合肥48中初一數(shù)學(xué)上冊期末壓軸題匯編

合肥48中初一數(shù)學(xué)上冊期末壓軸題匯編一、七年級上冊數(shù)學(xué)壓軸題1．如圖，已知∠AOB=120°，射線OP從OA位置出發(fā)，以每秒2°的速度順時針向射線OB旋轉(zhuǎn)；與此同時，射線OQ以每秒6°的速度，從OB位置出發(fā)逆時針向射線OA旋轉(zhuǎn)，到達射線OA后又以同樣的速度順時針返回，當(dāng)射線OQ返回并與射線OP重合時，兩條射線同時停止運動.設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒．（1）當(dāng)t=2時，求∠POQ的度數(shù)；（2）當(dāng)∠POQ=40°時，求t的值；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在t的值，使得∠POQ=∠AOQ？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．答案：（1）∠POQ=104°；（2）當(dāng)∠POQ=40°時，t的值為10或20；（3）存在，t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ．【分析】當(dāng)OQ，OP第一次相遇時，t=15；當(dāng)OQ剛到達OA時，t=解析：（1）∠POQ=104°；（2）當(dāng)∠POQ=40°時，t的值為10或20；（3）存在，t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ．【分析】當(dāng)OQ，OP第一次相遇時，t=15；當(dāng)OQ剛到達OA時，t=20；當(dāng)OQ，OP第二次相遇時，t=30；（1）當(dāng)t=2時，得到∠AOP=2t=4°，∠BOQ=6t=12°，利用∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ求出結(jié)果即可；（2）分三種情況：當(dāng)0≤t≤15時，當(dāng)15＜t≤20時，當(dāng)20＜t≤30時，分別列出等量關(guān)系式求解即可；（3）分三種情況：當(dāng)0≤t≤15時，當(dāng)15＜t≤20時，當(dāng)20＜t≤30時，分別列出等量關(guān)系式求解即可．【詳解】解：當(dāng)OQ，OP第一次相遇時，2t+6t=120，t=15；當(dāng)OQ剛到達OA時，6t=120，t=20；當(dāng)OQ，OP第二次相遇時，2t6t=120+2t，t=30；（1）當(dāng)t=2時，∠AOP=2t=4°，∠BOQ=6t=12°，∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ=120°-4°-12°=104°.（2）當(dāng)0≤t≤15時，2t+40+6t=120，t=10；當(dāng)15＜t≤20時，2t+6t=120+40，t=20；當(dāng)20＜t≤30時，2t=6t-120+40，t=20（舍去）；答：當(dāng)∠POQ=40°時，t的值為10或20.（3）當(dāng)0≤t≤15時，120-8t=(120-6t），120-8t=60-3t，t=12；當(dāng)15＜t≤20時，2t–(120-6t）=(120-6t），t=.當(dāng)20＜t≤30時，2t–(6t-120）=(6t-120），t=.答：存在t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ.【分析】本題考查了角的和差關(guān)系及列方程解實際問題，解決本題的關(guān)鍵是分好類，列出關(guān)于時間的方程．2．（閱讀理解）若為數(shù)軸上三點，若點到的距離是點到的距離的2倍，我們就稱點是()的優(yōu)點．例如，如圖1，點表示的數(shù)為-1，點表示的數(shù)為2，表示1的點到點的距離是2，到點的距離是1，那么點是()的優(yōu)點：又如，表示0的點到點的距離是1，到點的距離是2，那么點就不是()的優(yōu)點，但點是()的優(yōu)點．（知識運用）如圖2，為數(shù)軸上兩點，點所表示的數(shù)為-2，點所表示的數(shù)為4．（1）數(shù)所表示的點是()的優(yōu)點：（2）如圖3，為數(shù)軸上兩點，點所表示的數(shù)為-20，點所表示的數(shù)為40.現(xiàn)有一只電子螞蟻從點出發(fā)，以3個單位每秒的速度向左運動，到達點停止．當(dāng)為何值時，和中恰有一個點為其余兩點的優(yōu)點？(請直接與出答案)答案：（1）x＝2或x＝10；（2）或或10．【分析】（1）設(shè)所求數(shù)為x，根據(jù)優(yōu)點的定義列出方程x?（?2）＝2(4?x）或x?（?2）＝2（x?4），解方程即可；（2）根據(jù)題意點P在線段AB上，由解析：（1）x＝2或x＝10；（2）或或10．【分析】（1）設(shè)所求數(shù)為x，根據(jù)優(yōu)點的定義列出方程x?（?2）＝2(4?x）或x?（?2）＝2（x?4），解方程即可；（2）根據(jù)題意點P在線段AB上，由優(yōu)點的定義可分4種情況：①P為(A，B)的優(yōu)點；②A為(B，P)的優(yōu)點；③P為(B，A)的優(yōu)點；④B為(A，P)的優(yōu)點，設(shè)點P表示的數(shù)為y，根據(jù)優(yōu)點的定義列出方程，進而得出t的值．【詳解】解：（1）設(shè)所求數(shù)為x，由題意得x?（?2）＝2（4?x）或x?（?2）＝2（x?4），

