人教B版數(shù)學(xué)選修4-5講義第1章1.51.5.3反證法和放縮法Word版含答案

反證法和放縮法學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解反證法在證明不等式中的應(yīng)用，掌握用反證法證明不等式的方法.2.了解放縮法證明不等式的原理，并會(huì)用其證明不等式．教材整理1反證法首先假設(shè)要證明的命題是不正確的，然后利用公理，已有的定義、定理，命題的條件逐步分析，得到和命題的條件(或已證明過(guò)的定理，或明顯成立的事實(shí))矛盾的結(jié)論，以此說(shuō)明假設(shè)的結(jié)論不成立，從而原來(lái)結(jié)論是正確，這種方法稱作反證法．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至多有一個(gè)鈍角”時(shí)，反設(shè)正確的是()A．三個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)鈍角B．三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)鈍角C．三個(gè)內(nèi)角都不是鈍角 D．三個(gè)內(nèi)角都不是鈍角或至少有兩個(gè)鈍角[解析]“至多有一個(gè)”即要么一個(gè)都沒(méi)有，要么有一個(gè)，故反設(shè)為“至少有兩個(gè)”．[答案]B教材整理2放縮法在證明不等式時(shí)，有時(shí)需要將所需證明的不等式的值適當(dāng)放大(或縮小)，使它由繁化簡(jiǎn)，達(dá)到證明目的，這種方法稱為放縮法．其關(guān)鍵在于放大(縮小)要適當(dāng)．如果所要證明的不等式中含有分式，那么我們把分母放大，則相應(yīng)分式的值縮小；反之，如果把分母縮小，則分式的值放大．這是一種常用的放縮方式．已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比q≠1，設(shè)P＝eq\f(a3＋a9,2)，Q＝eq\r(a5·a7)，則P與Q的大小關(guān)系是()A．P>Q B．P<QC．P＝Q D．無(wú)法確定[解析]由等比知識(shí)得Q＝eq\r(a5·a7)＝eq\r(a3·a9).又P＝eq\f(a3＋a9,2)，且a3>0，a3≠a9，∴eq\f(a3＋a9,2)>eq\r(a3·a9)＝eq\r(a5·a7)，故P>Q.[答案]A利用反證法證明否定性命題【例1】已知a，b，c∈(0,1)，求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同時(shí)大于eq\f(1,4).[精彩點(diǎn)撥]當(dāng)直接證明命題較困難時(shí)，可根據(jù)“正難則反”，利用反證法加以證明．凡涉及否定性、唯一性命題或含“至多”“至少”等語(yǔ)句的不等式時(shí)，?？煽紤]反證法．[自主解答]假設(shè)三式同時(shí)大于eq\f(1,4)，即(1－a)b＞eq\f(1,4)，(1－b)c＞eq\f(1,4)，(1－c)a＞eq\f(1,4).三式同向相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c＞eq\f(1,64). ①∵0＜a＜1，∴(1－a)a≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－a＋a,2)))eq\s\up14(2)＝eq\f(1,4).同理(1－b)b≤eq\f(1,4)，(1－c)c≤eq\f(1,4).又(1－a)a，(1－b)b，(1－c)c均大于零，∴(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤eq\f(1,64)， ②因此①式與②式矛盾．故假設(shè)不成立，即原命題成立．1．反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面推理，就不是反證法．2．利用反證法證題的關(guān)鍵是利用假設(shè)和條件，通過(guò)正確推理，推出和已知條件或定理事實(shí)或假設(shè)相矛盾的結(jié)論．1．已知三個(gè)正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列．[證明]假設(shè)eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差數(shù)列，則eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b)，即a＋c＋2eq\r(ac)＝4b，而b2＝ac，即b＝eq\r(ac)，∴a＋c＋2eq\r(ac)＝4eq\r(ac)，∴(eq\r(a)－eq\r(c))2＝0，即eq\r(a)＝eq\r(c)，從而a＝b＝c，與a，b，c不成等差數(shù)列矛盾，故eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列．利用反證法證“至多”“至少”“唯一”型命題【例2】已知f(x)＝x2＋px＋q，求證：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不小于eq\f(1,2).[精彩點(diǎn)撥](1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函數(shù)f(x)求值推算可得結(jié)論；(2)假設(shè)結(jié)論不成立，推出矛盾，得結(jié)論．