專題十二概率統(tǒng)計(jì)（教師版）

專題十二概率統(tǒng)計(jì)真題卷題號(hào)考點(diǎn)考向2023新課標(biāo)1卷9樣本的數(shù)字特征樣本的平均值、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差21獨(dú)立事件的概率、互斥事件的概率、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)字特征求獨(dú)立事件的概率、互斥事件的概率、求離散型隨機(jī)變量的期望（概率與數(shù)列的綜合應(yīng)用）2023新課標(biāo)2卷3隨機(jī)抽樣分層抽樣12獨(dú)立事件的概率求獨(dú)立事件的概率19頻率分布直方圖、概率與函數(shù)的綜合應(yīng)用利用頻率分布直方圖求概率、概率與函數(shù)的綜合應(yīng)用2022新高考1卷5古典概型古典概型及其計(jì)算20獨(dú)立性檢驗(yàn)、條件概率獨(dú)立性檢驗(yàn)、條件概率的計(jì)算、新定義問題2022新高考2卷13正態(tài)分布正態(tài)分布求概率19概率統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用頻率分布直方圖、求對立事件的概率、求條件概率2021新高考1卷8獨(dú)立事件獨(dú)立事件的判斷9樣本的數(shù)字特征求樣本的平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差18離散型隨機(jī)變量的分布列、期望求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望并作出決策2021新高考2卷6正態(tài)分布求正態(tài)分布的概率9樣本的數(shù)字特征研究樣本數(shù)據(jù)的離散程度與集中趨勢21離散型隨機(jī)變量的期望求離散型隨機(jī)變量的期望、及期望的范圍問題及期望的實(shí)際意義2020新高考1卷6事件間的關(guān)系事件間的關(guān)系及運(yùn)算19古典概型、獨(dú)立性檢驗(yàn)古典概型的概率計(jì)算、獨(dú)立性檢驗(yàn)2020新高考2卷9統(tǒng)計(jì)圖表折線圖中的數(shù)據(jù)分析19古典概型、獨(dú)立性檢驗(yàn)古典概型的概率計(jì)算、獨(dú)立性檢驗(yàn)【2023年真題】1.（2023·新課標(biāo)=2\*ROMANII卷第3題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有A.種 B.種 C.種 D.種【答案】D

【解析】【分析】本題考查比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法的應(yīng)用，考查組合數(shù)公式的應(yīng)用，為基礎(chǔ)題.【解答】解：結(jié)合題意初中部和高中部所占的比例為，抽取初中部40人，高中部20人，故不同的抽樣結(jié)果為

種，故選

2.（2023·新課標(biāo)=1\*ROMANI卷第9題）（多選）一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則(

)A.的平均數(shù)等于的平均數(shù)

B.的中位數(shù)等于的中位數(shù)

C.的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差

D.的極差不大于的極差【答案】BD

【解析】【分析】本題考查樣本的數(shù)字特征，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析能力，屬于基礎(chǔ)題.A，C選項(xiàng)，通過取一組特殊值，即可判斷；B選項(xiàng)，設(shè)，即可明確兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；D選項(xiàng)，設(shè)中最小值為，最大值為，即可得到【解答】解：對于A：不妨令，則故A錯(cuò)誤；對于不妨令，則的中位數(shù)是；因?yàn)槭亲钚≈担亲畲笾?，故的中位?shù)依然是；故B正確；對于C：不妨令則的標(biāo)準(zhǔn)差，的標(biāo)準(zhǔn)差，故C錯(cuò)誤；對于D：設(shè)中最小值為，最大值為，則，則，故D正確；故選3.（2023·新課標(biāo)II卷第12題）（多選）在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次;三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為

D.當(dāng)時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查相互獨(dú)立事件的概率乘法原理，屬于綜合題.根據(jù)題設(shè)的信號(hào)傳遞的概率值利用相互獨(dú)立事件的概率乘法原理分別計(jì)算每種情況的概率即可求解.【解答】解：根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法原理知：采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為，故A對.B.根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法原理知三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為為，故B對.C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，譯碼為則收到1的情況有2種，個(gè)個(gè)個(gè)故概率為，故C錯(cuò).D.三次傳輸方案譯碼為0的概率：單次傳輸方案譯碼為0的概率：，作差，，即，故D對.故選：4.（2023·新課標(biāo)=1\*ROMANI卷第21題）甲乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為，由抽簽確定第1次投籃的人選，第一次投籃的人是甲，乙的概率各為求第2次投籃的人是乙的概率.求第i次投籃的人是甲的概率.已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，，2，，n，則記前n次即從第1次到第n次投籃中甲投籃的次數(shù)為Y，求