解得：x＝2或x＝10；

（2）設(shè)點P表示的數(shù)為y，分四種情況：

①P為(A，B)的優(yōu)點．

由題意，得y?（?20）＝2（40?y），

解得y＝20，

t＝（40?20）÷3＝（秒）；②A為(B，P)的優(yōu)點．

由題意，得40?（?20）＝2[y?（?20）]，

解得y＝10，

t＝（40?10）÷3＝10（秒）；

③P為(B，A)的優(yōu)點．

由題意，得40?y＝2[y?（?20）]，

解得y＝0，

t＝（40?0）÷3＝（秒）；④B為(A，P)的優(yōu)點40-(-20)=2(40-x)，解得：x=10t=(40-10)÷3=10（秒）．

綜上可知，當(dāng)t為10秒、秒或秒時，P、A和B中恰有一個點為其余兩點的優(yōu)點．故答案為：或或10．【點睛】本題考查了數(shù)軸及一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，理解優(yōu)點的定義，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．3．“數(shù)形結(jié)合”是重要的數(shù)學(xué)思想．請你結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于│m－n│．如果表示數(shù)a和－2的兩點之間的距離是3，記作│a－(－2)│＝3，那么a＝．（2）利用絕對值的幾何意義，探索│a＋4│＋│a－2│的最小值為______，若│a＋4│＋│a－2│＝10，則a的值為________．（3）當(dāng)a＝______時，│a＋5│＋│a－1│＋│a－4│的值最?。?）如圖，已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為4，點B表示的數(shù)為1，C是數(shù)軸上一點，且AC＝8，動點P從點B出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設(shè)運動時間為t(t0)秒．點M是AP的中點，點N是CP的中點，點P在運動過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化?若變化，請說明理由；若不變，求線段MN的長度．答案：（1）1或-5；（2）6，4或-6；（3）1；（4）不變，線段MN的長度為4【分析】（1）根據(jù)兩點間的距離公式，到－2點距離是3的點有兩個，即可求解；（2）當(dāng)點a在點-4和點2之間時，的值最小解析：（1）1或-5；（2）6，4或-6；（3）1；（4）不變，線段MN的長度為4【分析】（1）根據(jù)兩點間的距離公式，到－2點距離是3的點有兩個，即可求解；（2）當(dāng)點a在點-4和點2之間時，的值最??；分兩種情況，或，化簡絕對值即可求得；（3）根據(jù)表示點a到﹣5，1，4三點的距離的和，即可求解；（4）因為點A表示的數(shù)為4和AC＝8，所以點C表示的數(shù)為-4，點P表示的數(shù)為（1-6t），則點M表示的數(shù)為，點N表示的數(shù)為，兩數(shù)相減取絕對值即可求得．【詳解】（1）∵∴a－(－2)＝3或a－(－2)＝-3解得a=1或-5故答案為：1或-5（2）當(dāng)點a在點-4和點2之間時，的值最小∵數(shù)a的點位于-4與2之間∴a+4＞0，a-2＜0∴=a+4-a+2=6；當(dāng)時a+4＜0，a-2＜0∴===10解得a=-6當(dāng)時a+4＞0，a-2＞0∴===10解得a=4故答案為：6，4或-6（3）根據(jù)表示一點到-5，1，4三點的距離的和．所以當(dāng)a=1時，式子的值最小此時的最小值是9故答案為：1（4）∵AC＝8∴點C表示的數(shù)為-4又∵點P表示的數(shù)為（1-6t）∴則點M表示的數(shù)為，點N表示的數(shù)為∴．∴線段MN的長度不發(fā)生變化，其值為4．【點睛】此題考查絕對值的意義、數(shù)軸、結(jié)合數(shù)軸求兩點之間的距離，掌握數(shù)形結(jié)合的思想是解決此題的關(guān)鍵．4．已知實數(shù)，，在數(shù)軸上所對應(yīng)的點分別為A，B，C，其中b是最小的正整數(shù)，且，，滿足．兩點之間的距離可用這兩點對應(yīng)的字母表示，如：點A與點B之間的距離可表示為AB．（1），，；（2）點A，B，C開始在數(shù)軸上運動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B以每秒2個單位長度的速度向右運動，點C以每秒5個單位長度的速度向右運動，假設(shè)運動時間為t秒，則，；（結(jié)果用含t的代數(shù)式表示）這種情況下，的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值；（3）若A，C兩點的運動和（2）中保持不變，點B變?yōu)橐悦棵雗（）個單位長度的速度向右運動，當(dāng)時，，求n的值．答案：（1）-2，1，5；（2）不變，值為1；（3）或【分析】（1）根據(jù)b是最小的正整數(shù)，即可確定b的值，然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，幾個非負數(shù)的和是0，則每個數(shù)是0，即可求得a，b，c的值；（2）用關(guān)于解析：（1）-2，1，5；（2）不變，值為1；（3）或【分析】（1）根據(jù)b是最小的正整數(shù)，即可確定b的值，然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，幾個非負數(shù)的和是0，則每個數(shù)是0，即可求得a，b，c的值；（2）用關(guān)于t的式子表示BC和AB即可求解；（3）分別求出當(dāng)t=3時，A、B、C表示的數(shù)，得到AC和BC，根據(jù)AC=2BC列出方長，解之即可．【詳解】解：（1）∵，b是最小的正整數(shù)，∴c-5=0，a+2b=0，b=1，∴a=-2，b=1，c=5，故答案為：-2，1，5；（2）∵點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒2個單位長度和5個單位長度的速度向右運動，∴t秒后，A表示的數(shù)為-t-2，B表示的數(shù)為2t+1，C表示的數(shù)為5t+5，

∴BC=5t+5-（2t+1）=3t+4，AB=2t+1-（-t-2）=3t+3，

∴BC-AB=3t+4-（3t+3）=1，

∴BC-AB的值不會隨著時間t的變化而改變，BC-AB=1；（3）當(dāng)t=3時，點A表示-2-3=-5，點B表示1+3n，點C表示5+5×3=20，∴AC=20-（-5）=25，BC=，∵AC=2BC，則25=2，則25=2（19-3n），或25=2（3n-19），解得：n=或．【點睛】此題考查一元一次方程的實際運用，以及數(shù)軸與絕對值，正確理解AB，BC的變化情況是關(guān)鍵．5．閱讀下面的材料并解答問題：點表示數(shù)，點表示數(shù)，點表示數(shù)，且點到點的距離記為線段的長，線段的長可以用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)表示，即．若是最小的正整數(shù)，且滿足．（1）_________，__________．（2）若將數(shù)軸折疊，使得與點重合：①點與數(shù)_________表示的點重合；②若數(shù)軸上兩點之間的距離為2018（在的左側(cè)），且兩點經(jīng)折疊后重合，則兩點表示的數(shù)是_______、__________．（3）點開始在數(shù)軸上運動，若點以每秒2個單位長度的速度向左運動，同時點和點分別以每秒1個單位長度和3個單位長度的速度向右運動，設(shè)運動時間為秒，試探索：的值是否隨著時間的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求出其值．答案：（1）1，5；（2）①3；②-1007，1011；（3）不變，值為8【分析】（1）利用非負性可求解；（2）①由中點坐標公式可求AC的中點表示的數(shù)是2，由折疊的性質(zhì)可求解；

