人教版 切線的判定和性質(zhì)【九大題型】（解答版）

PAGE1專題24.6切線的判定和性質(zhì)【九大題型】【人教版】【題型1有關(guān)切線的說法辨析】 1【題型2判斷或補(bǔ)全使直線為切線的條件】 4【題型3證明某直線是圓的切線（連半徑證垂直）】 9【題型4證明某直線是圓的切線（作垂直證半徑）】 16【題型5利用切線的性質(zhì)求線段長度】 20【題型6利用切線的性質(zhì)求角度大小】 29【題型7利用切線的性質(zhì)證明】 33【題型8切線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用】 38【題型9過圓外一點(diǎn)作圓的切線】 47【知識點(diǎn)切線的判定】（1）切線判定：①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線②和圓只有一個公共點(diǎn)的直線是圓的切線（定義法）③如果圓心到一條直線的距離等于圓的半徑，那么這條直線是圓的切線（2）切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點(diǎn)時，連半徑，證垂直；②不知道直線與圓有沒有公共點(diǎn)時，作垂直，證垂線段等于半徑．【題型1有關(guān)切線的說法辨析】【例1】（2023春·山東日照·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)B在⊙A上，點(diǎn)C在⊙A外，以下條件不能判定BC是⊙A切線的是（）A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠AC．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A與AC的交點(diǎn)是AC中點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)切線的判定分別對各個選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【詳解】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴BC⊥AB，∵點(diǎn)B在⊙A上，∴AB是⊙A的半徑，∴BC是⊙A切線；B、∵∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝∠A+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵點(diǎn)B在⊙A上，∴AB是⊙A的半徑，∴BC是⊙A切線；C、∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵點(diǎn)B在⊙A上，∴AB是⊙A的半徑，∴BC是⊙A切線；D、∵⊙A與AC的交點(diǎn)是AC中點(diǎn)，∴AB＝12∴不能判定BC是⊙A切線；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理等知識；熟練掌握切線的判定是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·九年級課時練習(xí)）下列直線中可以判定為圓的切線的是（）A．與圓有公共點(diǎn)的直線 B．經(jīng)過半徑外端的直線C．垂直于圓的半徑的直線 D．與圓心的距離等于半徑的直線【答案】D【分析】根據(jù)切線的判定方法逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：A．與圓有且僅有一個公共點(diǎn)的直線是圓的切線，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

B．經(jīng)過半徑外端的直線且垂直于半徑的直線是圓的切線，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C．經(jīng)過半徑外端的直線且與半徑垂直的直線是圓的切線，故不正確；

D．與圓心的距離等于半徑的直線，故該選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定方法，如果直線與圓只有一個公共點(diǎn)，這時直線與圓的位置關(guān)系叫做相切，這條直線叫做圓的切線，這個公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)；經(jīng)過半徑外端點(diǎn)并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．【變式1-2】（2023春·西藏拉薩·九年級?？计谀┫铝兴膫€選項(xiàng)中的表述，一定正確的是（

