高中數(shù)學人教A版必修2學案4.2.2-3圓與圓的位置關(guān)系直線與圓的方程的應用Word版含解析

4.2.2圓與圓的位置關(guān)系4.知識導圖學法指導1.重點掌握用幾何法(利用兩圓的圓心距與兩圓半徑長的關(guān)系)判斷圓與圓的位置關(guān)系．2．解決實際問題時，把握建系的技巧．3．處理圓與圓相切的問題時，注意內(nèi)切與外切均屬于相切，在不能確定的情況下應分類討論．4．體會求兩圓的公共弦的方法及步驟．1.考查圓與圓的位置關(guān)系或由圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)是高考的熱點，題型以選擇題和填空題為主，難度中等偏下，分值為5分．2．兩圓的公共弦問題是高考的常考知識點，各種題型均有出現(xiàn)，難度中等，分值為4～6分.知識點一圓與圓的位置關(guān)系圓C1：(x－a)2＋(y－b)2＝req\o\al(2,1)與圓C2：(x－c)2＋(y－d)2＝req\o\al(2,2)的位置關(guān)系的判定方法有幾何法和代數(shù)法兩種，如下表：位置關(guān)系幾何法代數(shù)法圖示外離|C1C2|>r1＋rΔ<0外切|C1C2|＝r1＋rΔ＝0相交|r1－r2|<|C1C2|<r1＋rΔ>0內(nèi)切|C1C2|＝|r1－r2Δ＝0內(nèi)含|C1C2|<|r1－r2Δ<01．應用代數(shù)法判定兩圓位置關(guān)系時應注意：(1)Δ>0時，兩圓有兩個公共點，相交；(2)Δ＝0時，兩圓只有一個公共點，包括內(nèi)切與外切；(3)Δ<0時，兩圓無公共點，包括內(nèi)含與外離．知識點二用坐標法解決幾何問題用坐標法解決幾何問題時，先用坐標和方程表示相應的幾何元素：點、直線、圓，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，然后通過代數(shù)運算解決代數(shù)問題，最后解釋代數(shù)運算結(jié)果的幾何含義，得到幾何問題的結(jié)論．這就是用坐標法解決平面幾何問題的三個步驟：2．利用幾何法判斷兩圓的位置關(guān)系，直觀，容易理解，但不能求出交點坐標；利用代數(shù)法判斷兩圓的位置關(guān)系，并不能準確地判斷位置關(guān)系(如：Δ＝0僅能說明兩圓只有一個公共點，但確定不了是內(nèi)切還是外切；Δ<0僅能說明兩圓沒有公共點，到底是相離還是內(nèi)含)，必須輔以圖形．

[小試身手]1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解，則兩圓外切．()(2)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交．()(3)從兩圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程．()(4)過圓O：x2＋y2＝r2外一點P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點為A，B，則O，P，A，B四點共圓且直線AB的方程是x0x＋y0y＝r2.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．圓C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4與圓C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9的位置關(guān)系是()A．相離B．外切C．相交D．內(nèi)切解析：圓心距d＝eq\r(－2－12＋－2－22)＝5，兩圓半徑的和r1＋r2＝2＋3＝5，則d＝r1＋r2，即兩圓外切．答案：B3．圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋(y－3)2＝1的公切線有()A．1條B．2條C．3條D．4條解析：兩圓的圓心距為3，半徑長之和為2，故兩圓外離，公切線有4條．答案：D4．[2019·上海檢測]已知以C(－4,3)為圓心的圓與圓x2＋y2＝1外切，則圓C的方程為________________．解析：設(shè)圓C的半徑長為r，則(x＋4)2＋(y－3)2＝r2.由題意得兩圓圓心距d＝eq\r(－4－02＋3－02)＝5，因為兩圓外切，所以圓心距為兩圓半徑長之和，即5＝r＋1，解得r＝4.故圓C的方程為(x＋4)2＋(y－3)2＝16.