人教版 弧、弦、圓心角【十大題型】

PAGE1 專題24.3弧、弦、圓心角【十大題型】 【人教版】【題型1圓心角、弧、弦的概念辨析】 1【題型2利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求角度】 2【題型3用圓心角、弧、弦的關(guān)系求線段長(zhǎng)度】 4【題型4利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求周長(zhǎng)】 5【題型5利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求面積】 6【題型6利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求弧的度數(shù)】 7【題型7利用圓心角、弧、弦的關(guān)系比較大小】 8【題型8利用圓心角、弧、弦的關(guān)系進(jìn)行證明】 9【題型9利用圓心角、弧、弦的關(guān)系確定線段間的倍數(shù)關(guān)系】 10【題型10利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求最值】 11【知識(shí)點(diǎn)弧、弦、角、距的概念】（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．

（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．

說(shuō)明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣弧．

（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系

三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．【題型1圓心角、弧、弦的概念辨析】【例1】（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在⊙O中，AB=CD，則在①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④AC=BD中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-1】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．相等的圓心角所對(duì)的弧相等 B．在同圓中，等弧所對(duì)的圓心角相等C．弦相等，圓心到弦的距離相等 D．圓心到弦的距離相等，則弦相等【變式1-2】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）判斷下列命題是真命題還是假命題（寫(xiě)在橫線上）：（1）在同圓中，如果圓心角相等，那么它們所對(duì)的弧也相等．（2）在等圓中，如果弦相等，那么它們所對(duì)的弧也相等．（3）在同圓或等圓中，如果弧相等，那么它們所對(duì)的弦的弦心距也相等．（4）在等圓中，如果弧不相等，那么它們所對(duì)的弦也不相等．【變式1-3】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C均在⊙O上，點(diǎn)A是CB中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A．AB=OC B．∠BAC+∠AOC=180°C．BC=2AC D．∠BAC+【題型2利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求角度】【例2】（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，AC=AD，∠AOD=70°，則∠BCO的度數(shù)是（

A．30° B．35° C．40° D．55°【變式2-1】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，A、B、C、D是⊙O上的點(diǎn)，如果AB=CD，∠AOB=70°，那么∠COD=．

【變式2-2】（2023秋·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖半徑OA，OB，OC將一個(gè)圓分成三個(gè)大小相同扇形，其中OD是∠AOB的角平分線，A．100° B．110° C．120° D．130°【變式2-3】（2023春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·九年級(jí)校考期中）如圖，EF、CD是⊙O的兩條直徑，A是劣弧DF的中點(diǎn)，若∠EOD=32°，則∠CDA的度數(shù)是（

）

A．37° B．74° C．53° D．63°【題型3用圓心角、弧、弦的關(guān)系求線段長(zhǎng)度】【例3】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，CD、BE是⊙O的兩條弦，CD交AB于點(diǎn)G，點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，點(diǎn)B是CD的中點(diǎn)，若AB=10，BG=2，則BE的長(zhǎng)為（

）

A．3 B．4 C．6 D．8【變式3-1】（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）將半徑為5的⊙O如圖折疊，折痕AB長(zhǎng)為8，C為折疊后AB的中點(diǎn)，則OC長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C．1 D．2【變式3-2】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)C是直徑AB的三等分點(diǎn)AC<CB，點(diǎn)D是弧ADB的三等分點(diǎn)BD<AD，若直徑AB=12，則【變式3-3】（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）如圖，在直徑為10的⊙O中，兩條弦AB，CD分別位于圓心的異側(cè)，AB∥CD，且CD=2AC，若AB=8，則CD的長(zhǎng)為

【題型4利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求周長(zhǎng)】【例4】（2023秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，則⊙O的周長(zhǎng)為．【變式4-1】（2023秋·浙江寧波·九年級(jí)校考期中）如圖，⊙O的一條弦分圓周長(zhǎng)為1：4兩部分．試求弦AB所對(duì)的圓心角和圓周角的度數(shù)(畫(huà)出圖形并給出解答)．【變式4-2】（2023秋?西林縣期末）如圖，在⊙O中，∠AOB＝60°，弦AB＝3cm，那么△AOB的周長(zhǎng)為9cm．【變式4-3】（2023?江北區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，連接AD，若AD＝36，則⊙O的周長(zhǎng)為63π．【題型5利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求面積】【例5】（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，對(duì)角線AD是⊙O的直徑，AB=BC=CD=2，E是AD的中點(diǎn)，則△ADE的面積是．【變式5-1】（2023?嘉興二模）如圖所示，在10×10的正方形網(wǎng)格中有一半徑為5的圓，一條折線將它分成甲、乙兩部分．S甲表示甲的面積，則S甲＝25π2【變式5-2】（2023秋·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州草橋中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在O中，AC=CB，CD⊥OA于點(diǎn)D，CE⊥OB于點(diǎn)E．（1）求證：CD=CE；（2）若∠AOB=120°，OA=2，求四邊形DOEC的面積．【變式5-3】（2023?浙江自主招生）如圖，在半徑為1的⊙O上任取一點(diǎn)A，連續(xù)以1為半徑在⊙O上截取AB＝BC＝CD，分別以A、D為圓心A到C的距離為半徑畫(huà)弧，兩弧交于E，以A為圓心O到E的距離為半徑畫(huà)弧，交⊙O于F．則△ACF面積是（）A．2 B．3 C．3+224【題型6利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求弧的度數(shù)】【例6】（2023?浙江九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開(kāi)，圖中的虛線表示折痕，則BC的度數(shù)是（）A．120° B．135° C．150° D．165°【變式6-1】（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB是半圓，O為AB中點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)在AB上，且AD∥OC，連接BC、BD．若CD＝62°，則AD的度數(shù)為何？（