②由折疊的性質(zhì)可求解解析：（1）1，5；（2）①3；②-1007，1011；（3）不變，值為8【分析】（1）利用非負性可求解；（2）①由中點坐標公式可求AC的中點表示的數(shù)是2，由折疊的性質(zhì)可求解；

②由折疊的性質(zhì)可求解；

（3）利用兩點距離公式分別求出AC，AB，表示出3AC-5AB，再化簡即可求解．【詳解】解：（1）∵b是最小的正整數(shù)，∴b=1，

∵（c-5）2+|a+b|=0．∴c=5，a=-b=-1，

故答案為：1，5；

（2）①∵將數(shù)軸折疊，使得A與C點重合：

∴AC的中點表示的數(shù)是（-1+5）÷2=2，∴與點B重合的數(shù)=2-1+2=3；②點P表示的數(shù)為2-2018÷2=-1007，點Q表示的數(shù)為2+2018÷2=1011，故答案為：-1007，1011；（3）3AC-5AB的值不變．理由是：點A表示的數(shù)為：-1-2t，點B表示的數(shù)為：1+t，點C表示的數(shù)為：5+3t，∴AC=5+3t-（-1-2t）=6+5t，AB=1+t-（-1-2t）=2+3t，3AC-5AB=3（6+5t）-5（2+3t）=8，所以3AC-5AB的值不變，為8．【點睛】本題考查了數(shù)軸，非負性，折疊的性質(zhì)，兩點距離公式，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．6．已知a是最大的負整數(shù)，b是的倒數(shù)，c比a小1，且a、b、c分別是A、B、C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)．若動點P從點A出發(fā)沿數(shù)軸正方向運動，動點Q同時從點B出發(fā)也沿數(shù)軸負方向運動，點P的速度是每秒3個單位長度，點Q的速度是每秒1個單位長度．（1）在數(shù)軸上標出點A、B、C的位置；（2）運動前P、Q兩點間的距離為；運動t秒后，點P，點Q運動的路程分別為和；（3）求運動幾秒后，點P與點Q相遇？（4）在數(shù)軸上找一點M，使點M到A、B、C三點的距離之和等于11，直接寫出所有點M對應(yīng)的數(shù)．答案：（1）見解析；（2）6，3t，t；（3）1.5；（4）3或-3．【分析】（1）理解與整數(shù)、倒數(shù)有關(guān)概念，能夠正確在數(shù)軸上找到所對應(yīng)的點；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離的求法，以及路程=速度×?xí)r間解析：（1）見解析；（2）6，3t，t；（3）1.5；（4）3或-3．【分析】（1）理解與整數(shù)、倒數(shù)有關(guān)概念，能夠正確在數(shù)軸上找到所對應(yīng)的點；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離的求法，以及路程=速度×?xí)r間進行求解；

（3）根據(jù)速度和×?xí)r間=路程和，列出方程求解即可；

（4）分當(dāng)M在C點左側(cè)，當(dāng)M在線段AC上，當(dāng)M在線段AB上（不含點A），當(dāng)M在點B的右側(cè)，四種情況列出方程求解．【詳解】解：（1）∵a是最大的負整數(shù)，∴a=-1，∵b是的倒數(shù)，∴b=5，∵c比a小1，

∴c=-2，

如圖所示：

（2）運動前P、Q兩點之間的距離為5-（-1）=6；運動t秒后，點P，點Q運動的路程分別為3t和t，故答案為：6，3t，t；（3）依題意有3t+t=6，

解得t=1.5．

故運動1.5秒后，點P與點Q相遇；

（4）設(shè)點M表示的數(shù)為x，使P到A、B、C的距離和等于11，①當(dāng)M在C點左側(cè)，（-1）-x+5-x+（-2）-x=11．解得x=-3，即M對應(yīng)的數(shù)是-3．②當(dāng)M在線段AC上，x-（-2）-1-x+5-x=11，解得：x=-5（舍）；③當(dāng)M在線段AB上（不含點A），x-（-1）+5-x+x-（-2）=11，解得x=3，即M對應(yīng)的數(shù)是3．④當(dāng)M在點B的右側(cè)，x-（-1）+x-5+x-（-2）=11，解得：x=（舍），綜上所述，點M表示的數(shù)是3或-3．【點睛】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，與數(shù)軸有關(guān)計算問題，能夠正確表示數(shù)軸上兩點間的距離．7．閱讀絕對值拓展材料：表示數(shù)a在數(shù)軸上的對應(yīng)點與原點的距離如：表示5在數(shù)軸上的對應(yīng)點到原點的距離而，即表示5、0在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離，類似的，有：表示5、在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離．一般地，點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，那么A、B之間的距離可表示為．回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示1和的兩點之間的距離是；（2）數(shù)軸上表示x和的兩點A和B之間的距離是，如果A、B兩點之間的距離為2，那么．（3）可以理解為數(shù)軸上表示x和的兩點之間的距離．（4）可以理解為數(shù)軸上表示x的點到表示和這兩點的距離之和．可以理解為數(shù)軸上表示x的點到表示和這兩點的距離之和．（5）最小值是，的最小值是．答案：（1）3，4；（2）|x+1|，x=1或-3；（3）-2；（4）2，3，-2，1；（5）1，3【分析】（1）根據(jù)兩點之間的距離公式計算即可；（2）根據(jù)兩點之間的距離公式計算即可；（3）根據(jù)絕解析：（1）3，4；（2）|x+1|，x=1或-3；（3）-2；（4）2，3，-2，1；（5）1，3【分析】（1）根據(jù)兩點之間的距離公式計算即可；（2）根據(jù)兩點之間的距離公式計算即可；（3）根據(jù)絕對值的意義可得；（4）根據(jù)絕對值的意義可得；（5）分別得出和的意義，再根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)可得．【詳解】解：（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是3，數(shù)軸上表示1和-3的兩點之間的距離是4；（2）數(shù)軸上表示x和-1的兩點A和B之間的距離是|x+1|，如果|AB|=2，即|x+1|=2，∴x=1或-3；（3）|x+2|可以理解為數(shù)軸上表示x和-2的兩點之間的距離；

