北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)-期末試卷培優(yōu)測(cè)試卷

北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)期末試卷培優(yōu)測(cè)試卷一、解答題1．如圖①，將一張長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)折，使落在的位置；（1）若的度數(shù)為，試求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；（2）如圖②，再將紙片沿對(duì)折，使得落在的位置．①若，的度數(shù)為，試求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；②若，的度數(shù)比的度數(shù)大，試計(jì)算的度數(shù)．2．如圖1，//，點(diǎn)、分別在、上，點(diǎn)在直線(xiàn)、之間，且．（1）求的值；（2）如圖2，直線(xiàn)分別交、的角平分線(xiàn)于點(diǎn)、，直接寫(xiě)出的值；（3）如圖3，在內(nèi)，；在內(nèi)，，直線(xiàn)分別交、分別于點(diǎn)、，且，直接寫(xiě)出的值．3．已知，AB∥CD，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G，F(xiàn)在AB上，點(diǎn)H在AB，CD之間，連接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，F(xiàn)E⊥HE，垂足為E．（1）如圖1，求證：HG⊥HE；（2）如圖2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于點(diǎn)M，求證：∠GHE＝2∠GME；（3）如圖3，在（2）的條件下，F(xiàn)K平分∠AFE交CD于點(diǎn)K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度數(shù)．4．綜合與探究（問(wèn)題情境）王老師組織同學(xué)們開(kāi)展了探究三角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動(dòng)（1）如圖1，，點(diǎn)、分別為直線(xiàn)、上的一點(diǎn)，點(diǎn)為平行線(xiàn)間一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出、和之間的數(shù)量關(guān)系；（問(wèn)題遷移）（2）如圖2，射線(xiàn)與射線(xiàn)交于點(diǎn)，直線(xiàn)，直線(xiàn)分別交、于點(diǎn)、，直線(xiàn)分別交、于點(diǎn)、，點(diǎn)在射線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，①當(dāng)點(diǎn)在、（不與、重合）兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，．則，，之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．②若點(diǎn)不在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)與點(diǎn)、、三點(diǎn)都不重合），請(qǐng)你畫(huà)出滿(mǎn)足條件的所有圖形并直接寫(xiě)出，，之間的數(shù)量關(guān)系．5．閱讀下面材料：小亮同學(xué)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：已知：如圖甲，ABCD，E為AB，CD之間一點(diǎn)，連接BE，DE，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D．（1）小亮寫(xiě)出了該問(wèn)題的證明，請(qǐng)你幫他把證明過(guò)程補(bǔ)充完整．證明：過(guò)點(diǎn)E作EFAB，則有∠BEF＝．∵ABCD，∴，∴∠FED＝．∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．（2）請(qǐng)你參考小亮思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：如圖乙，已知：直線(xiàn)ab，點(diǎn)A，B在直線(xiàn)a上，點(diǎn)C，D在直線(xiàn)b上，連接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直線(xiàn)交于點(diǎn)E．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度數(shù)；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，設(shè)∠ABC＝α，∠ADC＝β，請(qǐng)你求出∠BED的度數(shù)（用含有α，β的式子表示）．二、解答題6．[感知]如圖①，，求的度數(shù)．小樂(lè)想到了以下方法，請(qǐng)幫忙完成推理過(guò)程．解：（1）如圖①，過(guò)點(diǎn)P作．∴（_____________），∴，∴________（平行于同一條直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行），∴_____________（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)），∴，∴，∴，即．[探究]如圖②，，求的度數(shù)；[應(yīng)用]（1）如圖③，在[探究]的條件下，的平分線(xiàn)和的平分線(xiàn)交于點(diǎn)G，則的度數(shù)是_________o．