線性微分方程組

第五章線性微分方程組本章重點(diǎn)介紹和證明微分方程組的解的存在唯一性定理,并敘述解的某些性質(zhì),如解的延拓,解對初值的持續(xù)性和可微性等.教學(xué)目的1.掌握微分方程組的基本解法；2.掌握齊次型方程的解法。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)可化為齊次型方程的解法；教學(xué)時數(shù)12學(xué)時5.1存在唯一性定理5.1.1記號和定義考察形如(5.1)其中已知函數(shù)aij(t)(i,j,=1,2,…,n)和fi(t)(i=1,2,…,n)在區(qū)間atb上是持續(xù)的,方程組有關(guān)x1,x2,…,xn及x1,x2,…,xn是線性的.引進(jìn)記號則原方程(5.1)可寫成形式x=A(t)x+f(t).概念一種矩陣(或向量)在區(qū)間atb上稱為持續(xù)的,如果它的每一種元都是區(qū)間atb上的持續(xù)函數(shù).一種nn矩陣B(t)或一種n維列向量u(t)在區(qū)間atb上稱為可微的,如果它的每一種元都在區(qū)間atb上可微,且性質(zhì)(1)[A(t)+B(t)]=A(t)+B(t);(2)[u(t)+v(t)]=u(t)+v(t);(3)[A(t)B(t)]=A(t)B(t)+A(t)B(t);(4)[A(t)u(t)]=A(t)u(t)+A(t)u(t).類似地,矩陣B(t)或一種n維列向量u(t)在區(qū)間atb上稱為可積的,如果它的每一種元都在區(qū)間atb上可積,且定義1設(shè)A(t)是區(qū)間atb上的持續(xù)nn矩陣,f(t)是同一區(qū)間上的持續(xù)n維向量.方程組x=A(t)x+f(t)(5.4)在某區(qū)間t([,][a,b])的解就是向量u(t),它的導(dǎo)數(shù)u(t)在區(qū)間atb上持續(xù)且滿足u(t)=A(t)u(t)+f(t),t.定義2初值問題x=A(t)x+f(t)x(t0)=(5.5)的解就是方程組(5.4)在包含t0的區(qū)間t上的解,使得u(t0)=．例１試列出下圖中通過L1及L2電路的電流I1及I2應(yīng)滿足的微分方程．例２驗(yàn)證向量是初值問題在區(qū)間-<t<+上的解.下列辦法可將n階線性微分方程的初值問題化為形如(5.5)的線性微分方程組的初值問題.考慮n階線性微分方程的初值問題其中ai(t),i=1,2,…n,及f(t)都是atb上的已知持續(xù)函數(shù),t0[a,b],1,…,n是已知常數(shù).可通過下列變換x1=x,x2=x,x3=x,…,xn=x(n1)將上述n階線性微分方程的初值問題化為下列線性微分方程組的初值問題:5.1.2存在唯一性定理方程x=A(t)x+f(t)x(t0)=的解的存在唯一性定理.定理1如果A(t)是nn矩陣,f(t)是n維列向量,它們都在區(qū)間atb上持續(xù),則對于區(qū)間atb上的任何數(shù)t0及任一n維常數(shù)列向量,方程組x=A(t)x+f(t)存在唯一解(t),定義于區(qū)間atb上,且滿足初值條件(t0)=.

