第三章 控制系統(tǒng)的時域分析4課件

§3-6控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量反映系統(tǒng)跟蹤輸入信號的準確度或抑制擾動信號的能力，用穩(wěn)態(tài)誤差來描述。在系統(tǒng)的分析、設計中，穩(wěn)態(tài)誤差是一項重要的性能指標，它與系統(tǒng)本身的結構、參數(shù)及外作用的形式有關，也與元件的不靈敏、零點漂移、老化及各種傳動機械的間隙、摩擦等因素有關。本章只討論由于系統(tǒng)結構、參數(shù)及外作用等因素所引起的穩(wěn)態(tài)誤差。給定穩(wěn)態(tài)誤差（由給定輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差）擾動穩(wěn)態(tài)誤差（由擾動輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差）第三章控制系統(tǒng)的時域分析4對于隨動系統(tǒng)，給定輸入變化，要求系統(tǒng)輸出量以一定的精度跟隨輸入量的變化，因而用給定穩(wěn)態(tài)誤差來衡量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。對于恒值系統(tǒng)，給定輸入通常是不變的，需要分析輸出量在擾動作用下所受到的影響，因而用擾動穩(wěn)態(tài)誤差來衡量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。本章介紹穩(wěn)態(tài)誤差的概念和計算方法，研究穩(wěn)態(tài)誤差的規(guī)律以及減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的途徑。第三章控制系統(tǒng)的時域分析4

一、穩(wěn)態(tài)誤差的定義

系統(tǒng)的誤差e(t)一般定義為輸出量的希望值與實際值之差。對圖3-22所示的典型系統(tǒng)，其誤差定義有兩種形式：（1）系統(tǒng)誤差（從輸出端定義）其中，Cr(s)為系統(tǒng)輸出量的希望值，Cr(s)定義為E(s)=0時系統(tǒng)的輸出，C(s)為輸出量的實際值。（2）作用誤差（從輸入端定義）其中，系統(tǒng)輸出量的希望值是給定輸入R(s)，而輸出量的實際值為系統(tǒng)主反饋信號B(s)。通常H（s）是測量裝置的傳遞函數(shù)，故此時誤差就是給定輸入與測量裝置的輸出量之差。第三章控制系統(tǒng)的時域分析4

第一種形式的誤差是從系統(tǒng)輸出端來定義的，它在性能指標提法中經常使用，但在實際系統(tǒng)中無法測量，因而，一般只有數(shù)學意義。而第二種形式的誤差是從系統(tǒng)的輸入端來定義的，它在系統(tǒng)中是可以測量的，因而具有實用性。對于單位反饋系統(tǒng)，要求輸出量C(s)的變化規(guī)律與給定輸入R(s)的變化規(guī)律完全一致，所以給定輸入R(s)也就是輸出量的希望值Cr(s)，即Cr(s)=R(s)。此時，上述兩種定義統(tǒng)一為E(s)=R(s)-C(s)（3-31）

R(s)-B(s)E(s)N(s)+C(s)圖3-22反饋系統(tǒng)結構圖第三章控制系統(tǒng)的時域分析4對于單位反饋系統(tǒng)，誤差的兩種定義形式是一致的。對于非單位反饋系統(tǒng)，若設第（1）種形式的誤差為,第（2）種形式的誤差為E(s)，則不難證明E(s)與之間存在如下關系：

可見，兩種定義對非單位反饋系統(tǒng)是存在差異的，但兩種定義下的誤差之間具有確定的關系，即誤差可以直接或間接地由E(s)來確定。從本質上看，它們都能反映控制系統(tǒng)的控制精度。第三章控制系統(tǒng)的時域分析4我們通常稱e(t)為系統(tǒng)的誤差響應，它反映了系統(tǒng)在輸入信號和擾動信號作用下整個工作過程中的精度。誤差響應e(t)也和輸出響應c(t)一樣包含有瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量兩個部分，如果所研究的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么當時間t趨于無窮大時，瞬態(tài)分量趨近于零，剩下的只是穩(wěn)態(tài)分量。穩(wěn)態(tài)誤差的定義：穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)誤差信號的穩(wěn)態(tài)分量稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，以表示。（3-32）第三章控制系統(tǒng)的時域分析4二、輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

