高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修一）：第02講 1.2集合間的基本關(guān)系（學(xué)生版）

第02講1.2集合間的基本關(guān)系課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集、真子集;②理解與掌握空集的含義，在解題中把握空集與非空集合、任意集合的關(guān)系。1．能利用集合間的包含關(guān)系解決兩個集合間的問題。2．在解決集合問題時，易漏集合的特殊形式，比如集合是空集時參數(shù)所具備的意義。3.能利用Venn圖表達(dá)集合間的關(guān)系。4.判斷集合之間的關(guān)系時，要從元素入手。知識點01：圖（韋恩圖）在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖形稱為圖。圖和數(shù)軸一樣，都是用來解決集合問題的直觀的工具。利用圖，可以使問題簡單明了地得到解決。對圖的理解(1)表示集合的圖的邊界是封閉曲線,它可以是圓、橢圓、矩形,也可以是其他封閉曲線.(2)用圖表示集合的優(yōu)點是能夠呈現(xiàn)清晰的視覺形象,即能夠直觀地表示集合之間的關(guān)系,缺點是集合元素的公共特征不明顯.知識點02：子集1子集：一般地，對于兩個集合，，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集（1）記法與讀法：記作(或)，讀作“含于”(或“包含”)（2）性質(zhì)：①任何一個集合是它本身的子集，即.②對于集合，，，若，且，則（3）圖表示：2集合與集合的關(guān)系與元素與集合關(guān)系的區(qū)別符號“”表示集合與集合之間的包含關(guān)系,而符號“”表示元素與集合之間的從屬關(guān)系.【即學(xué)即練1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）寫出集合的所有子集．【答案】【詳解】集合的所有子集有：知識點03：集合相等一般地,如果集合的任何一個元素都是集合的元素,同時集合的任何一個元素都是集合的元素,那么集合與集合相等,記作.也就是說,若,且,則.

（1）的圖表示（2）若兩集合相等，則兩集合所含元素完全相同，與元素排列順序無關(guān)【即學(xué)即練2】（2023秋·遼寧沈陽·高一沈陽二中?？茧A段練習(xí)）下面說法中不正確的為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】對于A，因，，即，A正確；對于B，因集合的元素為有序數(shù)對，而的元素為實數(shù)，兩個集合的對象不同，B不正確；對于C，因集合與都表示大于2的數(shù)形成的集合，即，C正確；對于D，由列舉法表示集合知正確，D正確.故選：B知識點04：真子集的含義如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集;（1）記法與讀法：記作，讀作“真包含于”(或“真包含”)（2）性質(zhì)：①任何一個集合都不是是它本身的真子集.②對于集合，，，若，且，則（3）圖表示：【即學(xué)即練3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）滿足條件：的集合M的個數(shù)為______.【答案】7【詳解】由可知，M中的元素個數(shù)多于中的元素個數(shù)，不多于中的元素個數(shù)因此M中的元素來自于b,c,d中，即在b,c,d中取1元素時，M有3個；取2個元素時，有3個；取3個元素時，有1個，故足條件：的集合M的個數(shù)有7個，故答案為：7.知識點05：空集的含義我們把不含任何元素的集合，叫做空集，記作：規(guī)定：空集是任何集合的子集，即;性質(zhì)：①空集只有一個子集，即它的本身，(2)，則和和和相同點都表示無都是集合都是集合不同點表示集合；是實數(shù)不含任何元素含有一個元素不含任何元素含有一個元素，該元素為：關(guān)系或者【即學(xué)即練4】（2023·甘肅慶陽·高一?？茧A段練習(xí)）有下列四個命題：①＝{0}；②{0}；③{1}{1，2，3}；④{1}∈{1，2，3}；其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，故①錯誤，②正確；，故③正確，④錯誤，正確的個數(shù)為2.故選：B題型01判斷兩個集合的包含關(guān)系【典例1】（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）下列集合關(guān)系中錯誤的是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）已知集合，則（

）A． B． C． D．【典例3】（2023·高三課時練習(xí)）已知集合，，，則、、的關(guān)系滿足（

）A． B． C． D．【典例4】（2023·高一單元測試）設(shè)集合，，則集合與的關(guān)系是______．【變式1】（2023春·江西新余·高一新余市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，，，則這三個集合間的關(guān)系是（

）A． B． C． D．題型02判斷子集（真子集）的個數(shù)【典例1】（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）設(shè)集合，則集合的真子集個數(shù)是（

）A．6 B．7 C．8 D．15【典例2】（2023·高一單元測試）已知集合，，則滿足條件的集合的個數(shù)為_____個.【變式1】（2023·江西吉安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，且，滿足這樣的集合的個數(shù)（

）A．6 B．7 C．8 D．9【變式2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）集合，則的子集的個數(shù)為（

）A．4 B．8 C．15 D．16題型03求集合中子集（真子集）【典例1】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，若使成立的實數(shù)的取值集合為，則的一個真子集可以是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)，若用列舉法表示，則集合是________.【變式1】（多選）（2023秋·福建寧德·高一福建省霞浦第一中學(xué)?？计谀┮阎?，集合是的真子集，則集合N可以是（

）A． B． C． D．題型04空集的概念集判斷【典例1】（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）下列集合中，結(jié)果是空集的是(