）A．56 B．58 C．60 D．62【變式6-2】（2023秋·江蘇淮安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠C=90°，∠A=20°，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，求【變式6-3】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知AB為⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，且AB=2DE．(1)若∠E=25°，求∠AOC的度數(shù)；(2)若AC的度數(shù)是BD的度數(shù)的m倍，則m＝．【題型7利用圓心角、弧、弦的關(guān)系比較大小】【例7】（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)P1~P8是⊙O的八等分點(diǎn)．若△P1P3P

A．a(chǎn)<b B．a(chǎn)=b C．a(chǎn)>b D．a(chǎn)，b大小無(wú)法比較【變式7-1】（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖,AB是⊙O的直徑,P是AB上一點(diǎn),C、D分別是圓上的點(diǎn),且∠CPB=∠DPB,弧DB=弧BC,試比較線段PC、PD的大小關(guān)系.【變式7-2】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在同圓中，若弧AB和弧CD都是劣弧，且弧AB=2弧CD，那么AB和CD的大小關(guān)系是（

）A．AB=2CD B．AB>2CD C．AB<2CD D．無(wú)法比較它們的大小【變式7-3】（2023秋·浙江杭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算機(jī)處理任務(wù)時(shí)，經(jīng)常會(huì)以圓形進(jìn)度條的形式顯示任務(wù)完成的百分比，下面是同一個(gè)任務(wù)進(jìn)行到不同階段時(shí)進(jìn)度條的示意圖：當(dāng)任務(wù)完成的百分比為x時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度記為d(x)．下列描述正確的是（

）A．當(dāng)x1>x2時(shí)，dxC．當(dāng)x1+x2=1時(shí)，d【題型8利用圓心角、弧、弦的關(guān)系進(jìn)行證明】【例8】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知圓內(nèi)接△ABC中，AB>AC，D為BAC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，求證：BD

【變式8-1】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在⊙O中，弦AB與弦CD相交于點(diǎn)E，且AB=CD．求證：CE=BE．

【變式8-2】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在⊙O上依次取點(diǎn)B，A，C使BA=AC，連接AC，AB，BC，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，在弦BC右側(cè)取點(diǎn)E，使

(1)求證：△DBC?△ECB．(2)若AC=8，∠ABC=30°，求【變式8-3】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B、C、D是⊙O上的點(diǎn)，AD為直徑，AB∥

(1)求證：點(diǎn)C平分BD．(2)利用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)做出AB的中點(diǎn)P（保留作圖痕跡）．【題型9利用圓心角、弧、弦的關(guān)系確定線段間的倍數(shù)關(guān)系】【例9】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，已知AB為半圓的直徑．求作矩形MNPQ，使得點(diǎn)M，N在AB上，點(diǎn)P，Q在半圓上，且MN=2MQ．要求：（1）用直尺和圓規(guī)作圖；（2）保留作圖的痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明．【變式9-1】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在⊙O中，AB＝2AC，AD⊥OC于點(diǎn)D，比較大小AB2【變式9-2】（2023?鐵嶺模擬）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓O上，把半圓沿弦AC折疊，AC恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，則BC與AC的關(guān)系是（）A．BC=12AC B．BC=【變式9-3】（2023?長(zhǎng)安區(qū)二模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，且AC=3BC，則弦AC與弦BCA．AC＝3BC B．AC=3BC C．AC＝（2+1）BC D．3AC【題型10利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求最值】【例10】（2023秋·浙江衢州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)M，N在⊙O上，且點(diǎn)N是弧BM的中點(diǎn)，P是直徑AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PM，PN，已知AB=10，弧BM的度數(shù)為40°，則PM+PN的最小值為（

）

A．10 B．53 C．52【變式10-1】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB是半圓O的直徑，半圓的半徑為4，點(diǎn)C，D在半圓上，OC⊥AB,BD=