角平分線模型

角平分線模型的構(gòu)造角平分線(l)定義：如圖2-1，如果∠AOB＝∠BOC，那么∠AOC=2∠AOB=2∠BOC，像OB這樣，從一種角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫作這個(gè)角的角平分線．(2)角平分線的性質(zhì)定理①如果一條射線是一種角的平分線，那么它把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，②在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．(3)角平分線的鑒定定理①在角的內(nèi)部，如果一條射線的端點(diǎn)與角的頂點(diǎn)重疊，且把一種角分成兩個(gè)等角，那么這條射線是這個(gè)角的平分線，②在角的內(nèi)部，到一種角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上，與角平分線有關(guān)的慣用輔助線作法，即角平分線的四大基本模型，已知P是∠MON平分線上一點(diǎn)，(l)若PA⊥OM于點(diǎn)A，如圖2-2(a)，能夠過(guò)P點(diǎn)作PB⊥ON于點(diǎn)B，則PB=PA.可記為“圖中有角平分線，可向兩邊作垂線”．(2)若點(diǎn)A是射線OM上任意一點(diǎn)，如圖2-2(b)，能夠在ON上截取OB=OA，連接PB，構(gòu)造△OPB∽△OPA.可記為“圖中有角平分線，能夠?qū)D對(duì)折看，對(duì)稱后來(lái)關(guān)系現(xiàn)”．(3)若AP⊥OP于點(diǎn)P，如圖2-2(c)，能夠延長(zhǎng)AP交ON于點(diǎn)B，構(gòu)造△AOB是等腰三角形，P是底邊AB的中點(diǎn)，可記為“角平分線加垂線，三線合一試試看”．(4)若過(guò)P點(diǎn)作PQ∥ON交OM于點(diǎn)Q，如圖2-2(d)，能夠構(gòu)造△POQ是等腰三角形，可記為“角平分線十平行線，等腰三角形必呈現(xiàn)”．例1(1)如圖2-3(a)，在△ABC中，∠C=90。，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么點(diǎn)D到直線AB的距離是（）cm.(2)如圖2-3(b)，已知：∠1=∠2，∠3=∠4，求證：AP平分∠BAC．例2如圖2-4(a)，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D.AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F⑴求證：CE=CF.⑵將圖2-4(a)中的△ADE沿AB向右平移到△A，D，E，的位置，使點(diǎn)E，落在BC邊上，其它條件不變，如圖2-4(b)所示．試猜想：BE'與CF有如何的數(shù)量關(guān)系請(qǐng)證明你的結(jié)論．例3閱讀下列學(xué)習(xí)材料：如圖2-5(a)所示，OP平分∠MON，A為OM上一點(diǎn)，C為OP上一點(diǎn)，連接AC，在射線ON上截取OB=OA，連接BC(如圖2-5(b))，易證△AOC≌△BOC.請(qǐng)根據(jù)上面的學(xué)習(xí)材料，解答下列各題：(l)如圖2-5(c)所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分線，P是AD上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，試比較PB+PC與AB+AC的大小，并闡明理由．(2)如圖2-5(d)所示，AD是△ABC的內(nèi)角平分線，其它條件不變，試比較PC－PB與AC－AB的大小，并闡明理由．例4如圖2-6(a)，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，求證：BD=2CE.(1)如圖2-7(a)，BD、CE分別是△ABC的外角平分線，過(guò)點(diǎn)A作AD上BD、AE⊥CE，垂足分別為D、E，連接DE.求證：DE∥BC，DE=(AB+BC+AC)；(2)如圖2-7(b)，BD、CE分別是△ABC的內(nèi)角平分線，其它條件不變；(3)如圖2-7(c)，BD為△ABC的內(nèi)角平分線，CE為△ABC的外角平分線，其它條件不變，則在圖2-7(b)、圖2-7(c)兩種狀況下，DE與BC還平行嗎它與△ABC三邊又有如何的數(shù)量關(guān)系請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并對(duì)其中的一種狀況進(jìn)行證明。變式如圖2-8，在△ABC中，AB=3AC,∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為E，求證：AD=DE例6如圖2-9(a)，AB=AC，BD，CD分別平分∠ABC，∠ACB.問(wèn)：(l)圖2-9(a)中有幾個(gè)等腰三角形(2)過(guò)D點(diǎn)作EF∥BC，如圖2-9(b)，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，圖中又增加了幾個(gè)等腰三角形(3)如圖2-9(c)，若將題中的△ABC改為不等邊三角形，其它條件不變，圖中有幾個(gè)等腰三角形直接寫(xiě)出線段EF與BE、CF有什么關(guān)系(4)如圖2-9(d)，BD平分∠ABC，CD平分外角∠ACG.DE∥BC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F線段EF與BE、CF有什么關(guān)系并闡明理由．(5)如圖2-9(e)，BD、CD為外角∠CBM、∠BCN的平分線，DE∥BC交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，直接寫(xiě)出線段EF與BE、CF有什么關(guān)系例7如圖2-10(a)所示，已知△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB，求證：AB=ACD變式1如圖2-11所示，已知△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC.求證：BC=AB＋CD.變式2如圖2-12，已知△ABC中，AB=AC，∠A=IOO°，BD平分∠ABC，求證：BC=BD＋AD.例8如圖2-13(a)，OP是∠MON的平分線，請(qǐng)你運(yùn)用該圖形畫(huà)一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形，請(qǐng)你參考上圖構(gòu)造全等三角形的辦法，解答下列問(wèn)題：(1)如圖2-13(b)，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F.請(qǐng)你判斷寫(xiě)出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2-13(c)，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(l)中的其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在（1）中所得結(jié)論與否仍然成立若成立請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)闡明理由．牛刀小試(l)如圖2-14(a)，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作DF∥BC，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，若BD+CE=9，則線段DE之長(zhǎng)為（）(2)如圖2-14(b)，在△ABC中，BD、CD分別平分∠ABC和∠ACB，DE∥AB，F(xiàn)D∥AC.，BC=6，求△DEF的周長(zhǎng)，2.已知：如圖2-15，∠BAD=∠CAD，AB>AC，CD⊥AD于點(diǎn)是BC中點(diǎn)．求證：DH＝(AB－AC).3、已知如圖2-16，四邊形ABCD中，∠B+＝D=180°，BC=CD.求證：AC平分∠BAD.4.如圖2-17，△ABC的外角/ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點(diǎn)P，連接AP、CP，若∠BPC=40。，求∠CAP的度數(shù)．5.已知：如圖2-18，在四邊形中，BC>AB，AD=CD，BD平分∠ABC.求證：∠A+∠C=180°6.在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC于點(diǎn)F.(1)在圖2-19(a)中證明CE＝CF；(2)若∠ABC=90°，G是EF的中點(diǎn)(如圖2-19(b），直接寫(xiě)出∠BDG的度數(shù)；(3)若∠ABC=120°，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G=CE，分別連接DB、DG(如圖2-19（c），求∠BDG的度數(shù)．7.已知：如圖2-20