答案：(x＋4)2＋(y－3)2＝16類型一兩圓位置關(guān)系的判定例1已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圓C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，問：m為何值時，(1)圓C1和圓C2外切？(2)圓C1與圓C2內(nèi)含？【解析】把圓C1，圓C2的方程化為標準方程，得圓C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圓C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.(1)如果圓C1與圓C2外切，則eq\r(m＋12＋－2－m2)＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.(2)如果圓C1與圓C2內(nèi)含，則eq\r(m＋12＋－2－m2)<3－2，即m2＋3m＋2<0，解得－2<m<－1.將圓的一般方程化成標準方程→結(jié)合圓的位置關(guān)系得出半徑長之間的關(guān)系→由此列式求解方法歸納(1)判斷兩圓的位置關(guān)系或利用兩圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍有以下幾個步驟：①化成圓的標準方程，寫出圓心和半徑；②計算兩圓圓心的距離d；③通過d，r1＋r2，|r1－r2|的關(guān)系來判斷兩圓的位置關(guān)系或求參數(shù)的范圍，必要時可借助于圖形，數(shù)形結(jié)合．(2)應用幾何法判定兩圓的位置關(guān)系或求字母參數(shù)的范圍是非常簡單清晰的，要理清圓心距與兩圓半徑的關(guān)系．跟蹤訓練1圓A：(x＋2)2＋(y＋1)2＝4與圓B：(x－1)2＋(y－3)2＝4的位置關(guān)系是()A．相交B．外離C．外切D．內(nèi)含解析：方法一畫出兩圓，由圖可直觀得出兩圓外離．方法二根據(jù)題意，可知圓A與圓B的圓心距d＝eq\r(－2－12＋－1－32)＝5>4，即d>rA＋rB，故兩圓外離．方法三將兩圓的方程聯(lián)立，得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋22＋y＋12＝4，,x－12＋y－32＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，,x2＋y2－2x－6y＋6＝0，))消去x2，y2，得6x＋8y－5＝0，將其代入圓A(或圓B)的方程中消去y，得100x2＋100x＋169＝0，所以Δ＝1002－4×100×169<0，所以方程無實數(shù)解，即兩圓相離．因為兩圓半徑長相等，所以不會出現(xiàn)內(nèi)含的情況，故兩圓外離．答案：B思路一求圓C1圓C2的半徑r1，r2→求|C1C2|→比較|C1C2|與|r1－r2|，r1＋r2的大小思路二聯(lián)立圓C1與圓C2的方程→整理成關(guān)于x或y的一元二次方程→判斷判別式的符號→得出結(jié)論類型二兩圓的公共弦的問題例2已知兩圓x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)試判斷兩圓的位置關(guān)系；(2)求公共弦所在的直線方程；(3)求公共弦的長度．【解析】(1)將兩圓方程配方化為標準方程，C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10.則圓C1的圓心為(1，－5)，半徑r1＝5eq\r(2)；圓C2的圓心為(－1，－1)，半徑r2＝eq\r(10).又|C1C2|＝2eq\r(5)，r1＋r2＝5eq\r(2)＋eq\r(10).r1－r2＝5eq\r(2)－eq\r(10)，∴r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，∴(2)將兩圓方程相減，得公共弦所在直線方程為x－2y＋4＝0.(3)方法一兩方程聯(lián)立，得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＋10y－24＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,②))兩式相減得x＝2y－4，③把③代入②得y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－4，,y1＝0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝0，,y2＝2.))所以交點坐標為(－4,0)和(0,2)．