高三大一輪復(fù)習(xí)講義數(shù)學(xué)（文）課時(shí)作業(yè)37：綜合法、分析法、反證法（北師大版）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精課時(shí)作業(yè)（三十七）歸納與類(lèi)比A級(jí)1．已知△ABC中，∠A＝30°,∠B＝60°，求證:a＜b。證明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＜∠B?！郺＜b,其中,畫(huà)線(xiàn)部分是演繹推理的(）A．大前提 B．小前提C．結(jié)論 D．三段論2．下列推理是歸納推理的是()A．A，B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足｜PA|＋｜PB｜＝2a＞|AB|，則PB．由a1＝1，an＝3n－1,求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式C．由圓x2＋y2＝r2的面積πr2,猜想出橢圓eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2，b2)＝1的面積S＝πabD．科學(xué)家利用魚(yú)的沉浮原理制造潛艇3．設(shè)⊕是R的一個(gè)運(yùn)算，A是R的非空子集．若對(duì)于任意a,b∈A,有a⊕b∈A,則稱(chēng)A對(duì)運(yùn)算⊕封閉．下列數(shù)集對(duì)加法、減法、乘法和除法（除數(shù)不等于零）四則運(yùn)算都封閉的是（)A．自然數(shù)集 B．整數(shù)集C．有理數(shù)集 D．無(wú)理數(shù)集4．給出下面類(lèi)比推理命題（其中Q為有理數(shù)集,R為實(shí)數(shù)集，C為復(fù)數(shù)集）：①“若a，b∈R，則a－b＝0?a＝b"類(lèi)比推出“若a，b∈C，則a－b＝0?a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，則復(fù)數(shù)a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”類(lèi)比推出“若a，b，c，d∈Q，則a＋beq\r(2)＝c＋deq\r(2)?a＝c，b＝d"；③“若a，b∈R，則a－b＞0?a＞b”類(lèi)比推出“若a，b∈C，則a－b＞0?a＞b”．其中類(lèi)比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1C．2 D．35．(2012·陜西師大附中模擬)若數(shù)列｛an}是等差數(shù)列,則數(shù)列{bn｝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（bn＝\f（a1＋a2＋…＋an,n）))也為等差數(shù)列．類(lèi)比這一性質(zhì)可知，若正項(xiàng)數(shù)列{cn｝是等比數(shù)列,且{dn}也是等比數(shù)列，則dn的表達(dá)式應(yīng)為()A．dn＝eq\f（c1＋c2＋…＋cn，n） B．dn＝eq\f（c1·c2·…·cn,n）C．dn＝eq\r（n，\f（c\o\al(n，1）＋c\o\al(n,2）＋…c\o\al（n,n），n）) D．dn＝eq\r（n，c1·c2·…·cn）6．小王利用計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，輸入和輸出的數(shù)據(jù)如下：輸入12345…輸出eq\f(1，2）eq\f(2,5）eq\f(3,10）eq\f(4,17）eq\f(5,26)…那么，當(dāng)輸入數(shù)據(jù)是8時(shí)，輸出的數(shù)據(jù)是________．7．下列推理過(guò)程是演繹推理的有________(填上所有正確的序號(hào))．（1）兩條直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，如果∠A和∠B是兩條平行直線(xiàn)的同旁?xún)?nèi)角，則∠A＋∠B＝180°(2）某校高三(1）班有55人，(2)班有54人,(3)班有52人，由此得高三所有班級(jí)人數(shù)超過(guò)50人(3)由平面三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四邊形的性質(zhì)（4）在數(shù)列｛an｝中，a1＝1，an＝eq\f（1,2）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（an－1＋\f(1，an－1）))(n≥2,n∈N＋）,由此歸納出｛an}的通項(xiàng)公式8．給出下列不等式:1＋eq\f（1，2）＋eq\f（1,3)＞1，1＋eq\f（1，2）＋eq\f(1,3）＋…＋eq\f(1,7)＞eq\f(3，2),1＋eq\f(1,2)＋eq\f（1，3)＋…＋eq\f(1,15)＞2，…，則按此規(guī)律可猜想第n個(gè)不等式為_(kāi)_______．