“同心協(xié)力”策略研究

問題重述問題背景“同心協(xié)力”（又稱“同心鼓）是一項(xiàng)團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力拓展項(xiàng)目。該項(xiàng)目的道具是一面牛皮雙面鼓，鼓身中間固定許多根繩子，繩子在鼓身上的固定點(diǎn)沿圓周呈均勻分布，每根繩子長度相同。團(tuán)隊(duì)成員每人牽拉一根繩子，使鼓面保持水平。項(xiàng)目開始時，球從鼓面中心上方豎直落下，隊(duì)員同心協(xié)力將球顛起，使其有節(jié)奏地在鼓面上跳動。顛球過程中，隊(duì)員只能抓握繩子的末端，不能接觸鼓或繩子其他位置。項(xiàng)目的目標(biāo)是使得連續(xù)顛球的次數(shù)盡可能多。問題提出問題一：某“同心鼓”游戲所用排球質(zhì)量0.27kg，鼓的質(zhì)量為3.6kg，鼓面直徑為40cm，鼓身高度為22cm。在理想狀態(tài)下，不少于8人的隊(duì)員可以精確控制抓繩時的用力方向、時機(jī)和力度，游戲開始時，球從鼓面中心上方40cm處豎直落下，要求球每次被顛起的高度應(yīng)離開鼓面40cm以上，若低于40cm，則游戲停止。試研究出這種狀態(tài)下團(tuán)隊(duì)的最佳協(xié)作策略，且使得連續(xù)顛球的次數(shù)盡可能多，并給出該策略下的顛球高度。問題二：由于隊(duì)員發(fā)力時機(jī)和力度不可能做到精確控制，存在一定誤差，故在現(xiàn)實(shí)情況下鼓面可能出現(xiàn)傾斜。此時隊(duì)員人數(shù)為8，繩長為1.7m，鼓面初始時刻為靜止的，初始位置較繩子水平時下降11cm，需要求解出8個隊(duì)員在不同發(fā)力時機(jī)下作用0.1s后的鼓面的傾斜角度，求解結(jié)果見附表。問題三：根據(jù)問題二的模型，探討在現(xiàn)實(shí)情況下，問題一得出的策略是否需要調(diào)整？若需要，如何調(diào)整？問題四：當(dāng)鼓面發(fā)生傾斜時，球的跳動方向不再豎直，這時需要隊(duì)員通過調(diào)整拉升策略使得球數(shù)值狀態(tài)彈跳。此時假設(shè)人數(shù)為10，繩長2m，球的反彈高度為60cm，相對于豎直方向產(chǎn)生1度的傾斜角度，且傾斜方向在水平面的投影指向某兩位隊(duì)員之間，與這他們的夾角之比為1:2。請給出在可精確控制條件下所有隊(duì)員的發(fā)力時機(jī)及力度，并分析在現(xiàn)實(shí)情形中這種調(diào)整策略的實(shí)施效果。問題分析問題一的分析本題是以非完全彈性碰撞系統(tǒng)為背景的動力學(xué)分析問題。首先建立正交空間分解坐標(biāo)系，為了簡化求解過程，我們讓每個人同時發(fā)力，且每個人發(fā)力與z軸的夾角為固定角度θ，發(fā)力大小為F。并且在運(yùn)動過程中角度θ不發(fā)生改變。我們令鼓面開始向上運(yùn)動，同時球向下做自由落體運(yùn)動。經(jīng)過時間t發(fā)生非完全彈性碰撞，對z軸建立動量守恒方程。然后通過非完全彈性碰撞系統(tǒng)建立方程組，通過自由落體運(yùn)動公式和對鼓進(jìn)行沖量公式得到方程組。最終得到11個方程組，（含有3個變量），最終化簡得到高度關(guān)系函數(shù)。問題二的分析依據(jù)第二問的條件，在現(xiàn)實(shí)情形中，隊(duì)員發(fā)力時機(jī)和力度不可能做到精確控制，存在一定誤差，于是鼓面可能出現(xiàn)傾斜，對于每一個人的發(fā)力時機(jī)和力度都是隨機(jī)的，而且發(fā)力大小和時機(jī)對鼓的傾角有變化。