[自主解答](1)由于f(x)＝x2＋px＋q，∴f(1)＋f(3)－2f＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.(2)假設(shè)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于eq\f(1,2)，則有|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2.(*)又|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2.∴|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥2與(*)矛盾，假設(shè)不成立．故|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不小于eq\f(1,2).1．在題目中含有“至多”“至少”“最多”等字眼時(shí)，常使用反證法證明．2．在用反證法證明的過(guò)程中，由于作出了與結(jié)論相反的假設(shè)，相當(dāng)于增加了題設(shè)條件，因此在證明過(guò)程中必須使用這個(gè)增加的條件，否則將無(wú)法推出矛盾．2．已知a≥－1，求證以下三個(gè)方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2[證明]假設(shè)三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根，則三個(gè)方程中它們的判別式都小于0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a2－4－4a＋3<0，,a－12－4a2<0，,2a2＋4×2a<0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)<a<\f(1,2)，,a>\f(1,3)或a<－1，,－2<a<0，))∴－eq\f(3,2)<a<－1，這與已知a≥－1矛盾，所以假設(shè)不成立，故三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解.利用放縮法證明不等式【例3】已知x，y，z不全為零，求證：eq\r(x2＋xy＋y2)＋eq\r(y2＋yz＋z2)＋eq\r(z2＋zx＋x2)＞eq\f(3,2)(x＋y＋z)．[精彩點(diǎn)撥]針對(duì)不等式的特征，關(guān)鍵是對(duì)左端根號(hào)內(nèi)變形，配方后適當(dāng)放縮去掉根號(hào)，達(dá)到證明的目的．[自主解答]eq\r(x2＋xy＋y2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)))eq\s\up14(2)＋\f(3,4)y2)≥eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)))eq\s\up14(2))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)))≥x＋eq\f(y,2)，同理可得：eq\r(y2＋yz＋z2)≥y＋eq\f(z,2)，eq\r(z2＋zx＋x2)≥z＋eq\f(x,2).由于x，y，z不全為零，故上述三式中至少有一式取不到等號(hào)，所以三式累加得：eq\r(x2＋xy＋y2)＋eq\r(y2＋yz＋z2)＋eq\r(z2＋zx＋x2)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(z,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z＋\f(x,2)))＝eq\f(3,2)(x＋y＋z)．1．放縮法在不等式的證明中無(wú)處不在，主要是根據(jù)不等式的傳遞性進(jìn)行變換．2．放縮法技巧性較強(qiáng)，放大或縮小時(shí)注意要適當(dāng)，必須目標(biāo)明確，合情合理，恰到好處，且不可放縮過(guò)大或過(guò)小，否則，會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤結(jié)論，達(dá)不到預(yù)期目的，謹(jǐn)慎地放或縮是放縮法基本策略．3．若a3＋b3＝2，求證：a＋b≤2.[證明]假設(shè)a＋b>2，而a2－ab＋b2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)b))eq\s\up14(2)＋eq\f(3,4)b2≥0，但取等號(hào)的條件為a＝b＝0，顯然不可能，∴a2－ab＋b2>0.則a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)>2(a2－ab＋b2)，而a3＋b3＝2，故a2－ab＋b2<1.∴1＋ab>a2＋b2≥2ab，從而ab<1.∴a2＋b2<1＋ab<2.∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<2＋2ab<4.而由假設(shè)a＋b>2，得(a＋b)2>4，出現(xiàn)矛盾，故假設(shè)不成立，原結(jié)論成立，即a＋b≤2.反證法與放縮法的特點(diǎn)[探究問(wèn)題]1．反證法的一般步驟是什么？[提示]證明的步驟是：(1)作出否定結(jié)論的假設(shè)；(2)從否定結(jié)論進(jìn)行推理，導(dǎo)出矛盾；(3)否定假設(shè)，肯定結(jié)論．2．放縮法證明不等式常用的技巧有哪些？