考向11對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（重點(diǎn)）-備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)微專題（新高考地區(qū)專用）（解析版）

考向11對數(shù)與對數(shù)函數(shù)【2022·全國·高考真題（文）】已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．【詳解】由可得，而，所以，即，所以．又，所以，即，所以．綜上，．故選：A.【2022·全國·高考真題】設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.1.在對數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后正用對數(shù)運(yùn)算法則化簡合并.2.先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.|3.，且是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.4.識別對數(shù)函數(shù)圖象時(shí)，要注意底數(shù)以1為分界：當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù).注意對數(shù)函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)，且以軸為漸近線.5.一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.6.比較對數(shù)值的大小(1)若對數(shù)值同底數(shù)，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較(2)若對數(shù)值同真數(shù)，利用圖象法或轉(zhuǎn)化為同底數(shù)進(jìn)行比較(3)若底數(shù)、真數(shù)均不同，引入中間量進(jìn)行比較7.解決對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用有以下三個(gè)步驟:(1)求出函數(shù)的定義域；(2)判斷對數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的大小關(guān)系，當(dāng)?shù)讛?shù)是含字母的代數(shù)式(包含單獨(dú)一個(gè)字母)時(shí)，若涉及其單調(diào)性，就必須對底數(shù)進(jìn)行分類討論；(3)判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性1.換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論(1)(2).其中，且，且.2.在第一象限內(nèi)，不同底的對數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大3.對數(shù)函數(shù)，且的圖象過定點(diǎn)，且過點(diǎn)，函數(shù)圖象只在第一、四象限.1.對數(shù)式的運(yùn)算(1)對數(shù)的定義：一般地，如果且，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作，讀作以為底的對數(shù)，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．(2)常見對數(shù)：①一般對數(shù)：以且為底，記為，讀作以為底的對數(shù)；②常用對數(shù)：以為底，記為；③自然對數(shù)：以為底，記為；(3)對數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則：①；；其中且；②(其中且，)；③對數(shù)換底公式：；④；⑤；⑥，；⑦和；⑧；2.對數(shù)函數(shù)的定義及圖像(1)對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)．對數(shù)函數(shù)的圖象圖象性質(zhì)定義域：值域：過定點(diǎn)，即時(shí)，在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，1．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用指對互化以及指對函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行比較即可.【詳解】由，，可得.故選：C.2．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】分別判斷出每個(gè)數(shù)的范圍，然后比較即可.【詳解】因?yàn)?，，，所?故選：D.3．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））已知，用科學(xué)記數(shù)法表示為，則的值約為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得，再分析求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，所以，又無限接近于，所以.故選：B.4．（2022·黑龍江·雞西市第四三模（理））若兩個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過若干次平移后能夠重合，則稱這兩個(gè)函數(shù)為“同形”函數(shù)，給出下列三個(gè)函數(shù)：，，，則（

）A．，，為“同形”函數(shù)B．，為“同形”函數(shù)，且它們與不為“同形”函數(shù)C．，為“同形”函數(shù)，且它們與不為“同形”函數(shù)D．，為“同形”函數(shù)，且它們與不為“同形”函數(shù)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題中“同形”函數(shù)的定義和、均可化簡成以3為底的指數(shù)形式，可得答案．【詳解】解：，，故，的圖象可分別由的圖象向左平移個(gè)單位、向右平移1個(gè)單位得到，故，，為“同形”函數(shù)．故選：A．5．（2022·山東·德州市教育科學(xué)研究院三模）已知對數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn)，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)可以解得，，再結(jié)合中間值法比較大?。驹斀狻吭O(shè)，由題意可得：，則∴，，∴故選：C．6．（2022·河南·平頂山市第一高級模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】構(gòu)建，根據(jù)奇偶性定義可證是定義在R上的奇函數(shù)，利用奇函數(shù)理解運(yùn)算．【詳解】令，，是R上的奇函數(shù)，，即，又，所以．故選：A．7．（2022·青?！ず|市第一模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，若是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=______．【答案】1【解析】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)列方程求參數(shù).【詳解】由題意，，即，所以，化簡得，解得．故答案為：18．（2022·福建·三明模擬預(yù)測）寫出一個(gè)滿足對定義域內(nèi)的任意x，y，都有的函數(shù)：___________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知函數(shù)符合題意.【詳解】若函數(shù)，則滿足題意，故答案為：（答案不唯一）1．