數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

01一、以“形”助“數(shù)”二、以“數(shù)”助“形”例1：解下列方程：|x+3|=5三、數(shù)形互助目錄03020405四、以“數(shù)”助“數(shù)”有些問題需要用幾何意義才能解決。五、以“形”助“形”參考內(nèi)容目錄070608內(nèi)容摘要數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老，也是最基本的研究對(duì)象，它們?cè)谝欢l件下可以相互轉(zhuǎn)化。中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形是有的，這個(gè)稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非?！笨梢姅?shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)學(xué)科中的重要性。內(nèi)容摘要數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合思想的形成有助于學(xué)生的解題思路的拓寬，創(chuàng)新精神和發(fā)散思維能力的提高，對(duì)于學(xué)生的全面發(fā)展具有重大意義。內(nèi)容摘要所謂數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形相結(jié)合，使抽象思維與形象思維相結(jié)合的一類數(shù)學(xué)方法。數(shù)形結(jié)合思想的核心是“數(shù)”與“形”的互助，它既考查了學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，又考查了學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。一、以“形”助“數(shù)”一、以“形”助“數(shù)”有些問題借助于圖形直觀的研究，給人以明示，從而簡(jiǎn)化了計(jì)算過程。如：我們?cè)诮夥匠虝r(shí)用到的“數(shù)軸”就是最簡(jiǎn)單的“形”，它使我們很容易地解決了絕對(duì)值問題。例1：解下列方程：|x+3|=5例1：解下列方程：|x+3|=5此題若只在代數(shù)范圍內(nèi)討論，就會(huì)無從下手，而借助數(shù)軸則可輕松解決。由絕對(duì)值的幾何意義知：|x+3|=5的解為x=2或x=-8。二、以“數(shù)”助“形”有些問題用代數(shù)方法解決比用幾何方法解決簡(jiǎn)單得多。有些問題用代數(shù)方法解決比用幾何方法解決簡(jiǎn)單得多。例2：如圖所示，在一塊邊長(zhǎng)都為2a的正方形臺(tái)面上，相鄰兩個(gè)陰影部分都對(duì)應(yīng)相等，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種分割方法，使得鋸掉陰影部分后，剩下的空白部分也拼成一個(gè)正方形，則這個(gè)正方形的面積是多少？有些問題用代數(shù)方法解決比用幾何方法解決簡(jiǎn)單得多。這個(gè)問題可以通過計(jì)算原來正方形臺(tái)面的面積，再計(jì)算四個(gè)陰影部分的面積之和，兩者相減得到空白部分的面積。然后利用相似三角形的知識(shí)求出空白部分四邊形的各邊長(zhǎng)，最后利用正方形面積公式求解即可。三、數(shù)形互助三、數(shù)形互助有些問題既可以用代數(shù)方法解答，也可以用幾何方法解答，但往往是二者相互結(jié)合后才能得到更簡(jiǎn)單的解答。例3：求一元二次方程的實(shí)數(shù)根的取值范圍。例3：求一元二次方程的實(shí)數(shù)根的取值范圍。此題既可以通過解不等式組求出實(shí)數(shù)根的取值范圍，也可以利用一元二次函數(shù)圖象求解。例4：已知二次函數(shù)y=x2+2(m-1)x+m2-m-1，若x=m-1是該函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，試求出m的值并說明此時(shí)函數(shù)圖象開口向上還是向下？當(dāng)x取何值時(shí)函數(shù)值隨x的增大而減??？若將這條對(duì)稱軸沿y軸平移而使該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(n-12)，試求出此時(shí)m、n的值及函數(shù)解析式。例3：求一元二次方程的實(shí)數(shù)根的取值范圍。此題利用對(duì)稱軸公式可求出m的值；再由開口方向可求出a的正負(fù)值；由二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)；最后利用平移可求出n的值。四、以“數(shù)”助“數(shù)”四、以“數(shù)”助“數(shù)”有些問題用純代數(shù)或純幾何方法難以解決，需要用代數(shù)方法與幾何方法相互配合才能求解。