2023屆山西省呂梁市孝義市高三最后一次模擬（三模）數(shù)學(xué)試題

2023屆山西省呂梁市孝義市高三最后一次模擬（三模）數(shù)學(xué)試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，棱長為的正方體中，為線段的中點，分別為線段和棱上任意一點，則的最小值為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，是的奇函數(shù)，且，則的值為（）A． B． C． D．3．在關(guān)于的不等式中，“”是“恒成立”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知點，是函數(shù)的函數(shù)圖像上的任意兩點，且在點處的切線與直線AB平行，則()A．，b為任意非零實數(shù) B．，a為任意非零實數(shù)C．a(chǎn)、b均為任意實數(shù) D．不存在滿足條件的實數(shù)a，b5．如圖，設(shè)為內(nèi)一點，且，則與的面積之比為A． B．C． D．6．復(fù)數(shù)的虛部為（）A．—1 B．—3 C．1 D．27．若的二項展開式中的系數(shù)是40，則正整數(shù)的值為（）A．4 B．5 C．6 D．78．已知雙曲線（，），以點（）為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，若，則的離心率為（）A． B． C． D．9．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時24海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是（）A．6海里 B．6海里 C．8海里 D．8海里10．己知，，，則（）A． B． C． D．11．中，，為的中點，，，則（）A． B． C． D．212．棱長為2的正方體內(nèi)有一個內(nèi)切球，過正方體中兩條異面直線，的中點作直線，則該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長為（）A． B． C． D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．平面向量與的夾角為，，，則__________．14．已知函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍是___________.15．正四面體的一個頂點是圓柱上底面的圓心，另外三個頂點圓柱下底面的圓周上，記正四面體的體積為，圓柱的體積為，則的值是______.16．已知函數(shù)（）在區(qū)間上的值小于0恒成立，則的取值范圍是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知為橢圓的左、右焦點，離心率為，點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過的直線分別交橢圓于和，且，問是否存在常數(shù)，使得成等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.18．（12分）已知.（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若，，，求證：.20．（12分）在中，角所對的邊分別為，若，，，且.（1）求角的值；（2）求的最大值.21．（12分）如圖，在底面邊長為1，側(cè)棱長為2的正四棱柱中，P是側(cè)棱上的一點，.（1）若，求直線AP與平面所成角；（2）在線段上是否存在一個定點Q，使得對任意的實數(shù)m，都有，并證明你的結(jié)論.22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若對任意成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

取中點，過作面，可得為等腰直角三角形，由，可得，當(dāng)時，最小，由，故，即可求解.【詳解】取中點，過作面，如圖：則，故，而對固定的點，當(dāng)時，最?。藭r由面，可知為等腰直角三角形，，故.故選：D【點睛】本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.2、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及題設(shè)中關(guān)于與關(guān)系，轉(zhuǎn)換成關(guān)于的關(guān)系式，通過變形求解出的周期，進(jìn)而算出.【詳解】為上的奇函數(shù)，，而函數(shù)是上的偶函數(shù)，，，故為周期函數(shù)，且周期為故選：B【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

討論當(dāng)時，是否恒成立；討論當(dāng)恒成立時，是否成立，即可選出正確答案.【詳解】解：當(dāng)時，，由開口向上，則恒成立；當(dāng)恒成立時，若，則不恒成立，不符合題意，若時，要使得恒成立，則，即.所以“”是“恒成立”的充要條件.故選:C.【點睛】本題考查了命題的關(guān)系，考查了不等式恒成立問題.對于探究兩個命題的關(guān)系時，一般分成兩步，若，則推出是的充分條件；若，則推出是的必要條件.4、A【解析】

求得的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合兩點斜率公式和兩直線平行的條件：斜率相等，化簡可得，為任意非零實數(shù).【詳解】依題意，在點處的切線與直線AB平行，即有，所以，由于對任意上式都成立，可得，為非零實數(shù).故選：A【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用，求切線的斜率，考查兩點的斜率公式，以及化簡運算能力，屬于中檔題．5、A【解析】

