分類(lèi)思想在相似三角形中的應(yīng)用

分類(lèi)思想在相似三角形中的應(yīng)用分類(lèi)思想是化整為零、分別對(duì)待、各個(gè)擊破的一種思維策略，是數(shù)學(xué)思想中的一種重要的思想方法，現(xiàn)舉例說(shuō)明分類(lèi)思想在相似三角形中的應(yīng)用.一、對(duì)應(yīng)角不確定ABCEDl例1、如圖所示，∠A=500，∠B=600，一直線l與△ABC的邊AC、AB邊相交于點(diǎn)D、E兩點(diǎn)，當(dāng)∠ADEABCEDl分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和可知∠C=700，∠A是△ABC和△ADE的公共角，顯然是對(duì)應(yīng)角.當(dāng)∠ADE=∠C，或當(dāng)∠ADE=∠B，那么△ABC與△ADE相似.解：（1）當(dāng)∠ADE=∠C=700時(shí)，△ABC∽△AED.（2）當(dāng)∠ADE=∠B=600時(shí)，△ABC∽△ADE.所以當(dāng)∠ADE等于700或600時(shí)△ABC與△ADE相似.二、對(duì)應(yīng)邊不確定例2如圖1所示，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)的直線交AB于點(diǎn)Q，若以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形和以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似，則AQ的長(zhǎng)為（）(A)3 (B)3或 (C)3或 (D)圖1圖2圖3分析：由于以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形和以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形有一個(gè)公共角∠A，AQ的對(duì)應(yīng)邊是AB或AC，所以過(guò)點(diǎn)P的直線PQ應(yīng)有兩種作法.解：(1)如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PQ//BC，這時(shí)△AQP∽△ABC，則，可求的AQ=3;(2)如圖3，過(guò)點(diǎn)P作∠APQ=∠ABC，交AB于Q，這時(shí)△APQ∽△ABC，于是有，可求AQ=，故選(B)．三、對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)不確定例3、如圖（1），已知∠C=90°，D是AB上一點(diǎn)，在AC或BC上找一點(diǎn)E，使新形成的三角形與Rt△ABC相似，則滿足條件的點(diǎn)E有幾個(gè)？分析：D點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)可能是B點(diǎn)，也可能是C點(diǎn)，也可能是A點(diǎn)．解：如圖所示，過(guò)D作DE1⊥AC于E1，則△ADE1∽△ABC，②過(guò)D作DE2⊥AB交AC于E2，則△ADE2∽△ACB.③過(guò)D作DE3⊥BC于E3，則△DBE3∽△ABC.所以滿足條件的點(diǎn)E共有3個(gè).四、對(duì)應(yīng)高不確定例4、在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC邊上的高，并且，則∠BCA的度數(shù)為_(kāi)_________．分析：本題一方面考查相似三角形的識(shí)別方法和性質(zhì)，另一方面考查分類(lèi)討論的思想方法．由于題目沒(méi)有確切告知△ABC的形狀，所以BC邊上對(duì)應(yīng)的高AD可能在△ABC內(nèi)，也可能在△ABC外．解：（1）當(dāng)高AD在△ABC內(nèi)時(shí)，如圖1，因?yàn)锳D2=BD·DC，所以，又∠ADB=∠CDA，所以△ADB∽△CDA，所以∠BAD=∠ACD，又∠B=25°，故∠BCA=∠BAD=65°．圖1圖2（2）當(dāng)高AD在△ABC外時(shí)，如圖2，同理可知△ADB∽△CDA，所以∠ABD=∠CAD=25°，所以∠ACD=65°，所以∠BCA=180°-∠ACD=115°．故應(yīng)填65°或115°．