5.2線性微分方程組的普通理論討論線性微分方程組x=A(t)x+f(t)(5.14)5.2.1齊次線性微分方程組設(shè)矩陣A(t)在區(qū)間a≤t≤b上持續(xù)設(shè)u(t)和v(t)是(5.15)的齊次型方程的任意兩個解,,是兩個任意常數(shù),根據(jù)向量函數(shù)的微分法則,有u(t)+v(t)也是其解.定理2(疊加原理)如果u(t)和v(t)是齊次型方程的解,則它們的線性組合u(t)+v(t)也是該方程的解.線性有關(guān)稱定義在區(qū)間a≤t≤b上的向量函數(shù)x1(t),x2(t),…,xm(t)是線性有關(guān)的,如果存在不全為零的常數(shù)c1,c2,…,cm,使得等式c1x1(t)+c2x2(t)+…+cmxm(t)=0成立;否則稱為線性無關(guān)的.朗斯基行列式由n個向量函數(shù)x1(t),x2(t),…,xn(t)構(gòu)成的行列式稱為朗斯基行列式.定理3如果向量函數(shù)x1(t),x2(t),…,xn(t)在區(qū)間a≤t≤b上線性有關(guān),則它們的朗斯基行列式W(t)=0.(證)定理4如果齊次型方程的解x1(t),x2(t),…,xn(t)線性無關(guān),則它們的朗斯基行列式W(t)0.(證)定理5齊次線性微分方程組一定存在n個線性無關(guān)的解x1(t),x2(t),…,xn(t).(證)定理6如果x1(t),x2(t),…,xn(t)是齊次型方程的n個線性無關(guān)的解,則該方程的任一解x(t)均可表為這n個線性無關(guān)解的線性組合,即:x(t)=c1x1(t)+c2x2(t)+…+cnxn(t).(證)推論1齊次型方程的線性無關(guān)解的最大個數(shù)等于n.推論2如果已知齊次型方程的k個線性無關(guān)解,則該方程能夠減少為含nk個未知函數(shù)的線性微分方程組.如果已知n1個線性無關(guān)解,則可得到齊次型方程的通解.基本解組n個線性無關(guān)的解x1(t),x2(t),…,xn(t).推論3如果x1(t),x2(t),…,xn(t)是n階微分方程x(n)+a1(t)x(n1)+…+an(t)x=0(5.21)的n個線性無關(guān)解,其中a1(t),a2(t),…,an(t)是區(qū)間a≤t≤b上的持續(xù)函數(shù),則(5.21)的任一解x(t)可表為這n個線性無關(guān)解的一種線性組合:x(t)=c1x1(t)+c2x2(t)+…+cnxn(t).基解矩陣解矩陣nn矩陣的每一列都是齊次線性微分方程組x￠=A(t)x的解.基解矩陣解矩陣的列線性無關(guān).定理1*齊次線性微分方程組x￠=A(t)x一定存在一種基解矩陣(t).如果(t)是方程的任意一種解,則有(t)=(t)c.定理2*齊次線性微分方程組x￠=A(t)x的一種解矩陣(t)是基解矩陣的充要條件是|(t)|=0,a≤t≤b;且如果對某一t0有|(t0)|0,則|(t)|=0,a≤t≤b.推論1*如果(t)是齊次線性微分方程組x￠=A(t)x的基解矩陣,C是非奇異nn常數(shù)矩陣,則(t)C也是方程的基解矩陣.推論2*如果(t),(t)都是方程組x￠=A(t)x的基解矩陣,則存在非奇異nn常數(shù)矩陣C,使得(t)=(t)C.5.2.2非齊次線性微分方程組討論非齊次線性微分方程組x=A(t)x+f(t)(5.14)的解的構(gòu)造.矩陣A(t)在區(qū)間a≤t≤b上持續(xù),f(t)是區(qū)間a≤t≤b上的已知n維持續(xù)列向量.性質(zhì)1如果(t)是(5.14)的解,(t)是(5.14)對應(yīng)的齊次型的解,則(t)+(t)是(4.14)的解.性質(zhì)2如果(t)和(t)是(5.14)的兩個解,則(t)(t)是對應(yīng)齊次型方程的解.定理7設(shè)(t)是對應(yīng)齊次型方程的基解矩陣,(t)是(5.14)的某一解,則(5.14)的任一解(t)都可表為(t)=(t)c+(t),其中c是擬定的常數(shù)列向量.(證)定理8如果是對應(yīng)齊次型方程的基解矩陣,則向量函數(shù)是(5.14)的解,且滿足初值條件(t0)=0.定理8￠滿足初始條件j(t0)=h的解(t)為:例2試求下列初值問題的解.推論3如果a1(t),a2(t),…,an(t),f(t)是區(qū)間a≤t≤b上的持續(xù)函數(shù),x1(t),x2(t),…,xn(t)是區(qū)間a≤t≤b上齊次線性微分方程x(n)+a1(t)x(n1)+…+an(t)x=0的基本解組,則非齊次線性微分方程x(n)+a1(t)x(n1)+…+an(t)x=f(t)的滿足初值條件(t0)=0,(t0)=0,…,(n1)(t0)=0的解由下列公式給出其中W[x1(s),w2(s),…,wn(s)]是x1(s),w2(s),…,wn(s)的朗斯基行列式,Wk[x1(s),w2(s),…,wn(s)]是在W[x1(s),w2(s),…,wn(s)]中的第k列代以(0,0,…,0,1)T后得到的行列式,且(5.28)的任一解u(t)都含有形式u(t)=c1x1(t)+c2x2(t)+…+cnxn(t)+(t),其中c1,c2,…,cn是適宜選用的常數(shù).例3試求方程x+x=tant的一種解.

5.3常系數(shù)線性微分方程組討論常系數(shù)線性微分方程組x=Ax(5.33)其中A為nn常數(shù)矩陣.5.3.1矩陣指數(shù)expA的定義和性質(zhì)設(shè)A是一種nn常數(shù)矩陣,定義矩陣的指數(shù)expA為下列矩陣級數(shù)的和:矩陣指數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1如果矩陣A,B是可交換的,即AB=BA,則exp(A+B)=expAexpB.(證)性質(zhì)2對于任何矩陣A,(expA)1存在,且(expA)1=exp(A).(證)性質(zhì)3如果T是非奇異矩陣,則exp(T1AT)=T1(expA)T.定理9矩陣(t)=expAt是(5.33)的基解矩陣,且(0)=E.(證)例1如果A是下列形式的對角矩陣,試找出x=Ax的基解矩陣.例2試求下列方程的基解矩陣.5.3.2基解矩陣的計(jì)算公式類似于第四章的辦法,謀求方程x=Ax的形如(t)=etc,c0的解.代入(5.33)可得etc=Aetc.即c=Ac或(EA)c=0上述方程有非零解的充要條件是det(EA)=0.定義設(shè)A是一種nn常數(shù)矩陣,使得有關(guān)u的線性代數(shù)方程組(EA)u=0含有非零解的常數(shù)稱為A的一種特性值.例3試求下列矩陣的特性值和對應(yīng)的特性向量.例4試求下列矩陣的特性值和對應(yīng)的特性向量.定理10如果矩陣A含有n個線性無關(guān)的特性向量v1,v2,…,vn,它們對應(yīng)的特性值分別為1,2,…,n,則矩陣是常系數(shù)線性微分方程組x=Ax的一種基解矩陣.(證)例5試求方程組x=Ax的一種基解矩陣,其中.例6試求例5的實(shí)基解矩陣(或計(jì)算expAt).討論當(dāng)A是任意的nn矩陣時,基解矩陣的計(jì)算辦法.有關(guān)線性代數(shù)的知識.設(shè)系數(shù)矩陣A有特性值1,2,…,k,重?cái)?shù)分別為n1,n2,…,nk,則齊次線性微分方程組的滿足初始條件解可表達(dá)為依次令=ej,可分別求出n個線性無關(guān)解j(t),從而可得基解矩陣:特別情形,如果矩陣A只有一種特性值,則例7設(shè)A是例4的矩陣,試解初值問題x=