（2）已知直線(xiàn)，點(diǎn)A，B在直線(xiàn)a上，點(diǎn)C，D在直線(xiàn)b上（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），連接，若平分平分，且所在的直線(xiàn)交于點(diǎn)E．設(shè)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)（用含的式子表示）．7．如圖1所示：點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，∠A＝∠D，AB∥CD（1）直接寫(xiě)出∠ACB與∠BED的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，AB∥CD，BG平分∠ABE，BG的反向延長(zhǎng)線(xiàn)與∠EDF的平分線(xiàn)交于H點(diǎn)，若∠DEB比∠GHD大60°，求∠DEB的度數(shù)；（3）保持（2）中所求的∠DEB的度數(shù)不變，如圖3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，則∠PBM的度數(shù)是否改變？若不發(fā)生變化，請(qǐng)求它的度數(shù)，若發(fā)生改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．（本題中的角均為大于0°且小于180°的角）．8．已知直線(xiàn)，M，N分別為直線(xiàn)，上的兩點(diǎn)且，P為直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．類(lèi)似于平面鏡成像，點(diǎn)N關(guān)于鏡面所成的鏡像為點(diǎn)Q，此時(shí)．（1）當(dāng)點(diǎn)P在N右側(cè)時(shí)：①若鏡像Q點(diǎn)剛好落在直線(xiàn)上（如圖1），判斷直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；②若鏡像Q點(diǎn)落在直線(xiàn)與之間（如圖2），直接寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系；（2）若鏡像，求的度數(shù)．9．綜合與探究（問(wèn)題情境）王老師組織同學(xué)們開(kāi)展了探究三角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動(dòng)．（1）如圖1，EF∥MN，點(diǎn)A、B分別為直線(xiàn)EF、MN上的一點(diǎn)，點(diǎn)P為平行線(xiàn)間一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠PAF、∠PBN和∠APB之間的數(shù)量關(guān)系；（問(wèn)題遷移）（2）如圖2，射線(xiàn)OM與射線(xiàn)ON交于點(diǎn)O，直線(xiàn)m∥n，直線(xiàn)m分別交OM、ON于點(diǎn)A、D，直線(xiàn)n分別交OM、ON于點(diǎn)B、C，點(diǎn)P在射線(xiàn)OM上運(yùn)動(dòng)．①當(dāng)點(diǎn)P在A、B（不與A、B重合）兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．則∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；②若點(diǎn)P不在線(xiàn)段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)都不重合），請(qǐng)你畫(huà)出滿(mǎn)足條件的所有圖形并直接寫(xiě)出∠CPD，∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系．10．如圖所示，已知，點(diǎn)P是射線(xiàn)AM上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BC、BD分別平分和，分別交射線(xiàn)AM于點(diǎn)C、D，且（1）求的度數(shù)．（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，與之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；若變化，請(qǐng)寫(xiě)出變化規(guī)律．（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使時(shí)，求的度數(shù)．三、解答題11．在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，將△ABD沿AD翻折后得到△AED，邊AE交BC于點(diǎn)F．(1)如圖①，當(dāng)AE⊥BC時(shí)，寫(xiě)出圖中所有與∠B相等的角：；所有與∠C相等的角：．(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45)．①求∠B的度數(shù)；②是否存在這樣的x的值，使得△DEF中有兩個(gè)角相等．若存在，并求x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．小明在學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)教材中的一個(gè)有趣問(wèn)題做如下探究：（習(xí)題回顧）已知：如圖1，在中，，是角平分線(xiàn)，是高，、相交于點(diǎn).求證：；（變式思考）如圖2，在中，，是邊上的高，若的外角的平分線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，其反向延長(zhǎng)線(xiàn)與邊的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，則與還相等嗎？說(shuō)明理由；（探究延伸）如圖3，在中，上存在一點(diǎn)，使得，的平分線(xiàn)交于點(diǎn).