《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課件 孟祥波 第一章 隨機(jī)事件及其概率

概率論

與數(shù)理統(tǒng)計(jì)理學(xué)院數(shù)學(xué)系“悟道詩(shī)---嚴(yán)加安”隨機(jī)非隨意，概率破玄機(jī)；無(wú)序隱有序，統(tǒng)計(jì)解迷離．第一章隨機(jī)事件及其概率第一節(jié)隨機(jī)事件二、隨機(jī)事件四、小結(jié)一、隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間三、隨機(jī)事件的關(guān)系及其運(yùn)算

在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱(chēng)為確定性現(xiàn)象.如：“水從高處流向低處”確定性現(xiàn)象的特征：條件完全決定結(jié)果“同性電荷必然互斥”“太陽(yáng)不會(huì)從西邊升起”（1）確定性現(xiàn)象一、隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間結(jié)果可能為:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”,“6”.

實(shí)例2

“拋擲一枚骰子，觀(guān)察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”.

實(shí)例1

“用同一門(mén)炮向同一目標(biāo)發(fā)射同一種炮彈多發(fā)，觀(guān)察彈著落點(diǎn)的情況”.結(jié)果:“彈著點(diǎn)會(huì)不盡相同”.（2）隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)：

概率論是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科.

在概率論中，把在一定條件下可以重復(fù)試驗(yàn)或觀(guān)察，且能預(yù)知所有可能結(jié)果，但每次試驗(yàn)的結(jié)果不能預(yù)知，而大量重復(fù)試驗(yàn)的結(jié)果卻能呈現(xiàn)出某種規(guī)律性的現(xiàn)象稱(chēng)為隨機(jī)現(xiàn)象．條件不能完全決定結(jié)果

與隨機(jī)現(xiàn)象相應(yīng)的試驗(yàn)稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)為試驗(yàn)．對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象所做的試驗(yàn)如果滿(mǎn)足：（1）可重復(fù)性，即在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行；定義1：（2）可知性，即每次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果不止一個(gè)且都明確可知；（3）隨機(jī)性，即每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)前無(wú)法預(yù)知會(huì)出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果．我們稱(chēng)這樣的試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)，有時(shí)簡(jiǎn)稱(chēng)試驗(yàn)，通常用大寫(xiě)英文字母等表示．E1：拋擲一枚硬幣,觀(guān)察正面、反面出現(xiàn)的情況；下面給出幾個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的具體例子：

E2：拋擲一枚硬幣兩次,觀(guān)察正面出現(xiàn)的次數(shù)；

E3

：在東西南北四面同樣受敵時(shí)，同時(shí)選擇兩個(gè)方向突圍；

E4

：拋一顆骰子，觀(guān)察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；例1：

E5

：記錄某放射性物質(zhì)在一分鐘內(nèi)放射的粒子數(shù)；

E6：在一批燈泡中任意抽取一個(gè)，測(cè)試它的壽命x；

E7：考察一個(gè)汽車(chē)通過(guò)十字路口時(shí)遇紅燈的停留時(shí)間t；

E8：考察用同一把尺子測(cè)量不同物體長(zhǎng)度時(shí)取整的舍入誤差r.隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合稱(chēng)為樣本空間，記作Ω

或S．定義2：因此，例1中隨機(jī)試驗(yàn)E1的樣本空間為樣本空間的每一個(gè)元素，即隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果稱(chēng)為樣本點(diǎn)，通常用或等表示．若記H=正面、T=反面，則E1的樣本空間也可以表示為隨機(jī)試驗(yàn)E2的樣本空間為隨機(jī)試驗(yàn)E3的樣本空間為隨機(jī)試驗(yàn)E4的樣本空間為同學(xué)們可試著寫(xiě)一寫(xiě)隨機(jī)試驗(yàn)E5~E8的樣本空間．隨機(jī)試驗(yàn)E5的樣本空間為隨機(jī)試驗(yàn)E6的樣本空間為隨機(jī)試驗(yàn)E7的樣本空間為隨機(jī)試驗(yàn)E8的樣本空間為二、隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間Ω

中用來(lái)表示某些結(jié)果的樣本點(diǎn)的集合稱(chēng)為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱(chēng)事件．定義3：隨機(jī)事件是樣本空間Ω

的子集，用大寫(xiě)英文字母等表示．對(duì)于隨機(jī)現(xiàn)象，我們關(guān)心的往往不只是其所有的可能結(jié)果，而更加關(guān)心某些部分結(jié)果．如：擲骰子出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)、燈泡壽命超過(guò)5000小時(shí)．

