布爾庫侖屈服條件與廣義米塞斯條件的統(tǒng)一

布爾庫侖屈服條件與廣義米塞斯條件的統(tǒng)一

0平面上的西方準則有許多基于巖石的投降規(guī)范?，F(xiàn)在最常用、最有效的是莫爾。庫倫的投降基準。以摩爾?庫侖(Mohr?Coulomb)屈服準則為基礎的摩擦型屈服準則在實踐中得到了廣泛應用。眾所周知,摩爾庫侖準則在π平面上的圖形為不等邊六角形,廣義米塞斯準則在π平面上為圓形,而圓形在程序的編制上更容易實現(xiàn)。因此目前國際上編制的大型有限元商業(yè)軟件,(如ANSYS、NASTRAN、MARC等)大都采用D?P(Drucker?Prager)屈服準則,D?P準則為廣義米塞斯的特殊情況,目前商業(yè)軟件中一般采用摩爾庫侖準則的外角圓錐作為D?P準則。我們用該準則進行邊坡的穩(wěn)定分析時發(fā)現(xiàn),用該準則計算的結果明顯大于以往用摩爾庫侖準則計算的結果。為此我們對二準則進行了比較研究,用等面積變換的方法得到了二者的近似關系,經(jīng)算例對比發(fā)現(xiàn)這種關系是成立的。1d?p準則法摩爾庫侖屈服條件用不變量I1,J2,θσ可以表述成如下形式:F=13Ι1sinφ+(cosθσ-1√3sinθσsinφ)×√J2-ccosφ=0(1)廣義米賽斯屈服條件可用下式表示F=αΙ1+√J2-k=0(2)式中:c、φ為巖土粘聚力和內摩擦角;I1為應力張量的第一不變量,I1=σ1+σ2+σ3;J2為應力偏張量的第二不變量,J2=16[(σ1-σ2)2+(σ1-σ3)2+(σ2-σ3)2];θσ為洛德角,-π6≤θσ≤π6。莫爾?庫侖屈服準則在應力空間中的屈服面是一個不規(guī)則的六角形截面的角錐體表面。在π平面上為一個不等邊六邊形。廣義米塞斯條件在應力空間中的屈服面是一圓錐面,在π平面上是一個圓。其偏平面上的圓半徑r等于偏平面上的剪應力τπ,其表達式為:r=τπ=√2J2=√2(k-αΙ1)(3)由式(1)作變換可得:sinφ√3(√3cosθσ-sinθσsinφ)Ι1+√J2-√3ccosφ(√3cosθσ-sinθσsinφ)=0(4)比較式(2)和式(4)可得:α=sinφ√3(√3cosθσ-sinθσsinφ)k=√3ccosφ(√3cosθσ-sinθσsinφ)}(5)由式(5)可以看出,當θσ為定值時,α、k不再與θσ或第三不變量J3有關,屈服函數(shù)就簡化為廣義米塞斯準則,它在π平面上是一個圓。因此當θσ取不同值時,可以得到大小不同的圓錐形屈服面(不同的D?P準則),見圖1。當取θσ=π6時可得:α=2sinφ√3(3-sinφ)k=6ccosφ√3(3-sinφ)}(6)由它得到的屈服函數(shù)在π平面上是通過摩爾庫侖不等邊六角錐外角點的外接圓錐,大型商業(yè)有限元分析軟件ANSYS、MARC中將其定義為D?P準則,本文把它叫做外角點外接圓錐D?P準則,其半徑為:r1=√2(k-αΙ1)=√2(6ccosφ-2Ι1sinφ)√3(3-sinφ)(7)當取θσ=-π6時可得:α=2sinφ√3(3+sinφ)k=6ccosφ√3(3+sinφ)}(8)由它得到的屈服函數(shù)在π平面上是通過摩爾庫侖不等邊六角錐內角點的,本文把它叫做內角點外接圓錐D?P準則,其半徑為:r2=√2(k-αΙ1)=√2(6ccosφ-2Ι1sinφ)√3(3+sinφ)(9)將式(1)對θσ微分,并使之等于零,這時F取極小,可得tanθσ=-sinφ√3,將其代入式(5)得:α=sinφ√3√3+sin2φk=3ccosφ√3√3+sin2φ}(10)由它得到的屈服函數(shù)在π平面上是通過摩爾庫侖不等邊六角錐的內切圓錐,一般教科書中將其定義為D?P準則,本文把它叫作內切圓錐D?P準則,其半徑為:r3=√2(k-αΙ1)=√2(3ccosφ-Ι1sinφ)√3√3+sin2φ(11)由圖1可以看出,采用不同的α、κ可以得到不同的圓錐屈服面,α、κ是與巖土材料內摩擦角φ和凝聚力c有關的常數(shù)。