大學(xué)物理(第四版)課后習(xí)題與答案 機(jī)械振動

...wd......wd......wd...13機(jī)械振動解答13-1有一彈簧振子，振幅A=2.0×10-2m，周期T=1.0s，初相=3π13-1分析彈簧振子的振動是簡諧運(yùn)動。振幅A、初相、角頻率是簡諧運(yùn)動方程的三個特征量。求運(yùn)動方程就要設(shè)法確定這三個物理量。題中除A、外，可通過關(guān)系式確定。振子運(yùn)動的速度和加速度的計算仍與質(zhì)點運(yùn)動學(xué)中的計算方法一樣。解因，則運(yùn)動方程根據(jù)題中給出的數(shù)據(jù)得振子的速度和加速度分別為x-t、v-t及a-t圖如圖13-l所示13-2假設(shè)簡諧運(yùn)動方程為，求：〔1〕振幅、頻率、角頻率、周期和初相；〔2〕t=2s時的位移、速度和加速度。13-2分析可采用比擬法求解。將的簡諧運(yùn)動方程與簡諧運(yùn)動方程的一般形式作比擬，即可求得各特征量。運(yùn)用與上題一樣的處理方法，寫出位移、速度、加速度的表達(dá)式，代入t值后，即可求得結(jié)果。解〔l〕將與比擬后可得：振幅A=0.10m，角頻率，初相，則周期，頻率?！?〕t=2s時的位移、速度、加速度分別為13-3設(shè)地球是一個半徑為R的均勻球體，密度ρ5.5×103kg?m-313-3分析證明方法與上題相似。分析質(zhì)點在隧道內(nèi)運(yùn)動時的受力特征即可。證〔l〕取圖13-3所示坐標(biāo)。當(dāng)質(zhì)量為m的質(zhì)點位于x處時，它受地球的引力為式中G為引力常量，mx是以x為半徑的球體質(zhì)量，即。令，則質(zhì)點受力因此，質(zhì)點作簡諧運(yùn)動?！?〕質(zhì)點振動的周期為13-4如以下圖，兩個輕彈簧的勁度系數(shù)分別為k1和k2，物體在光滑斜面上振動?！?〕證明其運(yùn)動仍是簡諧振動；〔2〕求系統(tǒng)的振動頻率。13-4分析從上兩題的求解知道，要證明一個系統(tǒng)作簡諧運(yùn)動，首先要分析受力情況，然后看是否滿足簡諧運(yùn)動的受力特征〔或簡諧運(yùn)動微分方程〕。為此，建設(shè)如圖13-4〔b〕所示的坐標(biāo)。設(shè)系統(tǒng)平衡時物體所在位置為坐標(biāo)原點O，Ox軸正向沿斜面向下，由受力分析可知，沿Ox軸，物體受彈性力及重力分力的作用，其中彈性力是變力。利用串聯(lián)時各彈簧受力相等，分析物體在任一位置時受力與位移的關(guān)系，即可證得物體作簡諧運(yùn)動，并可求出頻率。證設(shè)物體平衡時兩彈簧伸長分別為x1、x2，則由物體受力平衡，有按圖〔b〕所取坐標(biāo)，物體沿x軸移動位移x時，兩彈簧又分別被拉伸和，即。則物體受力為將式〔1〕代人式〔2〕得由式〔3〕得，而，則得到式中為常數(shù)，則物體作簡諧運(yùn)動，振動頻率討論〔1〕由此題的求證可知，斜面傾角對彈簧是否作簡諧運(yùn)動以及振動的頻率均不產(chǎn)生影響。事實上，無論彈簧水平放置、斜置還是豎直懸掛，物體均作簡諧運(yùn)動。而且可以證明它們的頻率一樣，均由彈簧振子的固有性質(zhì)決定，這就是稱為固有頻率的原因。〔2〕如果振動系統(tǒng)如圖13-4〔c〕〔彈簧并聯(lián)〕或如圖13-4〔d〕所示，也可通過物體在某一位置的受力分析得出其作簡諧運(yùn)動，且振動頻率均為讀者可以一試。通過這些例子可以知道，證明物體是否作簡諧運(yùn)動的思路是一樣的13-5為了測得一物體得質(zhì)量m，將其掛在一彈簧上讓其自由振動，測得振動頻率。而將另一質(zhì)量的物體單獨(dú)掛在該彈簧上時，測得振動頻率。