2023學(xué)年完整公開課版公式法3

解一元二次方程的算法——1.2.3

公式法

從例6至例9的解法，以及從解一元二次方程的算法框圖看到：探究

我們對于每一個具體的一元二次方程，都重復(fù)使用了同一些計算步驟；

這啟發(fā)我們思考：能不能對一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)使用這些計算步驟，求出解x的公式.

這樣做了以后，我們就可以運用這個公式來求每一個具體的一元二次方程的解，取得事半功倍的效果．

例82x2-4x-6=0.例6（1）x2+10x+9=0；（2）x2-12x-13=0.例7x2+x-1=0.例93x2+9x+=0.解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)，⑩由于a≠0，⑩的兩邊同除以a，得把方程的左邊配方，得即當(dāng)b2-4ac≥0時，方程可以寫成把方程左邊因式分解，得由此得出或解得

于是我們得到了一元二次方程ax2+bc+c=0(a≠0)，當(dāng)b2-4ac≥0時求解x的公式：結(jié)論

通常把這個公式叫作一元二次方程的求根公式．

今后我們可以運用一元二次方程的求根公式直接求每一個一元二次方程的解，這種解一元二次方程的方法叫作公式法．舉例例10解下列方程：（1）x2-x-2=0；（2）4x2+12x+5=0；（3）x2-2x=1.

（1）x2-x-2=0解

a=1，b=-1，c=-2，

b2-4ac=(-1)2-4×1×(-2)=1+8=9，因此從而x1=2，x2=-1.

（2）4x2+12x+5=0解

a=4，b=12，c=5，

b2-4ac=122-4×4×5=144-80=64，因此從而x1=，x2=

.

（3）x2-2x=1解

a=

，b=

，c=

，

b2-4ac=

，因此x=

.

從而x1=

，x2=

.

移項，得

x2-2x-1=0.-1-218舉例例11解方程：9x2+12x+4=0.9x2+12x+4=0解

a=

，b=

，c=

，

b2-4ac=

，因此x=

.

從而x1=

，x2=

.

41290

從例11看到，當(dāng)b2-4ac=0時，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

有兩個相等的實數(shù)解(或者說有兩個相等的實數(shù)根).

此例中的方程可以直接用因式分解法求解嗎？試著做一做．例11

9x2+12x+4=0.動腦筋

觀察第16頁中的方程

，當(dāng)b2-4ac<0時，一元二次方程ax2+bc+c=0(a≠0)有實數(shù)解嗎？

試討論方程x2+x+1=0有沒有實數(shù)解.

當(dāng)b2-4ac<0時，ax2+bx+c

恒大于0，故無實數(shù)解.∵

x2+x+1=0

中b2-4ac

<0，∴x2+x+1=0無實數(shù)解.

由上述可知，根據(jù)b2-4ac的值的符號，可以判定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況，所以我們把b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式.結(jié)論結(jié)論

綜上所述，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況可由b2-4ac來判定：當(dāng)b2-4ac>0時，有兩個不相等的實數(shù)根，其根為當(dāng)b2-4ac=0時，有兩個相等的實數(shù)根，其根為當(dāng)b2-4ac<0時，沒有實數(shù)根.舉例例12不解方程，判別下列方程的根的情況：（1）3x2+4x-3=0；（2）7y=5(y2+1)；（3）4x2=12x-9.

（1）3x2+4x-3=0解

因為b2-4ac=42-4×3×(-3)

=16+36=52>0，

所以，原方程有兩個不相等的實數(shù)根.

（2）7y=5(y2+1)解

因為b2-4ac=(-7)2-4×5×5=49-100=-51<0，所以，原方程沒有實數(shù)根.

移項，得5y2-7y+5=0.

（3）4x2=12x-9解

因為b2-4ac=(-12)2-4×4×9=144-144=0，所以，原方程有兩個相等的實數(shù)根.

移項，得4x2-12x+9=0.練習(xí)1.

不解方程，判別下列方程的根的情況：（1）x2+3x-1=0；（2）x2-6x+9

=0.（3）2y2-3y+4=0；（4）x2+5=2.

k

取什么值時，方程x2-kx+4=0有兩個相等的實數(shù)根?求這時方程的根.答：k=±4，當(dāng)k=4時，x=2；當(dāng)k=-4時，x=-2.中考試題例1

用公式法解方程3x2-6x+1=0.解3x2-6x+1=0，這里a=3，b=-6,c=1.∵△=b2-4ac=36-12=24>0,∴即中考試題例2

下列方程中，沒有實數(shù)根的是（）.A.B.y2+1=2yC.x2-x-6=0