在圖3-22所示系統(tǒng)中，如果不計擾動輸入的影響，可以求得系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差。此時，系統(tǒng)的結構圖可簡化為圖3-23。E(s)R(s)B(s)G(s)H(s)C(s)圖3-23給定輸入作用下系統(tǒng)結構圖-第三章控制系統(tǒng)的時域分析4由圖3-23可知由誤差的定義可知式中稱為給定輸入作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)。應用拉氏變換的終值定理可以方便地求出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

第三章控制系統(tǒng)的時域分析4

上式是確定給定穩(wěn)態(tài)誤差的一個基本公式。它表明，在給定輸入作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的結構、參數(shù)和輸入信號的形式有關，對于一個給定的系統(tǒng)，當給定輸入的形式確定后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差將取決于以開環(huán)傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)結構。第三章控制系統(tǒng)的時域分析4為了分析穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結構的關系，可以根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)來規(guī)定控制系統(tǒng)的類型。設系統(tǒng)的開環(huán)的傳遞函數(shù)為

（3-34）第三章控制系統(tǒng)的時域分析4

記

，稱Kp

為穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)。穩(wěn)態(tài)誤差可表示為因此，在單位階躍輸入下，給定穩(wěn)態(tài)誤差取決于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)。對于0型系統(tǒng)，v=0

1、

單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差

對于單位階躍輸入，R(s)=1/s,由式（3-33）求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為第三章控制系統(tǒng)的時域分析4

對于1型系統(tǒng)（或高于1型的系統(tǒng)），

可見，由于0型系統(tǒng)中沒有積分環(huán)節(jié)，它對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，誤差的大小與系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)K成反比，K越大，ess越小，只要K不是無窮大，系統(tǒng)總有誤差存在。對實際系統(tǒng)來說，通常是允許存在穩(wěn)態(tài)誤差的，但不允許超過規(guī)定的指標。為了降低穩(wěn)態(tài)誤差，可在穩(wěn)定條件允許的前提下，增大系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)，若要求系統(tǒng)對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，則必須選用1型或高于1型的系統(tǒng)。

第三章控制系統(tǒng)的時域分析42、單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差對于單位斜坡輸入，此時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

記

，稱KV為穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)。

于是穩(wěn)態(tài)誤差可表示為因此，在單位斜坡輸入下，給定穩(wěn)態(tài)誤差決定于穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)。第三章控制系統(tǒng)的時域分析4對于0型系統(tǒng)，對于1型系統(tǒng)，第三章控制系統(tǒng)的時域分析4對于2型系統(tǒng)（或高于2型的系統(tǒng)），上面的計算表明，在單位斜坡輸入作用下，0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為，而1型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，且誤差與開環(huán)放大系數(shù)成反比。為了使穩(wěn)態(tài)誤差不超過規(guī)定值，可以增大系統(tǒng)的K值。2型或高于2型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差總為零。因此，對于單位斜坡輸入，要使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值或為零，必需，也即系統(tǒng)必須有足夠積分環(huán)節(jié)。第三章控制系統(tǒng)的時域分析43、單位拋物線輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差對于單位拋物線輸入，此時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

記

，稱Ka為穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)。于是穩(wěn)態(tài)誤差可表示為

第三章控制系統(tǒng)的時域分析4對于0型系統(tǒng)，于是穩(wěn)態(tài)誤差可表示為

第三章控制系統(tǒng)的時域分析4對于1型系統(tǒng)，對于2型系統(tǒng)，第三章控制系統(tǒng)的時域分析4對于3型系統(tǒng)（或高于3型的系統(tǒng)），以上計算表明，在單位拋物線輸入作用下，0型和1型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為，2型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，且誤差與開環(huán)放大系數(shù)成反比。對3型或高于3型的系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差為零。但是，此時要使系統(tǒng)穩(wěn)定則比較困難。第三章控制系統(tǒng)的時域分析4