作交于點，根據(jù)向量比例，利用三角形面積公式，得出與的比例，再由與的比例，可得到結(jié)果.【詳解】如圖，作交于點，則，由題意，，，且，所以又，所以，，即，所以本題答案為A.【點睛】本題考查三角函數(shù)與向量的結(jié)合，三角形面積公式，屬基礎(chǔ)題，作出合適的輔助線是本題的關(guān)鍵.6、B【解析】

對復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡計算，得到答案.【詳解】所以的虛部為故選B項.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的計算，虛部的概念，屬于簡單題.7、B【解析】

先化簡的二項展開式中第項，然后直接求解即可【詳解】的二項展開式中第項.令，則，∴，∴（舍）或.【點睛】本題考查二項展開式問題，屬于基礎(chǔ)題8、A【解析】

求出雙曲線的一條漸近線方程，利用圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點，且，則可根據(jù)圓心到漸近線距離為列出方程，求解離心率．【詳解】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線與圓交于，因為，所以圓心到的距離為：，即，因為，所以解得．故選A．【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于中檔題．對于離心率求解問題，關(guān)鍵是建立關(guān)于的齊次方程，主要有兩個思考方向，一方面，可以從幾何的角度，結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)以及題目中的幾何關(guān)系建立方程；另一方面，可以從代數(shù)的角度，結(jié)合曲線方程的性質(zhì)以及題目中的代數(shù)的關(guān)系建立方程.9、A【解析】

先根據(jù)給的條件求出三角形ABC的三個內(nèi)角，再結(jié)合AB可求，應(yīng)用正弦定理即可求解.【詳解】由題意可知：∠BAC＝70°﹣40°＝30°.∠ACD＝110°，∴∠ACB＝110°﹣65°＝45°，∴∠ABC＝180°﹣30°﹣45°＝105°.又AB＝24×0.5＝12.在△ABC中，由正弦定理得，即，∴.故選：A.【點睛】本題考查正弦定理的實際應(yīng)用，關(guān)鍵是將給的角度、線段長度轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系，利用正余弦定理求解.屬于中檔題.10、B【解析】

先將三個數(shù)通過指數(shù)，對數(shù)運算變形，再判斷.【詳解】因為，，所以，故選：B.【點睛】本題主要考查指數(shù)、對數(shù)的大小比較，還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.11、D【解析】

在中，由正弦定理得；進(jìn)而得，在中，由余弦定理可得.【詳解】在中，由正弦定理得，得，又，所以為銳角，所以，，在中，由余弦定理可得，.故選：D【點睛】本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運算求解能力.12、C【解析】

連結(jié)并延長PO，交對棱C1D1于R，則R為對棱的中點，取MN的中點H，則OH⊥MN，推導(dǎo)出OH∥RQ，且OH＝RQ＝，由此能求出該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長．【詳解】如圖，MN為該直線被球面截在球內(nèi)的線段連結(jié)并延長PO，交對棱C1D1于R，則R為對棱的中點，取MN的中點H，則OH⊥MN，∴OH∥RQ，且OH＝RQ＝，∴MH＝＝＝，∴MN＝．故選：C．【點睛】本題主要考查該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由平面向量模的計算公式，直接計算即可.【詳解】因為平面向量與的夾角為，所以，所以;故答案為【點睛】本題主要考查平面向量模的計算，只需先求出向量的數(shù)量積，進(jìn)而即可求出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題型.14、【解析】

求導(dǎo)得到，討論和兩種情況，計算時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，不符合，排除，得到答案。【詳解】因為，所以，因為，所以.當(dāng)，即時，，則在上單調(diào)遞增，從而，故符合題意；當(dāng)，即時，因為在上單調(diào)遞增，且，所以存在唯一的，使得.令，得，則在上單調(diào)遞減，從而，故不符合題意.綜上，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查了不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解題的關(guān)鍵.15、【解析】

設(shè)正四面體的棱長為，求出底面外接圓的半徑與高，代入體積公式求解．【詳解】解：設(shè)正四面體的棱長為，則底面積為，底面外接圓的半徑為，高為．∴正四面體的體積，圓柱的體積．則．故答案為：．【點睛】本題主要考查多面體與旋轉(zhuǎn)體體積的求法，考查計算能力，屬于中檔題．16、【解析】