（4）|x-2|+|x-3|可以理解為數(shù)軸上表示x的點到表示2和3這兩點的距離之和，

|x+2|+|x-1|可以理解為數(shù)軸上表示x的點到表示-2和1這兩點的距離之和；

（5）由（4）可知：當(dāng)x在2和3之間時，|x-2|+|x-3|最小值是1，當(dāng)x在-2和1之間時，|x+2|+|x-1|的最小值是3．【點睛】本題考查的是絕對值的問題，涉及到數(shù)軸應(yīng)用問題，只要理解絕對值含義和數(shù)軸上表示數(shù)值的關(guān)系（如：|x+2|表示x與-2的距離），即可求解．8．如圖，在數(shù)軸上點表示數(shù)，點表示數(shù)，，滿足．（1）求，的值；（2）若點與點之間的距離表示為，點與點之間的距離表示為，請在數(shù)軸上找一點，使，求點表示的數(shù)；（3）如圖，一小球甲從點處以2個單位/秒的速度向左運動；同時另一個小球乙從點處以3個單位/秒的速度也向左運動，設(shè)運動的時間為（秒）．①分別表示出（秒）時甲、乙兩小球在數(shù)軸上所表示的數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；②求甲、乙兩小球相距兩個單位時所經(jīng)歷的時間．答案：（1）a=-2，b=6；（2）或14；（3）①甲：-2-2t，乙：6-3t；②6秒或10秒【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求得a=-2，b=6；（2）分C點在線段AB上和線段AB的延長線上兩種情解析：（1）a=-2，b=6；（2）或14；（3）①甲：-2-2t，乙：6-3t；②6秒或10秒【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求得a=-2，b=6；（2）分C點在線段AB上和線段AB的延長線上兩種情況討論即可求解；（3）①根據(jù)兩個小球的運動情況直接列式即可；②根據(jù)甲、乙兩小球在數(shù)軸上表示的數(shù)列出關(guān)于t的方程，解方程即可．【詳解】解：（1）∵，∴a+2=0，b-6=0，解得，a=-2，b=6，故答案為：a=-2，b=6；（2）設(shè)數(shù)軸上點C表示的數(shù)為c．∵AC=2BC，∴|c-a|=2|c-b|，即|c+2|=2|c-6|．∵AC=2BC＞BC，∴點C不可能在BA的延長線上，則C點可能在線段AB上和線段AB的延長線上．①當(dāng)C點在線段AB上時，則有-2≤c≤6，得c+2=2（6-c），解得；②當(dāng)C點在線段AB的延長線上時，則有c＞6，得c+2=2（c-6），解得c=14．故當(dāng)AC=2BC時，c=或c=14；（3）①∵甲球運動的路程為：2?t=2t，OA=2，∴甲球在數(shù)軸上表示的數(shù)為-2t-2；乙球運動的路程為：3?t=3t，OB=6，乙球在數(shù)軸上表示的數(shù)為：6-3t；②由題意得：，解得：t=10或t=6，∴甲、乙兩小球相距兩個單位時所經(jīng)歷的時間為6秒或10秒．【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，一元一次方程，數(shù)軸，兩點間的距離，有一定難度，運用分類討論思想、方程思想及數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在數(shù)軸上A點表示數(shù)a，B點示數(shù)b，C點表示數(shù)c，b是最小的正整數(shù)，且a、c滿足|a+2|+（c﹣7）2=0．（1）a=，b=，c=；（2）若將數(shù)軸折疊，使得A點與C點重合，則點B與數(shù)表示的點重合；（3）點A、B、C開始在數(shù)軸上運動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒2個單位長度和4個單位長度的速度向右運動，假設(shè)t秒鐘過后，若點A與點B之間的距離表示為AB，點A與點C之間的距離表示為AC，點B與點C之間的距離表示為BC．則AB=，AC=，BC=．（用含t的代數(shù)式表示）（4）請問：3BC﹣2AB的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．答案：（1）-2，1，c=7；（2）4；（3）3t+3，5t+9，2t+6；（4）不變，3BC﹣2AB=12．【分析】（1）利用|a＋2|＋（c?7）2＝0，得a＋2＝0，c?7＝0，解得a，c解析：（1）-2，1，c=7；（2）4；（3）3t+3，5t+9，2t+6；（4）不變，3BC﹣2AB=12．【分析】（1）利用|a＋2|＋（c?7）2＝0，得a＋2＝0，c?7＝0，解得a，c的值，由b是最小的正整數(shù)，可得b＝1；（2）先求出對稱點，即可得出結(jié)果；（3）AB原來的長為3，所以AB＝t＋2t＋3＝3t＋3，再由AC＝9，得AC＝t＋4t＋9＝5t＋9，由原來BC＝6，可知BC＝4t?2t＋6＝2t＋6；（4）由3BC?2AB＝3（2t＋6）?2（3t＋3）求解即可．【詳解】（1）∵|a＋2|＋（c?7）2＝0，∴a＋2＝0，c?7＝0，解得a＝?2，c＝7，∵b是最小的正整數(shù)，∴b＝1；故答案為：?2；1；7．（2）（7＋2）÷2＝4.5，對稱點為7?4.5＝2.5，2.5＋（2.5?1）＝4；故答案為：4．（3）依題意可得AB＝t＋2t＋3＝3t＋3，AC＝t＋4t＋9＝5t＋9，BC＝2t＋6；故答案為：3t＋3；5t＋9；2t＋6．（4）不變．3BC?2AB＝3（2t＋6）?2（3t＋3）＝12．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用、數(shù)軸及兩點間的距離，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)軸的特點能求出兩點間的距離．10．如圖，在數(shù)軸上，點O是原點，點A，B是數(shù)軸上的點，已知點A對應(yīng)的數(shù)是a，點B對應(yīng)的數(shù)是b，且a，b滿足．（1）在數(shù)軸上標出點A，B的位置．