9．（2012·杭州模擬）在平面上,我們?nèi)绻靡粭l直線(xiàn)去截正方形的一個(gè)角，那么截下的一個(gè)直角三角形,按圖所標(biāo)邊長(zhǎng)，由勾股定理有:c2＝a2＋b2.設(shè)想正方形換成正方體，把截線(xiàn)換成如圖的截面，這時(shí)從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐O－LMN,如果用S1，S2,S3表示三個(gè)側(cè)面面積，S4表示截面面積，那么類(lèi)比得到的結(jié)論是________．10．平面中的三角形和空間中的四面體有很多相類(lèi)似的性質(zhì)，例如在三角形中：(1)三角形兩邊之和大于第三邊；（2）三角形的面積S＝eq\f(1，2）×底×高;(3）三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊且等于第三邊的eq\f(1,2)；……請(qǐng)類(lèi)比上述性質(zhì)，寫(xiě)出空間中四面體的相關(guān)結(jié)論．11．已知等差數(shù)列｛an}的公差d＝2，首項(xiàng)a1＝5.(1）求數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和Sn；（2)設(shè)Tn＝n（2an－5)，求S1,S2,S3，S4,S5;T1，T2,T3，T4，T5，并歸納出Sn與Tn的大小規(guī)律．B級(jí)1．(2012·長(zhǎng)春市調(diào)研)類(lèi)比“兩角和與差的正弦公式"的形式，對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù)：S（x)＝ax－a－x,C(x)＝ax＋a－x,其中a＞0,且a≠1，下面正確的運(yùn)算公式是(）①S(x＋y)＝S（x）C(y）＋C（x）S(y）；②S(x－y）＝S（x)C(y）－C（x)S(y）；③2S（x＋y）＝S（x)C（y）＋C（x）S（y）;④2S（x－y）＝S(x）C(y)－C（x）S（y)．A．①② B．③④C．①④ D．②③2．如圖甲,在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足,則AB2＝BD·BC,該結(jié)論稱(chēng)為射影定理．如圖乙，在三棱錐A－BCD中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O為垂足,且O在△BCD內(nèi)，類(lèi)比射影定理，探究S△ABC、S△BCO、S△BCD這三者之間滿(mǎn)足的關(guān)系式是________．3．（2012·福建卷)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù):①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°;②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°;③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2（－25°)＋cos255°－sin(－25°）cos55°。(1）試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù);(2)根據(jù)(1）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．

答案課時(shí)作業(yè)(三十七)A級(jí)1．B由三段論的組成可得劃線(xiàn)部分為三段論的小前提．2．B從S1,S2，S3猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，是從特殊到一般的推理，所以B是歸納推理,故應(yīng)選B.3．CA錯(cuò)：因?yàn)樽匀粩?shù)集對(duì)減法、除法不封閉；B錯(cuò)：因?yàn)檎麛?shù)集對(duì)除法不封閉；C對(duì):因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)有理數(shù)的和、差、積、商都是有理數(shù),故有理數(shù)集對(duì)加、減、乘、除法（除數(shù)不等于零）四則運(yùn)算都封閉；D錯(cuò)：因?yàn)闊o(wú)理數(shù)集對(duì)加、減、乘、除法都不封閉．4．C①②正確,③錯(cuò)誤，因?yàn)閺?fù)數(shù)不能比較大小，如a＝5＋6i,b＝4＋6i，雖然滿(mǎn)足a－b＝1＞0,但復(fù)數(shù)a與b不能比較大?。?．D若{an｝是等差數(shù)列,則a1＋a2＋…＋an＝na1＋eq\f(nn－1，2)d,∴bn＝a1＋eq\f(n－1，2）d＝eq\f（d,2)n＋a1－eq\f(d，2)，即{bn}為等差數(shù)列；若｛cn｝是等比數(shù)列，則c1·c2·…·cn＝ceq\o\al（n，1)·q1＋2＋…＋（n－1)＝ceq\o\al（n,1）·qeq\f(nn－1，2)，∴dn＝eq\r（n，c1·c2·…·cn)＝c1·qeq\f(n－1，2)，即{dn}為等比數(shù)列，故選D.6．