在各種典型輸入信號作用下，不同類型系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差如表3-1所示。

表3-1輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差III系統(tǒng)類別靜態(tài)誤差系數(shù)階躍輸入斜坡輸入r(t)=Rt加速度輸入III第三章控制系統(tǒng)的時域分析4

若給定的輸入信號不是單位信號時，則將系統(tǒng)對單位信號的穩(wěn)態(tài)誤差成比例的增大，就可以得到相應的穩(wěn)態(tài)誤差。若給定輸入信號是上述典型信號的線性組合，則系統(tǒng)相應的穩(wěn)態(tài)誤差就由疊加原理求出。例如，若輸入信號為：則系統(tǒng)的總穩(wěn)態(tài)誤差為：

綜上所述，穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)kp、kv和ka描述了系統(tǒng)對減小和消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力，因此，它們是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)特性的一種表示方法。提高開環(huán)放大系數(shù)K或增加開環(huán)傳遞函數(shù)中的積分環(huán)節(jié)數(shù)，都可以達到減小或消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的目的。但是，這兩種方法都受到系統(tǒng)穩(wěn)定性的限制。因此，對于系統(tǒng)的準確性和穩(wěn)定性必須統(tǒng)籌兼顧、全面衡量。第三章控制系統(tǒng)的時域分析4此外，由以上討論可知：當時，系統(tǒng)相對的穩(wěn)態(tài)誤差為零；當時，系統(tǒng)相對的穩(wěn)態(tài)誤差為零；當時，系統(tǒng)相對的穩(wěn)態(tài)誤差為零。因此，當開環(huán)系統(tǒng)含有個串聯(lián)積分環(huán)節(jié)時，稱系統(tǒng)對給定輸入r(t)是階無差系統(tǒng)，而稱為系統(tǒng)的無差度。第三章控制系統(tǒng)的時域分析4例3-9設圖3-24所示系統(tǒng)的輸入信號r(t)=10+5t，試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并求出其穩(wěn)態(tài)誤差。解由圖3-24求得系統(tǒng)的特征方程為

R(s)-C(s)圖3-24例3-9系統(tǒng)結構圖第三章控制系統(tǒng)的時域分析4由特征方程列勞斯表S321+0.5KS23KS1S0K要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須K>0,1+0.5K>0（系數(shù)同號）,3(1+0.5K)－2K>0解得K>0，K>-2，K<6所以，當0<K<6時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第三章控制系統(tǒng)的時域分析4

所以，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為上述結果表明，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與K成反比，K值越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小，但K值的增大受到穩(wěn)定性的限制，當K>6時，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。由圖3-24可知，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)分別為第三章控制系統(tǒng)的時域分析4解：首先判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由開環(huán)傳遞函數(shù)知，閉環(huán)特征方程為根據(jù)勞斯判據(jù)知閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。例

系統(tǒng)結構如下圖所示，求當輸入信號r(t)=2t+t2時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess。S30.120S2120S118S020第三章控制系統(tǒng)的時域分析4第二步，求穩(wěn)態(tài)誤差ess，因為系統(tǒng)為型系統(tǒng)，根據(jù)線性系統(tǒng)的奇次性和疊加性，有

故系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess=ess1+ess2=0.1。第三章控制系統(tǒng)的時域分析4三、擾動穩(wěn)態(tài)誤差

控制系統(tǒng)除了受到給定輸入的作用外，通常還受到擾動輸入的作用。系統(tǒng)在擾動輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差的大小，反映了系統(tǒng)的抗干擾能力。擾動輸入可以作用在系統(tǒng)的不同位置，因此，即使系統(tǒng)對于某種形式的給定輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，但對同一形式的擾動輸入其穩(wěn)態(tài)誤差則不一定為零。