（2）在數(shù)軸上有一個點C，滿足，則點C對應(yīng)的數(shù)為________．（3）動點P，Q分別從A，B同時出發(fā)，點P以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，點Q以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動設(shè)運動時間為t秒（）．①當(dāng)為何值時，原點O恰好為線段PQ的中點．②若M為AP的中點，點N在線段BQ上，且，若時，請直接寫出t的值．答案：（1）見解析；（2）；（3）①時，點O恰好為線段PQ的中點；②當(dāng)MN=3時,的值為或秒．【分析】（1）由絕對值和偶次方的非負性質(zhì)得出，，得出，，畫出圖形即可；（2）設(shè)點C對應(yīng)的數(shù)為x，分兩解析：（1）見解析；（2）；（3）①時，點O恰好為線段PQ的中點；②當(dāng)MN=3時,的值為或秒．【分析】（1）由絕對值和偶次方的非負性質(zhì)得出，，得出，，畫出圖形即可；（2）設(shè)點C對應(yīng)的數(shù)為x，分兩種情況，畫出示意圖，由題意列出方程，解方程即可；（3）①分相遇前和相遇后兩種情況，畫出示意圖，由題意列出方程，解方程即可；②根據(jù)題意得到點Q、點N對應(yīng)的數(shù)，列出絕對值方程即可求解．【詳解】（1）∵，∴，，∴，，點A，B的位置如圖所示：（2）設(shè)點C對應(yīng)的數(shù)為，由題意得：C應(yīng)在A點的右側(cè)，∴CA==，①當(dāng)點C在線段AB上時，如圖所示：則CB=，∵CA-CB=，∴，解得：；②當(dāng)點C在線段AB延長線上時，如圖所示：則CB=，∵CA-CB=，∴，方程無解；綜上，點C對應(yīng)的數(shù)為；故答案為：；（3）①由題意得：，，分兩種情況討論：相遇前，如圖：，，∵點O恰好為線段PQ的中點，∴，解得：；相遇后，如圖：，，∵點O恰好為線段PQ的中點，∴，解得：，此時，，不合題意；故時，點O恰好為線段PQ的中點；②當(dāng)運動時間為t秒時，點P對應(yīng)的數(shù)為()，點Q對應(yīng)的數(shù)為()，∵M為AP的中點，點N在線段BQ上，且，∴點M對應(yīng)的數(shù)為，點N對應(yīng)的數(shù)為，∵，∴，∴，∴或，答：當(dāng)?shù)闹禐榛蛎霑r，．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、絕對值和偶次方的非負性以及數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確畫出圖形，要考慮全面，分類討論，不要遺漏．11．以直線AB上一點O為端點作射線OC，使∠BOC＝40°，將一個直角三角板的直角頂點放在O處，即∠DOE＝90°．（1）如圖1，若直角三角板DOE的一邊OE放在射線OA上，則∠COD＝；（2）如圖2，將直角三角板DOE繞點O順時針轉(zhuǎn)動到某個位置，若OE恰好平分∠AOC，則∠COD＝；（3）將直角三角板DOE繞點O順時針轉(zhuǎn)動（OD與OB重合時為停止）的過程中，恰好有∠COD＝∠AOE，求此時∠BOD的度數(shù)．答案：（1）50°；（2）20°；（3）15°或52.5°．【分析】（1）利用余角的定義可求解；（2）由平角的定義及角平分線的定義求解的度數(shù)，進而可求解；（3）可分兩種情況：①當(dāng)在的內(nèi)部時，②當(dāng)在解析：（1）50°；（2）20°；（3）15°或52.5°．【分析】（1）利用余角的定義可求解；（2）由平角的定義及角平分線的定義求解的度數(shù)，進而可求解；（3）可分兩種情況：①當(dāng)在的內(nèi)部時，②當(dāng)在的外部時，根據(jù)角的和差可求解．【詳解】解：（1）由題意得，，，故答案為；（2），，，平分，，，，故答案為；（3）①當(dāng)在的內(nèi)部時，，而，，，，，又，，；②當(dāng)在的外部時，，而，，，，，又，，，綜上所述：的度數(shù)為或．【點睛】本題主要考查余角的定義，角的和差，角平分線的定義等知識的綜合運用，分類討論是解題的關(guān)鍵．12．如果兩個角的差的絕對值等于60°，就稱這兩個角互為“伙伴角”，其中一個角叫做另一個角的“伙伴角”（本題所有的角都指大于0°小于180°的角），例如，，，則和互為“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”．（1）如圖1．O為直線上一點，，，則的“伙伴角”是_______________．（2）如圖2，O為直線上一點，，將繞著點O以每秒1°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)得，同時射線從射線的位置出發(fā)繞點O以每秒4°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線與射線重合時旋轉(zhuǎn)同時停止，若設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒，求當(dāng)t何值時，與互為“伙伴角”．（3）如圖3，，射線從的位置出發(fā)繞點O順時針以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為t秒，射線平分，射線平分，射線平分．問：是否存在t的值使得與互為“伙伴角”？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由．答案：（1）；（2）t為35或15；（3）存在，當(dāng)t=或時，與互為“伙伴角”．【分析】（1）按照“伙伴角”的定義寫出式子，解方程即可求解；（2）通過時間t把與表示出來，根據(jù)與互為“伙伴角”，列出方程解析：（1）；（2）t為35或15；（3）存在，當(dāng)t=或時，與互為“伙伴角”．【分析】（1）按照“伙伴角”的定義寫出式子，解方程即可求解；（2）通過時間t把與表示出來，根據(jù)與互為“伙伴角”，列出方程，解出時間t；（3）根據(jù)OI在∠AOB的內(nèi)部和外部以及∠AOP和∠AOI的大小分類討論，分別畫出對應(yīng)的圖形，由旋轉(zhuǎn)得出經(jīng)過t秒旋轉(zhuǎn)角的大小，角的和差，利用角平分線的定義分別表示出∠AOI和∠POI及“伙伴角”的定義求出結(jié)果即可．