用分類(lèi)討論思想解相似圖形難題所謂分類(lèi)討論思想就是根據(jù)問(wèn)題可能存在的多種情況進(jìn)行討論，防止出現(xiàn)漏解的一種數(shù)學(xué)思想.它能使同學(xué)們的思維日趨嚴(yán)謹(jǐn)。它的應(yīng)用大致可分為四個(gè)步驟：（1）確定分類(lèi)對(duì)象；（2）合理進(jìn)行分類(lèi)；（3）逐步進(jìn)行討論；（4）歸納討論結(jié)果，得出正確結(jié)論.下面舉幾例說(shuō)明分類(lèi)討論思想在相似圖形中的應(yīng)用.例1已知a、b、c為非零實(shí)數(shù)，且滿足,則一次函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)（）.A第一、二、三象限B第二、四象限C第一象限D(zhuǎn)第二象限分析：本題主要考察一次函數(shù)圖象性質(zhì)的靈活應(yīng)用，但如果思維不周的話，就容易漏掉的情形，因此可按和兩種情況討論.解：（1）當(dāng)時(shí)，,此時(shí)，圖象過(guò)第二、四象限；（2）當(dāng)時(shí)，應(yīng)用等比性質(zhì)可以得出：,此時(shí)的圖象過(guò)第一、二、三象限，結(jié)合兩種情況，函數(shù)圖象一定過(guò)第二象限，故選D.例2已知線段,若第四條線段與它們成比例式，則這樣的線段有幾條？分析：因?yàn)榈谒臈l線段大小不定，所以應(yīng)用分類(lèi)討論思想，利用比例的基本性質(zhì)：兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，把分類(lèi)點(diǎn)定為讓第四條線段分別與三條線段相乘，既可得到正確答案.解：設(shè)第四條線段為d,讓d分別與1、2、3相乘，得,所以這樣的線段有三條，分別為例3三角形一條高分這個(gè)三角形為兩個(gè)相似三角形，那么這個(gè)三角形為（）.A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形分析：因?yàn)橹恢纼蓚€(gè)三角形相似，并沒(méi)有指定頂點(diǎn)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以存在多種可能，所以可以把分類(lèi)點(diǎn)定在頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)上.解：（1）已知AD⊥BC，如圖（1）所示，若△ABD∽△ACD，則有∠B=∠C,所以AB=AC,所以△ABC為等腰三角形.（2）已知AD⊥BC，如圖（2）所示，若△ABD∽△CAD，所以∠B=∠CAD,∠C=∠BAD,又因?yàn)椤螩AD+∠BAD+∠B+∠C=,所以∠CAD+∠BAD=，即∠BAC=，此時(shí)△ABC為直角三角形，綜合上述兩種情況，△ABC為等腰三角形或直角三角形，故選D.例4一個(gè)鋼筋三角架三邊長(zhǎng)分別為20cm,50cm,60cm,現(xiàn)要再做一個(gè)與之相似的鋼筋三角架，而現(xiàn)在只有30分析：因?yàn)橹灰髢扇切蜗嗨?，所以存在多種可能，首先在截哪根上，可以發(fā)現(xiàn)只能截取50cm的一根，因?yàn)槿艚?0dm的一根，則不滿足三角形的三邊關(guān)系：“兩邊之和大于第三邊”.故只能截取50cm。其次，解：（1）若截取30cm為一邊，用50cm作另一邊，不成立，是因?yàn)椴粷M足兩邊之和大于第三邊，故只能截?。?）因?yàn)?0cm可以與三邊分別對(duì)應(yīng)，設(shè)截取的第三邊分別為：,1)當(dāng)30cm與20cm對(duì)應(yīng)時(shí)，有,解之得：,因?yàn)?5+90>50,故做不成三角形.2）當(dāng)30cm與50cm對(duì)應(yīng)時(shí)，有,解之得：12+36<50,成立.3）當(dāng)30cm與60cm對(duì)應(yīng)時(shí)，有，解之得：,10+25<50,成立。綜上所述，不同的截法有兩種，故選B.例5已知△ABC∽△ADE,AE=3,EC=5,BC=7,求DE的長(zhǎng).分析：因?yàn)轭}中并未提供圖形，所以應(yīng)該想到存在兩種可能，即“A”字型和“X”字型，這個(gè)題的分類(lèi)點(diǎn)就是圖形的多變性.解：（1）如圖3所示：因?yàn)椤鰽BC∽△ADE，所以所以所以.（2）如圖4所示，△ABC∽△ADE所以所以，所以，綜上所述，DE的長(zhǎng)為或.