R(s)-B(s)+N(s)圖3-25擾動輸入作用下系統(tǒng)結構圖C(s)第三章控制系統(tǒng)的時域分析4

下面根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，以圖3-25所示系統(tǒng)來討論由擾動輸入所產生的穩(wěn)態(tài)誤差。按照前面給出的誤差信號的定義可得擾動輸入引起的誤差為而此時系統(tǒng)的輸出為R(s)-B(s)+N(s)圖3-25擾動輸入作用下系統(tǒng)結構圖C(s)E(s)第三章控制系統(tǒng)的時域分析4式中稱為擾動輸入作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)。此時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為例3-10設控制系統(tǒng)如圖3-26所示，其中給定輸入r(t)=Rr*1(t)，擾動輸入n(t)=Rn*1(t)（Rr和Rn均為常數(shù)），試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

（3-38）第三章控制系統(tǒng)的時域分析4解當系統(tǒng)同時受到給定輸入和擾動輸入的作用時，其穩(wěn)定誤差為給定穩(wěn)態(tài)誤差和擾動穩(wěn)態(tài)誤差的疊加。令n(t)=0時，求得給定輸入作用下的誤差傳遞函數(shù)為

所以給定穩(wěn)態(tài)誤差為R(s)-+N(s)圖3-26例3-10系統(tǒng)結構圖C(s)E(s)B(s)第三章控制系統(tǒng)的時域分析4令r(t)=0時，求得擾動輸入作用下的誤差傳遞函數(shù)為

所以擾動穩(wěn)態(tài)誤差為由上式計算可以看出，r(t)和n(t)同是階躍信號，由于在系統(tǒng)中的作用點不同，故它們產生的穩(wěn)態(tài)誤差也不相同。此外，由擾動穩(wěn)態(tài)誤差的表達式可見，提高系統(tǒng)前向通道中擾動信號作用點之前的環(huán)節(jié)的放大系數(shù)（即K1），可以減小系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差。

第三章控制系統(tǒng)的時域分析4該系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為為了分析系統(tǒng)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)對穩(wěn)態(tài)誤差的影響，我們假設圖3-26中給定輸入和擾動輸入保持不變。這時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可按上述相同的方法求出，即第三章控制系統(tǒng)的時域分析4系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為

比較以上兩次計算的結果可以看出，若要消除系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差，則系統(tǒng)前向通道中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)都起作用。若要消除系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差，則在系統(tǒng)前向通道中只有擾動輸入作用點之前的積分環(huán)節(jié)才起作用。因此，若要消除由給定輸入和擾動輸入同時作用于系統(tǒng)所產生的穩(wěn)態(tài)誤差，則串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)應集中在前向通道中擾動輸入作用點之前。第三章控制系統(tǒng)的時域分析4對于非單位反饋系統(tǒng)，當H(s)為常數(shù)時，以上分析的有關結論同樣適用。前面定義了相對于給定輸入的無差度，同樣也可以定義相對于擾動輸入的無差度。當系統(tǒng)的G1(s)中含有v1個串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)時,稱系統(tǒng)相對于擾動輸入是v1階無差系統(tǒng)，而v1稱為系統(tǒng)相對于擾動輸入的無差度。對本例中的前一種情況，系統(tǒng)對擾動輸入的無差度為0，而后一種情況，系統(tǒng)對擾動的無差度是1。顯然，當談及一個系統(tǒng)的無差度時應指明系統(tǒng)對哪一種輸入作用而言，否則，可能會得出錯誤的結論。第三章控制系統(tǒng)的時域分析4四、減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的方法

前面的討論表明，為了減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，可以增加開環(huán)傳遞函數(shù)中的串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目或提高系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。但是，串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)一般不超過2，而開環(huán)放大系數(shù)也不能任意增大，否則系統(tǒng)將可能不穩(wěn)定，為了進一步減小系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，可以采用加前饋控制的復合控制方法，即從給定輸入或擾動輸入處引出一個前饋控制量，加到系統(tǒng)中去，通過適當選擇補償裝置和作用點，就可以達到減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的目的。第三章控制系統(tǒng)的時域分析4在圖3-27所示系統(tǒng)中，為了消除由R(s)引起的穩(wěn)態(tài)誤差，可在原反饋控制的基礎上，從給定輸入處引出前饋量經補償裝置Gc(s)對系統(tǒng)進行復合控制。此時系統(tǒng)誤差信號的拉氏變換式為經整理得顯然，如果選擇補償裝置的傳遞函數(shù)為則系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差為零。R(s)E(s)C(s)-+圖3-27按給定輸入補償?shù)膹秃峡刂频谌驴刂葡到y(tǒng)的時域分析4在圖3-28所示系統(tǒng)中，為了消除由n(t)引起的穩(wěn)態(tài)誤差，可在原反饋控制的基礎上，從擾動輸入引出前饋量經補償裝置Gc(s)加到系統(tǒng)中，若設r(t)=0，則顯然，如果選擇補償裝置的傳遞函數(shù)為