如：在試驗(yàn)E4中,骰子“出現(xiàn)1點(diǎn)”,“出現(xiàn)2點(diǎn)”,“出現(xiàn)6點(diǎn)”,“點(diǎn)數(shù)不大于4”,“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”等都為隨機(jī)事件．

是所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合,它在每次試驗(yàn)中都必然發(fā)生,稱(chēng)為必然事件,空集

不含任何樣本點(diǎn),在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生,稱(chēng)為不可能事件．

由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集{e}稱(chēng)為基本事件．不可能事件與必然事件是特殊的隨機(jī)事件．注：

設(shè)試驗(yàn)為從裝有三個(gè)白球(記為1,2,3號(hào))與兩個(gè)黑球(記為4,5號(hào))的袋中任取兩個(gè)球．(a)如果只觀(guān)察顏色，則樣本空間為(b)如果只觀(guān)察號(hào)碼，則樣本空間為其中ωi

j是樣本點(diǎn),表示取出的是第i號(hào)球和第j號(hào)球．在E4中，基本事件有6個(gè)：如：在E5中，基本事件有無(wú)窮個(gè)：例2：（3個(gè)樣本點(diǎn)）（10個(gè)樣本點(diǎn)）三、隨機(jī)事件的關(guān)系及其運(yùn)算

1.包含關(guān)系若事件A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生,則稱(chēng)事件B

包含事件A,

記作

B包含A

BA若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A,則稱(chēng)事件A與事件B相等,記作A=B.任何一個(gè)隨機(jī)事件都是樣本空間

的一個(gè)子集，故隨機(jī)事件之間的關(guān)系與運(yùn)算可以看作集合之間的關(guān)系與運(yùn)算．

2.相等關(guān)系

3.事件的和（或并）若事件A

與事件B至少一個(gè)發(fā)生，則稱(chēng)事件A與事件B

的和(或并)

,記作推廣

稱(chēng)為可列個(gè)事件和，簡(jiǎn)記為和，簡(jiǎn)記為稱(chēng)為n個(gè)事件的,

ABA與B的并

4.事件的交（或積）若事件A與事件B

都發(fā)生，則稱(chēng)事件A與事件B

的交(或積)

,記作簡(jiǎn)記推廣

稱(chēng)為可列個(gè)事件和，簡(jiǎn)記為或的和，簡(jiǎn)記為或稱(chēng)為

n

個(gè)事件的

BAA與B的交

5.事件的差若事件A

發(fā)生且事件

B

不發(fā)生，則稱(chēng)事件A與事件B

的差

,記作

即如：在擲骰子的實(shí)驗(yàn)中，事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件

B

為“點(diǎn)數(shù)不大于4”，則A與B的差6.互不相容（或互斥）事件若事件A

與事件

B兩個(gè)不相容事件A

與B的和記作A

+

B；n個(gè)

注：不能同時(shí)發(fā)生，則稱(chēng)事件A與事件B互不相容（或互斥），記作互不相容事件的和記作（簡(jiǎn)作）；可列個(gè)互不相容事件的和記作（簡(jiǎn)記作）.A與B互斥

7.對(duì)立事件在每次隨機(jī)試驗(yàn)中，若事件A

與事件注：任意隨機(jī)事件A均存在對(duì)立事件且唯一.件B

有且僅有一個(gè)發(fā)生，即且，則稱(chēng)事件A與事件B互為對(duì)立事件（或逆事件），記作A與B對(duì)立由對(duì)立事件定義可知：事件的運(yùn)算律：（1）交換律：（2）結(jié)合律：（3）分配律：（4）德摩根（DeMorgan）律(或?qū)ε悸?：注：以上運(yùn)算律可推廣到有限多個(gè)或可列多個(gè)情形.例3：甲、乙、丙三人各投籃一次，記A“甲投中”，B“乙投中”，C“丙投中”，用上述三個(gè)事件分別表示下述各事件：（1）甲未投中：（2）甲投中而乙未投中：（3）三人中只有丙未投中：（4）三人中至少有一人投中：（5）三人中至少有一人未投中：（6）三人中恰有一人投中：（7）三人中恰有兩人投中：（8）三均未投中：（9）三人中至少兩人投中：（10）三人中至多一人投中：（11）三人中至多兩人投中：注：用簡(jiǎn)單事件表示復(fù)雜事件，表示方法往往不唯一，如：例3的（5）和（11），對(duì)于同一事件，表示方法簡(jiǎn)繁立見(jiàn).所以，在解決具體問(wèn)題時(shí)，根據(jù)需要選擇一種恰當(dāng)?shù)姆椒〞?huì)使問(wèn)題描述變得簡(jiǎn)潔有效.小結(jié)1.主要概念：樣本點(diǎn)，樣本空間，隨機(jī)事件.2.用樣本空間的子集表示隨機(jī)事件：