）A．經(jīng)過半徑上一點(diǎn)且垂直于這條半徑的直線是圓的切線B．經(jīng)過半徑的端點(diǎn)且垂直于這條半徑的直線是圓的切線C．經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線D．經(jīng)過一條弦的外端且垂直于這條弦的直線是圓的切線【答案】C【分析】根據(jù)切線的判定對各個選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到答案．【詳解】由切線的判定定理可知：經(jīng)過半徑外端點(diǎn)且與這條半徑垂直的直線是圓的切線，故A，B，D選項(xiàng)不正確，C選項(xiàng)正確，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓中切線的判定，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2011秋·湖北黃岡·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AB、AC分別為⊙O的直徑和弦，D為BC的中點(diǎn)，DE垂直于AC的延長線于E，連接BC，若DE=6cm，CEA．DE是⊙O的切線 B．直徑AB長為20cmC．弦AC長為16cm D．C為AD的中點(diǎn)【答案】D【分析】AB是圓的直徑，則∠ACB=90°，根據(jù)DE垂直于AC的延長線于E，可以證得ED∥BC，則DE⊥OD，即可證得DE是圓的切線，根據(jù)切割線定理即可求得AC的長，連接OD，交BC與點(diǎn)F，則四邊形DECF是矩形，根據(jù)垂徑定理即可求得半徑．【詳解】解：連接OD，OC．∵D是弧BC的中點(diǎn)，則OD⊥BC，∴DE是圓的切線．故A正確；∴DE2=CE?AE即：36=2AE∴AE=18，則AC=AE-CE=18-2=16cm．故C正確；∵AB是圓的直徑．∴∠ACB=90°，∵DE垂直于AC的延長線于E．D是弧BC的中點(diǎn)，則OD⊥BC，∴四邊形CFDE是矩形．∴CF=DE=6cm．BC=2CF=12cm．在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理可得：AB=AC在直角△ABC中，AC=16，AB=20，則∠ABC≠30°，而D是弧BC的中點(diǎn)．∴弧AC≠弧CD．故D錯誤．故選D．【題型2判斷或補(bǔ)全使直線為切線的條件】【例2】（2023春·北京·九年級統(tǒng)考期末）在下圖中，AB是⊙O的直徑，要使得直線AT是⊙O的切線，需要添加的一個條件是．（寫一個條件即可）【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）【分析】根據(jù)切線的判定條件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加條件：∠ABT=∠ATB=45°即可．【詳解】解：添加條件：∠ABT=∠ATB=45°，∵∠ABT=∠ATB=45°，∴∠BAT=90°，又∵AB是圓O的直徑，∴AT是圓O的切線，故答案為：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓切線的判定，三角形內(nèi)角和定理，熟知圓切線的判定條件是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·山東德州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，AC是過A點(diǎn)的一條直線，如果∠AOB=120°，那么當(dāng)∠CAB的度數(shù)等于度時，AC才能成為⊙O的切線．【答案】60【分析】由已知可求得∠OAB的度數(shù)，因?yàn)镺A⊥AC，AC才能成為⊙O的切線，從而可求得∠CAB的度數(shù)．【詳解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，∴∠OAB=∠OBA=1∵當(dāng)OA⊥AC即∠OAC=90°時，AC才能成為⊙O的切線，∴當(dāng)∠CAB的度數(shù)等于60°，即OA⊥AC時，AC才能成為⊙O的切線．故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握切線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·河南信陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O交AB于D點(diǎn)，連接CD．（1）求證：∠A=∠BCD；（2）若M為線段BC上一點(diǎn)，試問當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時，直線DM與⊙O相切？并說明理由．【答案】（1）證明見試題解析；（2）M為BC的中點(diǎn)．【詳解】試題分析：（1）根據(jù)圓周角定理可得∠ADC=90°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A；（2）當(dāng)MC=MD時，直線DM與⊙O相切，連接DO，根據(jù)等等邊對等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根據(jù)∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，進(jìn)而證得直線DM與⊙O相切．試題解析：（1）證明：∵AC為直徑，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠DCA=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°，∴∠DCB=∠A；（2）當(dāng)MC=MD（或點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)）時，直線DM與⊙O相切；解：連接DO，∵DO=CO，∴∠1=∠2，∵DM=CM，∴∠4=∠3，∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴直線DM與⊙O相切，故當(dāng)MC=MD（或點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)）時，直線DM與⊙O相切．考點(diǎn)：切線的判定．【變式2-3】（2023春·江西上饒·九年級統(tǒng)考期末）已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)A作直線EF．

（1）如圖甲，AB為直徑，要使EF為⊙O的切線，還需添加的條件是（寫出兩種情況，不需要證明）：①或②；（2）如圖乙，AB是非直徑的弦，若∠CAF=∠B，求證：EF是⊙O的切線．（3）如圖乙，若EF是⊙O的切線，CA平分∠BAF，求證：OC⊥AB．【答案】（1）①OA⊥EF；②∠FAC=∠B；（2）見解析；（3）見解析．【分析】(1)添加條件是:①OA⊥EF或∠FAC=∠B根據(jù)切線的判定和圓周角定理推出即可．(2)作直徑AM,連接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠FAC+∠CAM=90°，根據(jù)切線的判定推出即可．(3)由同圓的半徑相等得到OA=OB，所以點(diǎn)O在AB的垂直平分線上，根據(jù)∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，等量代換得到∠BAC=∠B，所以點(diǎn)C在AB的垂直平分線上，得到OC垂直平分AB．【詳解】（1）①OA⊥EF②∠FAC=∠B，理由是：①∵OA⊥EF，OA是半徑，∴EF是⊙O切線，②∵AB是⊙0直徑，∴∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠FAC=∠B，∴∠BAC+∠FAC=90°，∴OA⊥EF，∵OA是半徑，∴EF是⊙O切線，故答案為：OA⊥EF或∠FAC=∠B，（2）作直徑AM，連接CM，

即∠B=∠M（在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等），∵∠FAC=∠B，∴∠FAC=∠M，∵AM是⊙O的直徑，∴∠ACM=90°，∴∠CAM+∠M=90°，∴∠FAC+∠CAM=90°，∴EF⊥AM，∵OA是半徑，∴EF是⊙O的切線．（3）∵OA=OB，∴點(diǎn)O在AB的垂直平分線上，∵∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，∴∠BAC=∠B，∴點(diǎn)C在AB的垂直平分線上，∴OC垂直平分AB，∴OC⊥AB．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)，注意:經(jīng)過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，直徑所對的圓周角是直角．【題型3證明某直線是圓的切線（連半徑證垂直）】【例3】（2023春·江西宜春·九年級江西省豐城中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)D，O為上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A，D的分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)的半徑為5．【分析】（1）連接，可得，根據(jù)等邊對等角，以及角平分線的定義，可得，根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得，再根據(jù)切線的判定方法，即可判定；（2）過點(diǎn)O作，交于點(diǎn)G，根據(jù)垂徑定理可得，故，根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，則，

，是的平分線，，，，，為的半徑，點(diǎn)D在上，∴是的切線；（2）解：過點(diǎn)O作，交于點(diǎn)G，如圖，

，，，，，，，，四邊形是矩形，，的半徑為5．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定、圓的垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線．【變式3-1】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，中，，以為直徑的交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，，的延長線交于點(diǎn)F．