設(shè)振動均在彈簧的彈性限度內(nèi)進(jìn)展，求被測物體的質(zhì)量。13-5分析物體掛在彈簧上組成彈簧振子系統(tǒng)，其振動頻率，即。采用比擬頻率的方法可求出未知物體的質(zhì)量。解由分析可知，，則有。根據(jù)題中繪出的數(shù)據(jù)可得物體的質(zhì)量為13-6在如以下圖的裝置中，一勁度系數(shù)為k的彈簧，一端固定在墻上，另一端連接一質(zhì)量為m1的物體A，置于光滑水平桌面上。現(xiàn)通過一質(zhì)量為m、半徑為R的定滑輪B〔可視為勻質(zhì)圓盤〕用細(xì)繩連接另一質(zhì)量為m2的物體C，設(shè)細(xì)繩不可伸長，且與滑輪間無相對滑動，求系統(tǒng)的振動角頻率。13-6分析這是一個由彈簧、物體A、C和滑輪B組成的簡諧運(yùn)動系統(tǒng)。求解系統(tǒng)的振動頻率可采用兩種方法?！?〕從受力分析著手。如圖13-6〔b〕所示，設(shè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時，與物體A相連的彈簧一端所在位置為坐標(biāo)原點O，此時彈簧已伸長x0，且。當(dāng)彈簧沿Ox軸正向從原點O伸長x時，分析物體A、C及滑輪B的受力情況，并分別列出它們的動力學(xué)方程，可解得系統(tǒng)作簡諧運(yùn)動的微分方程。〔2〕從系統(tǒng)機(jī)械能守恒著手。列出系統(tǒng)機(jī)械能守恒方程，然后求得系統(tǒng)作簡諧運(yùn)動的微分方程。解1在圖13-6〔b〕的狀態(tài)下，各物體受力如圖13-6〔c〕所示。其中。考慮到繩子不可伸長，對物體A、B、C分別列方程，有 (1) (2) (3) (4)方程〔3〕中用到了。聯(lián)立式〔l〕-式〔4〕可得則系統(tǒng)振動的角頻率為解2取整個振動裝置和地球為研究系統(tǒng)，因沒有外力和非保守內(nèi)力作功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。設(shè)物體平衡時為初始狀態(tài)，物體向右偏移距離X〔此時速度為對、加速度為a〕為末狀態(tài)，則由機(jī)械能守恒定律，有在列出上述方程時應(yīng)注意勢能〔重力勢能和彈性勢能〕零點的選取。為運(yùn)算方便，選初始狀態(tài)下物體C所在位置為重力勢能零點；彈簧原長時為彈性勢能的零點。將上述方程對時間求導(dǎo)得將代人上式，可得式〔6〕與式〔5〕一樣，說明兩種解法結(jié)果一致。17-7一放置在水平桌面上的彈簧振子，振幅A=2.0×10-2m,周期T=0.50s。當(dāng)t=0時，〔1〕物體在正方向端點；〔2〕物體在平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動；〔3〕物體在..x=1.0×10-2m處，向負(fù)方向運(yùn)動；〔4〕物體在..x=-1.0×1013-7分析在振幅A和周期T的條件下，確定初相中是求解簡諧運(yùn)動方程的關(guān)鍵。初相確實定通常有兩種方法?！?〕解析法：由振動方程出發(fā)，根據(jù)初始條件，即t=0時，x=xo和來確定值?！?〕旋轉(zhuǎn)矢量法：如圖13-7〔a〕所示，將質(zhì)點P在Ox軸上振動的初始位置x0和速度v0的方向與旋轉(zhuǎn)矢量圖相對應(yīng)來確定。旋轉(zhuǎn)矢量法比擬直觀、方便，在分析中常采用。解由題給條件知，，而初相可采用分析中的兩種不同方法來求。解析法：根據(jù)簡諧運(yùn)動方程，當(dāng)t＝0時有，。當(dāng)〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕旋轉(zhuǎn)矢量法：分別畫出四個不同初始狀態(tài)的旋轉(zhuǎn)關(guān)量圖，如圖13-7〔b〕所示，它們所對應(yīng)的初相分別為，，，。