例6如圖5，∠ACB=∠D=,AB=a,AC=b,AD=c,當(dāng)線段a、b、c之間滿足什么關(guān)系時(shí)，圖中所示的三角形相似？分析：此題中Rt△ABC和Rt△ADC三邊均可用a、b、c表示，所以要使其相似，只要依據(jù)它們的兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例就可確定a、b、c之間的關(guān)系，但由于沒(méi)有告訴我們兩個(gè)三角形邊、角之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以應(yīng)根據(jù)邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系分兩種情況展開(kāi)討論.解：因?yàn)椤螦CB=∠D=，所以BC=,DC=所以，（1）當(dāng)時(shí)，△ABC∽△ACD，所以整理后得：(2)當(dāng)時(shí)，△ABC∽△CAD,所以,整理后得：.所以當(dāng)a、b、c滿足或時(shí)兩三角形相似.相似形中的多解題探因同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)相似三角形時(shí),經(jīng)常會(huì)遇到一題多解題,很多同學(xué)在學(xué)習(xí)時(shí)因缺乏正確的分析方法造成了解答上的不完整,從而導(dǎo)致漏解,多么可惜！為幫助同學(xué)們走出誤區(qū),現(xiàn)對(duì)相似形中常見(jiàn)的多解題的原因進(jìn)行分析,期望同學(xué)們能從中受到啟發(fā)：一、因條件開(kāi)放而引起例1、如圖，要使△ACD∽△ABC，只需添加條件________．(只要寫(xiě)出一種合適的條件即可)．分析：△ACD與△ABC有一公共角∠A，因此要使△ACD∽△ABC，根據(jù)兩個(gè)三角形相似的條件可知：需尋找另一組對(duì)應(yīng)角相等或∠A的兩邊對(duì)應(yīng)成比例即可．簡(jiǎn)解：添加條件可以是：∠1=∠ABC，∠2=∠ACB或AC2=AD×AB點(diǎn)評(píng)：公共角、對(duì)頂角、同角的余角（補(bǔ)角），兩直線平行時(shí)同位角、內(nèi)錯(cuò)角都是相等的，這些都是說(shuō)明兩個(gè)三角形相似的重要依據(jù)二、因結(jié)論開(kāi)放而引起例2、要做兩個(gè)形狀相同的三角形框架，其中一個(gè)框架的三邊長(zhǎng)分別是4、5、6，另一個(gè)框架的一邊長(zhǎng)是2，怎樣選料可使這兩個(gè)三角形相似？分析：由于邊長(zhǎng)為2的三角形三邊關(guān)系不明確，邊長(zhǎng)為2的邊可以是最長(zhǎng)邊、中間邊和最短邊，因此應(yīng)分三種情況討論簡(jiǎn)解：（1）、若2為最長(zhǎng)邊，設(shè)其他兩邊分別為x、y，由相似三角形性質(zhì)有：，解得：x=，y=（2）、若2為中間邊，設(shè)其他兩邊分別為x、y，由相似三角形性質(zhì)有：解得：x=，y=（3）、若2為最短邊，設(shè)其他兩邊分別為x、y，由相似三角形性質(zhì)有：，解得：x=2.5，y=3三、因圖形形狀不確定而引起例3、在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC邊上的高，并且，則∠BCA的度數(shù)為_(kāi)___________．分析：三角形的高是三角形中最活躍的元素，應(yīng)分AD在三角形內(nèi)部和外部進(jìn)行討論：簡(jiǎn)解：（1）、當(dāng)AD在△ABC內(nèi)部時(shí)，如圖（1），由AD=BD·DC，可得△ABD∽△CAD∴∠BCA=∠BAD=65°BACD圖2ABCD圖1（2）、當(dāng)AD在△ABC外部時(shí)，如圖（2），由AD=BD·DC，得△ABD∽△CAD，∴∠B=∠CADBACD圖2ABCD圖1四、因點(diǎn)或線的運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致位置的不確定而引起例4、如圖，△ABC中，BC=8，AC=6，點(diǎn)P從B出發(fā)，沿BC方向以2m/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C出發(fā)，沿CA方向以1cm/s的速度移動(dòng)，若P、Q分別從B、C同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則△CPQ能否與△CBA相似？