中國數(shù)學(xué)之二

從劉徽到祖沖之中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)之二從公元220年（曹丕稱帝，東漢分裂）到581年隋朝建立，史稱魏晉南北朝。這是中國歷史上的動(dòng)蕩時(shí)期，但同時(shí)也是思想相對(duì)活躍的時(shí)期。在長(zhǎng)期獨(dú)尊儒學(xué)之后，學(xué)術(shù)界思辯之風(fēng)再起。在數(shù)學(xué)上也興起了論證的趨勢(shì)，許多研究以注釋《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》的形式出現(xiàn)，實(shí)質(zhì)是要尋求兩部著作中一些重要結(jié)論的數(shù)學(xué)證明。這方面的先鋒，是三國的趙爽，而最杰出的代表是劉徽和祖沖之父子。他們的工作，使魏晉南北朝成為中國數(shù)學(xué)史上一個(gè)獨(dú)特而豐產(chǎn)的時(shí)期。一、劉徽的數(shù)學(xué)成就

如果離開了劉徽的《九章算術(shù)注》去研究《九章算術(shù)》，則很難深入理解《九章算術(shù)》的精髓。劉徽的《九章算術(shù)注》對(duì)于闡發(fā)《九章算術(shù)》的思想方法，發(fā)展《九章算術(shù)》的理論，完善《九章算術(shù)》的體系，作出了杰出的貢獻(xiàn)。劉徽，魏晉時(shí)期人，祖籍淄鄉(xiāng)（今山東臨淄或淄川一帶），生卒年月不詳。經(jīng)過多年的刻苦鉆研，劉徽不僅逐步領(lǐng)會(huì)了《九章算術(shù)》的精神實(shí)質(zhì)，而且對(duì)其中的深?yuàn)W玄妙之處有了較透徹的理解，于是他決心把自己的研究所得以對(duì)《九章算術(shù)》作注的形式一一記載下來。關(guān)于劉徽的生平，我們幾乎什么都不了解?！端鍟贰奥蓺v志”中提到“魏陳留王景元四年劉徽注九章”，由此知道劉徽是公元3世紀(jì)魏晉時(shí)人，并于公元263年撰《九章算術(shù)注》?！毒耪滤阈g(shù)注》包含了劉徽本人的許多創(chuàng)造，完全可以看成是獨(dú)立的著作，奠定了這位數(shù)學(xué)家在中國數(shù)學(xué)史上的不朽地位。“析理以辭，解體用圖?！睘榱耸棺约旱臄⑹鐾ㄋ谆麨樽约阂?guī)定的目標(biāo)是用言辭來分析與表達(dá)道理，用圖形來建立幾何直觀幫助解決問題。具體來說，就是要對(duì)《九章算術(shù)》中未加論證的公式（方法）和原理從理論上加以證明和闡釋，特別是對(duì)其中的經(jīng)驗(yàn)公式或錯(cuò)誤公式分別從理論上指出它的近似程度或錯(cuò)誤原因，并提出一些理論推斷。對(duì)于幾何概念和命題，則借助于圖形和應(yīng)用代數(shù)與幾何相結(jié)合的方法，進(jìn)行一般論證或演繹推理。在算術(shù)方面，劉徽闡發(fā)了《九章算術(shù)》中的分?jǐn)?shù)理論。他的分?jǐn)?shù)的意義、表示方法、運(yùn)算法則等代表了當(dāng)時(shí)世界上的最高水平，并已接近于近代的成熟程度。