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（理））已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，借助“媒介”數(shù)比較作答.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，，，而，所以.故選：D2．（2022·青?！つM預(yù)測（理））設(shè)，，，則a、b、c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，再借助“媒介”數(shù)比較大小作答.【詳解】函數(shù)在上都是增函數(shù)，，即，，則，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而，則，所以.故選：A3．（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測）已知，則，，的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小作答.【詳解】令函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)得：，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，，，顯然，則有，所以.故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：某些數(shù)或式大小比較問題，探討給定數(shù)或式的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求解.4．（2022·全國·模擬預(yù)測）“熵”是用來形容系統(tǒng)混亂程度的統(tǒng)計(jì)量，其計(jì)算公式為，其中i表示所有可能的微觀態(tài)，表示微觀態(tài)i出現(xiàn)的概率，為大于0的常數(shù)．則在以下四個(gè)系統(tǒng)中，混亂程度最高的是（

）A． B．，C． D．，，【答案】C【解析】【分析】對選項(xiàng)逐一驗(yàn)證，分別計(jì)算系統(tǒng)的混亂程度，借助對數(shù)函數(shù)比較大小，計(jì)算得解.【詳解】對選項(xiàng)逐一驗(yàn)證（不考慮負(fù)號和玻爾茲曼常數(shù)）．A選項(xiàng)：系統(tǒng)的混亂程度；B選項(xiàng)：系統(tǒng)的混亂程度；C選項(xiàng)：系統(tǒng)的混亂程度；D選項(xiàng)：系統(tǒng)的混亂程度，所以，，，所以最小，從而C選項(xiàng)對應(yīng)的系統(tǒng)混亂程度最高．故選：C.5．（2022·遼寧實(shí)驗(yàn)?zāi)M預(yù)測）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．不存在【答案】A【解析】【分析】由題設(shè)條件可得，從而利用換底公式的推論可得，代入要求最小值的代數(shù)式中，消元，利用均值不等式求最值【詳解】又，則當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號故選：A6．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、作差法比較大小等知識，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，對于A：，，所以，故A錯誤；對于B：，所以在上為增函數(shù)，又，所以，故B錯誤；對于C：，因?yàn)?，，所以，所以，故C錯誤；對于D：，因?yàn)椋?，所以，即，故D正確.故選：D7．（2022·北京·北大附中三模）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由可得，在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖象，即可得答案.【詳解】解：依題意，等價(jià)于，在同一坐標(biāo)系中作出，的圖象，如圖所示：如圖可得的解集為：.故選：D.8．（2022·湖北省仙桃模擬預(yù)測）已知是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】先求出函數(shù)的解析式，令，把原不等式轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性法解不等式即可得到答案.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則，所以.因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以.即當(dāng)時(shí)，.綜上所述：.令，則，所以不等式可化為：.當(dāng)時(shí)，不合題意舍去.當(dāng)時(shí)，對于.因?yàn)樵谏线f增，在上遞增，所以在上遞增.又，所以由可解得：，即，解得：.故選：C9．（2022·全國·哈師大附中模擬預(yù)測（理））函數(shù)，其中，記，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由條件結(jié)合對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可求，再結(jié)合倒序相加法求，利用裂項(xiàng)相消法求.【詳解】，∴，，∴，故選：A．10．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由，可得，，得，所以，然后構(gòu)造函數(shù)，利用可求出其單調(diào)區(qū)間，從而可求出其范圍【詳解】的圖象如圖，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，，所以，所以，所以，所以，所以，則，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，所以，所以，所以的取值范圍為，故答案為：11．（2022·青?！ご笸ɑ刈逋磷遄灾慰h教學(xué)研究室三模（文））若，，，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】由可得，變?yōu)?，則可利用，結(jié)合基本不等式，即可求得答案.【詳解】∵，∴，，，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，∴的最小值為,故答案為：12．（2022·云南師大附中模擬預(yù)測（理））給出下列命題：①；②；③；④，其中真命題的序號是______.【答案】①②④【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性分別比較大小即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，所以，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，于是在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.對于①，，即，又，據(jù)的單調(diào)性知成立，故①正確；對于②，，因?yàn)?，所以，即，又，?jù)的單調(diào)性知成立，故②正確；對于③，，即，又，據(jù)的單調(diào)性知成立，故③錯誤；對于④，，即，又，據(jù)的單調(diào)性可知成立，故④正確.故答案為：①②④．13．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對任意，存在使得恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________．【答案】【解析】【分析】恒成立存在性共存的不等式問題，需要根據(jù)題意確定最值比大小解不等式即可.【詳解】根據(jù)題意可得只需即可，由題可知a為對數(shù)底數(shù)且或.