安徽省安慶市雷池中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

安徽省安慶市雷池中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為,則的最小值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D2.若tanθ=2，則cos2θ=（）A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：D【考點(diǎn)】二倍角的余弦；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．【專題】計(jì)算題；三角函數(shù)的求值．【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角的余弦公式把要求的式子化為，把已知條件代入運(yùn)算，求得結(jié)果．【解答】解：∵tanθ=2，∴cos2θ=cos2θ﹣sin2θ===﹣，故選D．【點(diǎn)評】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角的余弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．3.設(shè)函數(shù)，函數(shù)，則方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是……………（

）.（A）個(gè)

（B）個(gè)

（C）個(gè)

（D）個(gè)參考答案：B4.“φ＝”是“函數(shù)為偶函數(shù)的”（

）A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：5.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，為其終邊上一點(diǎn)，則(

)A. B. C. D.參考答案：D【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，然后再根據(jù)二倍角的余弦公式求出．【詳解】∵為角終邊上一點(diǎn)，∴，∴．故選D．6.雙曲線C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F1作曲線C2：x2+y2=a2的切線，設(shè)切點(diǎn)為M，延長F1M交曲線C3：y2=2px（p＞0）于點(diǎn)P，其中C1與C3有一個(gè)共同的焦點(diǎn)，若M為F1P的中點(diǎn)，則雙曲線C1的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】求出P的坐標(biāo)，代入拋物線方程，從而求雙曲線的離心率．【解答】解：|OF1|=c，|OM|=a，|F1M|=b，又∵M(jìn)為PF1的中點(diǎn)，∴|PF2|=2|OM|=2a，|PF1|=2b，∵C1與C3有一個(gè)共同的焦點(diǎn)，∴p=2c，設(shè)P（x，y），則x+c=2a，∴x=2a﹣c，∵c?yM=ab，∴yM=，∴yP=，代入拋物線方程可得=4c（2a﹣c），∵e＞1，∴e=．故選A．【點(diǎn)評】本題考查了學(xué)生的作圖能力及分析轉(zhuǎn)化的能力，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了雙曲線的定義，屬于中檔題．7.已知正三棱錐A﹣BCD的外接球半徑R=，P，Q分別是AB，BC上的點(diǎn)，且滿足=5，DP⊥PQ，則該正三棱錐的高為（）A． B．

C． D．2參考答案：A【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征．【分析】將正三棱錐A﹣BCD補(bǔ)成一個(gè)正方體，則正方體的體對角線就是其外接直徑，由正方體的性質(zhì)知正方體的體對角線的三分之一即為該正三棱錐的高，由此能求出該正三棱錐的高．【解答】解：∵正三棱錐中對棱互相垂直，∴AC⊥BD，∵P，Q分別是AB，BC上的點(diǎn)，且滿足==5，∴PQ∥AC，∵DP⊥PQ，∴DP⊥AC，∴AC⊥平面ABD，又∵該三棱錐是正三棱錐，∴正三棱錐A﹣BCD的三條側(cè)棱相等且互相垂直，將正三棱錐A﹣BCD補(bǔ)成一個(gè)正方體，則正方體的體對角線就是其外接直徑，故2R=，由正方體的性質(zhì)知正方體的體對角線的三分之一即為該正三棱錐的高，該正三棱錐的高為．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查正三棱錐的高的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．8.已知函數(shù)f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函數(shù)，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，2] C．（﹣4，4] D．（﹣4，2]參考答案：C【考點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；二次函數(shù)的性質(zhì)；對數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【分析】若函數(shù)f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函數(shù)，則x2﹣ax+3a＞0且f（2）＞0，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，我們可得到關(guān)于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范圍．【解答】解：若函數(shù)f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函數(shù)，則當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，x2﹣ax+3a＞0且函數(shù)f（x）=x2﹣ax+3a為增函數(shù)即，f（2）=4+a＞0解得﹣4＜a≤4故選C9.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱柱的體積為，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，則此球的表面積是（）A．2π B．4π C．8π D．10π參考答案：C【考點(diǎn)】LG：球的體積和表面積．【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，棱柱的體積為，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，求出AA1，再求出△ABC外接圓的半徑，即可求得球的半徑，從而可求球的表面積．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，棱柱的體積為，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，∴×2×1×sin60°×AA1=，∴AA1=2∵BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcos60°=4+1﹣2，∴BC=．設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，則=2R，∴R=1．∴外接球的半徑為，∴球的表面積等于4π×（）2=8π．故選：C．10.已知函數(shù)（）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A由圖知，，且，則周期，所以．因?yàn)椋瑒t，從而．所以，故，選A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知實(shí)數(shù)滿足約束條件若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .參考答案：略12.已知A，B，C是半徑為l的圓O上的三點(diǎn)，AB為圓O的直徑，P為圓O內(nèi)一點(diǎn)（含圓周），則的取值范圍為