他把分?jǐn)?shù)看作比，由此發(fā)展出“率”的概念，又在“率”的基礎(chǔ)上提出了算術(shù)中的比例理論、“盈不足”方法等，成為中國傳統(tǒng)算法理論發(fā)展的重要基礎(chǔ)，并傳入印度、阿拉伯和歐洲，對(duì)這些地區(qū)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了較大的影響。在代數(shù)方面，《九章算術(shù)》中的線性方程組解法以及正負(fù)數(shù)加減運(yùn)算是當(dāng)時(shí)世界上無與倫比的兩項(xiàng)重大成就。前者比歐洲早1500年，后者也早了1200多年，而給這兩項(xiàng)算法以完整理論說明的正是劉徽，他第一個(gè)給出了方程的定義并揭示了方程組的同解原理。劉徽把正與負(fù)看成是相對(duì)存在的數(shù)的兩種情況，從這一認(rèn)識(shí)出發(fā)，劉徽在世界數(shù)學(xué)史上第一個(gè)采取了把數(shù)的正負(fù)與加減運(yùn)算關(guān)系統(tǒng)一起來的做法。他還運(yùn)用平面與立體圖形對(duì)中國古代的開平方與開立方法做出了直觀解釋，這種方法對(duì)于幫助讀者正確理解與掌握開方程序是非常有益的。此外，他由取平方根的近似值而提出的小數(shù)概念和表示方法，不僅明顯具有近代特征，而且比歐洲最早的小數(shù)——斯蒂文的小數(shù)記法要早出1300多年。在幾何方面，劉徽的貢獻(xiàn)尤為突出，他是具有中國特色的傳統(tǒng)幾何理論的奠基者。他以別具一格的證明方法對(duì)中國古代提出的幾何命題予以科學(xué)的證明，這些方法包括“圖形割補(bǔ)法”、“代數(shù)法”、“極限法”以及“無窮小分割法”等等，其中最常用的是圖形割補(bǔ)法，這與他提出的“解體以圖”的目標(biāo)是一致的。特別是他為證明立體的體積公式所采用的立體圖形割補(bǔ)法尤為出色。⑴割圓術(shù)劉徽“割圓術(shù)”的基本思想是“化圓為方”，并借助于極限的方法?！案钪畯浖?xì)，所失彌少。割之又割，以至不可割，則與圓合體而無所失矣”。劉徽從圓的內(nèi)接正六邊形出發(fā)，并取半徑為1尺，一直推算到圓的內(nèi)接正192邊形。得到圓周率的近似值為π≈3.14，化為分?jǐn)?shù)就是157/50，這就是著名的“徽率”。劉徽是中算史上第一個(gè)建立可靠的理論來推算圓周率的數(shù)學(xué)家！像阿基米德一樣，劉徽傾力于面積和體積公式的推證，并取得了超越時(shí)代的漂亮結(jié)果。劉徽的面積、體積理論建立在一條簡(jiǎn)單而又基本的原理之上，這就是他所謂的“出入相補(bǔ)”原理：一個(gè)幾何圖形（平面的或立體的）被分割成若干部分后，面積或體積的總和不變。在平面的情形，劉徽利用這條原理成功地證明了《九章算術(shù)》中許多面積公式。