(1)求證：與相切；(2)若的半徑為3，，求的長．【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）連接、，則，所以，由，得，所以，即可證明與相切；（2）由切線的性質(zhì)得，，，得，則，即可根據(jù)勾股定理列方程，求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接、，

則，，，，，，經(jīng)過的半徑的外端，且，與相切．（2）解：由（1）知與相切，∴∵，，，，∵∴，∵，，，，的長為6．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、圓的切線的判定、勾股定理等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·江西九江·九年級?？计谥校┤鐖D，為的直徑，C為上一點(diǎn)，P為延長線上的一點(diǎn)，使得．

(1)求證：是的切線．(2)F為上一點(diǎn)，且經(jīng)過的中點(diǎn)E．①求證：；②若，，求的半徑長．【答案】(1)見解析；(2)①見解析；②的半徑為5．【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出，進(jìn)而得出，即，即可得出結(jié)論；（2）①先根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出，進(jìn)而得出，根據(jù)題意可得出，推出，即可得出結(jié)論；②設(shè),則，由①知，得出和都是直角三角形，在中，根據(jù)勾股定理得出，求出，，在中，根據(jù)勾股定理得出，即可得出答案【詳解】（1）證明：∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴是的切線；（2）①證明：∵為的直徑，∴，∵，∴，∴，∵經(jīng)過的中點(diǎn)E，∴，∴，∴；②解：設(shè),則，由①知，∴和都是直角三角形，在中，，∴，解得：（負(fù)值舍去），即，，在中，，∴，解得：，即的半徑為5．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，切線的判定，勾股定理，掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知半徑為的經(jīng)過軸上一點(diǎn)，與軸交于、兩點(diǎn)，連接、，平分，．

(1)判斷與軸的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求的長．【答案】(1)相切，理由見解析(2)【分析】（1）連接，由平分可得，又，所以，進(jìn)而可得，所以，可得軸，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，且四邊形是矩形，設(shè)可分別表達(dá)和，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可建立等式，得出結(jié)論；【詳解】（1）解：與軸相切，理由如下：如圖，連接，平分，，又，，，，軸，軸，是半徑，與軸相切（2）如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

，，四邊形是矩形，，，設(shè)則，，在中，，，解得或舍去，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的定義，勾股定理，矩形的性質(zhì)與判定，垂徑定理，待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，題目比較簡單，關(guān)鍵是掌握相關(guān)定理．【題型4證明某直線是圓的切線（作垂直證半徑）】【例4】（2023春·山東日照·九年級日照市新營中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，CB＝CD，連接BD，以點(diǎn)B為圓心，BA長為半徑作⊙B，交BD于點(diǎn)E．（1）試判斷CD與⊙B的位置關(guān)系，并說明理由．（2）若AB＝6，∠BDC＝60°，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）相切，理由見解析；（2）【分析】(1)過點(diǎn)B作BF⊥CD，證明△ABD≌△FBD，得到BF=BA，即可證明CD與圓B相切；(2)先證明△BCD是等邊三角形，根據(jù)三線合得到∠ABD=30°，求出AD，再利用陰影部分的面積=S△ABD－S扇形ABE求出陰影部分面積．【詳解】解：(1)過點(diǎn)B作BF⊥CD，垂足為F，∴∠BFD=90°，∵ADBC，∠ABC＝90°，∴∠ABC＝90°，∴∠BAD=90°，∴∠BAD=∠BFD，∵ADBC，∴∠ADB=∠CBD，∴CB=CD，∴∠CBD=∠CDB，∴∠ADB=∠CDB，在△ABD和△FBD中，，∴△ABD≌△FBD(AAS)，∴BF=BA，則點(diǎn)F在圓B上，∴CD與⊙B相切；(2)∵∠BCD=60°，CB=CD，∴△BCD是等邊三角形，∴∠CBD=60°，∵BF⊥CD，∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，∴∠ABF=60°，∵AB=BF=6，∴AD=DF°=2，∴陰影部分的面積=S△ABD－S扇形ABE==．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積，三角函數(shù)的定義，題目的綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．【變式4-1】（2023·江西南昌·九年級期末）如圖，為正方形對角線上一點(diǎn)，以為圓心，長為半徑的與相切于點(diǎn).（1）求證：與相切.（2）若正方形的邊長為1，求半徑的長.【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，AC是角平分線，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)正方形的邊長求出AC的長，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出即可求出.【詳解】解：（1）如圖，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵與相切，∴∵四邊形是正方形，∴平分，∴，∴與相切.（2）∵四邊形為正方形，∴，∴，∴，∴.又，∴，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和圓的切線的性質(zhì)和判定，還運(yùn)用了數(shù)量關(guān)系來證明圓的切線的方法.【變式4-2】（2023?武漢模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E為AB上的一點(diǎn)，DE＝DC，以D為圓心，DB長為半徑作⊙D，AB＝5，EB＝3．（1）求證：AC是⊙D的切線；（2）求線段AC的長．【分析】（1）過點(diǎn)D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半徑，得出AC是⊙D的切線．（2）先證明△BDE≌△DCF（HL），根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等及切線的性質(zhì)的AB＝AF，得出AB+EB＝AC．【解答】證明：（1）過點(diǎn)D作DF⊥AC于F；∵AB為⊙D的切線，∴∠B＝90°∴AB⊥BC∵AD平分∠BAC，DF⊥AC∴BD＝DF∴AC與⊙D相切；（2）在△BDE和△DCF中；∵BD＝DF，DE＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴EB＝FC．∵AB＝AF，∴AB+EB＝AF+FC，即AB+EB＝AC，∴AC＝5+3＝8．【變式4-3】（2023?椒江區(qū)一模）如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，腰AB與⊙O相切于點(diǎn)D．求證：AC是⊙O的切線．【分析】過點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，連接OD，OA，根據(jù)切線的性質(zhì)得出AB⊥OD，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AO是∠BAC的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出OE＝OD，從而證得結(jié)論．【解答】證明：過點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，連接OD，OA，∵AB與⊙O相切于點(diǎn)D，∴AB⊥OD，∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，∴AO是∠BAC的平分線，∴OE＝OD，即OE是⊙O的半徑，∵圓心到直線的距離等于半徑，∴AC是⊙O的切線．【知識點(diǎn)2切線的性質(zhì)】（1）切線性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（2）切線性質(zhì)的推論：①經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)②經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心【題型5利用切線的性質(zhì)求線段長度】【例5】（2023春·河南·九年級校聯(lián)考期末）如圖，AB為⊙O的直徑，C，E是⊙O上不同于A，B的兩點(diǎn)，過點(diǎn)C的切線垂直于AE交AE的延長線于點(diǎn)D，連接AC．