C(s)R(s)N(s)E(s)--+A圖3-28按擾動輸入補償?shù)膹秃峡刂频谌驴刂葡到y(tǒng)的時域分析4則可使輸出不受擾動n(t)的影響，故系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差為零。從結構上看，當滿足Gc(s)=1/G1(s)時，擾動信號經兩條通道到達A點，兩個分支信號正好大小相等，符號相反，因而實現(xiàn)了對擾動的全補償。由于物理上可實現(xiàn)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)總是滿足分母的階次大于或等于其分子的階次，要求構造出分子的階次大于或等于其分母階次的補償裝置，這通常是不可能的。此外，由于傳遞函數(shù)的元件參數(shù)隨著時間的推移也會發(fā)生變化，這就使得全補償條件不可能成立。所以，實際上只能實現(xiàn)近似補償?？梢宰C明，前饋控制加入前后，系統(tǒng)的特征方程保持不變，因此，系統(tǒng)的穩(wěn)定性將不會發(fā)生變化。第三章控制系統(tǒng)的時域分析4比例積分控制PI控制器的時域表達式為：

PI控制器的傳遞函數(shù)為：

PI控制器是由比例和積分環(huán)節(jié)并聯(lián)而成，框圖如下：

第三章控制系統(tǒng)的時域分析4以典型二階系統(tǒng)為例，討論引入PI控制后的穩(wěn)態(tài)誤差先討論給定誤差:令N(s)=0,為突出積分的作用，令比例環(huán)節(jié)kp=1該系統(tǒng)為二型系統(tǒng)：v=2,系統(tǒng)閉環(huán)傳函為由Routh判據(jù)可知，當0<ki<時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第三章控制系統(tǒng)的時域分析4輸入分別為單位階躍、斜坡、加速度信號時，其靜態(tài)誤差系數(shù)分別為：則由這些輸入信號引起的給定穩(wěn)態(tài)誤差分別為：未引入PI控制引入PI控制后第三章控制系統(tǒng)的時域分析4現(xiàn)在討論擾動誤差:令R(s)=0,為突出積分的作用,同樣令kp=1由擾動信號引起的擾動誤差為：當擾動分別為單位階躍、斜坡和加速度函數(shù)時，穩(wěn)態(tài)擾動誤差分別為0，1/ki,。而未引入PI控制的原系統(tǒng)在相同輸入情況下的穩(wěn)態(tài)誤差分別為-1，，。顯然，引入PI控制器后可減小系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差。第三章控制系統(tǒng)的時域分析4P137:3-17已知:分別求在階躍信號r(t),n1(t),n1(t)+n2(t)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差解：在r(t)作用下，誤差傳函為：穩(wěn)態(tài)誤差為：第三章控制系統(tǒng)的時域分析4在n1(t)作用下的誤差為：n1(t)引起的穩(wěn)態(tài)誤差為：要求n1(t)+n2(t)共同作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，必須分別求出在n1(t)，n2(t)單獨作用下的穩(wěn)態(tài)誤差在n2(t)作用下的誤差為：n2(t)引起的穩(wěn)態(tài)誤差為：在n1(t)+n2(t)共同作用下的穩(wěn)態(tài)誤差也為0第三章控制系統(tǒng)的時域分析4例：控制框圖如下，當r(t)=n(t)=1時，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess；若要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0，應如何改變系統(tǒng)的結構？解：由routh判據(jù)可知，系統(tǒng)穩(wěn)定。又由于系統(tǒng)屬于1