∴兩圓的公共弦長為eq\r(－4－02＋0－22)＝2eq\r(5).方法二兩方程聯(lián)立，得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＋10y－24＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))兩式相減得x－2y＋4＝0，即為兩圓相交弦所在直線的方程．由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圓心為C1(1，－5)，半徑r1＝5eq\r(2).圓心C1到直線x－2y＋4＝0的距離d＝eq\f(|1－2×－5＋4|,\r(1＋－22))＝3eq\r(5)，設(shè)公共弦長為2l，由勾股定理r2＝d2＋l2，得50＝45＋l2，解得l＝eq\r(5)，所以公共弦長2l＝2eq\r(5).(1)利用圓心距與兩圓半徑的和差比較判斷兩圓的位置關(guān)系．(2)求兩圓公共弦所在的直線方程，兩圓方程相減即可．求弦長，可解方程組求交點坐標，利用兩點間的距離公式，也可利用弦心距、半徑與弦長的關(guān)系求解．方法歸納(1)求圓的弦長，一般運用垂徑定理構(gòu)造直角三角形，利用半徑、弦心距先求半弦長，即得弦長．(2)求兩圓的公共弦長及公共弦所在直線方程一般不用求交點的方法，常用如下方法：跟蹤訓練2(1)圓x2＋y2＋4x－4y＋7＝0與圓x2＋y2－4x＋10y＋13＝0的公切線的條數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．4(2)[2019·甘肅省蘭州第一期中]若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0的公共弦長為2eq\r(3)，則a的值為()A．1B．±1C．3D．±2解析：(1)兩圓的圓心分別為(－2,2)，(2，－5)，則兩圓的圓心距d＝eq\r(－2－22＋2＋52)＝eq\r(65).又兩圓半徑分別為1和4，則d>1＋4＝5，即兩圓外離，因此它們有4條公切線．(2)由題意知，圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0的公共弦所在的直線為2ay－2＝0，而圓心(0,0)到2ay－2＝0的距離為d＝eq\f(|－2|,\r(2a2))＝eq\f(1,|a|)，所以22＝(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,|a|)))2，解得a＝±1.答案：(1)D(2)B

類型三圓與圓相切的問題例3已知兩圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值時兩圓外切；(2)m取何值時兩圓內(nèi)切，此時公切線方程是什么．【解析】兩圓的標準方程分別為(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m.圓心分別為C1(1,3)，C2(5,6)．半徑分別為eq\r(11)和eq\r(61－m).(1)當兩圓外切時，eq\r(5－12＋6－32)＝eq\r(11)＋eq\r(61－m).解得m＝25＋10eq\r(11).(2)當兩圓內(nèi)切時，因定圓的半徑eq\r(11)小于兩圓圓心間距離5，故有eq\r(61－m)－eq\r(11)＝5.解得m＝25－10eq\r(11).因為kc1c2＝eq\f(6－3,5－1)＝eq\f(3,4)，所以兩圓公切線的斜率是－eq\f(4,3)，設(shè)切線方程為y＝－eq\f(4,3)x＋b，則有eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)×1＋3－b)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2＋1))＝eq\r(11).解得b＝eq\f(13,3)±eq\f(5,3)eq\r(11).容易驗證，當b＝eq\f(13,3)＋eq\f(5,3)eq\r(11)，直線與另一圓相交，故舍去．故所求公切線方程為y＝－eq\f(4,3)x＋eq\f(13,3)－eq\f(5,3)eq\r(11).即4x＋3y＋5eq\r(11)－13＝0.(1)利用|C1C2(2)利用|C1C2方法歸納求公切線的五個步驟(1)判斷公切線的條數(shù)．(2)設(shè)出公切線的方程．(3)利用切線性質(zhì)建立所設(shè)字母的方程，求解字母的值．(4)驗證特殊情況下的直線是否為公切線．(5)歸納總結(jié)．