【詳解】解：（1）∵兩個角差的絕對值為60°，則此兩個角互為“伙伴角”，而，∴設(shè)其伙伴角為，，則，由圖知，∴的伙伴角是．（2）∵繞O點，每秒1°逆時針旋轉(zhuǎn)得，則t秒旋轉(zhuǎn)了，而從開始逆時針繞O旋轉(zhuǎn)且每秒4°，則t秒旋轉(zhuǎn)了，∴此時，，又與重合時旋轉(zhuǎn)同時停止，∴，（秒），又與互為伙伴角，∴，∴，∴，秒或15秒．答：t為35或15時，與互為伙伴角．（3）①若OI在∠AOB的內(nèi)部且OI在OP左側(cè)時，即∠AOP＞∠AOI，如下圖所示∵從出發(fā)繞O順時針每秒6°旋轉(zhuǎn)，則t秒旋轉(zhuǎn)了，∴°，∵平分，∴∠AOM=∠IOM==3t°此時6t＜160解得：t＜∵射線平分，∴∠ION=∴∠MON=∠IOM＋∠ION=（＋）=∠AOB=80°∵射線平分∴∠POM==40°∴∠POI=∠POM－∠IOM=40°－3t根據(jù)題意可得即解得：t=或（不符合實際，舍去）∴此時∠AOI=6×=°∠AOP=∠AOM＋∠MOP=（3×）°＋40°=＞∠AOI，符合前提條件∴t=符合題意；②若OI在∠AOB的內(nèi)部且OI在OP右側(cè)時，即∠AOP＜∠AOI，如下圖所示∵從出發(fā)繞O順時針每秒6°旋轉(zhuǎn)，則t秒旋轉(zhuǎn)了，∴°，∵平分，∴∠AOM=∠IOM==3t°此時6t＜160解得：t＜∵射線平分，∴∠ION=∴∠MON=∠IOM＋∠ION=（＋）=∠AOB=80°∵射線平分∴∠POM==40°∴∠POI=∠IOM－∠POM=3t－40°根據(jù)題意可得即解得：t=或（不符合實際，舍去）∴此時∠AOI=6×=40°∠AOP=∠AOM＋∠MOP=（3×）°＋40°=60°＞∠AOI，不符合前提條件∴t=不符合題意，舍去；③若OI在∠AOB的外部但OI運動的角度不超過180°時，如下圖所示∵從出發(fā)繞O順時針每秒6°旋轉(zhuǎn)，則t秒旋轉(zhuǎn)了，∴°，∵平分，∴∠AOM=∠IOM==3t°此時解得：＜t≤30∵射線平分，∴∠ION=∴∠MON=∠IOM－∠ION=（－）=∠AOB=80°∵射線平分∴∠POM==40°∴∠POI=∠IOM－∠POM=3t－40°根據(jù)題意可得即解得：t=（不符合前提條件，舍去）或（不符合實際，舍去）∴此時不存在t值滿足題意；④若OI運動的角度超過180°且OI在OP右側(cè)時，即∠AOI＞∠AOP如下圖所示此時解得：t＞30∵從出發(fā)繞O順時針每秒6°旋轉(zhuǎn)，則t秒旋轉(zhuǎn)了，∴，∵平分，∴∠AOM=∠IOM==180°－3t∵射線平分，∴∠ION=∴∠MON=∠IOM＋∠ION=（＋）=（360°－∠AOB）=100°∵射線平分∴∠POM==50°∴∠POI=∠IOM－∠POM=130°－3t根據(jù)題意可得即解得：t=（不符合，舍去）或（不符合，舍去）∴此時不存在t值滿足題意；⑤若OI運動的角度超過180°且OI在OP左側(cè)時，即∠AOI＜∠AOP，如下圖所示此時解得：t＞30∵從出發(fā)繞O順時針每秒6°旋轉(zhuǎn)，則t秒旋轉(zhuǎn)了，∴，∵平分，∴∠AOM=∠IOM==180°－3t∵射線平分，∴∠ION=∴∠MON=∠IOM＋∠ION=（＋）=（360°－∠AOB）=100°∵射線平分∴∠POM==50°∴∠POI=∠POM－∠IOM=3t－130°根據(jù)題意可得即解得：t=或（不符合，舍去）∴此時∠AOI=360°－6×=°∠AOP=∠AOM＋∠MOP=180°－（3×）°＋50°=°＞∠AOI，符合前提條件∴t=符合題意；綜上：當(dāng)t=或時，與互為“伙伴角”．【點睛】本題考查了角的計算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、一元一次方程的運用及角平分線性質(zhì)的運用，解題的關(guān)鍵是利用“伙伴角”列出一元一次方程求解．13．已知是關(guān)于x的二次二項式，A，B是數(shù)軸上兩點，且A，B對應(yīng)的數(shù)分別為a，b．（1）求線段AB的中點C所對應(yīng)的數(shù)；（2）如圖，在數(shù)軸上方從點C出發(fā)引出射線CD，CE，CF，CG，且CF平分∠ACD，CG平分∠BCE，試猜想∠DCE與∠FCG之間是否存在確定的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）在（2）的條件下，已知∠DCE=20°，∠ACE=30°，當(dāng)∠DCE繞著點C以2°/秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)t秒()時，∠ACF和∠BCG中的一個角的度數(shù)恰好是另一個角度數(shù)的兩倍，求t的值答案：（1）7；（2）；（3）或．【分析】（1）根據(jù)是關(guān)于x的二次二項式可知，，求出a、b的值即為A、B對應(yīng)的數(shù)，即可求出C點對應(yīng)的數(shù)．（2）根據(jù)角平分線可知，．即可求出．再根據(jù)題意可知，，代入整理解析：（1）7；（2）；（3）或．【分析】（1）根據(jù)是關(guān)于x的二次二項式可知，，求出a、b的值即為A、B對應(yīng)的數(shù)，即可求出C點對應(yīng)的數(shù)．（2）根據(jù)角平分線可知，．即可求出．再根據(jù)題意可知，，代入整理即可得到（3）根據(jù)題意可用t表示出和．再分類討論當(dāng)時和當(dāng)時，列出的關(guān)于t的一元一次方程，解出t即可．【詳解】（1）根據(jù)題意可得出，解得，即A、B對應(yīng)的數(shù)分別為16、-2，∴C對應(yīng)的數(shù)為．（2）∵CF平分∠ACD，CG平分∠BCE，∴，．∵，∴，即．∵，，∴，即．故存在數(shù)量關(guān)系，為：．（3）∵，，∴，即．∴．∵，∴．∴．當(dāng)時，即，解得：且小于65，當(dāng)時，即，解得：且小于65．