的外角的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn).直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系.13．（生活常識(shí)）射到平面鏡上的光線(xiàn)（入射光線(xiàn)）和變向后的光線(xiàn)（反射光線(xiàn)）與平面鏡所夾的角相等．如圖1，MN是平面鏡，若入射光線(xiàn)AO與水平鏡面夾角為∠1，反射光線(xiàn)OB與水平鏡面夾角為∠2，則∠1=∠2.（現(xiàn)象解釋?zhuān)┤鐖D2，有兩塊平面鏡OM，ON，且OM⊥ON，入射光線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)兩次反射，得到反射光線(xiàn)CD.求證AB∥CD.（嘗試探究）如圖3，有兩塊平面鏡OM，ON，且∠MON=55，入射光線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)兩次反射，得到反射光線(xiàn)CD，光線(xiàn)AB與CD相交于點(diǎn)E，求∠BEC的大小.（深入思考）如圖4，有兩塊平面鏡OM，ON，且∠MONα，入射光線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)兩次反射，得到反射光線(xiàn)CD，光線(xiàn)AB與CD所在的直線(xiàn)相交于點(diǎn)E，∠BED=β,α與β之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系是.（直接寫(xiě)出結(jié)果）14．操作示例：如圖1，在△ABC中，AD為BC邊上的中線(xiàn)，△ABD的面積記為S1，△ADC的面積記為S2．則S1=S2．解決問(wèn)題：在圖2中，點(diǎn)D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，若△BDE的面積為2，則四邊形ADEC的面積為.拓展延伸：（1）如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，且BD=2CD，△ABD的面積記為S1，△ADC的面積記為S2．則S1與S2之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖4，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，連接BE、CD交于點(diǎn)O，且BO=2EO，CO=DO，若△BOC的面積為3，則四邊形ADOE的面積為.15．已知在中，，點(diǎn)在上，邊在上，在中，邊在直線(xiàn)上，；（1）如圖1，求的度數(shù)；（2）如圖2，將沿射線(xiàn)的方向平移，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，求度數(shù)；（3）將在直線(xiàn)上平移，當(dāng)以為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出度數(shù)．【參考答案】一、解答題1．（1）；（2）①；②【分析】(1)由平行線(xiàn)的性質(zhì)得到，由折疊的性質(zhì)可知，∠2=∠BFE，再根據(jù)平角的定義求解即可；(2)①由（1）知，，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到，再由折疊的性質(zhì)及平角的定義解析：（1）；（2）①；②【分析】(1)由平行線(xiàn)的性質(zhì)得到，由折疊的性質(zhì)可知，∠2=∠BFE，再根據(jù)平角的定義求解即可；(2)①由（1）知，，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到，再由折疊的性質(zhì)及平角的定義求解即可；②由（1）知，∠BFE=，由可知：，再根據(jù)條件和折疊的性質(zhì)得到，即可求解．【詳解】解：（1）如圖，由題意可知，∴，∵，∴，，由折疊可知．（2）①由題（1）可知，∵，，再由折疊可知：，；②由可知：，由（1）知，，又的度數(shù)比的度數(shù)大，，，，．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，屬于綜合題，有一定難度，熟記“兩直線(xiàn)平行，同位角相等”、“兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”及折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（1）；（2）的值為40°；（3）．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)O作OG∥AB，可得AB∥OG∥CD，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)可求解；（2）過(guò)點(diǎn)M作MK∥AB，過(guò)點(diǎn)N作NH∥CD，由角平分線(xiàn)的定義可設(shè)∠BEM解析：（1）；（2）的值為40°；（3）．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)O作OG∥AB，可得AB∥OG∥CD，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)可求解；（2）過(guò)點(diǎn)M作MK∥AB，過(guò)點(diǎn)N作NH∥CD，由角平分線(xiàn)的定義可設(shè)∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN=y，由∠BEO+∠DFO=260°可求x-y=40°，進(jìn)而求解；（3）設(shè)直線(xiàn)FK與EG交于點(diǎn)H，F(xiàn)K與AB交于點(diǎn)K，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)即三角形外角的性質(zhì)及，可得，結(jié)合，可得即可得關(guān)于n的方程，計(jì)算可求解n值．