⑵體積理論但當(dāng)他轉(zhuǎn)向立體情形時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)“出入相補(bǔ)”的運(yùn)用即使對(duì)于像“陽馬”(底面為長(zhǎng)方形、且有一棱垂直于底的四棱錐)這樣看似簡(jiǎn)單的立體也遇到了很大的困難。這里實(shí)質(zhì)性的障礙在于：與平面情形不同，并不是任意兩個(gè)體積相等的立體圖形都可以剖分或拼補(bǔ)（也就是中國古代數(shù)學(xué)家所說的“出入相補(bǔ)”）相等。但這是到20世紀(jì)才弄清楚的（見希爾伯特問題）。古代數(shù)學(xué)家并未明確認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，不過為了在體積問題上有所作為，一些一流的數(shù)學(xué)家都不約而同地借助于無限小方法來繞越上述的障礙，我們已經(jīng)看到了古希臘阿基米德等人的例子。在這方面，劉徽同樣表現(xiàn)出了驚人的智慧。他在推算《九章算術(shù)》中的一些立體體積公式時(shí)，靈活地使用了兩種無限小方法：極限方法與不可分量方法。“陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也。”先將長(zhǎng)方體分為兩個(gè)壍堵(qiandu)——底面為直角三角形的直三棱柱.“陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也?！痹賹⒁粋€(gè)壍堵斜分為一個(gè)陽馬(底面為長(zhǎng)方形且有一棱垂直于底的四棱錐)和一個(gè)鱉臑(底面為直角三角形且有一棱垂直于底的三棱錐).劉徽欲證此處的陽馬與鱉臑的體積之比為2:1，于是陽馬的體積公式即為abc/3，即長(zhǎng)方體體積的三分之一。比率2:1對(duì)于任意長(zhǎng)方體都成立，故稱之為“不易之率”。正是為了證明這個(gè)“不易之率”,在感到出入相補(bǔ)無能為力的情況下，劉徽使用了極限的方法，他的方法記載在《九章算術(shù)》陽馬術(shù)注中。原來的壍堵，即長(zhǎng)方體的一半，可視為4個(gè)小長(zhǎng)方體。為了證明“陽馬體積與鱉臑體積之比為2:1”這個(gè)結(jié)論，劉徽在這里熟練地運(yùn)用了出入相補(bǔ)原理和無窮分求和原理。⑶球體積計(jì)算劉徽首先證明了《九章算術(shù)》中的球體積公式是不正確的，并在《九章算術(shù)》“開立圓術(shù)”注文中指出了一條推算球體積公式的正確途徑。劉徽創(chuàng)造了一個(gè)新的立體圖形，他稱之為“牟合方蓋”，并指出：一旦算出牟合方蓋的體積，球體積公式也就唾手可得?！澳埠戏缴w”V牟：V球=4：π在一立方體內(nèi)作兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱。這兩個(gè)圓柱體相交的部分，就是劉徽所說的“牟合方蓋”。牟合方蓋恰好把立方體的內(nèi)切球包含在內(nèi)并且同它相切。如果用同一個(gè)水平面去截它們，就得到一個(gè)圓（球的截面），和它的外切正方形（牟合方蓋的截面）。劉徽指出，在每一高度上的水平截面圓與其外切正方形的面積之比都等于