我們通過模型進(jìn)行它的受力情況，來進(jìn)行分析鼓的傾斜角度。最后，我們利用已知條件所給的數(shù)據(jù)，對該數(shù)據(jù)下的鼓面傾斜角度進(jìn)行求解,求解結(jié)果見附表。問題三的分析我們根據(jù)問題二的模型，判斷問題一的模型是否需要調(diào)整，需要調(diào)整的話，給出調(diào)整的建議。問題四的分析依據(jù)題中條件人數(shù)為10，繩長為2m，球的反彈高度為60cm，相對于豎直方向產(chǎn)生1度的傾斜角度，且傾斜方向在水平面的投影指向某兩位隊(duì)員之間，與這兩位隊(duì)員的夾角之比為1:2。我們?yōu)榱藢⑶蛘{(diào)整為豎直狀態(tài)彈跳，由題意可精確該控制條件下所有隊(duì)員的發(fā)力時機(jī)及力度，分析出在現(xiàn)實(shí)情形中這種調(diào)整策略的實(shí)施方案。模型的基本假設(shè)假設(shè)沒有空氣阻力。假設(shè)在理想天氣情況下，游戲過程中鼓面不會出現(xiàn)破損，繩子不會斷裂。假設(shè)隊(duì)員升高相差不大，均在175cm。假設(shè)繩子無內(nèi)力影響，同時忽略繩子的質(zhì)量。假設(shè)重力加速度g恒為9.8米/秒。運(yùn)動過程中鼓與繩子豎直方向的夾角保持不變。不計(jì)鼓面與球面的摩擦和打滑符號說明關(guān)鍵符號符號說明θ豎直方向與繩初始方向的夾角F單條繩子的拉力大小k鼓的彈性系數(shù)C空氣對鼓的阻力系數(shù)n人數(shù)α相鄰兩個人拉鼓的繩子之間的夾角e恢復(fù)系數(shù)v碰撞后鼓的速度v碰撞前鼓的速度v碰撞后球的速度v碰撞前球的速度t碰撞前排球的運(yùn)動時間m排球的質(zhì)量M鼓的質(zhì)量h排球撞擊后上升的高度d初始位置時球到鼓中心的高度s鼓的質(zhì)心移動的距離模型的建立與求解動力學(xué)分析-問題一問題一的模型建立任意兩個人的夾角如圖5-1-1-1所示圖5-1-1-1如圖1-2所示，藍(lán)色線條表示繩子所處位置，力與豎直方向的夾角為圖5-1-1-2第一次力給鼓沖量使其動量增加：n(5.1)球由初始位置下落時由于重力作用增加的動量：mgt(5.2)鼓和球運(yùn)動的距離等于初始高度，由位移公式可知：d=(5.3)對碰撞點(diǎn)進(jìn)行分析，碰撞前后動量守恒，由動量守恒定律知：M(5.4)小球與鼓碰撞后的速度關(guān)系：v(5.5)碰撞后小球的動能守恒：1(5.6)小球上升時的時間由位移公式可知：1(5.7)小球碰撞后回歸碰撞面的總時間：T=2t(5.8)小球自由落體下落到碰撞面的速度，由速度公式可知：v(5.9)第二次力對鼓的沖量的改變，由沖量公式可知：n(5.10)碰撞后動量守恒，由動量守恒知：M(5.11)問題一的模型求解通過化簡公式得到h與n，F(xiàn)，θ間的關(guān)系，從而求出在該條件下的高度h（5.12）空間力的正交分解-問題二問題二的模型建立圖5-2-1-1當(dāng)n≥8時Z方向上的合力：i=1（5.13）Y方向上的合力：i=1（5.14）X方向上的合力：i=1（5.15）總合力：F（5.16）Z方向上與總合力之間的夾角余弦值：cos（5.17）求出該角度：θ（5.18）問題二的模型求解發(fā)力時機(jī)（單位：s）和用力大?。