河南省鄭州市十校2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2021-2022學(xué)年上期高二年級期中聯(lián)考試題理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】把不等式化為，求出解集即可．【詳解】解：不等式可化為，解得，所以不等式的解集為（4，3）．故選C．【點睛】本題考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．2.在數(shù)列{}中，，n∈N*，則的值為（）A.49 B.50 C.89 D.99【答案】A【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．【詳解】解：∵，（），∴數(shù)列{}是等差數(shù)列，則．故選A．【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式及性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3.已知，則函數(shù)的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)基本不等式即可求出函數(shù)的最小值.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以函數(shù)的最小值是.故選：A.4.已知數(shù)列{}是等差數(shù)列，，則其前13項的和是（）A.45 B.56 C.65 D.78【答案】D【解析】【分析】由等差數(shù)列的等差中項得a7=6，再由求和公式和性質(zhì)可得S13=13a7即可.【詳解】∵在等差數(shù)列{an}中，a5+a7+a9=18，∴a5+a7+a9=3a7=18，解得a7=6，∴該數(shù)列的前13項之和：S13=×（a1+a13）=13a7=13×6=78．故選D．【點睛】本題考查等差數(shù)列的前n項和，利用等差數(shù)列的性質(zhì)和的公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．5.關(guān)于x的不等式的解集是（2，+∞），則關(guān)于x的不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由不等式ax﹣b＜0解集知a＜0且=2，代入關(guān)于x的不等式（ax+b）（x﹣3）<0中求解即可．【詳解】∵關(guān)于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（2，+∞），∴a＜0，且=2，則b=2a；∴關(guān)于x的不等式（ax+b）（x﹣3）<0，可化為（ax+2a）（x﹣3）<0，因為a<0,即（x+2）（x﹣3）>0，解得x>3或x<-2，∴所求不等式的解集故選A．【點睛】本題考查了一元二次不等式解集，利用一元一次不等式的解集得到a與b的等式是關(guān)鍵，注意一元二次不等式的開口方向，屬于基礎(chǔ)題.6.如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】對于選項A,因為，所以，所以即，所以選項A錯誤；對于選項B，，所以，選項B錯誤；對于選項C，，當(dāng)時，，當(dāng)，，故選項C錯誤；對于選項D，，所以，又，所以，所以，選D.7.若對任意的實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對二次項系數(shù)分類討論，借助“三個”二次關(guān)系布列不等式組即可.【詳解】解：當(dāng)時，對任意實數(shù)都成立，；當(dāng)時，不等式對任意實數(shù)都成立，，∴，綜上，的取值范圍為．故選：．8.△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=60°，則cosC=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】由正弦定理得＝，∴sinC＝＝＝，又AB＜AC，∴0＜C＜B＝60°，∴cosC＝＝.9.中，內(nèi)角所對的邊分別為.若則的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知求出，即得解.【詳解】因為所以，所以，所以的面積.故選：C10.設(shè)，，若是與的等比中項，則的最大值為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)，列方程，求得，然后利用基本不等式求得最大值.【詳解】由于是與的等比中項，故，故.故選B.【點睛】本小題主要考查等比中項的性質(zhì)，考查利用基本不等式求最大值的方法.屬于基礎(chǔ)題.11.已知數(shù)列{}的前n項和為，，（），則（）A.32 B.64 C.128 D.256【答案】B【解析】【分析】由已知數(shù)列遞推式構(gòu)造等比數(shù)列{1}，求其通項公式得到，再由求解．【詳解】由，得，又，∴，即，且，即數(shù)列{1}是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則，則.∴．故選B．【點睛】本題考查數(shù)列遞推式，考查利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式，屬于中檔題．12.設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，如，．已知數(shù)列滿足：，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，通過累加法求出通項公式，進(jìn)而化簡利用裂項相消法求解數(shù)列的和即可.