綜上可知或時符合題意．【點睛】本題考查多項式的性質(zhì)，角平分線的定義，一元一次方程的應(yīng)用，結(jié)合分類討論以及數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．14．如圖1，射線OC在AOB的內(nèi)部，圖中共有3個角：AOB、AOC和BOC，若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是AOB的奇妙線．（1）一個角的角平分線這個角的奇妙線．（填是或不是）（2）如圖2，若MPN60，射線PQ繞點P從PN位置開始，以每秒10的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)QPN首次等于180時停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t(s)．①當(dāng)t為何值時，射線PM是QPN的奇妙線？②若射線PM同時繞點P以每秒6的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時停止旋轉(zhuǎn)．請求出當(dāng)射線PQ是MPN的奇妙線時t的值．答案：（1）是；（2）①9或12或18；②或或【分析】（1）根據(jù)奇妙線定義即可求解；（2）①分3種情況，QPN=2MPN；MPN=2QPM；QPM=2MPN．列出方程求解即可；②分解析：（1）是；（2）①9或12或18；②或或【分析】（1）根據(jù)奇妙線定義即可求解；（2）①分3種情況，QPN=2MPN；MPN=2QPM；QPM=2MPN．列出方程求解即可；②分3種情況，MPN=2QPN；MPQ=2QPN；QPN=2MPQ．列出方程求解即可．【詳解】（1）設(shè)∠α被角平分線分成的兩個角為∠1和∠2，則有∠α=2∠1，∴一個角的平分線是這個角的“奇妙線”；故答案是：是；（2）①由題意可知射線PM在QPN的內(nèi)部，∴QPN=（10t），QPM=（10t-60），（a）當(dāng)QPN=2MPN時，10t=2×60，解得t=12；（b）當(dāng)MPN=2QPM時，60=2×（10t-60），解得t=9；（c）當(dāng)QPM=2MPN時，（10t-60）=2×60，解得t=18．故當(dāng)t為9或12或18時，射線PM是∠QPN的“奇妙線”；②由題意可知射線PQ在MPN的內(nèi)部，∴QPN=（10t），MPN=（60+6t），QPM=MPN-QPN=（60-4t），（a）當(dāng)MPN=2QPN時，60+6t=2×10t，解得t=；（b）當(dāng)MPQ=2QPN時，60-4t=2×10t，解得t=；（c）當(dāng)QPN=2MPQ時，10t=2×（60-4t），解得t=．故當(dāng)射線PQ是∠MPN的奇妙線時t的值為或或．【點睛】本題考查了角之間的關(guān)系及一元一次方程的應(yīng)用，奇妙線定義，學(xué)生的閱讀理解能力及知識的遷移能力．理解“奇妙線”的定義是解題的關(guān)鍵．15．如圖，一副三角板中各有一個頂點在直線的點處重合，三角板的邊落在直線上，三角板繞著頂點任意旋轉(zhuǎn)．兩塊三角板都在直線的上方，作的平分線，且，．（1）當(dāng)點在射線上時（如圖1），的度數(shù)是_______．（2）現(xiàn)將三角板繞著頂點旋轉(zhuǎn)一個角度（即），請就下列兩種情形，分別求出的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）①當(dāng)為銳角時（如圖2）；②當(dāng)為鈍角時（如圖3）；答案：（1）37.5°；（2）①當(dāng)0°＜x°≤75°時，∠BOP＝，當(dāng)75°＜x°＜90°時，∠BOP＝；②【分析】（1）根據(jù)題意可以求得∠BOD的度數(shù)，由于OP平分∠BOD，從而可以求得∠BOP的度解析：（1）37.5°；（2）①當(dāng)0°＜x°≤75°時，∠BOP＝，當(dāng)75°＜x°＜90°時，∠BOP＝；②【分析】（1）根據(jù)題意可以求得∠BOD的度數(shù)，由于OP平分∠BOD，從而可以求得∠BOP的度數(shù)；（2）根據(jù)圖形和第一問中的推導(dǎo)可以解答本題；（3）通過圖形可以發(fā)現(xiàn)∠BOD是∠AOB與∠COD的和與∠MOC的差，從而可以解答本題．【詳解】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，點C在射線ON上，∴∠BOD＝180°?45°?60°＝75°．∵OP平分∠BOD，∴∠BOP＝37.5°．故答案為：37.5°；（2）①當(dāng)∠CON為銳角時，∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，∠CON＝x°，∠MON＝180°，∴∠BOD＝180°?45°?60°?x°＝75°?x°．∵OP平分∠BOD，∴當(dāng)0°＜x°≤75°時，∠BOP＝，當(dāng)75°＜x°＜90°時，∠BOP＝；②當(dāng)∠CON為鈍角時，∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，∠CON＝x°，∠MON＝180°，∴∠MOC＝180°?x°．∴∠BOD＝∠AOB＋∠COD?∠MOC＝45°＋60°?（180°?x°）＝x°?75°．∵OP平分∠BOD，∴∠BOP＝．【點睛】本題考查角的計算，解題的關(guān)鍵是明確題意，可以根據(jù)圖形找出所求問題需要的條件．16．如圖1，P點從點A開始以的速度沿的方向移動，Q點從點C開始以的速度沿的方向移動，在直角三角形中，，若，，，如果P，Q同時出發(fā)，用t（秒）表示移動時間．（1）如圖1，若點P在線段上運動，點Q在線段上運動，當(dāng)t為何值時，；（2）如圖2，點Q在上運動，當(dāng)t為何值時，三角形的面積等于三角形面積的；（3）如圖3，當(dāng)P點到達C點時，P，Q兩點都停止運動，當(dāng)t為何值時，線段的長度等于線段的長．