該子集中任意一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生時(shí)事件就發(fā)生.隨機(jī)事件={導(dǎo)致該事件發(fā)生的所有樣本點(diǎn)的集合}3.隨機(jī)事件的7種關(guān)系：（1）包含關(guān)系（2）相等關(guān)系（3）事件的和（或并）（4）事件的交（或積）（5）事件的差（6）互不相容（或互斥）事件（7）對(duì)立事件4.事件的運(yùn)算律（四個(gè)）：交換律、結(jié)合律、分配律、德摩根律（或?qū)ε悸桑┑诙?jié)隨機(jī)事件的概率二、古典概型與幾何概型四、小結(jié)一、頻率與概率三、概率的公理化定義及其運(yùn)算性質(zhì)在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，隨機(jī)事件一、頻率與概率定義1：A發(fā)生的次數(shù)稱(chēng)作頻數(shù)，比值稱(chēng)作隨機(jī)事件A的頻率，記作，即

在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果具有一定的內(nèi)在規(guī)律性，即隨機(jī)事件在這種大量重復(fù)試驗(yàn)的條件下出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是穩(wěn)定的。所以，我們可以將隨機(jī)事件的出現(xiàn)機(jī)會(huì)與一定數(shù)值相對(duì)應(yīng)。如：實(shí)踐證明：相同條件下的大量重復(fù)試驗(yàn)中，事件

A的頻率具有穩(wěn)定性．也就是說(shuō)，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，事件A的頻率在某一個(gè)確定的數(shù)字附近擺動(dòng).拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)拋的次數(shù)足夠大時(shí)，硬幣正面朝上的頻率越來(lái)越穩(wěn)定于0.5.歷史上一些著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家進(jìn)行過(guò)拋硬幣試驗(yàn)，得到的結(jié)果結(jié)果見(jiàn)下表試驗(yàn)者拋硬幣次數(shù)/次正面朝上次數(shù)/次正面朝上的頻率Buffon404020480.5069Fisher1000049790.4979Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005

n充分大時(shí)，事件A的頻率在0.5附近擺動(dòng).例1：祖沖之第一次把它計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后七位，此紀(jì)錄隨后被保持了1000多年．人們對(duì)于圓周率的計(jì)算從未停止過(guò)，此后一直有人不斷將π

算得越來(lái)越精確.

1873年，英國(guó)學(xué)者沈克士公布了一個(gè)π的數(shù)值，該數(shù)值小數(shù)點(diǎn)后面一共有707位．當(dāng)時(shí)人們都是采用手動(dòng)計(jì)算，即便對(duì)他的計(jì)算有疑問(wèn)，也無(wú)法確切知曉真實(shí)結(jié)果．圓周率π是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，我國(guó)數(shù)學(xué)家?guī)资旰螅鼜厮固氐馁M(fèi)林生對(duì)沈克士計(jì)算的結(jié)果產(chǎn)生疑問(wèn)，他統(tǒng)計(jì)了沈克士計(jì)算結(jié)果的608位小數(shù)，得到的結(jié)果如表數(shù)字0123456789出現(xiàn)次數(shù)60626768645662445867費(fèi)林生產(chǎn)生懷疑的理由是什么？圓周率π

是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此理論上每個(gè)數(shù)字的出現(xiàn)都不會(huì)具有某種偏好性，即每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)應(yīng)近似相等，或者這些數(shù)字的出現(xiàn)頻率應(yīng)都接近0.1，但是數(shù)字7出現(xiàn)的頻率過(guò)小．這就是費(fèi)林生產(chǎn)生懷疑的原因．頻率的性質(zhì)：（1）非負(fù)性：（2）規(guī)范性：（3）有限可加性：頻率穩(wěn)定性的事實(shí)說(shuō)明隨機(jī)事件發(fā)生的可能具有客觀(guān)存在性．設(shè)m個(gè)隨機(jī)事件兩兩不相容，有在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行

n次試驗(yàn)，隨機(jī)事定義2：件A發(fā)生的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大而穩(wěn)定地在某個(gè)常數(shù)

p附近擺動(dòng)，則稱(chēng)p為事件A的概率，記為注1:隨機(jī)事件A發(fā)生的概率具有頻率所具備的性質(zhì)．這是利用頻率的穩(wěn)定性對(duì)隨機(jī)事件概率的統(tǒng)計(jì)注2:定義，實(shí)際應(yīng)用中常常用頻率來(lái)估計(jì)概率，即當(dāng)n足夠大時(shí)，有