(1)求證：EC=(2)若AC=43，CE=33，則【答案】(1)見解析(2)12【分析】（1）連接CO，可證AD∥OC，從而可證（2）過C作CF⊥AB交AB于F，可求BC=33，AB=AC【詳解】（1）證明：如圖，連接CO，

∵CD為⊙O的切線，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO，∵AO=CO，∴∠CAB=∠ACO，∴∠DAC=∠CAB，∴EC（2）解：過C作CF⊥AB交AB于F，

由（1）得：∠DAC=∠CAB，∴CE=BC=33∵CD⊥AE，∴CD=CF，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，AB==4∵1∴43解得：CF=12∴CD=12故答案：125【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，切線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理等，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·北京西城·九年級北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過點(diǎn)C作⊙O的切線l，過點(diǎn)B作BD⊥l于點(diǎn)D．

(1)求證：BC平分∠ABD；(2)連接OD，若∠ABD=60°，CD=3，求OD【答案】(1)證明見解析(2)7【分析】（1）連接OC，求得OC∥BD，得到∠OBC=∠CBD，即可求得BC平分∠ABD．（2）連接AC，求得∠ACB=90°，在Rt△BDC中，求得BC=23；在Rt△ACB中，AB=2AC，OC=2；在Rt【詳解】（1）證明：如圖，連接OC．

∵直線l與⊙O相切于點(diǎn)C，∴OC⊥l于點(diǎn)C．∴∠OCD=90°．∵BD⊥l于點(diǎn)D，∴∠BDC=90∴∠OCD+∠BDC=180°．∴OC∥BD．∴∠OCB=∠CBD．∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB．∴∠OBC=∠CBD．∴BC平分∠ABD．（2）解：連接AC．