【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)O作OG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥OG∥CD，∴∴即∵∠EOF=100°，∴∠；（2）解：過(guò)點(diǎn)M作MK∥AB，過(guò)點(diǎn)N作NH∥CD，∵EM平分∠BEO，F(xiàn)N平分∠CFO，設(shè)∵∴∴x-y=40°，∵M(jìn)K∥AB，NH∥CD，AB∥CD，∴AB∥MK∥NH∥CD，∴∴=x-y=40°，故的值為40°；（3）如圖，設(shè)直線(xiàn)FK與EG交于點(diǎn)H，F(xiàn)K與AB交于點(diǎn)K，∵AB∥CD，∴∵∴∵∴即∵FK在∠DFO內(nèi)，∴，∵∴∴即∴解得．經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，靈活運(yùn)用平行線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）40°【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定解答即可；（2）過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)解答即可；（3）過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)解答即可．解析：（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）40°【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定解答即可；（2）過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)解答即可；（3）過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)解答即可．【詳解】證明：（1）∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠FED，∵∠AGH＝∠FED，∴∠AFE＝∠AGH，∴EF∥GH，∴∠FEH+∠H＝180°，∵FE⊥HE，∴∠FEH＝90°，∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，∴HG⊥HE；（2）過(guò)點(diǎn)M作MQ∥AB，∵AB∥CD，∴MQ∥CD，過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB，∵AB∥CD，∴HP∥CD，∵GM平分∠HGB，∴∠BGM＝∠HGM＝∠BGH，∵EM平分∠HED，∴∠HEM＝∠DEM＝∠HED，∵M(jìn)Q∥AB，∴∠BGM＝∠GMQ，∵M(jìn)Q∥CD，∴∠QME＝∠MED，∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，∵HP∥AB，∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM，∵HP∥CD，∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED，∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED），∴∠GHE＝∠2GME；（3）過(guò)點(diǎn)M作MQ∥AB，過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB，由∠KFE：∠MGH＝13：5，設(shè)∠KFE＝13x，∠MGH＝5x，由（2）可知：∠BGH＝2∠MGH＝10x，∵∠AFE+∠BFE＝180°，∴∠AFE＝180°﹣10x，∵FK平分∠AFE，∴∠AFK＝∠KFE＝∠AFE，即，解得：x＝5°，∴∠BGH＝10x＝50°，∵HP∥AB，HP∥CD，∴∠BGH＝∠GHP＝50°，∠PHE＝∠HED，∵∠GHE＝90°，∴∠PHE＝∠GHE﹣∠GHP＝90°﹣50°＝40°，∴∠HED＝40°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)定理以及靈活構(gòu)造平行線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．4．（1）；（2）①，理由見(jiàn)解析；②圖見(jiàn)解析，或【分析】（1）作PQ∥EF，由平行線(xiàn)的性質(zhì)，即可得到答案；（2）①過(guò)作交于，由平行線(xiàn)的性質(zhì)，得到，，即可得到答案；②根據(jù)題意，可對(duì)點(diǎn)P進(jìn)行分類(lèi)討論解析：（1）；（2）①，理由見(jiàn)解析；②圖見(jiàn)解析，或【分析】（1）作PQ∥EF，由平行線(xiàn)的性質(zhì)，即可得到答案；（2）①過(guò)作交于，由平行線(xiàn)的性質(zhì)，得到，，即可得到答案；②根據(jù)題意，可對(duì)點(diǎn)P進(jìn)行分類(lèi)討論：當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí)；當(dāng)在之間時(shí)；與①同理，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)，即可求出答案．