▎挝唬篘）取值序號用力參數(shù)12345678鼓面傾角（度）1發(fā)力時機(jī)000000000.205用力大小90808080808080802發(fā)力時機(jī)000000000.368用力大小90908080808080803發(fā)力時機(jī)000000000.368用力大小90808090808080804發(fā)力時機(jī)-0.100000002.172用力大小80808080808080805發(fā)力時機(jī)-0.1-0.10000005.641用力大小80808080808080806發(fā)力時機(jī)-0.100-0.100005.641用力大小80808080808080807發(fā)力時機(jī)-0.100000002.172用力大小90808080808080808發(fā)力時機(jī)0-0.100-0.10002.220用力大小90808090808080809發(fā)力時機(jī)0000-0.100-0.15.756用力大小9080809080808080表5-2-2-1本題通過Excel來進(jìn)行求解問題三的模型建立和求解F1F1F3F5F4F2F8F7F6圖5-3-1-1目的是使鼓面水平，且鼓在豎直方向的與小球碰撞后，小球碰撞后獲得的動能可以使小球到達(dá)最低高度40cm。前七組如表5-3-1-1所示組數(shù)方案第一組減小1發(fā)力大小，同時增大5發(fā)力大小。然后達(dá)到力的大小相等相等時同時減小到80N第二組減小1、2發(fā)力大小，同時增大5、6發(fā)力大小，然后達(dá)到力的大小相等相等時同時減小到80N第三組減小1、4發(fā)力大小，同時增大5、8發(fā)力大小，然后達(dá)到力的大小相等時同時減小到80N第四組增大1發(fā)力大小，同時減小5發(fā)力大小，然后達(dá)到力的大小相等時同時增大到到80N第五組增大1、2發(fā)力大小，同時減小5、6發(fā)力大小，然后達(dá)到力的大小相等時同時增大到到80N第六組增大1、4發(fā)力大小，同時減小5、6發(fā)力大小，然后達(dá)到力的大小相等時同時增大到80N第七組待1發(fā)力后，減小1發(fā)力大小，同時增大5的發(fā)力大小，然后達(dá)到力的大小相等時同時減小為80N第八組將1、4面對面拉，2、5面對面拉，1、4同時減小為80N第九組將1、4面對面拉，2、8面對面拉，1、4同時減小為80N表5-3-1-1問題四的模型建立與求解斜上拋高點(diǎn)到原點(diǎn)的水平距離為x=0.6tan(5.19)球斜上拋的水平位移為x(5.19)由斜上拋的豎直位移為h(5.20)繩與豎直方向的夾角為θ(5.21)Z方向上的合力：i=1(5.22)Y方向上的合力：i=1(5.23)X方向上的合力：i=1(5.24)與球相對的鼓的力的沖量大小F(5.25)水平動量為0即M(5.26)豎直方向上鼓對球的沖量F(5.27)碰撞后小球動能守恒1(5.28)模型的評價與推廣優(yōu)點(diǎn)：該模型簡單易懂，極好地完成了目標(biāo)函數(shù)所需要解決的問題。該模型是解決多變量最優(yōu)決策的方法,是在各種相互關(guān)聯(lián)的多變量約束條件下,解決或規(guī)劃一個對象的線性目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)的問題。缺點(diǎn)：模型復(fù)雜因素較多，不能對其進(jìn)行全面的考慮，造成與實(shí)際有一定的不相符之處。在上述模型中，為了簡化問題的求解，我們做了許多假設(shè)，有許多難以意料的不確定因素。本模型在考慮受力時，忽略了空氣阻力及氣流的影響，認(rèn)為這些影響對于排球和鼓。可以忽略不計(jì)。參考文獻(xiàn)孟憲強(qiáng).物體的非完全彈性碰撞解析[J].邢臺職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2004(03):29-30+55.路峻嶺,顧晨,秦聯(lián)華,任乃敬,馬泊一.關(guān)于碰撞問題的進(jìn)一