注意：對于求公切線問題，不要漏解，應先根據(jù)兩圓的位置關(guān)系來判斷公切線的條數(shù)．跟蹤訓練3求圓O：x2＋y2＝36與圓M：x2＋y2－10y＋16＝0的公切線方程．解析：如圖所示，易知兩圓相交，公切線有兩條．由圓M的方程易得M(0,5)，r＝3.設(shè)兩圓的公切線與圓O相切于點B(x0，y0)，則公切線方程為x0x＋y0y＝36.∵點M到公切線的距離等于3∴eq\f(|x0·0＋5·y0－36|,\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)))＝3.∵xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝36，又點M在公切線的下方，∴－(5y0－36)＝18，即y0＝eq\f(18,5).從而x0＝±eq\r(36－y\o\al(2,0))＝±eq\f(24,5).∴公切線方程為eq\f(24,5)x＋eq\f(18,5)y－36＝0或－eq\f(24,5)x＋eq\f(18,5)y－36＝0，即4x＋3y－30＝0或4x－3y＋30＝0.在求兩圓的公切線時，首先，要判斷兩圓的位置關(guān)系，以確定公切線的條數(shù)，從而防止漏解；其次，應注意公切線的幾何性質(zhì)，應用最佳方法．[基礎(chǔ)鞏固](25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．兩圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1和(x－3)2＋(y＋6)2＝144的位置關(guān)系是()A．相切B．內(nèi)含C．相交D．相離解析：因為兩圓的圓心距d＝eq\r(3＋32＋－6－22)＝10<12－1＝11，所以兩圓內(nèi)含．答案：B2．圓x2＋y2－4x＋6y＝0和圓x2＋y2－6x＝0交于A，B兩點，則直線AB的方程是()A．x＋y＋3＝0B．3x－y－9＝0C．x＋3y＝0D．4x－3y＋7＝0解析：兩圓方程相減，得公共弦所在直線的方程為x＋3y＝0.答案：C3．兩圓(x－2)2＋(y－1)2＝4與(x＋1)2＋(y－2)2＝9的公切線有()A．1條B．2條C．3條D．4條解析：兩圓的圓心距為eq\r(2＋12＋1－22)＝eq\r(10).兩個圓的半徑長之和為5，半徑長之差為1.∵1<eq\r(10)<5，∴兩個圓相交，公切線有2條．答案：B4．已知點A，B分別在兩圓x2＋(y－1)2＝1與(x－2)2＋(y－5)2＝9上，則A，B兩點之間的最短距離為()A．2eq\r(5)B．2eq\r(5)－2C．2eq\r(5)－4D．2解析：兩圓心之間的距離為eq\r(2－02＋5－12)＝2eq\r(5)>4＝r1＋r2，所以兩圓相離，所以A，B兩點之間的最短距離為2eq\r(5)－4，故選C.答案：C5．過直線2x＋y＋4＝0和圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交點，且取得最小面積的圓的方程是()A．x2＋y2＋eq\f(3,2)x－eq\f(17,4)y＝0B．x2＋y2－eq\f(3,2)x＋eq\f(17,4)y＝0C．x2＋y2＋eq\f(26,5)x－eq\f(12,5)y＋eq\f(37,5)＝0D．x2＋y2＋eq\f(26,5)x＋eq\f(12,5)y＋eq\f(37,5)＝0解析：利用圓系方程來求．答案：C二、填空題(每小題5分，共15分)6．已知兩圓x2＋y2＝1和(x＋2)2＋(y－a)2＝25沒有公共點，則實數(shù)a的取值范圍為________．解析：由已知，得兩圓的圓心分別為(0,0)，(－2，a)，半徑分別為1,5，∴圓心距d＝eq\r(0＋22＋0－a2)＝eq\r(a2＋4).∵兩圓沒有公共點，∴eq\r(a2＋4)<5－1或eq\r(a2＋4)>5＋1，解得－2eq\r(3)<a<2eq\r(3)或a<－4eq\r(2)或a>4eq\r(2).答案：(－∞，－4eq\r(2))∪(－2eq\r(3)，2eq\r(3))∪(4eq\r(2)，＋∞)7．兩圓相交于兩點(1,3)，(m，－1)，兩圓圓心都在直線x－y＋C＝0上，則m＋C的值為________．解析：由兩圓的公共弦的垂直平分線為兩圓心的連線，可得eq\f(－1－3,m－1)＝－1，所以m＝5.又兩公共點(1,3)和(5，－1)的中點(3,1)在直線x－y＋C＝0上，所以C＝－2.所以m＋C＝3.答案：38．[2019·海南校級月考]過兩圓x2＋y2－2y－4＝0與x2＋y2－4x＋2y＝0的交點，且圓心在直線l：2x＋4y－1＝0上的圓的方程為________________．