為了估計(jì)某個(gè)魚(yú)塘里的魚(yú)數(shù)，從該魚(yú)塘捕撈例2：100條魚(yú)，做完標(biāo)記后再放入魚(yú)塘．過(guò)些時(shí)日后，從魚(yú)塘里捕撈40條魚(yú)，發(fā)現(xiàn)其中兩條有標(biāo)記．試問(wèn)，魚(yú)塘里大約有多少條魚(yú)？則利用概率與頻率的關(guān)系，解：設(shè)魚(yú)塘中有x條魚(yú)，于是即魚(yú)塘里大約有2000條魚(yú)．有二、古典概型與幾何概型定義3：（1）古典概型如果隨機(jī)試驗(yàn)具有下述兩個(gè)特征：（1）隨機(jī)試驗(yàn)只有有限個(gè)可能的結(jié)果；則稱(chēng)這樣的隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑楣诺涓判停?）每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性大小相同．在古典概型中，設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間且由概率的規(guī)范性和有限可加性，知?jiǎng)t對(duì)于包含k個(gè)樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件A發(fā)生的概率為分析：輔助知識(shí)：（1）加法原理：（2）乘法原理：設(shè)完成一件事有m種方式，第i種方式有方法（每種方法均可完成這件事），則完成這件事的方法總數(shù)為設(shè)完成一件事有m個(gè)步驟，第i步有方法（必須完成每一步驟才能最終完成這件事）,則完成這件事的方法總數(shù)為（3）排列公式：當(dāng)時(shí)稱(chēng)為n個(gè)元素的全排列，即（4）組合公式：從n個(gè)元素中任取個(gè)排成一排，則不同的排列總數(shù)為從n個(gè)元素中任取個(gè)組成一組，則不同的組合總數(shù)為例3：擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，求兩次點(diǎn)數(shù)之和為7的概率．解：令骰子先后兩次出現(xiàn)的結(jié)果為樣本空間記“兩次點(diǎn)數(shù)之和為7”為事件A事件則兩次點(diǎn)數(shù)之和為7的概率本題若按照兩次點(diǎn)數(shù)之和作為樣本空間，即注：而“和為7”只是樣本空間中的一個(gè)樣本點(diǎn)，若按照古典概型的概率計(jì)算公式會(huì)得出的結(jié)果.這樣做不對(duì).這樣做對(duì)嗎？錯(cuò)誤的根源在于將“點(diǎn)數(shù)之和”出現(xiàn)的每個(gè)結(jié)果視為等可能的了．（隨機(jī)抽樣問(wèn)題）設(shè)有一批產(chǎn)品共N件，其中例4：有M件次品．從中抽取n件產(chǎn)品，求恰好抽到k件次品的概率．考慮如下兩種情形：解：（1）放回抽樣，即每次抽取一件，檢驗(yàn)后放回，再抽取下一件；（2）不放回抽樣，即每次抽取一件，檢驗(yàn)后不再放回，繼續(xù)抽取下一件．

記“恰好抽到k件次品”為事件D則（2）因?yàn)槭遣环呕爻闃?，故從N件產(chǎn)品中抽取n件（1）因?yàn)槭欠呕爻闃?，故從N件產(chǎn)品中抽取n件產(chǎn)品總的方法數(shù)是產(chǎn)品總的方法數(shù)是則注：本題不放回抽樣情形，根據(jù)排列組合關(guān)系，有由此可知，可將不放回抽樣理解為一次性抽取n件產(chǎn)品（而不是一次只抽取一個(gè)）．實(shí)際計(jì)算中，常將不放回抽樣等價(jià)地視作后一種情形加以處理，這樣可避免考慮次序的復(fù)雜問(wèn)題．（抽簽公平問(wèn)題）有設(shè)a張好簽和b張壞簽放例5：到一起供人們抽取，試說(shuō)明抽簽的公平性．解：記“第k個(gè)人抽到好簽”為第k個(gè)人抽到的好簽只能來(lái)自a張好簽之一，故有a種方法，意一張簽（有a+b-1張），說(shuō)明結(jié)果與抽簽次序無(wú)關(guān)，故抽簽是公平的．其余的k-1個(gè)人可以抽取其他的任則（生日問(wèn)題）求個(gè)人至少有兩人例6：生日相同的概率，所謂生日相同是指同月同日（不要求年份相同）．不妨設(shè)一年的天數(shù)為解：記“至少有兩人生日相同”為C．則將n個(gè)小球放入N個(gè)盒子中總的方法數(shù)是