例5：已知方程組{3x+5y=m+26x+10y=2m-1的解滿足x+y=1005.5，求m的值。四、以“數(shù)”助“數(shù)”此題可先將方程組的解用代數(shù)式表示出來(即用含有m的代數(shù)式表示x、y)，再利用代入法求解即可。也可以先整體代入原方程組中的一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)后再求解。還可以先將方程組中的兩個(gè)方程進(jìn)行消元處理后再求解。五、以“形”助“形”有些問題需要用幾何意義才能解決。有些問題需要用幾何意義才能解決。例6：求一元二次方程x2+px+q=0的兩根之積或和(q≠0)。此題利用韋達(dá)定理可求得兩根之和與兩根之積的值(即兩根的橫坐標(biāo)之和與橫坐標(biāo)之積)。參考內(nèi)容內(nèi)容摘要數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)形結(jié)合思想就是通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化、互相利用來解決數(shù)學(xué)問題的思想。它包含以形助數(shù)和以數(shù)解形兩個(gè)方面，在研究和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們不是孤立的看待數(shù)量關(guān)系或者空間形式，而是試圖尋找它們之間的，利用這種幫助我們理解問題、探究規(guī)律、解決問題。一、以形助數(shù)一、以形助數(shù)以形助數(shù)是指當(dāng)我們處理數(shù)學(xué)問題時(shí)，可以借助圖形來幫助我們理解數(shù)量關(guān)系，找到解題思路。比如在代數(shù)問題中，我們經(jīng)常會(huì)畫圖來幫助理解函數(shù)的關(guān)系、不等式的解集等等；在幾何問題中，我們也會(huì)用圖形來幫助理解空間形態(tài)、距離、角度等等。一、以形助數(shù)例1：小華和小明玩一個(gè)數(shù)字游戲，小華說：“我在紙上寫了一個(gè)兩位數(shù)，現(xiàn)在我把它乘以4，再加上7，只要你告訴我結(jié)果，我就能知道你心里想的是什么數(shù)字?！毙∶髡f：“好啊，那我試試?！毙∪A讓小明在心里想了一個(gè)兩位數(shù)，并按照剛才所說的規(guī)則計(jì)算出結(jié)果。小明計(jì)算得到的結(jié)果是27。小華通過逆向推理，借助圖形，很快就找到了這個(gè)數(shù)字。請(qǐng)問小華是如何做到的？一、以形助數(shù)解析：小華通過逆向推理，發(fā)現(xiàn)小明所得的結(jié)果是27，這意味著原數(shù)乘以4后得到的數(shù)的個(gè)位數(shù)字是7或8（因?yàn)?7-7=20，20能被10整除，所以它的個(gè)位數(shù)字只能是0），再根據(jù)原數(shù)的十位數(shù)字只能是1-9之間，從而通過簡(jiǎn)單的嘗試就能很快找到原數(shù)。如圖所示：設(shè)原數(shù)為AB（A、B均為十位數(shù)字），則4AB+7的末兩位為70或80，因此4AB的末兩位為20或10.由此可知AB的末兩位為50或25.又因?yàn)锳B為兩位數(shù)，故AB只能是50或25.因此原數(shù)為50或25。二、以數(shù)解形二、以數(shù)解形以數(shù)解形是指當(dāng)我們?cè)谘芯繄D形時(shí)，可以通過引入數(shù)量關(guān)系來幫助我們更深入地理解圖形的性質(zhì)和特征。比如在解析幾何中，我們經(jīng)常用代數(shù)方法來研究直線的斜率、曲線的方程等等；在立體幾何中，我們也會(huì)用數(shù)量關(guān)系來研究角度、距離等等。二、以數(shù)解形例2：有一個(gè)正方體和一個(gè)長(zhǎng)方體，它們的表面積相等?，F(xiàn)在我將這兩個(gè)幾何體進(jìn)行組合，得到一個(gè)新的幾何體。這個(gè)新幾何體的表面積會(huì)比原來兩個(gè)幾何體的表面積之和要小嗎？二、以數(shù)解形解析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為l、w、h。根據(jù)題目條件，可以得到以下方程：6a2=2lw+2lh+2wh。這個(gè)方程表明正方體的表面積是其棱長(zhǎng)的平方的6倍。對(duì)于組合后的新幾何體，其表面積由兩部分組成：一個(gè)是正方體的表面積（即6a2），另一個(gè)是長(zhǎng)方體的表面積（即2lw+2lh+2wh）。二、以數(shù)解形因?yàn)檎襟w的表面積比長(zhǎng)方體的表面積要大（因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)a大于l、w、h），所以新幾何體的表面積一定比原來兩個(gè)幾何體的表面積之和要小。因此答案是肯定的。內(nèi)容摘要數(shù)學(xué)作為一門抽象學(xué)科，其理論知識(shí)和方法往往具有高度的概括性和抽象性。