π:4

，因此球體積與牟合方蓋體積之比也應(yīng)該等于π:4

?！澳埠戏缴w”劉徽在這里實(shí)際已用到了西方微積分史著作中所說的“卡瓦列利原理”，可惜沒有將它總結(jié)為一般形式。牟合方蓋的體積怎么求呢？劉徽最終未能解決。最后他說：“敢不闕疑，以俟能言者!”（闕疑，把問題留下來，不作臆斷；俟音“四”，等待）。(祖氏父子)《海島算經(jīng)》，“測(cè)高望遠(yuǎn)之術(shù)”，重差術(shù)。⑷勾股測(cè)量劉徽《九章算術(shù)注》還有其他許多數(shù)學(xué)成果，特別是他在《九章算術(shù)》“勾股”章之后所加的一整篇文字，作為《九章算術(shù)注》第十卷，后來單獨(dú)刊行，稱為《海島算經(jīng)》?！逗u算經(jīng)》發(fā)展了古代天文學(xué)中的“重差術(shù)”，成為勾股測(cè)量學(xué)的典籍。二、祖氏父子的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)

祖沖之（429—500），字文遠(yuǎn)，祖籍范陽遒縣（今河北淶水縣）。他生活在南北朝，家學(xué)淵博，加上他自幼刻苦勤奮，對(duì)天文、數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，而成為一位博學(xué)多才的天文學(xué)家與數(shù)學(xué)家、機(jī)械制造專家、文學(xué)家。宋孝武帝時(shí)把他安排在政府的學(xué)術(shù)機(jī)構(gòu)——華林學(xué)省，從事學(xué)術(shù)研究工作。后來被調(diào)到南徐州做從事史，不久又被調(diào)回建康任公府參軍。還出任過婁縣令，到齊滅劉宋以后他又到齊政府中擔(dān)任謁者仆射，晚年提升為南朝首都建康的長(zhǎng)水校尉。祖沖之的一生雖然擔(dān)任過各種大小官職，行政事務(wù)十分繁忙。可是他熱愛科學(xué)，幾十年中仍利用一切空余時(shí)間孜孜不倦地從事天文歷法和數(shù)學(xué)的研究。雖然祖沖之一生做的都是地位不高的小官，但他卻成為歷代為數(shù)很少能名列正史的數(shù)學(xué)家之一?！赌淆R史》“祖沖之傳”說他“探異今古”，“革新變舊”，并記載了他與守舊派官員戴法興關(guān)于歷法問題的一場(chǎng)辯論。祖沖之在公元462年創(chuàng)制了一部歷法《大明歷》，大明歷在當(dāng)時(shí)是最先進(jìn)的歷法，卻遭到戴法興等人的竭力反對(duì)。戴法興是當(dāng)朝權(quán)臣，《宋書》中說凡官員任免、生殺賞罰，皇帝都要同他商量，而祖沖之不過居從事史的微職，卻敢于在皇帝面前與戴法興辯論，并直指戴“浮辭虛貶”，“堅(jiān)執(zhí)偏論”。祖沖之還將他反駁戴法興的議論寫成一篇《駁議》，這篇文章后來被收入《宋書》，其中提供了有關(guān)祖沖之?dāng)?shù)學(xué)貢獻(xiàn)的重要線索。祖沖之在文章一開始說他早年“專攻數(shù)術(shù)”，“發(fā)現(xiàn)立圓舊誤，張衡述而弗改；漢時(shí)斛銘，劉歆(xin)詭繆其數(shù)”。這里“立圓舊誤”是指《九章算術(shù)》中錯(cuò)誤的球體積公式；“漢時(shí)斛銘”則是指王莽時(shí)代所造銅斛上的數(shù)據(jù)，系東漢學(xué)者劉歆所寫，根據(jù)這些數(shù)據(jù)可推出劉歆用的圓周率數(shù)值為3.1547。祖沖之批評(píng)這兩項(xiàng)數(shù)學(xué)結(jié)果是“算氏之巨疵”，并說他本人“昔以暇日，撰正眾謬，理據(jù)炳然”。由此可見，球體積的推導(dǎo)和圓周率的計(jì)算是祖沖之本人引以為榮的兩大數(shù)學(xué)成就，只可惜關(guān)于這兩項(xiàng)工作的原著已不能看到。祖沖之的代表性數(shù)學(xué)著作是《綴術(shù)》（綴—連接，組合之意）。《南齊書﹒祖沖之傳》說祖沖之“注九章，造綴術(shù)數(shù)十篇”，但《綴術(shù)》也未能留傳下來。我們現(xiàn)在對(duì)祖沖之這兩項(xiàng)成就的了解，得于其他一些零散的史料。他編制的《大明歷》，首次考慮到歲差的計(jì)算，其日、月運(yùn)行周期的數(shù)據(jù)也比當(dāng)時(shí)頒行的歷法精確。此外，他還改造了指南車，制造了水碓(duì