答案：（1）4，（2）9，（3）或4【分析】（1）當(dāng)P在線段AB上運動，Q在線段CA上運動時，設(shè)CQ＝t，AP＝2t，則AQ＝12﹣t，由AQ＝AP，可得方程12﹣t＝2t，解方程即可．（2）當(dāng)Q在解析：（1）4，（2）9，（3）或4【分析】（1）當(dāng)P在線段AB上運動，Q在線段CA上運動時，設(shè)CQ＝t，AP＝2t，則AQ＝12﹣t，由AQ＝AP，可得方程12﹣t＝2t，解方程即可．（2）當(dāng)Q在線段CA上時，設(shè)CQ＝t，則AQ＝12﹣t，根據(jù)三角形QAB的面積等于三角形ABC面積的，列出方程即可解決問題．（3）分三種情形討論即可①當(dāng)0＜t≤8時，P在線段AB上運動，Q在線段CA上運動．②當(dāng)8＜t≤12時，Q在線段CA上運動，P在線段BC上運動．③當(dāng)t＞12時，Q在線段AB上運動，P在線段BC上運動時，分別列出方程求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)P在線段AB上運動，Q在線段CA上運動時，設(shè)CQ＝t，AP＝2t，則AQ＝12﹣t，∵AQ＝AP，∴12﹣t＝2t，∴t＝4．∴t＝4時，AQ＝AP．（2）當(dāng)Q在線段CA上時，設(shè)CQ＝t，則AQ＝12﹣t，∵三角形QAB的面積等于三角形ABC面積的，∴?AB?AQ＝×?AB?AC，∴×16×（12﹣t）＝×16×12，解得t＝9．∴t＝9時，三角形QAB的面積等于三角形ABC面積的．（3）由題意可知，Q在線段CA上運動的時間為12秒，P在線段AB上運動時間為8秒，①當(dāng)0＜t≤8時，P在線段AB上運動，Q在線段CA上運動，設(shè)CQ＝t，AP＝2t，則AQ＝12﹣t，BP＝16﹣2t，∵AQ＝BP，∴12﹣t＝16﹣2t，解得t＝4．②當(dāng)8＜t≤12時，Q在線段CA上運動，P在線段BC上運動，設(shè)CQ＝t，則AQ＝12﹣t，BP＝2t﹣16，∵AQ＝BP，∴12﹣t＝2t﹣16，解得t＝．③當(dāng)t＞12時，Q在線段AB上運動，P在線段BC上運動時，∵AQ＝t﹣12，BP＝2t﹣16，∵AQ＝BP，∴t﹣12＝2t﹣16，解得t＝4（舍去），綜上所述，t＝或4時，AQ＝BP．【點睛】本題考查線段和差、一元一次方程等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用方程的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．17．如圖1，為直線上一點，過點作射線，，將一直角三角板（）的直角頂點放在點處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．（注：本題旋轉(zhuǎn)角度最多．）（1）將圖1中的三角板繞點以每秒的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)．如圖2，經(jīng)過秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，則______秒（直接寫結(jié)果）．（2）在（1）問的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動的同時，射線也繞點以每秒的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖3，經(jīng)過秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求為多少秒？（3）若（2）問的條件不變，那么經(jīng)過秒平分？（直接寫結(jié)果）答案：（1），5；（2），；（3）經(jīng)過秒平分【分析】（1）根據(jù)圖形和題意得出，再除以每秒速度，即可得出；（2）根據(jù)圖形和題意得出，再根據(jù)轉(zhuǎn)動速度從而得出答案；（3）分別根據(jù)轉(zhuǎn)動速度關(guān)系和平分畫圖即解析：（1），5；（2），；（3）經(jīng)過秒平分【分析】（1）根據(jù)圖形和題意得出，再除以每秒速度，即可得出；（2）根據(jù)圖形和題意得出，再根據(jù)轉(zhuǎn)動速度從而得出答案；（3）分別根據(jù)轉(zhuǎn)動速度關(guān)系和平分畫圖即可．【詳解】（1）∵∴∵平分，∴∴∴解得：秒（2）度∵，平分∴∴∴解得：秒（3）如圖：∵，由題可設(shè)為，為∴∵解得：秒答：經(jīng)過秒平分．【點睛】此題考查了角的計算，關(guān)鍵是應(yīng)該認真審題并仔細觀察圖形，找到各個量之間的關(guān)系求出角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．18．如圖，已知，是等邊三角形（三條邊都相等、三個角都等于的三角形），平分．（1）如圖1，當(dāng)時，_________；（2）如圖2，當(dāng)時，________；（3）如圖3，當(dāng)時，求的度數(shù)，請借助圖3填空．解：因為，，所以，因為平分，所以_________________（用表示），因為為等邊三角形，所以，所以_______（用表示）．（4）由（1）（2）（3）問可知，當(dāng)時，直接寫出的度數(shù)（用來表示，無需說明理由）答案：解：（1）；（2）；（3），，；（4）．【分析】(1)根據(jù)，，得到，再根據(jù)OM平分，即可求解；(2)求得，，再求出即可；(3)表示出，，，為等邊三角形，即可求解；(4))當(dāng)時，，最后得出解析：解：（1）；（2）；（3），，；（4）．【分析】(1)根據(jù)，，得到，再根據(jù)OM平分，即可求解；(2)求得，，再求出即可；(3)表示出，，，為等邊三角形，即可求解；(4))當(dāng)時，，最后得出結(jié)論．【詳解】(1)∵，，∴，，又∵OM平分，∴，∴，(2)∵，，∴，又∵OM平分，∴，又∵，，∴，∴，(3)∵，，∴，∵OM平分，∴，∵為等邊三角形，∴，∴，(4)當(dāng)時，，綜合(1)(2)(3)可得．【點睛】本題考查了角平分線的相關(guān)計算，正確讀懂題意是解題的關(guān)鍵．19．已知是內(nèi)部的一條射線