙穩(wěn)系統(tǒng)因對其幅值壓縮濾除不夠而在時域波形中將它部分地保留下來,顯得高頻成分濾除得不太干凈.因此,第二級雙穩(wěn)系統(tǒng)的作用只是從外觀上進一步整形,突出了第一級輸出波形的基本輪廓,它不會產生像圖2那樣疏密較均勻的更強的周期波形.所以就時域波形而言,若第一級雙穩(wěn)系統(tǒng)未達到隨機共振,則第二級雙穩(wěn)系統(tǒng)也不會“優(yōu)化”產生隨機共振,它僅僅是對第一級的輸出波形進行適當整形光滑而已.3.次采樣頻率調節(jié)以上討論的是小參數的情況,而更具有工程應用價值的是實際工作中經常遇到大參數情況.關于大參數隨機共振的實現方法,文獻已進行了論述,這里主要根據工程實際情況來探討級聯雙穩(wěn)系統(tǒng)對大參數隨機共振的頻譜影響.設有一組實測信號,采樣點數為4000點,對應方程(1)的各參數分別取μ1=μ2=1,a=0.3,f0=40,D=9.1,采樣頻率fs=2000,二次采樣頻率取fsr1=fsr2=8,即數值計算步長Δt=1/fsr=0.125.方程(1)的兩級輸出功率譜以1024點計算,則兩級雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出頻譜見圖6(a)所示.由圖6(a)看到,兩級雙穩(wěn)系統(tǒng)輸出譜中的噪聲基本按方程(4b)以近似的洛倫茲形式分布,噪聲都被集中于低頻區(qū)域,但是第二級雙穩(wěn)系統(tǒng)噪聲能量集中的低頻區(qū)域似乎比第一級的窄且高,以至于信號頻率(f0=0.16)被“排斥”到了易產生共振的低頻區(qū)以外,其結果是第二級雙穩(wěn)系統(tǒng)進一步提高了噪聲極低頻率成分的譜高,同時把信號頻率當作高頻成分進行了濾除,致使低頻噪聲譜值大大超出信號頻率處的譜峰,因此信號譜峰變得模糊不可識別.然而如果降低第二級雙穩(wěn)系統(tǒng)的二次采樣頻率fsr2,那么信號譜峰還會漸漸地顯露出來.圖6(b)是取最小值fsr2=3,并保持第一級的二次采樣頻率fsr1=8不變所得到的結果,存在最小fsr2的原因同樣是數值運算溢出的緣故.可以看到,通過二次采樣頻率的調節(jié),圖6(b)中x2(f)的噪聲譜分布比圖6(a)中x2(t)的噪聲譜分布相對變緩,低頻能量區(qū)域隨之相對展寬,信號頻率f0又被“納入”回到易產生共振的低頻區(qū)域,于是第二級雙穩(wěn)系統(tǒng)在信號頻率f0處的譜峰得到恢復,因此圖6(b)中x2(f)的信號譜峰比圖6(a)中x2(f)的信號譜峰要清晰一些.雖然二次采樣頻率的調節(jié)能使信號頻率處的譜峰得以恢復,但這種恢復是不完全不充分的,因為信號頻率處的譜峰未能恢復成為方程6(a)的x1(f)樣子,或至少未能使信號譜峰值恢復成整個譜圖的最大值,而這一點在信號檢測中非常重要.因此二次采樣頻率調節(jié)方法是有限度的,這種限制源于噪聲強度D對二次采樣頻率fsr的選擇特性,它不允許二次采樣頻率fsr2無限制地減小,因為只要有噪聲,且無論噪聲大小,都將存在一個最小二次采樣頻率與之對應.對圖6第一級雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出進行噪聲估計,得到估計值?D=0.44