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．∵∠ABD=60°，∴∠OBC=∠CBD=1在Rt△BDC∵∠CBD=30°，CD=3∴BC=2CD=23在Rt△ACB∵∠ABC=30°，∴AB=2AC．∵AC2∴AB=4．∴OC=1在Rt△OCD∵OC∴OD=7【點(diǎn)睛】本題是圓與三角形綜合題，考查了切線的性質(zhì)、角平分線的判定和和勾股定理，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解決問題的關(guān)鍵【變式5-2】（2023春·廣東韶關(guān)·九年級?？计谀┤鐖D，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)F在⊙O上，且點(diǎn)C是弧BF的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長線于D點(diǎn)，交AF的延長線于E點(diǎn)．(1)求證：AE⊥DE；(2)若∠D=30°，AE=3，求CD的長．【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）連接OC，根據(jù)DE切⊙O于C，故OC⊥DE，根據(jù)點(diǎn)C是BF的中點(diǎn)，故∠BAC=∠EAC，根據(jù)等邊對等角可得∠BAC=∠OCA，即可推得OC∥AE（2）連接BF交OC于G，根據(jù)AB是⊙O直徑，故∠BFA=90°，結(jié)合（1）中結(jié)論可得四邊形CEFG是矩形，根據(jù)含30度角的直角三角形特征可得AD=2AE=6，DO=2CO=2BO，即可推得AD=3CO=6，求得CO=2，DO=4，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：連接OC，如圖∵DE切⊙O于C，∴OC⊥DE∵點(diǎn)C是BF的中點(diǎn)，∴∠BAC=∠EAC∵OC=OA∴∠BAC=∠OCA∴∠EAC=∠OCA∴OC∴AE⊥DE（2）連接BF交OC于G，如圖，∵AB是⊙O直徑，∴∠BFA=90°由（1）可得OC⊥DE，AE⊥DE∴四邊形CEFG是矩形，∴CO⊥BF，CF=GF，∠D=∠ABF=30°∴BG=GF在Rt△ADE中，∠D=30°，∴AD=2AE=6在Rt△CDO中，∴DO=2CO=2BO∴AD=3CO=6∴CO=2，DO=4∴DC=【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，直徑所對的圓周角是90度，矩形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形特征，勾股定理等，熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·廣東汕頭·九年級統(tǒng)考期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，AD與過點(diǎn)C的切線垂直，垂足為點(diǎn)D，直線DC與AB的延長線相交于點(diǎn)P，G是△ACB的內(nèi)心，連接CG并延長，交⊙O于E，交AB于點(diǎn)F，連接BE．(1)求證：AC平分∠DAB；(2)連接BG，判斷△EBG的形狀，并說明理由；(3)若BC=22，AC=42，求線段【答案】(1)見解析(2)等腰三角形，見解析(3)6【分析】（1）由切線的性質(zhì)可得出OC⊥PD，結(jié)合題意可證OC∥AD，即得出∠ACO=∠DAC．再根據(jù)同圓半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)，即得出∠ACO=∠CAO，從而易證AC平分∠DAB；（2）由直徑所對圓周角為直角可知∠ACB=90°．再根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可知∠ACE=∠BCE=12∠ACB=45°，∠CBG=∠FBG．由同弧或等弧所對圓周角相等可知∠ACE=∠ABE=45°，從而結(jié)合三角形外角性質(zhì)得：∠BCE+∠CBG=∠ABE+∠FBG，即∠BGE=∠EBG（3）連接OE，作BM⊥CE交CE于點(diǎn)M，由圓周角定理可知∠BOE=2∠BCE=90°．根據(jù)勾股定理可得出AB=BC2+AC2=210，即得出OE=OB=12AB=【詳解】（1）∵PD是⊙O切線∴OC⊥PD．∵AD⊥PD，∴OC∥AD．∴∠ACO=∠DAC．又∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∴∠CAO=∠DAC，即AC平分∠DAB；（2）△EBG為等腰三角形，理由如下，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．∵G是△ACB的內(nèi)心，∴∠ACE=∠BCE=12∠ACB=45°∵AE=∴∠ACE=∠ABE=45°，∴∠BCE+∠CBG=∠ABE+∠FBG，∴∠BGE=∠EBG，∴△EBG為等腰三角形；（3）連接OE，作BM⊥CE交CE于點(diǎn)M，如圖所示：由圓周角定理可知∠BOE=2∠BCE=90°．∵BC=22，AC=42，∴AB=B∴OB=1∵OE=OB，∴BE=2∵BM⊥CE，∴△BMC為等腰直角三角形，∴BM=MC=2∴EM=B∴CE=MC+EM=2+4=6．【點(diǎn)睛】本題為圓的綜合題，考查切線的性質(zhì)，圓周角定理及其推論，三角形內(nèi)心的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識．熟練掌握圓的相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．在解（3）時正確作出輔助線也是關(guān)鍵．【題型6利用切線的性質(zhì)求角度大小】【例6】（2023春·重慶南岸·九年級重慶市珊瑚初級中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，AC是⊙O的直徑，AB，BC是⊙O的弦，CD是⊙O的切線，C為切點(diǎn)，OD與⊙O交于點(diǎn)E．若點(diǎn)C為BE的中點(diǎn)，∠D=32°，則∠ACB的度數(shù)為（

）

A．56° B．58° C．61° D．68°【答案】C【分析】如圖：連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥CD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠COD，由點(diǎn)C為BE的中點(diǎn)可得∠BOC=∠DOC,最后等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可解答．【詳解】解：如圖：連接OB，

∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵∠D=32°，∴∠COD=90°?32°=58°，∵點(diǎn)C為BE的中點(diǎn)，∴∠BOC=∠DOC=58°，∵OB=OC，∴∠ACB=1故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023春·河南信陽·九年級校聯(lián)考期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PO交⊙O于點(diǎn)C，連接BC，PA．若∠P=36°，且PA與⊙O相切，則此時∠B等于（）A．27° B．32° C．36° D．54°【答案】A【分析】先利用切線的性質(zhì)求出∠AOP=54°，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵PA是⊙O的切線，∴∠PAO=90°，∴∠AOP=90°?∠P=54°，∵OB=OC，∴∠AOP=2∠B，∴∠B=1故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉切線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．【變式6-2】（2023春·廣東梅州·九年級校考開學(xué)考試）如圖：P是⊙O的直徑CD的延長線上一點(diǎn)，PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，∠P=40°，則∠ACP=．【答案】25°【分析】如圖，連接OA，由PA是⊙O的切線，可得∠OAP=90°，則∠AOP=50°，由圓周角定理得，∠ACP=1【詳解】解：如圖，連接OA，∵PA是⊙O的切線，∴∠OAP=90°，∵∠P=40°，∴∠AOP=50°，由圓周角定理得，∠ACP=1故答案為：25°．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)及圓周角定理．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用．【變式6-3】（2023春·江西宜春·九年級江西省豐城中學(xué)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)A，B在圓O上，且∠AOB＝30°，點(diǎn)P是射線OB上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合），連接AP，將△APO沿AP折疊得到△APO'，當(dāng)△APO'的邊所在的直線與圓【答案】105°或60°或15°【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和圓的性質(zhì)，分三種情況討論：當(dāng)O'A所在直線與圓O相切于點(diǎn)A時，當(dāng)AP所在直線與圓O相切于點(diǎn)A時，當(dāng)PO【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得∠OAP=∠O①