)磨、千里船等。他的兒子祖暅，字景爍，也精通歷法、數(shù)學(xué)。父子倆都對(duì)《九章算術(shù)》與劉徽注有濃厚的興趣，他們的著作《綴術(shù)》在唐代被李淳風(fēng)收入“算經(jīng)十書”作為數(shù)學(xué)教科書。祖沖之繼承了劉徽的思想，其最突出的成就是對(duì)圓周率值的推算。《隋書·律歷志》記載著他對(duì)圓周率的研究成果π≈3.1415926。由于中國古代習(xí)慣使用分?jǐn)?shù)，故祖沖之又給出了圓周率的兩個(gè)分?jǐn)?shù)值：密率(祖率)為355/113；約率為22/7。其中密率在歐洲由德國數(shù)學(xué)家奧托于1573年得到，這比祖沖之要晚1100年之久。祖氏父子與圓周率至于祖沖之是如何得到圓周率的，由于他的著作已經(jīng)失傳，已無從了解了。但大多數(shù)人認(rèn)為，他可能使用的就是劉徽的割圓術(shù)。劉徽：192邊形祖沖之：24576邊形阿基米德：96邊形祖氏父子在研究《九章算術(shù)》及劉徽注時(shí)發(fā)現(xiàn)了劉徽遺留下的如何計(jì)算“牟合方蓋”的體積問題，并開始沿著劉徽開辟的道路繼續(xù)探索，經(jīng)父子兩代人不懈的努力，終于由祖暅解決了牟合方蓋體積的計(jì)算，得到牟合方蓋與其外切正方體的體積比為2/3。祖氏父子與球體積公式祖氏父子所用的方法論證嚴(yán)謹(jǐn)，推導(dǎo)完善，無懈可擊；同時(shí)，祖暅還將起推導(dǎo)過程中所用、事實(shí)上也是劉徽已經(jīng)使用過的不可分量原理，總結(jié)提煉成一般的命題：“緣冪勢(shì)既同，則積不容異”。它被稱為“祖暅原理”，這實(shí)際上也就是西方數(shù)學(xué)界所謂的“卡瓦列利原理”。這一原理在西方直到17世紀(jì)才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利發(fā)現(xiàn)，比祖暅晚了1100多年。牟合方蓋的八分之一命題：倒方錐Ⅴ的體積，等于三個(gè)小立體Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的體積之和，因此也等于從外切正方體中挖去牟合方蓋的部分即立體Ⅰ的體積：Ⅴ=Ⅱ+Ⅲ+Ⅳ=Ⅰ劉徽和祖沖之父子的工作，思想是很深刻的，它們反映了魏晉南北朝時(shí)代中國古典數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的論證傾向，以及這種傾向所達(dá)到的高度。然而令人迷惑不解的是，這種傾向隨著這一時(shí)代的結(jié)束，可以說是嘎然而止。祖沖之父子的方法都記載在《綴術(shù)》中?！毒Y術(shù)》在隋、唐時(shí)期曾與《九章算術(shù)》一起被列為官學(xué)教科書，但《隋書﹒律歷志》中已說：“學(xué)官莫能究其深?yuàn)W”了！《綴術(shù)》于公元10世紀(jì)在中國本土完全失傳。中國古典數(shù)學(xué)的下一個(gè)高潮宋元數(shù)學(xué)，是創(chuàng)造算法的英雄時(shí)代。三、《算經(jīng)十書》魏晉時(shí)期是中國古代學(xué)術(shù)研究繼承春秋戰(zhàn)國以后又一個(gè)繁榮時(shí)期。劉徽注《九章算術(shù)》、趙爽注《周髀》及祖氏父子的工作，使中國古代數(shù)學(xué)在理論研究方面達(dá)到了一個(gè)新的高度。這一時(shí)期的數(shù)學(xué)著作較多，流傳至今的就有《孫子算經(jīng)》、《張邱建算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《數(shù)術(shù)記遺》和《夏侯陽算經(jīng)》等，這些著作大多反映了當(dāng)時(shí)社會(huì)各方面的需要，在內(nèi)容上基本是《九章算術(shù)》的沿襲與補(bǔ)充，在編寫風(fēng)格上也大多模仿《九章算術(shù)》，這些著作的出現(xiàn)，標(biāo)志著數(shù)學(xué)研究的深入和數(shù)學(xué)教育的普及。隋唐時(shí)期是中國封建社會(huì)發(fā)展的鼎盛階段，社會(huì)穩(wěn)定，農(nóng)業(yè)生產(chǎn)發(fā)展迅速，使得與生產(chǎn)密切相關(guān)的歷法、數(shù)學(xué)又有了長(zhǎng)足的進(jìn)步。從隋代開始，中國有了專門的數(shù)學(xué)教育機(jī)構(gòu)，在其最高學(xué)府——國子監(jiān)中，設(shè)立算學(xué)科，專門從事數(shù)學(xué)教學(xué)。唐朝建立以后，在隋的基礎(chǔ)上，繼續(xù)在國子監(jiān)中設(shè)立數(shù)學(xué)教育機(jī)構(gòu)，他們把數(shù)學(xué)教育與明經(jīng)、明法、明書等并列為六科，稱作明算科，設(shè)有算學(xué)博士與算學(xué)助教各二人，并招收算學(xué)生80人。

