中考數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖專題

中考數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖初等平面幾何研究的對(duì)象，僅限于直線、圓以及由它們（或一部分）所組成的圖形，因此作圖的工具，習(xí)慣上使用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)兩種.限用直尺和圓規(guī)來(lái)完成的作圖方法，叫做尺規(guī)作圖法.最簡(jiǎn)單的尺規(guī)作圖有如下三條：⑴經(jīng)過(guò)兩已知點(diǎn)可以畫一條直線；⑵已知圓心和半徑可以作一圓；⑶兩已知直線；一已知直線和一已知圓；或兩已知圓，如果相交，可以求出交點(diǎn)；以上三條，叫做作圖公法.用直尺可以畫出第一條公法所說(shuō)的直線；用圓規(guī)可以作出第二條公法所說(shuō)的圓；用直尺和圓規(guī)可以求得第三條公法所說(shuō)的交點(diǎn).一個(gè)作圖題，不管多么復(fù)雜，如果能反復(fù)應(yīng)用上述三條作圖公法，經(jīng)過(guò)有限的次數(shù)，作出適合條件的圖形，這樣的作圖題就叫做尺規(guī)作圖可能問(wèn)題；否則，就稱為尺規(guī)作圖不能問(wèn)題.歷史上，最著名的尺規(guī)作圖不能問(wèn)題是：⑴三等分角問(wèn)題：三等分一個(gè)任意角；⑵倍立方問(wèn)題：作一個(gè)立方體，使它的體積是已知立方體的體積的兩倍；⑶化圓為方問(wèn)題：作一個(gè)正方形，使它的面積等于已知圓的面積.還有另外兩個(gè)著名問(wèn)題：⑴正多邊形作法·只使用直尺和圓規(guī)，作正五邊形.·只使用直尺和圓規(guī)，作正六邊形.·只使用直尺和圓規(guī)，作正七邊形——這個(gè)看上去非常簡(jiǎn)單的題目，曾經(jīng)使許多著名數(shù)學(xué)家都束手無(wú)策，因?yàn)檎哌呅问遣荒苡沙咭?guī)作出的.·只使用直尺和圓規(guī)，作正九邊形，此圖也不能作出來(lái)，因?yàn)閱斡弥背吆蛨A規(guī)，是不足以把一個(gè)角分成三等份的.·問(wèn)題的解決：高斯，大學(xué)二年級(jí)時(shí)得出正十七邊形的尺規(guī)作圖法，并給出了可用尺規(guī)作圖的正多邊形的條件：尺規(guī)作圖正多邊形的邊數(shù)目必須是2的非負(fù)整數(shù)次方和不同的費(fèi)馬素?cái)?shù)的積，解決了兩千年來(lái)懸而未決的難題.⑵四等分圓周只準(zhǔn)許使用圓規(guī)，將一個(gè)已知圓心的圓周4等分．這個(gè)問(wèn)題傳言是拿破侖·波拿巴出的，向全法國(guó)數(shù)學(xué)家的挑戰(zhàn).五種基本作圖：初中數(shù)學(xué)的五種基本尺規(guī)作圖為：1.做一線段等于已知線段2.做一角等于已知角3.做一角的角平分線4.過(guò)一點(diǎn)做一已知線段的垂線5.做一線段的中垂線幾種常見(jiàn)的尺規(guī)作圖方法：⑴軌跡交點(diǎn)法：解作圖題的一種常見(jiàn)方法.解作圖題常歸結(jié)到確定某一個(gè)點(diǎn)的位置.如果這兩個(gè)點(diǎn)的位置是由兩個(gè)條件確定的，先放棄其中一個(gè)條件，那么這個(gè)點(diǎn)的位置就不確定而形成一個(gè)軌跡；若改變放棄另一個(gè)條件，這個(gè)點(diǎn)就在另一條軌跡上，故此點(diǎn)便是兩個(gè)軌跡的交點(diǎn).這個(gè)利用軌跡的交點(diǎn)來(lái)解作圖題的方法稱為軌跡交點(diǎn)法，或稱交軌法、軌跡交截法、軌跡法.電信部門要修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔，如下圖，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)、的距離必須相等，到兩條高速公路、的距離也必須相等，發(fā)射塔應(yīng)修建在什么位置？在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，，是坐標(biāo)原點(diǎn)，在直線上求一點(diǎn)，使是等腰三角形，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？設(shè)與相離，半徑分別為與，求作半徑為的圓，使其與及外切.⑵代數(shù)作圖法：解作圖題時(shí)，往往首先歸納為求出某一線段長(zhǎng)，而這線段長(zhǎng)的表達(dá)式能用代數(shù)方法求出，然后根據(jù)線段長(zhǎng)的表達(dá)式設(shè)計(jì)作圖步驟.用這種方法作圖稱為代數(shù)作圖法.只用圓規(guī)，不許用直尺，四等分圓周（已知圓心）.求作一正方形，使其面積等于已知的面積.在已知直線上求作一點(diǎn)，使得過(guò)作已知半徑為的的切線，其切線長(zhǎng)為.⑶旋轉(zhuǎn)法作圖：有些作圖題，需要將某些幾何元素或圖形繞某一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)適當(dāng)角度，以使已知圖形與所求圖形發(fā)生聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)作圖途徑.已知：直線、、，且.求作：正，使得、、三點(diǎn)分別在直線、、上.變式：如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，直線l1∥l2∥l3，l1與l2之間距離是1，l2與l3之間距離是2．且l1，l2，l3分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，C，則邊AC的長(zhǎng)為_(kāi)_______．已知：如圖，為角平分線上一點(diǎn).