[提示](1)添加或舍去一些項(xiàng)，如a2＋a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))eq\s\up14(2)＋eq\f(3,4)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))eq\s\up14(2).(2)將分子或分母放大(或縮小)，如eq\f(1,k2)＜eq\f(1,kk－1)＝eq\f(1,k－1)－eq\f(1,k)；eq\f(1,k2)＞eq\f(1,kk＋1)＝eq\f(1,k)－eq\f(1,k＋1).(3)利用真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：若0＜a＜b，m＞0，則eq\f(a,b)＜eq\f(a＋m,b＋m).(4)利用基本不等式，如a2＋b2≥2ab.(5)利用絕對(duì)值不等式定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(6)利用函數(shù)的單調(diào)性．【例4】求證：eq\f(3,2)－eq\f(1,n＋1)＜1＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,n2)＜2－eq\f(1,n)(n為正整數(shù)，且n≥2)．[精彩點(diǎn)撥]本題考查放縮法在證明不等式中的應(yīng)用，解答本題要注意欲證的式子中間是一個(gè)和的形式，但我們不能利用求和公式或其他方法求和，因此可考慮將分母適當(dāng)放大或縮小成可以求和的形式，進(jìn)而求和，并證明該不等式．[自主解答]∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)，∴eq\f(1,kk＋1)＜eq\f(1,k2)＜eq\f(1,kk－1)，即eq\f(1,k)－eq\f(1,k＋1)＜eq\f(1,k2)＜eq\f(1,k－1)－eq\f(1,k)(k為正整數(shù)，且k≥2)．分別令k＝2,3，…，n得eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＜eq\f(1,22)＜1－eq\f(1,2)，eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＜eq\f(1,32)＜eq\f(1,2)－eq\f(1,3)，…eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＜eq\f(1,n2)＜eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)，將這些不等式相加得eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＜eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)，即eq\f(1,2)－eq\f(1,n＋1)＜eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜1－eq\f(1,n)，∴1＋eq\f(1,2)－eq\f(1,n＋1)＜1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜1＋1－eq\f(1,n)，即eq\f(3,2)－eq\f(1,n＋1)＜1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜2－eq\f(1,n)(n為正整數(shù)，且n≥2)成立．1．放縮法證不等式主要是根據(jù)不等式的傳遞性進(jìn)行變換，即欲證a＞b，可換成證a＞c且c＞b，欲證a＜b，可換成證a＜c且c＜b.2．放縮法是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮必須有目標(biāo)．而且要恰到好處，目標(biāo)往往要從證明的結(jié)論尋找．4．已知實(shí)數(shù)x，y滿足：|x＋y|<eq\f(1,3)，|2x－y|<eq\f(1,6)，求證：|y|<eq\f(5,18).[證明]因?yàn)?|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由題設(shè)知|x＋y|<eq\f(1,3)，|2x－y|<eq\f(1,6)，從而3|y|<eq\f(2,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(5,6)，所以|y|<eq\f(5,18).1．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，abc＞0，用反證法求證a＞0，b＞0，c＞0時(shí)的假設(shè)為()A．a(chǎn)＜0，b＜0，c＜0B．a(chǎn)≤0，b＞0，c＞0C．a(chǎn)，b，c不全是正數(shù)D．a(chǎn)bc＜0[解析]a＞0，b＞0，c＞0的反面是a，b，c不全是正數(shù)．[答案]C2．否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)為偶數(shù)”時(shí)正確的反設(shè)為()A．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù)B．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù)C．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)D．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)