當(dāng)時(shí)，此時(shí)在各自定義域內(nèi)都有意義，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，，所以，即，可得；當(dāng)時(shí)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，所以，即，可得.綜上：.故答案為：.14．（2022·四川·內(nèi)江市教育科學(xué)研究所三模（文））已知函數(shù)，數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和___________.【答案】【解析】【分析】利用定義判斷的奇偶性，并確定值域范圍，根據(jù)已知條件易得，進(jìn)而求出首項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求.【詳解】由且定義域?yàn)镽，所以為偶函數(shù)，而，當(dāng)時(shí)等號成立，所以在R上恒成立，故要使，又是公差為2的等差數(shù)列，所以，則，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷函數(shù)的奇偶性，根據(jù)其對稱性確定的數(shù)量關(guān)系.15．（2022·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測（文））若，則__________.【答案】##【解析】【分析】將變形為，換元整理為，構(gòu)造函數(shù)，由單增得到即可求解.【詳解】由，兩邊取以為底的對數(shù)，得，即.由，令，則，所以，即.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增.由以及，則，又，所以.故答案為：.1．（2022·全國·高考真題（文））已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．【詳解】由可得，而，所以，即，所以．又，所以，即，所以．綜上，．故選：A.2．（2022·全國·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.3．（2022·浙江·高考真題）已知，則（

）A．25 B．5 C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，冪的運(yùn)算性質(zhì)以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可解出．【詳解】因?yàn)?，，即，所以．故選：C.4．（2021·天津·高考真題）設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍即可求解.【詳解】，，，，，，.故選：D.5．（2020·全國·高考真題（理））若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】將不等式變?yōu)椋鶕?jù)的單調(diào)性知，以此去判斷各個(gè)選項(xiàng)中真數(shù)與的大小關(guān)系，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由得：，令，為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，為上的增函數(shù)，，，，，則A正確，B錯誤；與的大小不確定，故CD無法確定.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)式的大小的判斷問題，解題關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式，利用函數(shù)的單調(diào)性得到的大小關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.6．（2020·全國·高考真題（文））設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知等式，利用指數(shù)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得解【詳解】由可得，所以，所以有，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)指對式的運(yùn)算的問題，涉及到的知識點(diǎn)有對數(shù)的運(yùn)算法則，指數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題目.7．（2019·天津·高考真題（理））已知，，，則的大小關(guān)系為A． B．C． D．【答案】A【解析】利用等中間值區(qū)分各個(gè)數(shù)值的大小．【詳解】，，，故，所以．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查大小比較問題，關(guān)鍵選擇中間量和函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．8．（2019·全國·高考真題（文））已知，則A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用中間量比較，運(yùn)用中間量比較【詳解】則．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)和對數(shù)大小的比較，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取中間變量法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．9．（2019·全國·高考真題（理））若a>b，則A．ln(a?b)>0 B．3a<3bC．a(chǎn)3?b3>0 D．│a│>│b│【答案】C【解析】【分析】本題也可用直接法，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，知A錯，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，故B錯；因?yàn)閮绾瘮?shù)是增函數(shù)，，所以，知C正確；取，滿足，，知D錯．【詳解】取，滿足，，知A錯，排除A；因?yàn)?，知B錯，排除B；取，滿足，，知D錯，排除D，因?yàn)閮绾瘮?shù)是增函數(shù)，，所以，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)、冪函數(shù)性質(zhì)及絕對值意義，滲透了邏輯推理和運(yùn)算能力素養(yǎng)，利用特殊值排除即可判斷．10．（2016·全國·高考真題（理））已知，，，則A． B．C． D．【答案】A【解析】【詳解】因?yàn)椋?，，因?yàn)閮绾瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，即b<a<c.故選：A.11．（2018·天津·高考真題（文））已知，則的大小關(guān)系為A． B． C． D．【答案】D【解析】【詳解】分析：由題意結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的性質(zhì)整理計(jì)算即可確定a,b,c的大小關(guān)系.詳解：由題意可知：，即，，即，，即，綜上可得：.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：對于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時(shí)候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．這就必須掌握一些特殊方法．在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時(shí)，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)