若將每一天視作盒子，每個(gè)人的生日看作小球，而每個(gè)盒子里最多放一個(gè)小球的方法數(shù)是因此下面列舉幾個(gè)至少兩個(gè)人生日相同的概率3040506070800.70630.89120.97040.99410.99920.9999古典概型的計(jì)算公式在實(shí)際生活中用處很廣泛，比如抽檢產(chǎn)品的合格率（或者次品率）、彩票的中獎(jiǎng)概率等等.（2）幾何概型古典概型包括兩要素：所有結(jié)果的有限性以及每個(gè)結(jié)果的等可能性．在等可能的情形下，我們也會(huì)遇到所有的結(jié)果并不是有限的情形，比如樣本空間是一條線(xiàn)段、平面區(qū)域或空間立體等．定義4：設(shè)樣本空間Ω是一個(gè)區(qū)域（一條線(xiàn)段、平面區(qū)域或有限空間立體），它的度量記為（度量的含義是線(xiàn)段的長(zhǎng)度、平面區(qū)域的面積或空間立體的體積），樣本點(diǎn)落入樣本空間的部分區(qū)域A的可能性只與成比例，而與區(qū)域A的位置和形狀無(wú)關(guān)，若將樣本點(diǎn)落入?yún)^(qū)域A的事件仍記為A，則事件A的概率此時(shí)的概率稱(chēng)為幾何概率．例7：（會(huì)面問(wèn)題）兩位同學(xué)約好8點(diǎn)到9點(diǎn)之間在某公園門(mén)口見(jiàn)面，先到者最多等候另一個(gè)人20分鐘，過(guò)時(shí)就離開(kāi)．若兩個(gè)人均可在8點(diǎn)到9點(diǎn)之間任意時(shí)刻到達(dá)某公園門(mén)口，試計(jì)算兩人能見(jiàn)面的概率．記8點(diǎn)為0時(shí)刻，解：記“兩人能見(jiàn)面”為A，時(shí)刻（單位：分鐘），于是x,y

表示兩人到達(dá)某公園門(mén)口的則樣本空間為則三、概率的公理化定義及其運(yùn)算性質(zhì)前文定義的概率作為隨機(jī)事件發(fā)生可能性的度量，在等可能概型（包括古典概型和幾何概型）中應(yīng)用比較成功．但是，在有些情況下，“等可能性”就不太明確了，以至于會(huì)出現(xiàn)某些看似“矛盾”的結(jié)果．1899年，法國(guó)學(xué)者貝特朗提出一個(gè)問(wèn)題：在一個(gè)圓內(nèi)任意選擇一條弦，這條弦的弦長(zhǎng)長(zhǎng)于這個(gè)圓的內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率是多少．人們基于對(duì)“任意選擇”的不同理解，得到了不止一個(gè)結(jié)果，這在根本上動(dòng)搖了人們?cè)缦葘?duì)于幾何概率的認(rèn)識(shí)，該問(wèn)題后來(lái)被稱(chēng)為貝特朗奇論（Bertrand'sParadox）．為什么同一個(gè)隨機(jī)事件會(huì)有不同的概率呢？直到1933年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸蛲ㄟ^(guò)公理化形式給出概率應(yīng)該滿(mǎn)足的幾條本質(zhì)特性（而不是直接定義隨機(jī)事件的概率），完美解釋了貝特朗奇論不同結(jié)果的合理性，并在此基礎(chǔ)上展開(kāi)了概率理論和應(yīng)用的研究．

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間Ω，若存在對(duì)應(yīng)定義5：法則，對(duì)于任意隨機(jī)事件，是一個(gè)實(shí)數(shù)且滿(mǎn)足：（1）非負(fù)性：

（2）規(guī)范性:（3）可列可加性：則稱(chēng)為隨機(jī)事件A的概率．有對(duì)于兩兩不相容事件概率的性質(zhì)：（1）不可能事件的概率為0，即分析：利用可列可加性，知于是從而有（2）有限可加性，即由規(guī)范性及性質(zhì)（2）易知，（3）對(duì)于事件A,B