解析：觀察猜想可得:an＝eq\f(n，n2＋1),所以當(dāng)輸入數(shù)據(jù)8時(shí)，輸出數(shù)據(jù)為eq\f(8，82＋1）＝eq\f(8,65）。答案：eq\f（8，65)7．解析：(1)是，使用了“三段論”．（2)不是，使用了歸納推理不是演繹推理．（3)不是，使用了類(lèi)比推理．（4)不是，使用了歸納推理．答案：（1）8．解析：觀察不等式左邊最后一項(xiàng)的分母3,7，15，…，通項(xiàng)為2n＋1－1，不等式右邊為首項(xiàng)為1，公差為eq\f(1，2）的等差數(shù)列，故猜想第n個(gè)不等式為1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3）＋eq\f（1，4）＋…＋eq\f(1,2n＋1－1)＞eq\f（n＋1，2）。答案：1＋eq\f（1，2）＋eq\f(1,3）＋eq\f(1,4）＋…＋eq\f(1,2n＋1－1）＞eq\f（n＋1,2)9．解析：將側(cè)面面積類(lèi)比為直角三角形的直角邊,截面面積類(lèi)比為直角三角形的斜邊，可得Seq\o\al(2，1)＋Seq\o\al(2，2）＋Seq\o\al（2,3)＝Seq\o\al(2,4）.答案：Seq\o\al(2,1）＋Seq\o\al(2，2)＋Seq\o\al(2,3)＝Seq\o\al（2,4）10．解析：由三角形的性質(zhì)，可類(lèi)比得空間四面體的相關(guān)性質(zhì)為：（1)四面體的任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積；（2)四面體的體積V＝eq\f（1,3）×底面積×高；(3)四面體的中位面平行于第四個(gè)面且面積等于第四個(gè)面的面積的eq\f（1，4).11．解析：（1)Sn＝5n＋eq\f（nn－1，2）×2＝n(n＋4）．(2)Tn＝n(2an－5)＝n[2（2n＋3）－5］，∴Tn＝4n2＋n.∴T1＝5，T2＝4×22＋2＝18，T3＝4×32＋3＝39,T4＝4×42＋4＝68，T5＝4×52＋5＝105.S1＝5，S2＝2×（2＋4)＝12，S3＝3×（3＋4）＝21，S4＝4×（4＋4)＝32,S5＝5×(5＋4)＝45.由此可知S1＝T1，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＜Tn。歸納猜想:當(dāng)n≥2,n∈N時(shí)，Sn＜Tn.B級(jí)1．B經(jīng)驗(yàn)證易知①②錯(cuò)誤．依題意,注意到2S（x＋y)＝2（ax＋y－a－x－y），又S(x）C(y)＋C(x）S(y)＝2(ax＋y－a－x－y），因此有2S(x＋y)＝S(x)C（y）＋C(x)S(y)；同理有2S（x－y）＝S（x）C（y)－C(x）S（y）．綜上所述,選B.2．解析：連接DO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E.連接AE，則BC⊥DE,BC⊥AE.∴S△ABC＝eq\f(1，2)BC·AE，S△BCO＝eq\f(1，2)BC·EO，S△BCD＝eq\f(1，2）BC·DE,又AE2＝EO·ED，∴Seq\o\al（2，△ABC)＝S△BCO·S△BCD.答案：Seq\o\al（2，△ABC）＝S△BCO·S△BCD3．解析：方法一：(1)選擇②式，計(jì)算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f（1,2)sin30°＝1－eq\f(1，4）＝eq\f(3,4）。(2)三角恒等式為sin2α＋cos2（30°－α）－sinαcos（30°－α）＝eq\f（3,4)。證明如下:sin2α＋cos2（30°－α）－sinαcos（30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα）2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα）＝sin2α＋eq\f(3，4)cos2α＋eq\f(\r(3）,2)sinαcosα＋eq\f（1，4）sin2α－eq\f（\r（3)，2）sinαcosα－eq\f（1，2）sin2α＝eq\f(3,4）sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＝eq\f(3，4).方法二：(1）同方法一．(2）三角恒等式為sin2α＋cos2（30°－α)－sinαcos（30°－α)＝eq\f(3，4）.證明如下：sin2α＋cos2（30°－α）－sinαcos(30°－α）＝eq\f(1－cos2α，2)＋eq\f(1＋cos60°－2α，2）－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝eq\f（1,2）－eq\f(1,2)cos2α＋eq\f（1,2)＋