【答案】解：第二次是乙投籃的概率為第i次是乙投籃的概率為，，且則故，則，

當(dāng)時(shí)，，，綜上，，【解析】本題主要考查了全概率公式，構(gòu)造等比數(shù)列和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式以及求兩點(diǎn)分布的期望，屬于較難題.根據(jù)題意直接運(yùn)用全概率公式即可得出結(jié)論;由題意可得甲第i次投籃的概率為則第i次是乙投籃的概率為，再根據(jù)題意列出關(guān)于的遞推關(guān)系，運(yùn)用配湊法可得出，通過化簡即可求出

由隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，則根據(jù)公式即可求出5.（2023·新課標(biāo)II卷第19題）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性，此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布.以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.當(dāng)漏診率時(shí)，求臨界值c和誤診率；設(shè)函數(shù)當(dāng)時(shí)，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值.【答案】解：因?yàn)橐罁?jù)“患病者”的頻率分布直方圖得，依據(jù)“未患病者”的頻率分布直方圖得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故所以在區(qū)間的最小值為：【解析】本題問考察了頻率分布直方圖頻率的簡單計(jì)算，問需結(jié)合分段函數(shù)解決概率統(tǒng)計(jì)的問題.依據(jù)題意理解漏診率即“患病者”的頻率分布直方圖中小于c的各小矩形部分面積，觀察到，故，即可求同理誤診率即“未患病者”的頻率分布直方圖中大于c的各小矩形部分面積，即可求要求，觀察到在區(qū)間和區(qū)間小矩形高度不同，故分段考慮分別列式.得時(shí)，，時(shí)，再利用函數(shù)的單調(diào)性得到在區(qū)間的最小值.【2022年真題】6.（2022·新高考I卷第5題）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為(

)A. B. C. D.【答案】D

【解析】【分析】本題考查了古典概型及其計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

利用列舉法求出總的取法與滿足條件的取法，再由古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算即可.【解答】解：由題可知，總的取法有

，，，，，，

，，，，，，

，，，，，，

，，，共種，

互質(zhì)的數(shù)對情況有，，，，，，，，，，，，，共14個(gè)，

所以兩個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為7.（2022·新高考II卷第13題）隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則__________.【答案】

【解析】【分析】本題考查了正態(tài)分布的意義，正態(tài)曲線的對稱性及其應(yīng)用.【解答】解：由題意可知，，故8.（2022·新高考I卷第20題）一支醫(yī)療團(tuán)隊(duì)研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例稱為病例組，同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人稱為對照組，得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090能否有的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異?

從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”，與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為

證明：

利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出，的估計(jì)值，并利用的結(jié)果給出R的估計(jì)值.

附：，k【答案】解：得到列聯(lián)表如下：不夠良好良好總計(jì)病例組4060100對照組1090100總計(jì)50150200，

有的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異;

證明：，，

，，

又，，，

，

，

，，，

，

，

，

即，，R的估計(jì)值為

【解析】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)和條件概率的計(jì)算，屬中檔題.

列出列聯(lián)表，計(jì)算求解即可；

利用條件概率的計(jì)算公式即可證明；

將數(shù)據(jù)代入公式即可求解.9.（2022·新高考II卷第19題）在某地區(qū)進(jìn)行某種疾病調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位這種疾病患者的年齡，得到如下樣

本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.

估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表

估計(jì)該地區(qū)以為這種疾病患者年齡位于區(qū)間的概率;

已知該地區(qū)這種疾病患者的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口數(shù)占該地區(qū)總?cè)丝跀?shù)的，從該地區(qū)選出1人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率精確到【答案】解：平均年齡歲

設(shè)一人患這種疾病的年齡在區(qū)間，則

設(shè)任選一人年齡位于區(qū)間任選一人患這種疾病，

則由條件概率公式，得

【解析】本題考查了平均數(shù)，概率的求法，考查頻率分布直方圖、條件概率等知識(shí).【2021年真題】10.（2021·新高考I卷第8題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球、甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則(

)A.甲與丙相互獨(dú)立 B.甲與丁相互獨(dú)立 C.乙與丙相互獨(dú)立 D.丙與丁相互獨(dú)立【答案】B

【解析】【分析】本題考查相互獨(dú)立事件的概念，屬于中檔題.

若，則A與B相互獨(dú)立，即可得答案.【解答】解：由題意可知，兩次取出的球的數(shù)字之和為8的所有可能為：，，，，，兩次取出的球的數(shù)字之和為7的所有可能為：，，，，，可得甲、乙、丙、丁事件發(fā)生的概率為：甲，乙，丙，丁，又甲丙，甲丁，乙丙，丙丁所以甲丁甲丁，故選：B.11.（2021·新高考II卷第6題）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是(