為了教學(xué)的需要，由數(shù)學(xué)家李淳風(fēng)等人共同審定并注釋了十部算經(jīng)作為數(shù)學(xué)教材，這十部著作是《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《張邱建算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《綴術(shù)》和《輯古算經(jīng)》，這就是歷史上著名的“算經(jīng)十書”，其記載了漢唐的數(shù)學(xué)成就，并成為后人數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的重要源泉。袁天罡、李淳風(fēng)曾在閬中研究天文歷法?！秾O子算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》出現(xiàn)在4—5世紀(jì)，其具體的成書年代與作者姓名已不可考，這是繼《九章算術(shù)》之后又一部重要的數(shù)學(xué)著作?！秾O子算經(jīng)》分上、中、下三卷，卷上敘述度量衡制度、籌算記數(shù)和籌算乘除運(yùn)算方法；卷中舉例說明籌算分?jǐn)?shù)算法和開平方算法，以及簡(jiǎn)單的面積、體積計(jì)算；卷下是各種應(yīng)用問題，涉及田域、倉窖、營(yíng)建、賦役、軍旅等。從其內(nèi)容特色來看，它以實(shí)際應(yīng)用為主，注重計(jì)算技術(shù)，題目通俗有趣，解法巧妙簡(jiǎn)便，在中國古代數(shù)學(xué)著作中是很有代表性的。《孫子算經(jīng)》還記載了舉世聞名的“孫子問題”，這就是卷下第26題，也即全書的最后一題。“今有物不知數(shù)。三三數(shù)之剩二；五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二，問物幾何？”雖然《孫子算經(jīng)》記載的“孫子問題”似乎是一個(gè)數(shù)字游戲，但古代產(chǎn)生這一問題的背景卻是非常深刻的，這主要是天文歷法的需要。

例如在制定魏景初歷（公元237年）時(shí)就明確規(guī)定，把冬至、月朔和甲子日零時(shí)重合的時(shí)刻取作歷法起算的原點(diǎn)，古代歷法中稱之為“上元”。如果制定立法那一年冬至發(fā)生在甲子日零時(shí)后r1日，在月朔后r2日，那么，這一年冬至距上元的年數(shù)x就是同余式組ax≡r1(mod360)≡r2(modb)的解。這里a是一回歸年的日數(shù)，b是一朔望月的日數(shù)。據(jù)研究，早在公元前2世紀(jì)時(shí)，我國就已研究過需要一次同余式才能解決的天文問題。這類問題在中國古代數(shù)學(xué)中是經(jīng)常碰到的，不過由于問題的提法不同而賦予不同的名稱，如“鬼谷算”、“秦王暗點(diǎn)兵”、“剪管術(shù)”、“隔墻算”等等。把上述問題用同余式組表示出來就是x≡2(mod3)≡3(mod5)≡2(mod7)，求x。《孫子算經(jīng)》的解答原文隱晦難懂，但它揭示了關(guān)鍵是要找出70，21，15這三個(gè)常數(shù)，為什么呢？因?yàn)?0不僅是5×7的倍數(shù)（2倍），而且被3除余1；21不僅是3×7的倍數(shù)（1倍），而且被5除余1；15不僅是3×5的倍數(shù)（1倍），而且被7除也余1，即

70=2×5×7≡1(mod3)≡0(mod5)≡0(mod7)，（1）

21=3×7≡0(mod3)≡1(mod5)≡0(mod7)，（2）

15=3×5≡0(mod3)≡0(mod5)≡1(mod7)。（3）由題設(shè)，用3,5,7分別除以x所得的余數(shù)為2,3,2，故用2,3,2分別去乘(1),(2),(3)式，再相加即得233≡2(mod3)≡3(mod5)≡2(mod7)。這表示233是滿足條件的x的一個(gè)解。為了求滿足條件的最小解，可用3×5×7=105的倍數(shù)去減233，得到的差23便是所求的解。后來有人將這一問題的解法寫成一首詩歌，這就是明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》卷五所載的“孫子歌”：三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知?！稄埱窠ㄋ憬?jīng)》《張邱建算經(jīng)》三卷，為5世紀(jì)時(shí)期北魏人張邱建所撰，其主要數(shù)學(xué)成就有：最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的應(yīng)用、等差數(shù)列、開帶從平方和不定方程?！鞍匐u問題”“今有雞翁一，直錢五；雞母一，直錢三；雞雛三，直錢一。凡百錢買雞百只。問雞翁、母、雛各幾何？”此題相當(dāng)于給出不定方程組：這里的x,y,z分別為雞翁、雞母、雞雛的只數(shù)。

張邱建給出了三組解這