，有若則進(jìn)而有從而，對(duì)任意事件A，有（4）對(duì)于任意兩個(gè)事件A,B，有對(duì)于任意三個(gè)事件A、B、C，有在1~2000的整數(shù)中隨即取一數(shù)，求該數(shù)至少能例8：被5整除或6整除或8整除的概率是多少？解：記事件A,B,C分別表示該數(shù)能被5、6、8整除，則該數(shù)至少能被5、6、8整除的概率為回顧:貝特朗奇論之所以會(huì)有不同的概率結(jié)果出現(xiàn)，是因?yàn)閷?duì)于“任意選擇”的不同理解導(dǎo)致求解概率時(shí)有不同的對(duì)應(yīng)法則，從而出現(xiàn)了不同的“概率值”．那么，古典概型或幾何概型為什么只有一個(gè)概率結(jié)果呢？我們可以從古典概型或幾何概型概率的定義得知，滿(mǎn)足公理化定義的概率測(cè)度（對(duì)應(yīng)法則）是唯一的，從而對(duì)某一隨機(jī)事件其概率值唯一．小結(jié)1.主要概念：古典概型，幾何概型，概率2.概率的性質(zhì)第三節(jié)條件概率二、概率乘法公式四、小結(jié)一、條件概率的概念及性質(zhì)三、全概率公式與貝葉斯公式一、條件概率的概念及性質(zhì)定義1：世間萬(wàn)物是相互聯(lián)系和作用著的，隨機(jī)事件也不例外．我們經(jīng)常會(huì)基于某個(gè)事件發(fā)生與否再去考慮另外一個(gè)事件，這就涉及到條件概率．設(shè)，若在隨機(jī)事件A發(fā)生的條件下隨機(jī)事件B發(fā)生的概率記作是事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率．定義則稱(chēng)事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率注1:與成反比（或與成正比），而與成正比，即與成正比，（即）可知比例系數(shù)是1．當(dāng)然，既然是事件A發(fā)生的條件下才去考慮事件B，所以要求事件A必須能發(fā)生，即再通過(guò)概率的規(guī)范性由定義知，條件概率也是概率，從而概率擁有注2:的性質(zhì)條件概率也滿(mǎn)足.如：

袋中有大小和質(zhì)地均相同的球共5個(gè)，其中黑例1：球有3個(gè)，白球有2個(gè)．從中不放回地取兩個(gè)球，求已知在第一次取得黑球的條件下第二次也取得黑球的概率．解：記表示第i次取得黑球，方法一（定義法）：在第一次取得黑球的條件下第二次也取得黑球的概率是在第一次取得黑球的條件方法二（樣本空間轉(zhuǎn)換）：下第二次也取得黑球的概率

因?yàn)樵诘谝淮稳〉煤谇虻臈l件下，第二次再取球時(shí)，此時(shí)袋中只剩4個(gè)球且黑球還有2個(gè)（此即樣本空間轉(zhuǎn)換），故結(jié)果顯然．很顯然，方法二比方法一計(jì)算便捷，但并不是說(shuō)方法一就沒(méi)用，如將問(wèn)題改成求已知在第二次取得黑球的條件下第一次也取得黑球的概率，此時(shí)方法二就失效了（因作為條件的事件比待考慮的事件晚發(fā)生，無(wú)法使用樣本空間的轉(zhuǎn)換），但方法一即定義法依然有效：其中利用抽簽公平性的結(jié)論直接有

當(dāng)計(jì)算條件概率時(shí)，一般若作為條件的事件先發(fā)生，則可以采用樣本空間轉(zhuǎn)換的方法進(jìn)行求解；否則，可以采用利用定義及古典概型公式進(jìn)行求解．方法總結(jié)二、概率乘法公式定理1：設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件且(1)(2)(1)和(2)都稱(chēng)為概率乘法公式．推廣：設(shè)為n個(gè)隨機(jī)事件且則或者，若則則袋中有大小和質(zhì)地均相同的球共5個(gè)，其中黑球例2：有3個(gè)，白球有2個(gè)．從中不放回地取兩個(gè)球，求兩次均抽到黑球的概率．解：記“兩次均抽到黑球”為A，方法一（古典概型）：方法二（概率乘法公式）：球，i=1,2,記