【詳解】解：（1）作PQ∥EF，如圖：∵，∴，∴，，∵∴；（2）①；理由如下：如圖，過(guò)作交于，∵，∴，∴，，∴；②當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí)，如備用圖1：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPC=，∠EPD=，∴；當(dāng)在之間時(shí)，如備用圖2：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPD=，∠CPE=，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩直線(xiàn)平行同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行內(nèi)錯(cuò)角相等，從而得到角的關(guān)系．5．（1）∠B，EF，CD，∠D；（2）①65°；②180°﹣【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的判定定理與性質(zhì)定理解答即可；（2）①如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，根據(jù)∠ABC＝60°，解析：（1）∠B，EF，CD，∠D；（2）①65°；②180°﹣【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的判定定理與性質(zhì)定理解答即可；（2）①如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，根據(jù)∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，參考小亮思考問(wèn)題的方法即可求∠BED的度數(shù)；②如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，∠ABC＝α，∠ADC＝β，參考小亮思考問(wèn)題的方法即可求出∠BED的度數(shù)．【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則有∠BEF＝∠B，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D；故答案為：∠B；EF；CD；∠D；（2）①如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，有∠BEF＝∠EBA．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠EDC．∴∠BEF+∠FED＝∠EBA+∠EDC．即∠BED＝∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA＝∠ABC＝30°，∠EDC＝∠ADC＝35°，∴∠BED＝∠EBA+∠EDC＝65°．答：∠BED的度數(shù)為65°；②如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，有∠BEF+∠EBA＝180°．∴∠BEF＝180°﹣∠EBA，∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠EDC．∴∠BEF+∠FED＝180°﹣∠EBA+∠EDC．即∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA＝∠ABC＝，∠EDC＝∠ADC＝，∴∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC＝180°﹣．答：∠BED的度數(shù)為180°﹣．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)．二、解答題6．[感知]見(jiàn)解析；[探究]70°；[應(yīng)用]（1）35；（2）或【分析】[感知]過(guò)點(diǎn)P作PM∥AB，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠1=∠AEP，∠2+∠PFD=180°，求出∠2的度數(shù)，結(jié)合∠1可得結(jié)果；解析：[感知]見(jiàn)解析；[探究]70°；[應(yīng)用]（1）35；（2）或【分析】[感知]過(guò)點(diǎn)P作PM∥AB，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠1=∠AEP，∠2+∠PFD=180°，求出∠2的度數(shù)，結(jié)合∠1可得結(jié)果；[探究]過(guò)點(diǎn)P作PM∥AB，根據(jù)AB∥CD，PM∥CD，進(jìn)而根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)即可求∠EPF的度數(shù)；[應(yīng)用]（1）如圖③所示，在[探究]的條件下，根據(jù)∠PEA的平分線(xiàn)和∠PFC的平分線(xiàn)交于點(diǎn)G，可得∠G的度數(shù)；（2）畫(huà)出圖形，分點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)和點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)，兩種情況，分別求解．【詳解】解：[感知]如圖①，過(guò)點(diǎn)P作PM∥AB，∴∠1=∠AEP=40°（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AB∥CD，∴PM∥CD（平行于同一條直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行），∴∠2+∠PFD=180°（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)），∴∠PFD=130°（已知），∴∠2=180°-130°=50°，∴∠1+∠2=40°+50°=90°，即∠EPF=90°；[探究]如圖②，過(guò)點(diǎn)P作PM∥AB，∴∠MPE=∠AEP=50°，∵AB∥CD，∴PM∥CD，∴∠PFC=∠MPF=120°，∴∠EPF=∠MPF-∠MPE=120°-50°=70°；[應(yīng)用]（1）如圖③所示，∵EG是∠PEA的平分線(xiàn)，F(xiàn)G是∠PFC的平分線(xiàn)，∴∠AEG=∠AEP=25°，∠GFC=∠PFC=60°，過(guò)點(diǎn)G作GM∥AB，∴∠MGE=∠AEG=25°（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AB∥CD（已知），∴GM∥CD（平行于同一條直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行），∴∠GFC=∠MGF=60°（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∴∠G=∠MGF-∠MGE=60°-25°=35°．