【詳解】解：解：由，得，因為，所以則.所以.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，滿足，則的最小值為________.【答案】【解析】【分析】先畫出可行域，由，得，畫出直線，向上平移過點時，取得最小值，將點坐標(biāo)代入可得結(jié)果【詳解】解：變量，滿足所表示的可行域如圖所示，由，得，畫出直線，向上平移過點時，取得最小值，對于，當(dāng)時，，所以點的坐標(biāo)為，所以的最小值為，故答案為：14.設(shè)內(nèi)角所對的邊分別為，若，則角=__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦定理到，，再利用余弦定理得到，得到答案.【詳解】，則，，故.根據(jù)余弦定理：，故.故答案為：.【點睛】本題考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生的計算能力.15.已知數(shù)列前項和為，且滿足，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)與的關(guān)系式把已知條件中的轉(zhuǎn)化為的形式，從而可求出是首項為，公比為的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的的通項公式即可求出數(shù)列的通項公式，從而可求出的值.【詳解】因為時，，所以，即，所以，即，又時，，所以，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，所以.故答案為：.16.已知，為正實數(shù)，且，則的最小值為________．【答案】【解析】【分析】利用結(jié)合基本不等式求解即可【詳解】由題則則則當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立故答案為【點睛】本題考查基本不等式求最值，考查配湊定值的技巧，是基礎(chǔ)題三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列，且，．（1）求的通項公式；（2）若等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項和公式．【答案】(1);(2).【解析】【詳解】本試題主要是考查了等差數(shù)列的通項公式的求解和數(shù)列的前n項和的綜合運用．、（1）設(shè)公差為，由已知得解得,（2），等比數(shù)列的公比利用公式得到和．18.已知，，分別是的角，，所對的邊，且，.（1）若的面積等于，求，；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由余弦定理及三角形面積公式得到方程組，解得即可；（2）利用二倍角公式及兩角和差的正弦公式得到，再分與兩種情況討論，當(dāng)，即可得到，利用正弦定理將角化邊，再利用余弦定理求出，，即可得到，從而得解；【小問1詳解】解：∵，由余弦定理得，∵的面積和等于，∴，∴，聯(lián)立；【小問2詳解】解：∵，∴，∴，當(dāng)時，；當(dāng)時，，由正弦定理得，聯(lián)立，解得，，∴，即，又∵，∴，綜上所述，或；19.1.已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）當(dāng)時，求的最小值及相應(yīng)x的值．【答案】（1）（2），此時【解析】【分析】（1）分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式進(jìn)行求解；（2）先換元，再利用基本不等式進(jìn)行求解的最小值及相應(yīng)x的值【小問1詳解】，即不等式的解集為【小問2詳解】當(dāng)時，令（），則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，，此時.20.設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若，.（1）若，數(shù)列中的最大項是第項，求的值（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)已知條件利用通項公式直接表示出，的關(guān)系式，求解出與的通項公式，表示出的通項公式，利用進(jìn)行判斷（2）采用錯位相減法進(jìn)行求解即可【詳解】解析：（1）設(shè)公差為，公比為則，所以，；，當(dāng)時，，于是；當(dāng)時，，于是；綜上所述：，于，（2）錯位相減求和法，，【點睛】本題考查等差等比數(shù)列基本量的求解，數(shù)列前項和最大值和對應(yīng)項的辨析，錯位相減法求前項和，錯位相減法關(guān)鍵在于第二個式子一般乘以公比，跟第一個式子對應(yīng)時，依次向后錯一位，兩式相減時，第二個式子多出的末項符號正負(fù)要書寫正確21.在中，已知且.（1）試確定的形狀；（2）求的取值范圍.【答案】（1）直角三角形；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理化簡整理得到即可判斷三角形的形狀；（2）由正弦定理將表示成，接著根據(jù)三角函數(shù)的知識求解取值范圍即可.【詳解】解：（1）由正弦定理得：，所以①因為，所以所以，②把②代入①得所以是直角三角形（2）由（1）知，所以所以.根據(jù)正弦定理得因為，所以即的取值范圍是.22.（1）已知函數(shù)為常數(shù))，求不等式的解集；（2）是否存在實數(shù)，對任意的恒成立，若存在求出實數(shù)的取值范圍，若不存在，試說明理由．【答案】（1）見解析；（2）不存在，見解析.【解析】【分析】（1）不等式化為，討論①、②和③時，求出對應(yīng)不等式的解集；（2）利用判別