表示第i次取得黑則一個(gè)壇子中最開(kāi)始放著a個(gè)紅球和b個(gè)白球(大例3：小和質(zhì)地均一樣），任意從中取出一個(gè)，記下其顏色放回，并且再放入c個(gè)與它同色的球；接著再?gòu)膲腥〕鲆粋€(gè)球，如此以往，這個(gè)模型被稱(chēng)作波利亞壇子模型（Polya'surnscheme）．求從壇子中先后取出的球的顏色是“紅白紅紅”的概率．記表示第i次取得紅球，．則所求概率是解：當(dāng)時(shí)，分別對(duì)應(yīng)于不放回抽樣和放回抽樣．一般地，對(duì)波利亞壇子模型的前n次抽取記錄結(jié)果記為事件，若其中紅色球在結(jié)果序列中出現(xiàn)k次，相應(yīng)地白色球在結(jié)果序列中出現(xiàn)n-k次，則其中符號(hào)表示連乘．三、全概率公式與貝葉斯公式基于條件概率的乘法公式可以引申出來(lái)兩個(gè)非常重要的概率公式——全概率公式與貝葉斯公式．定義2：設(shè)Ω為隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，為E的一組隨機(jī)事件，若（1）（2）則稱(chēng)為樣本空間Ω的一個(gè)劃分（或完備事件組）．也可以作為劃分的定義．注3:設(shè)為樣本空間Ω的一個(gè)劃分且定理2：則對(duì)于任意隨機(jī)事件A有上式稱(chēng)作全概率公式．證明：因?yàn)樗宰?:全概率公式突出了一個(gè)“全”，即任何隨機(jī)事件A發(fā)生的概率是其全部影響因素的綜合作用效果，也即是其各個(gè)影響因素的加權(quán)平均，各自的權(quán)重即是每個(gè)因素出現(xiàn)的概率有三個(gè)盒子，每個(gè)盒子中均放有紅、黑兩種顏例4：色的小球，其中1號(hào)盒子中裝有2個(gè)紅球1個(gè)黑球，2號(hào)盒子裝有3個(gè)紅球和1個(gè)黑球，3號(hào)盒子裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球．隨機(jī)選定一個(gè)盒子并從中任取一球，求取得紅球的概率．解：記表示球取自第i個(gè)盒子，i=1,2,3；得紅球．A表示取易知，構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分，則由全概率公式有依題意，有代入上式，有全概率公式是全面衡量一件事情發(fā)生的可能性，而不是基于某個(gè)實(shí)現(xiàn)條件的概率，因此該公式是以當(dāng)前具備的知識(shí)去綜合預(yù)測(cè)或判斷將來(lái)某件事情發(fā)生的可能性．當(dāng)然，有時(shí)我們又不得不根據(jù)當(dāng)前已有結(jié)果去做過(guò)去認(rèn)識(shí)的某些修正，這就涉及到貝葉斯公式．設(shè)為樣本空間Ω的一個(gè)劃分且定理3：則對(duì)于任意隨機(jī)事件A且有上式稱(chēng)作貝葉斯（Bayes）公式．證明：利用概率的乘法公式及全概率公式即得結(jié)論．貝葉斯公式是利用已有結(jié)論重新評(píng)估或修正各注5:個(gè)條件出現(xiàn)的概率，公式中的和分別稱(chēng)作原因或條件的先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率．是在沒(méi)有進(jìn)一步信息（不知道事件A是否發(fā)生）的前提下認(rèn)定的各條件發(fā)生的概率；在獲得了新的信息（事件A已經(jīng)發(fā)生）后，對(duì)先前各條件發(fā)生概率的修正，即形成概率．有三個(gè)盒子，每個(gè)盒子中均放有紅、黑兩種顏例5：色的小球，其中1號(hào)盒子中裝有2個(gè)紅球1個(gè)黑球，2號(hào)盒子裝有3個(gè)紅球和1個(gè)黑球，3號(hào)盒子裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球．隨機(jī)選定一個(gè)盒子并從中任取一球發(fā)現(xiàn)是紅球，求該紅球來(lái)自2號(hào)盒子的概率．則由貝葉斯公式有解：記表示球取自第i個(gè)盒子，i=1,2,3；得紅球．A表示取易知，構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分，依題意，有代入上式，有同理可以求得這些后驗(yàn)概率是在發(fā)現(xiàn)隨機(jī)選定一個(gè)盒子任取一球而得到紅球這個(gè)信息的基礎(chǔ)上，重新對(duì)原有認(rèn)識(shí)進(jìn)行的修正.臨床記錄表明，利用某種試驗(yàn)檢查癌癥具有如例6：下效果：對(duì)癌癥患者進(jìn)行試驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性反應(yīng)者占95%，對(duì)非癌癥患者進(jìn)行試驗(yàn)結(jié)果呈陰性反應(yīng)者占96%，現(xiàn)利用該試驗(yàn)方法對(duì)某市居民進(jìn)行癌癥普查，若該市癌癥患者數(shù)約占居民總數(shù)的0.4%，求（1）試驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性反應(yīng)的被檢查者確實(shí)患有癌癥的概率；（2）試驗(yàn)結(jié)果呈陰性反應(yīng)的被檢查者確實(shí)未患癌癥的概率．解：

記A為“被檢查者實(shí)際上確實(shí)患有癌癥”，

B為“被檢查者試驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性反應(yīng)”．則按題意，知（1）依照貝葉斯公式有而于是這表明試驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性反應(yīng)的被檢查者實(shí)際上確實(shí)患有癌癥的可能性并不大，還需要進(jìn)一步檢查才能綜合評(píng)判最終是否確診．于是