振幅A、角頻率、初相均確定后，則各相應(yīng)狀態(tài)下的運(yùn)動方程為〔1〕〔2〕〔3〕(4〕13-8有一彈簧，當(dāng)其下端掛一質(zhì)量為m的物體時，伸長量為9.8×10-2m。假設(shè)使物體上下振動，且規(guī)定向下為正方向?！?〕t=0時，物體在平衡位置上方8.0×10-2m處，由靜止開場向下運(yùn)動，求運(yùn)動方程?！?〕t=0時，物體在平衡位置并以0.60m/s的速度向上運(yùn)動，求運(yùn)動方程。13-8分析求運(yùn)動方程，也就是要確定振動的三個特征物理量A、，和。其中振動的角頻率是由彈簧振子系統(tǒng)的固有性質(zhì)〔振子質(zhì)量m及彈簧勁度系數(shù)k〕決定的，即，可根據(jù)物體受力平衡時彈簧的伸長來計算；振幅A和初相需要根據(jù)初始條件確定。解物體受力平衡時，彈性力F與重力P的大小相等，即F=mg。而此時彈簧的伸長量。則彈簧的勁度系數(shù)。系統(tǒng)作簡諧運(yùn)動的角頻率為〔1〕設(shè)系統(tǒng)平衡時，物體所在處為坐標(biāo)原點，向下為x軸正向。由初始條件t=0時，，可得振幅；應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量法可確定初相。[圖13-8〔a〕]。則運(yùn)動方程為〔2〕t=0時，，，同理可得，；[圖13-8〔b〕]。則運(yùn)動方程為13-9某振動質(zhì)點的x-t曲線如以下圖，試求：〔1〕運(yùn)動方程；〔2〕點P對應(yīng)的相位；〔3〕到達(dá)點P相應(yīng)位置所需要的時間。13-9分析由運(yùn)動方程畫振動曲線和由振動曲線求運(yùn)動方程是振動中常見的兩類問題。此題就是要通過x-t圖線確定振動的三個特征量量A、，和，從而寫出運(yùn)動方程。曲線最大幅值即為振幅A；而、通?？赏ㄟ^旋轉(zhuǎn)矢量法或解析法解出，一般采用旋轉(zhuǎn)矢量法比擬方便解〔1〕質(zhì)點振動振幅A＝0.10m。而由振動曲線可畫出t=0和t=4s時旋轉(zhuǎn)矢量，如圖13-9〔b〕所示。由圖可見初相，而由得，則運(yùn)動方程為〔2〕圖14-9〔a〕中點P的位置是質(zhì)點從A/2處運(yùn)動到正向的端點處。應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖13-10〔C〕所示。當(dāng)初相取時，點P的相位為〔如果初相取，則點P相應(yīng)的相位應(yīng)表示為〕。〔3〕由旋轉(zhuǎn)關(guān)量圖可得則13-10在一塊平板下裝有彈簧，平板上放一質(zhì)量為1.0kg的重物?，F(xiàn)使平板沿豎直方向做上下簡諧運(yùn)動，周期為0.50s，振幅為2.0×10-2m13-10分析按題意作示意圖13-10。物體在平衡位置附近隨板作簡諧運(yùn)動，其間受重力P和板支持力FN作用，F(xiàn)N是一個變力。按牛頓定律，有 〔l〕由于物體是隨板一起作簡諧運(yùn)動，因而有，則式〔l〕可改寫為 〔2〕(1〕根據(jù)板運(yùn)動的位置，確定此刻振動的相位，由式〔2〕可求板與物體之間的作用力。〔2〕由式〔2〕可知支持力FN的值與振幅A、角頻率和相位有關(guān)。在振動過程中，當(dāng)時FN最小。而重物恰好跳離平板的條件為FN=0，因此由式〔2〕可分別求出重物跳離平板所需的頻率或振幅。解〔l〕由分析可知，重物在最低點時，相位，物體受板的支持力為重物對木塊的作用力與FN大小相等，方向相反?！?