故答案為：35．（2）當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，如圖，故點(diǎn)E作EF∥AB，則EF∥CD，∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，∵平分平分，，∴∠ABE=∠BEF=，∠CDE=∠DEF=，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=；當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，如圖，故點(diǎn)E作EF∥AB，則EF∥CD，∴∠DEF=∠CDE，∠ABG=∠BEF，∵平分平分，，∴∠DEF=∠CDE=，∠ABG=∠BEF=，∴∠BED=∠DEF-∠BEF=；綜上：∠BED的度數(shù)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)、平行公理及推論，角平分線(xiàn)的定義，解決本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平行線(xiàn)的性質(zhì)．7．(1)；(2)；(3)不發(fā)生變化，理由見(jiàn)解析【分析】(1)如圖1，延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)F，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)推出；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)E作ES∥AB，過(guò)點(diǎn)H作HT∥AB，根據(jù)AB∥CD，AB∥E解析：(1)；(2)；(3)不發(fā)生變化，理由見(jiàn)解析【分析】(1)如圖1，延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)F，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)推出；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)E作ES∥AB，過(guò)點(diǎn)H作HT∥AB，根據(jù)AB∥CD，AB∥ES推出，再根據(jù)AB∥TH，AB∥CD推出，最后根據(jù)比大得出的度數(shù)；(3)如圖3，過(guò)點(diǎn)E作EQ∥DN，根據(jù)得出的度數(shù)，根據(jù)條件再逐步求出的度數(shù)．【詳解】(1)如答圖1所示，延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)F．AB∥CD，所以，又因?yàn)?，所以，所以AC∥DF，所以．因?yàn)?，所以?2)如答圖2所示，過(guò)點(diǎn)E作ES∥AB，過(guò)點(diǎn)H作HT∥AB．設(shè)，，因?yàn)锳B∥CD，AB∥ES，所以，，所以，因?yàn)锳B∥TH，AB∥CD，所以，，所以，因?yàn)楸却?，所以，所以，所以，所?3)不發(fā)生變化如答圖3所示，過(guò)點(diǎn)E作EQ∥DN．設(shè)，，由(2)易知，所以，所以，所以，所以．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，求角的度數(shù)，正確作出相關(guān)的輔助線(xiàn)，根據(jù)條件逐步求出角度的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．8．（1）①，證明見(jiàn)解析，②，（2）或．【分析】(1)①根據(jù)和鏡像證出，即可判斷直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系，②過(guò)點(diǎn)Q作QF∥CD，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)證即可；(2)過(guò)點(diǎn)Q作QF∥CD，根據(jù)點(diǎn)P的位置不同，解析：（1）①，證明見(jiàn)解析，②，（2）或．【分析】(1)①根據(jù)和鏡像證出，即可判斷直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系，②過(guò)點(diǎn)Q作QF∥CD，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)證即可；(2)過(guò)點(diǎn)Q作QF∥CD，根據(jù)點(diǎn)P的位置不同，分類(lèi)討論，依據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）①，證明：∵，∴，∵，∴，∴；②過(guò)點(diǎn)Q作QF∥CD，∵，∴，∴，，∴，∵，∴；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在N右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QF∥CD，同（1）得，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，如圖，當(dāng)點(diǎn)P在N左側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QF∥CD，同（1）得，，同理可得，，∵，∴，∴，∵，∴，∴；綜上，的度數(shù)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)淖鬏o助線(xiàn)，熟練利用平行線(xiàn)的性質(zhì)推導(dǎo)角之間的關(guān)系．