2等效約束條件的洛德角摩爾庫侖準則屈服面在π平面上為不規(guī)則的六邊形,這種表述給編程帶來了一些困難,為了在編程中與廣義米塞斯準則統(tǒng)一,我們將摩爾庫侖準則與D?P準則進行了等面積變換,得到了與摩爾庫侖屈服條件等效的D?P準則。由圖1可以看出,摩爾庫侖準則構成的六角形面積可以用正弦定理求得:Smorl=6×12×r1×r2×sinπ3=3√32r1r2(12)對于半徑為r的圓錐面積為:S=πr2,令S=Smorl可得:r=√3√2√3π(9-sin2φ)√2(6ccosφ-2Ι1sinφ)(13)r√2=√J2=6√3ccosφ√2√3π(9-sin2φ)-2√3sinφ√2√3π(9-sin2φ)Ι1(14)比較式(14)和式(3)可得:α=2√3sinφ√2√3π(9-sin2π)k=6√3ccosφ√2√3π(9-sin2φ)}(15)式(15)就是摩爾庫侖屈服條件變換成D?P屈服條件的等效圓錐的α、k值,該表達式比文獻中的表達式簡單的多,等效圓錐所對應的圓錐半徑γm-c為:γm-c=√3√2√3π(9-sin2φ)√2(6ccosφ-2Ι1sinφ)(16)令式(15)與式(5)相等可以求得等效圓錐的洛德角θσ:θσ=arcsin[-2Asinφ+√4A2sin2φ-4(sin2φ+3)(A2-3)2(sin2φ+3)](17)式中:A=√π(9-sin2φ)6√33偏平面上圓半徑的大小及其比上面推導了各種D?P準則的α,k值及其偏平面上的圓半徑,并且用面積相等的原則將摩爾庫侖準則進行了變換,得到了與之等效的圓錐面的α,k值及其偏平面上的圓半徑rm-c。下面我們來尋找它們之間的關系。大家知道,π平面上圓半徑的大小代表著偏平面上的剪應力大小,因此可以用半徑之比來求得剪切強度的比值η。外接圓錐D?P屈服條件與摩爾庫侖屈服條件的比值η1為:η1=r1rm-c=√2π(3+sinφ)3√3(3-sinφ)(18)內接圓錐D?P屈服條件與摩爾庫侖屈服條件的比值η2為:η2=r2rm-c=2π(3-sinφ)33(3+sinφ)(19)內切圓錐D?P屈服條件與摩爾庫侖屈服條件的比值η3為η3=r3rm-c=3π(9-sin2φ)18(3+sin2φ)(20)為了便于應用,我們把常用角度代入式(18)～式(20),將求得的結果制成表1～表3,供強度準則換算時使用。4采用摩爾庫侖準則求解邊坡穩(wěn)定性為了驗證等面積圓的適用性,下面給出三個例子,分別用基于外接圓D?P準則的強度折減有限元法和基于摩爾?庫侖準則的簡化Bishop法進行了計算。例1已知均質邊坡,坡頂為水平面,坡高H=5.0m,坡角tanα=0.5,土重度γ=17.64kN/m3,粘結力c=9.8kPa,內摩擦角φ=10°,求邊坡的安全系數(shù)。例2已知均質邊坡,坡頂為水平面,坡高H=50m,坡率m=3.25,土重度γ=19.62kN/m3,內摩擦系數(shù)tgφ=0.2,粘結力c=58.86kPa,求邊坡的安全系數(shù)。例3已知均質邊坡,坡頂為水平面,坡高H=19.8m,坡角tanα=1/3,土重度γ=19.6kN/m3,粘結力c=9.6kPa,內摩擦角φ=30°,求邊坡的安全系數(shù)。從表4計算結果可以看出,采用D?P準則與莫爾?庫侖等面積圓屈服準則的比值法求得的邊坡穩(wěn)定系數(shù)與采用摩爾庫侖準則的簡化bishop法的計算結果很接近,計算誤差不超過5%,因此在計算時可直接應用程序中的D?P準則計算,然后將結果除以η1就可得到用摩爾庫侖屈服準則的計算結果。計算結果的對比表明,用莫爾?庫侖等面積圓屈服準則來代替莫爾?庫侖不規(guī)則六邊形屈服準則是可行的,這樣使計算大為方便。5基于等效圓的乘子法1)本文通過分析比較摩爾庫侖準則與廣義米塞斯準則的表達式,得出了α,k的統(tǒng)一表達式,只要選取不同的洛德角θσ,就可以得到不同的D?P準則。2)依據(jù)π平面上等效圓的面積與摩爾庫侖屈服條件的面積相等,得到了等