當(dāng)O'A所在直線與圓O相切于點(diǎn)a、若點(diǎn)O'在OA

由折疊性質(zhì)可得：∠OAP=1∴∠OPA=180°?∠O?∠OAP=105°；b.

若點(diǎn)O'在OA

易得∠OAP=1∴∠OPA=180°?∠O?∠OAP=15°；②當(dāng)AP所在直線與圓O相切于點(diǎn)A時，如圖（3），

∵∠AOB＝∴∠OPA=180°?∠O=60°；③當(dāng)PO'所在直線與圓O相切時，設(shè)切點(diǎn)為

易知此時點(diǎn)P的位置與圖（3）中相同，故∠OPA=60°；綜上，∠OPA的度數(shù)為105°，60°或15°；【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的性質(zhì)，掌握好圓的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.【題型7利用切線的性質(zhì)證明】【例7】（2023春·河北邢臺·九年級校聯(lián)考期末）如圖，BD是⊙O的直徑，BA是⊙O的弦，過點(diǎn)A的切線交BD的延長線于點(diǎn)C，AB=AC．求證：△ACO≌△ABD．

【答案】證明見解析【分析】根據(jù)BD是⊙O的直徑，得∠BAD=90°，AC是⊙O的切線，得出∠OAC=90°，由AB=AC得∠B=∠C，根據(jù)ASA即可證：△ACO≌∠ABD．【詳解】證明：∵BD是⊙O的直徑，∴∠DAB=90°．∵AC是⊙O的切線，∴∠OAC=90°．∴∠CAO=∠BAD∵AB=AC，∴∠B=∠C．在△ACO和△ABD中，∠C=∠B，∴△ACO≌△ABDASA【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理的推論，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握直徑所對的圓周角是直角和切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期中）如圖所示，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E為線段OB上一點(diǎn)（不與O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于點(diǎn)C，垂足為點(diǎn)E，作直徑CD，過點(diǎn)C的切線交DB的延長線于點(diǎn)P，AF⊥PC于點(diǎn)F，連接CB.試證明：(1)CB是∠ECP的角平分線；(2)CF=CE．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)等角的余角相等證明即可；（2）欲證明CF=CE，只要證明△ACF≌△ACE即可．【詳解】（1）∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵PF是⊙O的切線，CE⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，∴∠BCE=∠BCP，∴BC平分∠PCE．（2）連接AC．∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∵∠BCP=∠BCE，∴∠ACF=∠ACE，∵∠F=∠AEC=90°，AC=AC，∴△ACF≌△ACEAAS∴CF=CE．解法二：連接AC．∵OA=OC∴∠BAC=∠ACO，∵CD平行AF，∴∠FAC=∠ACD，∴∠FAC=∠CAO，∵CF⊥AF，CE⊥AB，∴CF=CE．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)、角平分線的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型．【變式7-2】（2023春·廣東江門·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，直線l與⊙O相切于點(diǎn)A．(1)試問：∠1與∠ACB有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論；(2)如果我們把形如∠1這樣的角稱為“弦切角”，請你用文字表述你在（1）中得出的結(jié)論．【答案】(1)∠1=∠ACB，理由見詳解；(2)弦切角等于其兩邊所夾弧所對的圓周角．【分析】（1）連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，由圓周角定理利出∠BAD+∠D=90°，由切線的性質(zhì)得出∠BAD+∠1=90°，得出∠1（2）由弦切角和對應(yīng)的圓周角的關(guān)系，直=直接寫出結(jié)論即可．【詳解】（1）解：∠1=∠ACB，理由如下：連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD=90°，即：∠BAD+∠D=90°∵直線l與⊙O相切于點(diǎn)A．∴AD⊥l，即：∠BAD+∠1=90°，∴∠1∵∠ACD=∠D，∴∠1=∠ACD；（2）解：由題意得：弦切角等于其兩邊所夾弧所對的圓周角．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，弦切角的定義，圓周角定理，理解弦切角的概念和圓周角定理的推論是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023·安徽·九年級統(tǒng)考期中）已知：如圖，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作⊙O的切線PA、PB，切點(diǎn)為點(diǎn)A、B，連接OA，過點(diǎn)O作OD∥PA交PB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DC⊥PA于C.