9．（1）∠PAF＋∠PBN＋∠APB＝360°；（2）①，見(jiàn)解析；②或【分析】（1）作PC∥EF，如圖1，由PC∥EF，EF∥MN得到PC∥MN，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得∠PAF＋∠APC＝180°，∠解析：（1）∠PAF＋∠PBN＋∠APB＝360°；（2）①，見(jiàn)解析；②或【分析】（1）作PC∥EF，如圖1，由PC∥EF，EF∥MN得到PC∥MN，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得∠PAF＋∠APC＝180°，∠PBN＋∠CPB＝180°，即有∠PAF＋∠PBN＋∠APB＝360°；（2）①過(guò)P作PE∥AD交ON于E，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，可得到，，于是；②分兩種情況：當(dāng)P在OB之間時(shí)；當(dāng)P在OA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，仿照①的方法即可解答．【詳解】解：（1）∠PAF＋∠PBN＋∠APB＝360°，理由如下：作PC∥EF，如圖1，∵PC∥EF，EF∥MN，∴PC∥MN，∴∠PAF＋∠APC＝180°，∠PBN＋∠CPB＝180°，∴∠PAF＋∠APC+∠PBN＋∠CPB＝360°,∴∠PAF＋∠PBN＋∠APB＝360°；（2）①，理由如下：如答圖，過(guò)P作PE∥AD交ON于E，∵AD∥BC，∴PE∥BC，∴，，∴②當(dāng)P在OB之間時(shí)，，理由如下：如備用圖1，過(guò)P作PE∥AD交ON于E，∵AD∥BC，∴PE∥BC，∴，，∴；當(dāng)P在OA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，，理由如下：如備用圖2，過(guò)P作PE∥AD交ON于E，∵AD∥BC，∴PE∥BC，∴，，∴；綜上所述，∠CPD，∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系是或.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)：兩直線(xiàn)平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．難點(diǎn)是分類(lèi)討論作平行輔助線(xiàn)．10．（1）；（2）不變化，，理由見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)，得；再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案；（2）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，得，；結(jié)合角平分線(xiàn)性質(zhì)，得，即可完成求解解析：（1）；（2）不變化，，理由見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)，得；再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案；（2）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，得，；結(jié)合角平分線(xiàn)性質(zhì)，得，即可完成求解；（3）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，得；結(jié)合，推導(dǎo)得；再結(jié)合（1）的結(jié)論計(jì)算，即可得到答案．【詳解】（1）∵BC，BD分別評(píng)分和，∴，∴又∵，∴∵，∴∴；（2）∵，∴，又∵BD平分∴，∴；∴與之間的數(shù)量關(guān)系保持不變；（3）∵，∴又∵，∴，∵∴由（1）可得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)、平行線(xiàn)的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線(xiàn)、平行線(xiàn)的性質(zhì)，從而完成求解．三、解答題11．(1)∠E、∠CAF；∠CDE、∠BAF；(2)①20°；②30【分析】（1）由翻折的性質(zhì)和平行線(xiàn)的性質(zhì)即可得與∠B相等的角；由等角代換即可得與∠C相等的角；（2）①由三角形內(nèi)角和定理可得，解析：(1)∠E、∠CAF；∠CDE、∠BAF；(2)①20°；②30【分析】（1）由翻折的性質(zhì)和平行線(xiàn)的性質(zhì)即可得與∠B相等的角；由等角代換即可得與∠C相等的角；（2）①由三角形內(nèi)角和定理可得，再由根據(jù)角的和差計(jì)算即可得∠C的度數(shù)，進(jìn)而得∠B的度數(shù)．②根據(jù)翻折的性質(zhì)和三角形外角及三角形內(nèi)角和定理，用含x的代數(shù)式表示出∠FDE、∠DFE的度數(shù)，分三種情況討論求出符合題意的x值即可．【詳解】（1）由翻折的性質(zhì)可得：∠E＝∠B，∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，∴∠DFE＝90°，∴180°－∠BAC＝180°－∠DFE＝90°，即：∠B＋∠C＝∠E＋∠FDE＝90°，∴∠C＝∠FDE，∴AC∥DE，∴∠CAF＝∠E，∴∠CAF＝∠E＝∠B故與∠B相等的角有∠CAF和∠E；∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，∴∠BAF＋∠CAF＝90°,∠CFA＝180°－（∠CAF＋∠C）＝90°∴∠BAF＋∠CAF＝∠CAF＋∠C＝90°∴∠BAF＝∠C又AC∥DE，∴∠C＝∠CDE，∴故與∠C相等的角有∠CDE、∠BAF；（2）①∵∴又∵，∴∠C＝70°，∠B＝20°;②∵∠BAD＝x°,∠B＝20°則,,由翻折可知：∵,,∴,,當(dāng)∠FDE＝∠DFE時(shí)，,解得：；當(dāng)∠FDE＝∠E時(shí)，，解得：（因?yàn)?