為了更好地理解和應(yīng)用這些知識(shí)，我們需要采用各種數(shù)學(xué)思想和方法。其中，數(shù)形結(jié)合思想是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，它在數(shù)學(xué)學(xué)科以及其他學(xué)科中都有著廣泛的應(yīng)用。一、數(shù)形結(jié)合思想概述一、數(shù)形結(jié)合思想概述數(shù)形結(jié)合思想是指在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，將抽象的數(shù)學(xué)語言、符號(hào)和公式與直觀的圖形、圖像結(jié)合起來，通過二者之間的相互轉(zhuǎn)化，達(dá)到化抽象為具體、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化難為易的目的，從而優(yōu)化解題過程的方法。數(shù)形結(jié)合思想的核心在于將抽象的數(shù)學(xué)問題與形象的圖形結(jié)合起來，通過對(duì)圖形的分析和觀察，將抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為具體的圖形問題，從而找到問題的突破口。二、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用1、代數(shù)問題的數(shù)形結(jié)合應(yīng)用1、代數(shù)問題的數(shù)形結(jié)合應(yīng)用代數(shù)的數(shù)學(xué)問題常常涉及到函數(shù)、方程等抽象概念，借助數(shù)形結(jié)合思想，我們可以將這些問題轉(zhuǎn)化為直觀的圖形問題。例如，在解一元二次方程時(shí)，通過畫出二次函數(shù)圖像，我們可以更直觀地觀察到方程的根以及根的性質(zhì)；在函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用中，借助數(shù)形結(jié)合思想，我們可以將函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為圖形的問題，從而更直觀地觀察到問題的本質(zhì)。2、幾何問題的數(shù)形結(jié)合應(yīng)用2、幾何問題的數(shù)形結(jié)合應(yīng)用幾何是數(shù)學(xué)中非常直觀的一部分，但是有些幾何問題仍然比較復(fù)雜。通過數(shù)形結(jié)合思想，我們可以將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，從而降低問題的難度。例如，在解三角形的問題中，通過運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，我們可以將三角形的問題轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系問題，從而更直觀地理解問題的本質(zhì)。3、概率問題的數(shù)形結(jié)合應(yīng)用3、概率問題的數(shù)形結(jié)合應(yīng)用概率是數(shù)學(xué)中比較抽象的一部分，有些概率問題比較復(fù)雜。通過數(shù)形結(jié)合思想，我們可以將概率問題轉(zhuǎn)化為直觀的圖形問題。例如，在解幾何概型的問題中，通過畫出相應(yīng)的圖形，我們可以更直觀地觀察到概率的數(shù)值和性質(zhì)。三、數(shù)形結(jié)合思想的意義和價(jià)值三、數(shù)形結(jié)合思想的意義和價(jià)值數(shù)形結(jié)合思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。首先，它可以提高解題效率。通過將抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為直觀的圖形問題，我們可以更快地找到問題的突破口和答案。其次，它可以增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。通過運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生可以更深入地理解數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)和方法論本質(zhì)，提高其分析和解決問題的能力。最后，它可以促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展。三、數(shù)形結(jié)合思想的意義和價(jià)值通過研究數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用和發(fā)展，我們可以不斷探索出新的數(shù)學(xué)方法和理論，推動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)科的進(jìn)步和發(fā)