首先根據(jù)的取值范圍，求得的取值范圍，由此求得函數(shù)的值域，結(jié)合區(qū)間上的值小于0恒成立列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】由于，所以，由于區(qū)間上的值小于0恒成立，所以（）.所以，由于，所以，由于，所以令得.所以的取值范圍是.故答案為：【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)值域的求法，考查三角函數(shù)值恒小于零的問題的求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在，.【解析】

（1）由條件建立關(guān)于的方程組，可求得，得出橢圓的方程；（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時，可求得，求得，②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時，設(shè)聯(lián)立直線與橢圓的方程，求出線段，再由得出線段，根據(jù)等差中項可求得，得出結(jié)論.【詳解】（1）由條件得，所以橢圓的方程為：；（2），①當(dāng)直線的斜率不存在時，，此時,②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時，設(shè),聯(lián)立消元得，設(shè)，，直線的斜率為，同理可得，所以，綜合①②，存在常數(shù)，使得成等差數(shù)列.【點睛】本題考查利用橢圓的離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系中的弦長公式的相關(guān)問題，當(dāng)兩直線的斜率具有關(guān)系時，可能通過斜率的代換得出另一條線段的弦長，屬于中檔題.18、（1）答案不唯一，具體見解析（2）【解析】

（1）分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）分離出參數(shù)后，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題解決，注意函數(shù)定義域.【詳解】（1）由得或①當(dāng)時，由，得.由，得或此時的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和.②當(dāng)時，由，得由，得或此時的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和綜上：當(dāng)時，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和.（2）依題意，不等式恒成立等價于在上恒成立，可得，在上恒成立，設(shè)，則令，得，（舍）當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)變化時，，變化情況如下表：10單調(diào)遞增單調(diào)遞減∴當(dāng)時，取得最大值，，∴.∴的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題，屬于中檔題.19、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）分、、三種情況解不等式，即可得出該不等式的解集；（2）利用分析法可知，要證，即證，只需證明即可，因式分解后，判斷差值符號即可，由此證明出所證不等式成立.【詳解】（1）.當(dāng)時，由，解得，此時；當(dāng)時，不成立；當(dāng)時，由，解得，此時.綜上所述，不等式的解集為；（2）要證，即證，因為，，所以，，，.所以，.故所證不等式成立.【點睛】本題考查絕對值不等式的求解，同時也考查了利用分析法和作差法證明不等式，考查分類討論思想以及推理能力，屬于中等題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）由正弦定理可得，再用余弦定理即可得到角C；（2），再利用求正弦型函數(shù)值域的方法即可得到答案.【詳解】（1）因為，所以.在中，由正弦定理得，所以，即.在中，由余弦定理得，又因為，所以.（2）由（1）得，在中，，所以.因為，所以，所以當(dāng)，即時，有最大值1，所以的最大值為.【點睛】本題考查正余弦定理解三角形，涉及到兩角差的正弦公式、輔助角公式、向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，是一道容易題.21、（1）；（2）存在，Q為線段中點【解析】

解法一：（1）作出平面與平面的交線，可證平面，計算，，得出，從而得出的大小；（2）證明平面，故而可得當(dāng)Q為線段的中點時.解法二，以為原點，以為建立空間直角坐標(biāo)系：（1）由，利用空間向量的數(shù)量積可求線面角；（2）設(shè)上存在一定點Q，設(shè)此點的橫坐標(biāo)為，可得，由向量垂直，數(shù)量積等于零即可求解.【詳解】（1）解法一：連接交于，設(shè)與平面的公共點為，連接，則平面平面，四邊形是正方形，，平面，平面，，又，平面，為直線AP與平面所成角，平面，平面，平面平面，，又為的中點，，，，直線AP與平面所成角為.（2）四邊形正方形，，平面，平面，，又,平面，又平面，，當(dāng)Q為線段中點時，對于任意的實數(shù)，都有.解法二：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，，，又由，，則為平面的一個法向量，設(shè)直線AP與平面所成角為，則，故當(dāng)時，直線AP與平面所成角為.（2）若在上存在一定點Q，設(shè)此點的橫坐標(biāo)為，則，，依題意，對于任意的實數(shù)要使，等價于，即，解得