＜x≤45，故舍去）；當(dāng)∠DFE＝∠E時(shí)，，解得：（因?yàn)?＜x≤45，故舍去）；綜上所述，存在這樣的x的值，使得△DEF中有兩個(gè)角相等．且．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的翻折、三角形內(nèi)角和定理、平行線(xiàn)的判定及其性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、等角代換，解題的關(guān)鍵是熟知圖形翻折的性質(zhì)及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)．12．[習(xí)題回顧]證明見(jiàn)解析；[變式思考]相等，證明見(jiàn)解析；[探究延伸]∠M+∠CFE=90°，證明見(jiàn)解析．【分析】[習(xí)題回顧]根據(jù)同角的余角相等可證明∠B=∠ACD，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可解析：[習(xí)題回顧]證明見(jiàn)解析；[變式思考]相等，證明見(jiàn)解析；[探究延伸]∠M+∠CFE=90°，證明見(jiàn)解析．【分析】[習(xí)題回顧]根據(jù)同角的余角相等可證明∠B=∠ACD，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可證明；[變式思考]根據(jù)角平分線(xiàn)的定義和對(duì)頂角相等可得∠CAE=∠DAF、再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和等角的余角相等即可得出=；[探究延伸]根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得∠EAN=90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠M+∠CEF=90°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠CEF=∠CFE，由此可證∠M+∠CFE=90°．【詳解】[習(xí)題回顧]證明：∵∠ACB=90°，CD是高，∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°，∴∠B=∠ACD，∵AE是角平分線(xiàn)，∴∠CAF=∠DAF，∵∠CFE=∠CAF+∠ACD，∠CEF=∠DAF+∠B，∴∠CEF=∠CFE；[變式思考]相等，理由如下：證明：∵AF為∠BAG的角平分線(xiàn)，∴∠GAF=∠DAF，∵∠CAE=∠GAF，∴∠CAE=∠DAF，∵CD為AB邊上的高，∠ACB=90°,∴∠ADC=90°，∴∠ADF=∠ACE=90°，∴∠DAF+∠F=90°，∠E+∠CAE=90°，∴∠CEF=∠CFE；[探究延伸]∠M+∠CFE=90°，證明：∵C、A、G三點(diǎn)共線(xiàn)

AE、AN為角平分線(xiàn)，∴∠EAN=90°，又∵∠GAN=∠CAM，∴∠M+∠CEF=90°，∵∠CEF=∠EAB+∠B，∠CFE=∠EAC+∠ACD，∠ACD=∠B，∴∠CEF=∠CFE，∴∠M+∠CFE=90°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，角平分線(xiàn)的有關(guān)證明，等角或同角的余角相等．在本題中用的比較多的是利用等角或同角的余角相等證明角相等和三角形一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，理解并掌握是解決此題的關(guān)鍵．13．【現(xiàn)象解釋】見(jiàn)解析；【嘗試探究】BEC70；【深入思考】2.【分析】[現(xiàn)象解釋]根據(jù)平面鏡反射光線(xiàn)的規(guī)律得∠1=∠2，∠3=∠4，再利用∠2+∠3=90°得出∠1+∠2+∠解析：【現(xiàn)象解釋】見(jiàn)解析；【嘗試探究】BEC70；【深入思考】2.【分析】[現(xiàn)象解釋]根據(jù)平面鏡反射光線(xiàn)的規(guī)律得∠1=∠2，∠3=∠4，再利用∠2+∠3=90°得出∠1+∠2+∠3+∠4=180°，即可得出∠DCB+∠ABC=180°，即可證得AB∥CD；[嘗試探究]根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠2+∠3=125°，根據(jù)平面鏡反射光線(xiàn)的規(guī)律得∠1=∠2，∠3=∠4，再利用平角的定義得出∠1+∠2+∠EBC+∠3+∠4+∠BCE=360°，即可得出∠EBC+BCE=360°-250°=110°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出∠BEC=180°-110°=70°；[深入思考]利用平角的定義得出∠ABC=180°-2∠2，∠BCD=180°-2∠3，利用外角的性質(zhì)∠BED=∠ABC-∠BCD=（180°-2∠2）-（180°-2∠3）=2（∠3-∠2）=β，而∠BOC=∠3-∠2=α，即可證得β=2α．【詳解】[現(xiàn)象解釋]如圖2，∵OM⊥ON，∴∠CON=90°，∴∠2+∠3=90°∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠DCB+∠ABC=180°，∴AB∥CD；【嘗試探究】如圖3，在△OBC中，∵∠COB=55°，∴∠2+∠3=125°，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠2+∠3+∠4=250°，∵∠1+∠2+∠EBC+∠3+∠4+∠BCE=360°，∴