)A． B．C． D．【典例2】（2023春·寧夏銀川·高二銀川一中?？计谥校┫铝懈魇街校孩?；②；③；④；⑤；⑥.正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式1】（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）下列六個關(guān)系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．3 C．4 D．6【變式1】（多選）（2023·全國·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）下列關(guān)系中正確的是（

）A． B．C． D．題型05空集的性質(zhì)及應(yīng)用【典例1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，且，則實數(shù)的取值范圍是____.【典例2】（2023·高一課時練習(xí)）不等式組的解集為，則實數(shù)的取值范圍是_____________.【變式1】（2022秋·湖南永州·高一校考階段練習(xí)）若集合為空集，則實數(shù)的取值范圍是______.題型06判斷兩個集合是否相等【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列集合中表示同一集合的是（

）A． B．C． D．【典例2】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列與集合表示同一個集合的有（

）A． B． C． D．【變式1】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）下面說法中，正確的為（

）A． B．C． D．題型07根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，若，則等于（

）A．1或2 B．或 C．2 D．1【典例2】（2023秋·廣東廣州·高一秀全中學(xué)?？计谀┮阎?，.(1)若，求實數(shù)的值；【變式1】（2023秋·廣東江門·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，，，若P=Q，則_________..題型08根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【典例1】（2023·吉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知集合，若，則實數(shù)（

）A．或1 B．0或1 C．1 D．【典例2】（2023春·上海寶山·高一上海交大附中?？计谥校┮阎?，且，則實數(shù)的值是_________．【典例3】（2023秋·湖北黃石·高一校聯(lián)考期末）已知集合（1）當(dāng)時，求實數(shù)的值；（2）當(dāng)時，求實數(shù)的取值范圍.【變式1】（2023春·山東濱州·高二?？茧A段練習(xí)）已知集合，，則使成立的實數(shù)a的取值范圍是_____．【變式2】（2023·高一課時練習(xí)）已知A={﹣1，1}，B={x|x2﹣ax+b＝0}，若B?A，求實數(shù)a，b的值．題型09新定義題【典例1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）給定集合，對于，如果，那么是的一個“好元素”，由的3個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________個．【典例2】（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)是整數(shù)集的一個非空子集，對于，若且，則是的一個“孤立元”，給定，由的3個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_________個．本節(jié)重點方法（數(shù)軸輔助法）【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合或，，若，則實數(shù)的取值范圍_________．【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合或，，若，則實數(shù)的取值范圍是________．本節(jié)數(shù)學(xué)思想方法（分類討論法）【典例1】（2023·高一課時練習(xí)）已知集合，，且，求實數(shù)的取值范圍．【典例2】（2023·高一課時練習(xí)）已知集合.(1)若，，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，，求實數(shù)的取值范圍.本節(jié)易錯題（忽略空集）【典例1】（2023春·北京海淀·高三首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）集合或，，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，若，則實數(shù)的取值構(gòu)成的集合為___________.1.2集合間的基本關(guān)系A(chǔ)夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·貴州遵義·高一統(tǒng)考期末）已知集合且，則集合A的子集的個數(shù)為（

）A．15 B．16 C．31 D．322．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，，若，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2023春·湖北孝感·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）下面五個式子中：①；②；③；④；⑤，正確的有（

）A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤4．（2023春·云南紅河·高二?？茧A段練習(xí)）已知集合，，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．5．（2023·北京東城·高三專題練習(xí)）已知集合，集合.若，則實數(shù)的取值集合為（

）A． B．C． D．6．（2023春·湖南岳陽·高三湖南省岳陽縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，且，則實數(shù)（

）A．1 B．2 C．1或2 D．0二、多選題7．（2023秋·四川瀘州·高一統(tǒng)考期末）給出下列四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論有（

）A．B．若，則C．集合是無限集D．集合的子集共有4個8．（2023秋·廣東揭陽·高一惠來縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎?，，則下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則或 D．若時，則或三、填空題9．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知集合M滿足則集合M的個數(shù)為______．10．（2023·高一單元測試）已知集合有且僅有兩個子集，則的取值集合為___________.四、解答題11．（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)集合，，且．(1)若，求實數(shù)的值；(2)若，且，求實數(shù)的值．12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝{x|－<x≤2}．若B?A，求實數(shù)a的取值范圍．B能力提升1．（2023秋·四川眉山·高一?？计谀┤艏?，，則集合，之間的關(guān)系表示最準(zhǔn)確的為（

）A． B． C． D．與互不包含2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)a，b是實數(shù)，集合，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，若集合A有且僅有2個子集，則a的取值有（

）A．-2 B．-1 C．0 D．14．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┮阎狝＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x<－1或x>4}，若，則實數(shù)a的取值范圍是________．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)集合A={}，B={x}，且AB，則實數(shù)k的取值范圍是______________(寫成集合形式).C綜合素養(yǎng)1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，，，，其中a，，下列說法正確的是（

）A．對任意a，是的子集，對任意的b，不是的子集B．對任意a，是的子集，存在b，使得是的子集C．存在a，使得不是的真子集，對任意的b，是的子集D．存在a，使得不是的子集，存在b，使得是的子集2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，，若?，則對應(yīng)的實數(shù)對有A．對 B．對 C．對 D．對3．（多選）（2023春·福建龍巖·