（1）求證：四邊形OACD是矩形；（2）若∠P=45°，⊙O的半徑為r，試證明四邊形OACD的周長等于【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【詳解】試題分析：（1）由PA是⊙O的切線可得∠OAP=90°，結(jié)合OD∥AP可得∠O=90°，再結(jié)合DC⊥AP即可得到四邊形OACD矩形了；（2）如圖，連接OB，由四邊形AOCD是矩形結(jié)合⊙O的半徑為r可得DC=OA=OB=r，由OD∥AP可得∠BDO=∠P=45°，由PB是⊙O的切線可得∠OBD=90°，由此可得BD=OB=r，則OD=2r=AC，這樣即可由OA+AC+DC+OD求得四邊形OACD的周長為2(試題解析：（1）∵PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，∴OA⊥PA，∵OD∥PA，∴OA⊥OD，又∵DC⊥PA，∴四邊形OACD是矩形；（2）如圖，連接OB，由（1）得，四邊形OACD是矩形，∴OA=CD=r,OD=AC，∵OD∥PA，∴∠ODB=∠P=45°，∵PB是⊙O的切線，∴∠OBD=90°，∴∠BOD=∠ODB=45°，∴OB=BD=r,在RtΔOBD中，由勾股定理得：OD=2∴四邊形OACD的周長=2(OA+OD)=2(r+2【題型8切線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用】【例8】（2023春·湖北·九年級期末）AB為⊙O的直徑，PA為⊙O的切線，BC∥OP交⊙O于C，PO交⊙O于D，（1）求證：PC為⊙O的切線；（2）過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，交AC于F，PO交AC于H，BD交AC于G，DF＝FG，DF＝5，CG＝6，求⊙O的半徑．【答案】（1）見詳解；（2）10．【分析】（1）連OC，由BC∥OP，得到∠AOP=∠OBC，∠POC=∠OCB，則∠AOP=∠POC，可得△POA≌△POC，得到∠PAO=∠PC0，而PA為⊙O的切線，得∠OAP=90°，所以∠PC0=90°，根據(jù)切線的判定即可得到PC為⊙O的切線；（2）連AD，由AB為⊙O的直徑，得∠ADB=90°，而DE⊥AB，則∠ADE=∠ABD，所以∠ADE=∠ABD，從而易得到∠DAG=∠ADF，有AF=DF=FG=5，AC=5+5+6=16，得到AH=12AC=8．易證Rt△AOH≌Rt△DOE，得DE=AH=8，則EF=DE-DF=8-5=3，在Rt△AEF中，利用勾股定理可求得AE=4，在Rt△DOE中，利用勾股定理即可得到⊙O【詳解】證明：（1）連OC，如圖，∵BC∥OP，∴∠AOP=∠OBC，∠POC=∠OCB，而OB=OC，即∠OCB=∠OBC，∴∠AOP=∠POC，又∵OA=OC，OP公共，∴△POA≌△POC，∴∠PAO=∠PCO，而PA為⊙O的切線，∴∠OAP=90°，∴∠PCO=90°，∴PC為⊙O的切線；（2）連AD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，而DE⊥AB，∴∠ADE=∠ABD，由（1）得∠AOP=∠COP，∴∠ABD=∠DAF，∴∠DAG=∠ADF，∴AF=DF=FG=5，∴AC=5+5+6=16．∴AH=12AC又∵OA=OD，∴Rt△AOH≌Rt△DOE，∴DE=AH=8．∴EF=DE?DF=8?5=3，在Rt△AEF中，AE=AF設(shè)⊙O半徑為r，在Rt△DOE中，有r2=82+（r?4）2∴r=10．所以⊙O的半徑為10．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線．也考查了切線的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)以及勾股定理．【變式8-1】（2023春·湖北隨州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，E是AB上一點(diǎn)，以CE為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)F，連接DO，且∠DOC＝90°．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若DF＝2，DC＝6，求BE的長．【答案】（1）詳見解析；（2）BE＝43【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理得到OD∥BE，根據(jù)平行線的性質(zhì)、切線的判定定理證明；（2）連接EF、ED，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BF，根據(jù)勾股定理求出EF，根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．【詳解】（1）證明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝DB，又CO＝OE，∴OD∥BE，∴∠CEB＝∠DOC＝90°，∴CE⊥AB，∴AB是⊙O的切線；（2）解：連接EF、ED，∵BD＝CD＝6，∴BF＝BD﹣DF＝4，∵CO＝OE，∠DOC＝90°，∴DE＝DC＝6，∵CE為⊙O的直徑，∴∠EFC＝90°，∴EF＝DE2?D∴BE＝BF2+E【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓與外心，解題關(guān)鍵是掌握切線的判定定理、圓周角定理、三角形中位線定理、勾股定理．【變式8-2】（2023春·河南周口·九年級淮陽第一高級中學(xué)校考期末）如圖，∠PBC=30°，點(diǎn)O是線段PB的一個三等分點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓交PB于點(diǎn)A，交BC于點(diǎn)E