解析：設(shè)所求圓的方程為x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，則(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圓心坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋λ)，\f(λ－1,1＋λ)))代入直線l的方程：2x＋4y－1＝0，可得λ＝eq\f(1,3)，故所求圓的方程為x2＋y2－3x＋y－1＝0.答案：x2＋y2－3x＋y－1＝0三、解答題(每小題10分，共20分)9．已知兩圓C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋y2－2x－8y－8＝0，判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系．解析：方法一把圓C1的方程化為標準方程，得(x＋2)2＋(y＋2)2＝10.圓C1的圓心坐標為(－2，－2)，半徑長r1＝eq\r(10).把圓C2的方程化為標準方程，得(x－1)2＋(y－4)2＝25.圓C2的圓心坐標為(1,4)，半徑長r2＝5.圓C1與圓C2的圓心距d＝eq\r(－2－12＋－2－42)＝3eq\r(5)，又圓C1與圓C2的兩半徑長之和是r1＋r2＝5＋eq\r(10)，兩半徑長之差是r2－r1＝5－eq\r(10)，而5－eq\r(10)<3eq\r(5)<5＋eq\r(10)，即r2－r1<d<r1＋r2，所以圓C1與圓C2的位置關(guān)系是相交．方法二將兩圓的方程聯(lián)立得到方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋4x＋4y－2＝0①，,x2＋y2－2x－8y－8＝0②，))由①－②得x＋2y＋1＝0③，由③得x＝－2y－1，把此式代入①，并整理得y2－1＝0④，方程④根的判別式Δ＝02－4×1×(－1)＝4>0，所以方程④有兩個不相等的實數(shù)根y1，y2，把y1，y2分別代入方程③，得到x1，x2.所以圓C1與圓C2有兩個不同的公共點(x1，y1)，(x2，y2)，即圓C1與圓C2的位置關(guān)系是相交．10．求以圓C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0與圓C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦為直徑的圓C的方程．解析：聯(lián)立兩圓的方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－12x－2y－13＝0，,x2＋y2＋12x＋16y－25＝0，))相減并化簡，得公共弦所在直線的方程為4x＋3y－2＝0.方法一由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋3y－2＝0，,x2＋y2－12x－2y－13＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝－6，))即兩圓的交點坐標分別為(－1,2)，(5，－6)．∵所求圓以公共弦為直徑，∴圓心C是公共弦的中點(2，－2)，半徑長為eq\f(1,2)eq\r(5＋12＋－6－22)＝5.∴圓C的方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝25.方法二設(shè)所求圓C的方程為x2＋y2－12x－2y－13＋λ(x2＋y2＋12x＋16y－25)＝0(λ≠－1)，可求得圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6－6λ,1＋λ)，\f(1－8λ,1＋λ))).∵圓心C在公共弦所在直線上，∴4·eq\f(6－6λ,1＋λ)＋3·eq\f(1－8λ,1＋λ)－2＝0，解得λ＝eq\f(1,2).∴圓C的方程為x2＋y2－4x＋4y－17＝0.[能力提升](20分鐘，40分)11．一輛貨車寬2米，要經(jīng)過一個半徑為eq\r(10)米的半圓形隧道，則這輛貨車的平頂車篷的篷頂距離地面高度不得超過()A．2.4米B．3米C．3.6米D．2.0米解析：以半圓直徑所在直線為x軸，過圓心且與x軸垂直的直線為y軸，建立如圖所示坐標系．由半圓的半徑為eq\r(10)可知，半圓所在的圓的方程為x2＋y2＝10(y≥0)，由圖可知當車恰好在隧道中間行走時車篷可達到最高．此時x＝1或x＝－1，代入x2＋y2＝10，得y＝3(負值舍去)，故選B.答案：B12．若圓