〕當(dāng)頻率不變時，設(shè)振幅變?yōu)?。根?jù)分析中所述，將FN=0及代入分析中式〔2〕，可得〔3〕當(dāng)振幅不變時，設(shè)頻率變?yōu)?。同樣將FN＝0及代入分析中式〔2〕，可得13-11一物體沿x軸做簡諧運(yùn)動，振幅為0.06m，周期為2.0s，當(dāng)t=0時位移為0.03m，且向x軸正方向運(yùn)動。求：〔1〕t=0.5s時，物體的位移、速度和加速度；〔2〕物體從x=-0.03m處向x軸負(fù)向運(yùn)動開場，到平衡位置，至少需要多少時間13-11分析運(yùn)動方程即可求物體的位移、速度、加速度。因此，寫出運(yùn)動方程是此題的關(guān)鍵。其方法可參見題13-7。至于質(zhì)點從x=-0.03m解〔1〕由題意知A=0.06m、由旋轉(zhuǎn)矢量圖13-11〔a〕可確定初相則振動方程為當(dāng)t=0.5s時質(zhì)點的位移、速度、加速度分別為〔2〕質(zhì)點從x=-0.03m運(yùn)動到平衡位置的過程中，旋轉(zhuǎn)關(guān)量從圖13-11〔b〕中的位置M轉(zhuǎn)至位置N，矢量轉(zhuǎn)過的角度(即相位差〕。該過程所需時間為13-12兩質(zhì)點做通頻率、同振幅的簡諧運(yùn)動。第一個質(zhì)點的運(yùn)動方程為，當(dāng)?shù)谝粋€質(zhì)點自振動正方向回到平衡位置時，第二個質(zhì)點恰在振動正方向的端點。試用旋轉(zhuǎn)矢量圖表示它們，并求第二個質(zhì)點的運(yùn)動方程及它們的相位差。13-12解圖13-12為兩質(zhì)點在特定時刻t的旋轉(zhuǎn)矢量圖，OM表示第一個質(zhì)點振動的旋轉(zhuǎn)矢量；ON表示第二個質(zhì)點振動的旋轉(zhuǎn)矢量。可見第一個質(zhì)點振動的相位比第二個質(zhì)點超前，即它們的相位差。第二個質(zhì)點的運(yùn)動方程應(yīng)為13-13有一單擺，長為1.0m，最大擺角為50，如以下圖?！?〕求擺的角頻率和周期；〔2〕設(shè)開場時擺角最大，試寫出此單擺的運(yùn)動方程；〔3〕當(dāng)擺角為30時的角速度和擺球的線速度時多少13-13分析單擺在擺角較小時〔〕的擺動，其角量與時間的關(guān)系可表示為簡諧運(yùn)動方程，其中角頻率仍由該系統(tǒng)的性質(zhì)〔重力加速度g和繩長〕決定，即。初相與擺角，質(zhì)點的角速度與旋轉(zhuǎn)矢量的角速度〔角頻率〕均是不同的物理概念，必須注意區(qū)分。解〔1〕單擺角頻率及周期分別為〔2〕由t=0時可得振動初相，則以角量表示的簡諧運(yùn)動方程為(3〕擺角為30時，有，則這時質(zhì)點的角速度為線速度的大小為討論質(zhì)點的線速度和角速度也可通過機(jī)械能守恒定律求解，但結(jié)果會有極微小的差異。這是因為在導(dǎo)出簡諧運(yùn)動方程時曾取，所以，單擺的簡諧運(yùn)動方程僅在較小時成立。13-14為了測月球外表的重力加速度，宇航員將地面上的秒擺〔周期為2.00s〕拿到月球上去，如測得周期為4.90s，地球外表得重力加速度為9.80m/s2，則月球外表得重力加速度是多少13-14解由單擺的周期公式可知，故有，則月球的重力加速度為13-15一均勻等邊三角形薄板，質(zhì)量為m，高度為h，如以下圖。當(dāng)其繞AB邊〔與水平軸線重合〕轉(zhuǎn)動時，試證其做微小振動的周期為。13-15分析三角形薄板繞AB軸的微振動是一復(fù)擺運(yùn)動。復(fù)擺振動周期為，因此，只要知道復(fù)擺繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量J和轉(zhuǎn)軸到質(zhì)心的距離，其振動周期就可求得。