求作：，使得，，且在上，在上.⑷位似法作圖：利用位似變換作圖，要作出滿足某些條件的圖形，可以先放棄一兩個(gè)條件，作出與其位似的圖形，然后利用位似變換，將這個(gè)與其位似得圖形放大或縮小，以滿足全部條件，從而作出滿足全部的條件.已知：一銳角.求作:一正方形，使得、在邊上，在邊上，在邊上.⑸面積割補(bǔ)法作圖：對(duì)于等積變形的作圖題，通常在給定圖形或某一確定圖形上割下一個(gè)三角形，再借助平行線補(bǔ)上一個(gè)等底等高的另一個(gè)三角形，使面積不變，從而完成所作圖形.如圖，過(guò)的底邊上一定點(diǎn)，，求作一直線，使其平分的面積.如圖：五邊形可以看成是由一個(gè)直角梯形和一個(gè)矩形構(gòu)成.⑴請(qǐng)你作一條直線，使直線平分五邊形的面積；⑵這樣的直線有多少條？請(qǐng)你用語(yǔ)言描述出這樣的直線.如圖，點(diǎn)將線段分成兩部分，如果，那么稱點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)．某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時(shí)，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線將一個(gè)面積為的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為，，如果，那么稱直線為該圖形的黃金分割線．⑴研究小組猜想：在中，若點(diǎn)為邊上的黃金分割點(diǎn)(如圖)，則直線是的黃金分割線．你認(rèn)為對(duì)嗎？為什么？⑵請(qǐng)你說(shuō)明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？⑶研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過(guò)點(diǎn)任作一條直線交于點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)作直線，交于點(diǎn)，連接(如圖)，則直線也是的黃金分割線．請(qǐng)你說(shuō)明理由．⑷如圖，點(diǎn)是的邊的黃金分割點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，顯然直線是的黃金分割線．請(qǐng)你畫一條的黃金分割線，使它不經(jīng)過(guò)各邊黃金分割點(diǎn)．AACB圖1ADB圖2CADB圖3CFEFCBDEA圖4歷年考題：ABCDABCD如圖，已知矩形ABCD，AB=4，BC=5，請(qǐng)用尺規(guī)作圖畫出符合要求的圖形，并標(biāo)注必要的字母及結(jié)論（保留痕跡）SHAPE（1）ABCDABCD黃金矩形如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有A，B兩點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趚軸上找一點(diǎn)C，將ΔABC沿AC翻折，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在x軸上。（1）利用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在圖中找出所有符合條件的點(diǎn)C；（保留痕跡）（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5,2），求出C的坐標(biāo)。BBOA（1）如圖，已知EK垂直平分BC，垂足為D，AB與EK交于點(diǎn)F，連接CF，求證：∠AFE=∠CFD；如圖，在RtΔGMN中，∠M=90°，P為線段MN上的點(diǎn)，（a）用直尺圓規(guī)在GN邊上求作點(diǎn)Q，使得∠GQM=∠PQN（保留痕跡）（b）在（a）的條件下，如果∠G=60°，GM=3，P為MN中點(diǎn)，求MQ的長(zhǎng)度。AABPCDEFKGMN4、如圖，已知等邊△ABC，請(qǐng)用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)，按下列要求作圖（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）：（1）作△ABC的外心O；（2）設(shè)D是AB邊上一點(diǎn)，在圖中作出一個(gè)正六邊形DEFGHI，使點(diǎn)F，點(diǎn)H分別在邊BC和AC上．5、求作一正方形，使其面積等于已知的面積.6、如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分別為AB、AC上的定點(diǎn)．（1）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)按要求作圖（不寫作法，但保留作圖痕跡）：①過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線交AC于點(diǎn)F，②在BC邊上找出點(diǎn)P，使得△BDP∽△CPE；（2）在（1）的條件下，若BD＝2，CE＝4，BC＝6，則BP＝．7、如圖，ΔABC是等腰三角形，AB=BC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)。用圓規(guī)和沒(méi)有刻度的直尺作圖，并保留作圖痕跡：a、過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線BP；b、過(guò)點(diǎn)D作BP的垂線，分別交AC，BP，BQ于點(diǎn)E、F、G。AABCDQ8、如何作圓內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形？9、如圖,ΔABC是一塊直角三角板,