)A.越小，該物理量在一次測量中在的概率越大

B.越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為

C.越小，該物理量在一次測量中小于與大于的概率相等

D.越小，該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等【答案】D

【解析】【分析】本題考查了正態(tài)分布的相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

由正態(tài)分布密度曲線的特征逐項(xiàng)判斷即可得解.【解答】解：對于A，為數(shù)據(jù)的方差，所以越小，數(shù)據(jù)在附近越集中，所以測量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大，故A正確；對于B，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為，故B正確；對于C，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于的概率與小于的概率相等，故C正確；對于D，因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，所以一次測量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，故D錯(cuò)誤.故選12.（2021·新高考I卷第9題）（多選）有一組樣本數(shù)據(jù)，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，其中，c為非零常數(shù)，則A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同 B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同 D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同【答案】CD

【解析】【分析】本題考查集中趨勢參數(shù)平均數(shù)、中位數(shù)及離散程度參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差、極差.利用平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差定義即可求解.【解答】解：假設(shè)，對于由樣本平均數(shù)定義，A錯(cuò)誤;

對于由中位數(shù)定義，兩組樣本數(shù)據(jù)樣本中位數(shù)不相同，B錯(cuò)誤;

對于由樣本標(biāo)準(zhǔn)差定義

，可得兩組樣本數(shù)據(jù)樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同，C正確;

對于由樣本極差定義，第一組數(shù)據(jù)樣本極差，第二組樣本數(shù)據(jù)極差，D正確;故答案為：13.（2021·新高考II卷第9題）（多選）下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本的離散程度的是(

)A.樣本的標(biāo)準(zhǔn)差 B.樣本的中位數(shù)

C.樣本的極差 D.樣本的平均數(shù)【答案】AC

【解析】【分析】本題考查了離散程度與集中趨勢的相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

判斷所給的選項(xiàng)哪些是考查數(shù)據(jù)的離散程度，哪些是考查數(shù)據(jù)的集中趨勢即可確定正確選項(xiàng).【解答】解：由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；故選14.（2021·新高考I卷第18題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競賽，有A，B兩類問題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分。

已知小明能正確回答A類問題的概率為，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．

若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．【答案】解：根據(jù)條件可知：若小明先回答A類問題，則小明的累計(jì)得分X的可能值為0，20，100，小明能正確回答A類問題的概率為，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為，；；，則X的分布列為X020100P若小明先回答B(yǎng)類問題，則小明的累計(jì)得分Y的可能值為0，80，100，同理可求；；則此時(shí)累計(jì)得分的期望值又由可求得，當(dāng)小明先回答A類問題時(shí)，累計(jì)得分的期望值，

，故為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題.【解析】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，相互獨(dú)立事件、對立事件的概率和求解辦法，考查用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，屬于中檔題．

根據(jù)題意，列舉小明先回答A類問題累計(jì)得分X的可能值，由于每題答題結(jié)果相互獨(dú)立，根據(jù)相互獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式得到X取不同值的概率．

同的方法可求出小明先回答B(yǎng)類問題，小明的累計(jì)得分Y取的不同值以及對應(yīng)概率值，再根據(jù)期望公式分別求出小明先回答A類問題和小明先回答B(yǎng)類問題的期望值，即可判斷出小明應(yīng)先回答哪類問題．15.（2021·新高考II卷第21題）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，已知，求；設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；根據(jù)你的理解說明問結(jié)論的實(shí)際含義．【答案】設(shè)，因?yàn)?，故，若，則，故，因?yàn)?，，故有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，且時(shí)，；時(shí)，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，若，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)且，而當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，故，故1為的一個(gè)最小正實(shí)根，若，因?yàn)榍以谏蠟闇p函數(shù)，故1為的一個(gè)最小正實(shí)根，綜上，若，則若，則，故此時(shí)，，故有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，且時(shí)，；時(shí)，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，故，又，故在存在一個(gè)零點(diǎn)p，且所以p為的一個(gè)最小正實(shí)根，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，意義：每一個(gè)該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1，則若干代后必然臨近滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過1，則若干代后還有繼續(xù)繁殖的可能.【解析】本題是對離散型隨機(jī)變量和導(dǎo)數(shù)的綜合考查，屬于拔高題.

利用公式計(jì)算可得利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合及極值點(diǎn)的范圍可得的最小正零點(diǎn).利用期望的意義及根的范圍可得相應(yīng)的理解說明.【2020年真題】16.（2020·新高考I卷第5題、II卷第5題）某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有的學(xué)生喜歡足球或游泳，的學(xué)生喜歡足球，的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為(

)A. B. C. D.【答案】C

【解析】【分析】本題考查韋恩圖的應(yīng)用，熟練掌握韋恩圖中各集合的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

根據(jù)韋恩圖中集合的關(guān)系運(yùn)算即可.【解答】解：由題意可得如下所示韋恩圖：

所求比例為：，

故答案為：故答案為：17.（2020·新高考II卷第9題）（多選）我國新冠肺炎疫情進(jìn)入常態(tài)化，各地有序推進(jìn)復(fù)工復(fù)產(chǎn)，下面是某