．參考答案：[﹣，4]．【分析】根據(jù)題意，把化為3+2?﹣1，利用參數(shù)表示點(diǎn)C（cosα，sinα），P（rcosβ，rsinβ）且0≤r≤1；根據(jù)三角函數(shù)的有界性求出3+2?﹣1的最值即可．【解答】解：根據(jù)題意，=﹣，且||=||=||=1，∴=（+）?（+）+（+）?（+）+（+）?（+）=3+2?（++）+?+（+）?=3+2?﹣1，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)C（cosα，sinα），點(diǎn)P（rcosβ，rsinβ），且0≤r≤1；則3+2?﹣1=3r2﹣2rcos（α﹣β）﹣1，∴3+2?﹣1≤3r2+2r﹣1≤4，且3+2?﹣1≥3r2﹣2r﹣1≥﹣；∴的取值范圍是[﹣，4]．故答案為：[﹣，4]．13.下列正確命題的序號是____________（1）“”是直線與直線相互垂直的必要不充分條件（2），使得函數(shù)是偶函數(shù)（3）不等式：≥，

≥，≥，…，由此猜測第個(gè)不等式為…≥…（4）若二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，則展開式中的系數(shù)是【解析】當(dāng)時(shí)，兩直線為和，此時(shí)兩直線垂直，“”是直線與直線相互垂直的充分不必要條件，，所以（1）錯誤，所以當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，所以(2)正確，由歸納推理可知，（3）正確，令，則得所有項(xiàng)系數(shù)為，解得，二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以，所以系數(shù)為，所以（4）錯誤，正確的為(2)(3)。參考答案：當(dāng)時(shí)，兩直線為和，此時(shí)兩直線垂直，“”是直線與直線相互垂直的充分不必要條件，，所以（1）錯誤，所以當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，所以(2)正確，由歸納推理可知，（3）正確，令，則得所有項(xiàng)系數(shù)為，解得，二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以，所以系數(shù)為，所以（4）錯誤，正確的為(2)(3)?！敬鸢浮?2)(3)14.若向量a，b滿足：=，且|a|=2，|b|=4，則a與b的夾角等于.

參考答案：答案：15.已知，，且，則ab的最小值是

．參考答案：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.因此的最小值是

16.已知函數(shù)的最小正周期為π，則ω=

；若其圖象向右平移個(gè)單位后得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則φ的值為

參考答案：；17.已知雙曲線的離心率為2，則實(shí)數(shù)

．參考答案：答案：12三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分13分)某工廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品最多不超過40件，并且在生產(chǎn)過程中產(chǎn)品的正品率與每日生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)()間的關(guān)系為，每生產(chǎn)一件正品盈利4000元，每出現(xiàn)一件次品虧損2000元.（注：正品率=產(chǎn)品的正品件數(shù)÷產(chǎn)品總件數(shù)×100%）（Ⅰ）當(dāng)日產(chǎn)量=30件時(shí)，求日利潤為多少？；（Ⅱ）將日利潤表示成日產(chǎn)量的函數(shù)，并求該廠的日產(chǎn)量為多少件時(shí)，日利潤最大？參考答案：19.正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：an2﹣（2n﹣1）an﹣2n=0．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；（2）令bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．【專題】計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）通過分解因式，利用正項(xiàng)數(shù)列{an}，直接求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；（2）利用數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡bn=，利用裂項(xiàng)法直接求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【解答】解：（1）由正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：﹣（2n﹣1）an﹣2n=0，可得（an﹣2n）（an+1）=0所以an=2n．（2）因?yàn)閍n=2n，bn=，所以bn===，Tn===．?dāng)?shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn為．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，裂項(xiàng)法求解數(shù)列的和的基本方法，考查計(jì)算能力．20.（12分）已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)．（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點(diǎn)；（2）若x∈[0，π]時(shí)，f（x）≥ax，求a的取值范圍．參考答案：解：（1）設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又，故在存在唯一零點(diǎn).所以在存在唯一零點(diǎn).（2）由題設(shè)知，可得a≤0.由（1）知，在只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又，所以，當(dāng)時(shí)，.又當(dāng)時(shí)，ax≤0，故.因此，a的取值范圍是.

21.（本小題滿分分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，一個(gè)頂點(diǎn)為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）對于軸上的點(diǎn)，橢圓上存在點(diǎn)，使得，求的取值范圍.參考答案：（1）由題意可得，，，∴．

………………2分∴所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．

………………4分（2）設(shè)，則

．

①

………………5分

且，，

………………6分由可得，即

∴．

②

………………7分

由①、②消去整理得．

………………9分

∵，

∴．

………………11分

∵，