(1)求證:PE是⊙O的切線；(2)點(diǎn)D為⊙O上的一動點(diǎn)，連接OD.①當(dāng)∠AOD=時，四邊形BEPD是菱形;②當(dāng)∠AOD=時，四邊形ADBE是矩形.【答案】(1)見解析；(2)①60°，②120°.【分析】（1）連接OE,AE，由∠PBE=30°，得到ΔAOE為等邊三角形，得到PA=OA=OB=AE，即可得到∠OEP=90°，則結(jié)論成立；（2）①連接BD，由圓周角定理，得到∠ABD=30°，則∠DBE=60°，又有∠BEP=120°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到PE//DB，然后證明PE=EB=BD，即可得到答案；②由圓周角定理，得∠ABD=60°，得到∠EBD=90°，然后由直徑所對的圓周角為90°，得到∠AEB=∠ADB=90°，即可得到答案.【詳解】證明：連接OE,AE，

∵OB=OE,∠PBE=30°，∴∠POE=2∠PBE=60°.∵OA=OE，∴△AOE為等邊三角形，∴AE=OA.∵點(diǎn)O是BP的三等分點(diǎn)，∵PA=OA=OB=AE，∴∠OPE=∠AEP=1∴∠OEP=∠OEA+∠AEP=60°+30°=90°，即OE⊥PE，∴PE是⊙O的切線.（2）①當(dāng)∠AOD=60°時，四邊形BEPD是菱形；如圖，連接BD，

∵∠AOD=60°，∴∠ABD=30°，∴∠EBD=30°+30°=60°，∵AB為直徑，則∠AEB=90°，由（1）知∠AEP=30°，∴∠BEP=30°+90°=120°，∴∠EBD+∠BEP=60°+120°=180°，∴PE//DB，∵∠APE=∠PBE=30°，∠BOE=∠BOD=180°?60°=120°，∴PE=EB=BD，∴四邊形BEPD是菱形；故答案為：60°.②當(dāng)∠AOD=120°時，四邊形ADBE是矩形.如圖，連接AE、AD、DB，

∵∠AOD=120°，∴∠ABD=1∴∠EBD=30°+60°=90°，∵AB是直徑，∴∠AEB=∠ADB=90°，∴四邊形ADBE是矩形.故答案為：120°.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，菱形的判定和矩形的判定，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，利用圓的性質(zhì)進(jìn)行解題.【變式8-3】（2023春·湖北·九年級期末）已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的角平分線交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AC于E．（1）如圖（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）如圖（1）若AB＝10，AC＝6，求ED的長；（3）如圖（2）過點(diǎn)B作⊙O的切線，交AD延長線于F，若ED＝DF，求EDAD【答案】（1）見解析；（2）4；（3）5【分析】（1）連接OD，則利用角平分線的定義和等腰三角形的性質(zhì)可以推出∠ADO=∠EAD，從而證明OD∥AE，則∠E+∠ODE=180°，再由DE⊥AC，得到∠E=90°，則∠ODE=90°，由此即可證明；（2）連接OD，BC交于F，先利用勾股定理求出BC=AB2?AC2=102?6（3）連接BD，先證明△AED≌△BDF，得到AD=BF，再由勾股定理得到BD2=AB2?AD2=B設(shè)DEAD=x，則【詳解】解：（1）如圖所示，連接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA,∵DA平分∠BAC，∴∠EAD=∠BAD，∴∠ADO=∠EAD，∴OD∥AE，∴∠E+∠ODE=180°，∵DE⊥AC，∴∠E=90°，∴∠ODE=90°，又∵OD是圓O的半徑，∴DE是圓O的切線（2）如圖所示，連接OD，BC交于F，∵AB是直徑，∴∠ACB=∠BCE=90°，∴BC=A又∵∠E=∠FDE=90°，∴四邊形ECFD是矩形，∴DE=CF，∠CFD=90°，∴CF=BF=1∴DE=CF=4；（3）如圖所示，連接BD，∵AB是直徑，∴∠BDA=∠BDF=90°，∴∠F+∠FBD=90°∵DA平分∠BAC，∴∠EAD=∠BAD，∵BF是圓O的切線，∴∠ABF=90°，∴∠F+∠FAB=90°，∴∠EAD=∠BAD=∠FBD，∵∠E=∠BDF=90°，ED=FD，∴△AED≌△BDF（AAS），∴AD=BF，∵BD2=A∴AF∴AD+DF2∴DF2∴DEAD設(shè)DEAD∴x2解得x=5?12∴DEAD【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，解一元二次方程，垂徑定理，平行線的性質(zhì)與判定等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解．【題型9過圓外一點(diǎn)作圓的切線】【例9】（2023·北京海淀·九年級期末）已知：點(diǎn)A，B，C在⊙O上，且∠BAC=45°．求作：直線l，使其過點(diǎn)C，并與⊙O相切．作法：①連接OC；②分別以點(diǎn)B，點(diǎn)C為圓心，OC長為半徑作弧，兩弧交于⊙O外一點(diǎn)D；③作直線CD．直線CD就是所求作直線l．(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：連接OB，BD，∵OB=OC=BD=CD，∴四邊形OBDC是菱形，∵點(diǎn)A，B，C在⊙O上，且∠BAC=45°，∴∠BOC=______°（_________________）（填推理的依據(jù)）．∴四邊形OBDC是正方形