這表明試驗(yàn)結(jié)果呈陰性反應(yīng)的被檢查者未患癌癥的可能性極大．（2）依照貝葉斯公式有而小結(jié)1.主要概念：條件概率，完備事件組2.定理：概率乘法公式，全概率公式，貝葉斯公式第四節(jié)隨機(jī)事件的獨(dú)立性二、伯努利概型一、隨機(jī)事件獨(dú)立性的定義及其性質(zhì)三、小結(jié)事件之間是相互影響的，因此一般來(lái)講乘法公式知，一般即事件A的發(fā)生會(huì)影響到事件B的發(fā)生．由條件概率的一、隨機(jī)事件獨(dú)立性的定義及其性質(zhì)定義1：若兩個(gè)隨機(jī)事件A,B滿(mǎn)足則稱(chēng)事件A、B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱(chēng)獨(dú)立．注1:兩個(gè)事件獨(dú)立本質(zhì)上是兩個(gè)事件發(fā)生與否互不影響，這都表明而當(dāng)時(shí)，有或當(dāng)時(shí)即同理當(dāng)時(shí)，也成立.這樣，利用定義事件的獨(dú)立性，就不必再要求或了.亦即當(dāng)時(shí)從而成立；

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張牌，記A例1：為“抽到Q”，B為“抽到的牌是紅色”，判斷事件A,B是否獨(dú)立？解：故所以事件A,B獨(dú)立．另解:由題意因故事件A,B獨(dú)立．從事件獨(dú)立性的定義，不難得到如下性質(zhì)．（1）必然事件Ω、不可能事件Φ與任意事件A獨(dú)立．（2）若A,B獨(dú)立，則由知當(dāng)A,B獨(dú)立時(shí)，A與獨(dú)立．同理可證其他情形．均獨(dú)立．（3）已知，則“A,B獨(dú)立”與“A,B不相容”不會(huì)同時(shí)成立．另外，A,B獨(dú)立意味著各自發(fā)生與否互不影響

，而A,B不相容恰好表明A,B之間的排斥特性（自然不獨(dú)立）．獨(dú)立相容不相容不獨(dú)立對(duì)于三個(gè)或三個(gè)以上事件的獨(dú)立性，則應(yīng)考慮到其任何局部之間都滿(mǎn)足互不影響的特性．定義2：設(shè)有n個(gè)隨機(jī)事件，若其中任意k個(gè)事件滿(mǎn)足則稱(chēng)n個(gè)事件是相互獨(dú)立的．(*)注2:式(*)包含的等式數(shù)上述定義中，若其中任意兩個(gè)事件均滿(mǎn)足式(*)，注3:當(dāng)n較大時(shí)，判斷相互獨(dú)立的等式數(shù)非常多，因此實(shí)踐中往往根據(jù)實(shí)際情況判斷事件之間的獨(dú)立性．則稱(chēng)n個(gè)事件是兩兩獨(dú)立的．顯然，相互獨(dú)立必兩兩獨(dú)立，兩兩獨(dú)立不一定相互獨(dú)立，也即兩兩獨(dú)立是相互獨(dú)立的必要而非充分條件．在一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體的表面涂上顏色，其例2：中三個(gè)面的每個(gè)面均涂一種顏色，分別是紅色、綠色和藍(lán)色，第四個(gè)面將三種顏色均涂上．隨機(jī)地拋一次這個(gè)正四面體，將有一個(gè)面著地，試討論各著地面顏色的獨(dú)立性．出現(xiàn)上述例題結(jié)論的原因是，只要兩種顏色同時(shí)著地也就意味著三種顏色同時(shí)著地，即那個(gè)涂有三種顏色的面著地，從而表明兩種顏色同時(shí)著地同另外一種顏色著地有聯(lián)系（不獨(dú)立）．由題意易知故R,G,B兩兩獨(dú)立而非相互獨(dú)立．記R,G,B分別表示紅色、綠色和藍(lán)色著地，解：若事件相互獨(dú)立，則（1）則其中任意個(gè)事件也相互獨(dú)立．（2）則將其中任意個(gè)事件換成它們的對(duì)立事件，所得的n個(gè)事件仍相互獨(dú)立．n個(gè)事件獨(dú)立的性質(zhì)：（3）則甲乙丙三人獨(dú)立地破譯密碼，已知各自能破譯例3：出密碼的概率分別是和．問(wèn)密碼能被破譯出來(lái)的概率是多少？記A,B,C分別表示甲、乙、丙破譯出密碼，解：則依題意二、伯努利概型定義3：互不影響