證為了求三角形薄板繞AB軸的轉(zhuǎn)動慣量，按圖13-15〔b〕取坐標(biāo)。圖中任取一距軸y寬dy的狹長質(zhì)元，其質(zhì)量，式中為薄板的面密度，。該質(zhì)元對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，則三角形薄板對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為又由質(zhì)心定義可知，等邊三角形薄板的質(zhì)心至底邊〔轉(zhuǎn)軸〕的距離。將J和的值代入公式中，即可證得該復(fù)擺的周期為13-16有一密度均勻得金屬T字形細(xì)尺，如以下圖。它由兩根金屬米尺組成。假設(shè)它可繞通過點O的垂直紙面的水平軸轉(zhuǎn)動，求其做微小振動的周期。13-16解T字形尺的微小振動是復(fù)擺振動。T字形尺繞軸O的轉(zhuǎn)動慣量J。由兩局部組成，其中尺對該軸的轉(zhuǎn)動慣量為尺AB對軸O的轉(zhuǎn)動慣量為J2，根據(jù)平行軸定理可得故有圖13-16中T字形尺的質(zhì)心C至點O的距離為，由質(zhì)心定義可得。則T字形尺的振動周期為13-17如以下圖，一勁度系數(shù)為k的輕彈簧，其下掛有一質(zhì)量為m1的空盤。現(xiàn)有一質(zhì)量為m2的物體從盤上方高為h處自由落到盤中，并和盤粘在一起振動。問：〔1〕此時的振動周期與空盤作振動的周期有和不同〔2〕此時的振幅為多大13-17解〔1〕空盤作振動，周期m物體與空盤一起作振動，周期為T則〔2〕如圖示，m物體由高度h處自由落下，與盤粘在一起，此過程為非彈性碰撞，設(shè)碰撞的速度為v，根據(jù)動量守恒設(shè)碰撞瞬時開場計時，平衡位置為坐標(biāo)原點，則t=0式中x1為m物未落入盤時彈簧的伸長量，即mg=kx1x2為重物落入盤后處于平衡位置時，彈簧的伸長量即所以同時此時所以因此系統(tǒng)的振動表達(dá)式為13-18一氫原子在分子中的振動可視為簡諧運(yùn)動，氫原子的質(zhì)量m=1.68×10-27kg，振動頻率，振幅A=1.0×10-11m，試計算：〔1〕此13-18解〔1〕簡諧運(yùn)動系統(tǒng)中振子運(yùn)動的速度故氫原子振動的最大速度為〔2〕氫原子的振動能量13-19試證明：〔1〕在一個周期中，簡諧運(yùn)動的動能和勢能對時間的平均值都等于kA2/4；〔2〕在一個周期中，簡諧運(yùn)動的動能和勢能對位置的平均值分別等于kA2/3和kA2/6。13-19證〔1〕簡諧運(yùn)動的動能和勢能分別為則在一個周期中，動能與勢能對時間的平均值分別為〔2〕因簡諧運(yùn)動勢能，則勢能在一個周期中對位置的平均值為則動能在一個周期中對位置的平均值為13-20有兩個同方向同頻率的簡諧運(yùn)動，其合振動的振幅為0.20m，和振動的相位與第一個振動的相位差為，第一個振動的振幅為0.173m。求第二個振動的振幅及兩振動的相位差。13-20解采用旋轉(zhuǎn)矢量合成圖求解。如圖13-20所示，取第一個振動的旋轉(zhuǎn)矢量A1沿Ox軸，即令其初相為零；按題意，合振動的旋轉(zhuǎn)矢量A與A1之間的夾角。根據(jù)矢量合成，可得第二個振動的旋轉(zhuǎn)矢量的大小〔即振幅〕為由于A1、A2、A的量值恰好滿足勾股定理，故A1與A2垂直，即第二個振動與第一個振動的相位差為13-21將頻率為348Hz的標(biāo)準(zhǔn)音叉振動和一個待測頻率的音叉振動合成，測得拍頻為3.0Hz。假設(shè)在待測頻率音叉的一端上加上一小塊物體，則拍頻將減小，求待測頻率的固有頻率。13-21分析這是利用拍現(xiàn)象來測定振動頻率的一種方法。在頻率和拍頻數(shù)的情況下