若能，求出BP分析：本題是一道探索型試題，尋找使結(jié)論成立的條件，這類(lèi)題看起來(lái)簡(jiǎn)單，但由于探索充分條件，故有一定的難度，因題中的△CPQ與△CBA有一公共角，若要它們相似，則須PQ∥AB或成立時(shí)滿足結(jié)論要求簡(jiǎn)解：設(shè)經(jīng)過(guò)t秒時(shí)△CPQ與△CBA相似，此時(shí)BP=2t，CQ=t，CP=8—2t，（1）、當(dāng)PQ∥AB時(shí)，△CPQ∽△CBA，即，∴，解得t=2.4（2）、當(dāng)時(shí)，△CPQ∽△CBA，即，∴，解得t=故經(jīng)過(guò)2.4或時(shí)，△CPQ∽△CBA配套練習(xí)如圖，已知∠1=∠2，若再增加一個(gè)條件就能使結(jié)論“AB·DE=AD·BC”成立，則這個(gè)條件可以是2、如圖，在平面坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A（4，0）、B（0，2），動(dòng)點(diǎn)C在x軸上運(yùn)動(dòng)（C與A不重合），當(dāng)由點(diǎn)B、O、C構(gòu)成的三角形與△AOB相似時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)C的坐標(biāo)3、如圖，矩形ABCD中，AB=10cm，BC=20cm，兩只螞蟻P和Q分別從A、B出發(fā)，沿AB、BC方向前進(jìn)，分別到達(dá)終點(diǎn)B點(diǎn)和C點(diǎn)，已知P螞蟻的速度是1cm/S，Q螞蟻的速度是2cm/S，若兩只螞蟻同時(shí)出發(fā)，求經(jīng)過(guò)多少時(shí)間△PBQ答案：1、∠D=∠B或∠AED=∠ACB2、（1，0）或（-1，0）或（4，0）3、t=2（s）或t=5（s）《相似圖形》中的“多值”《相似圖形》一章，“兩值或多值”問(wèn)題常常制造“陷阱”，解題時(shí)常因?yàn)榇中亩暨M(jìn)去。為此，可以從以下幾個(gè)方面來(lái)預(yù)防這一種“多發(fā)病，常見(jiàn)病”，以防范于未然。一、黃金分割點(diǎn)構(gòu)成“兩值”問(wèn)題。例1、線段AB長(zhǎng)1，點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，則AC＝__________。解析：由黃金分割意義，可能AC>BC，也可能AC<BC，這就需要考慮兩值。當(dāng)AC>BC時(shí)，AC2=AB．BC，從而，AC=；當(dāng)AC<BC時(shí)，BC2=AB．AC，從而，BC=，AC=。二、等比性質(zhì)的條件設(shè)計(jì)“兩值”問(wèn)題。若…=，且b+d+f+…+n≠0，則這個(gè)性質(zhì)叫等比性質(zhì)，使用時(shí)一定要注意條件b+d+f+…+n≠0。例2、已知：x＝，求x。解析：注意運(yùn)用等比性質(zhì)時(shí)，需要的條件限制，從而考慮兩種情況。①當(dāng)，即時(shí)，x＝＝－1；②當(dāng)時(shí)，運(yùn)用等比性質(zhì)得，x＝所以，或。三、比例項(xiàng)的位置開(kāi)放造就“多值”。例3、已知長(zhǎng)度為2，4，9的三條線段，再補(bǔ)充一條線段，使他們對(duì)應(yīng)成比例。你補(bǔ)充的線段長(zhǎng)度是____________。解析：由比例線段知，補(bǔ)充的線段可能是四個(gè)比例項(xiàng)中的某個(gè)，應(yīng)從四個(gè)數(shù)中來(lái)選擇。設(shè)所填數(shù)為x，若是第一比例項(xiàng)，則x：2=4：9，得；若是第二比例項(xiàng)，則2：x=4：9，得；若是第三比例項(xiàng)，則2：4=x：9，得x=4.5；若是第四比例項(xiàng)，則2：4=9：x，得x=18。四、由于對(duì)應(yīng)關(guān)系，造成“兩值或多值”。例4、邊長(zhǎng)為4、5、6的三角形與一邊長(zhǎng)是2的三角形相似，求此三角形其余兩邊的長(zhǎng)。解析：邊長(zhǎng)為2的這邊可能與邊長(zhǎng)為4、5、6對(duì)應(yīng)，造成三種情況。①2對(duì)應(yīng)4時(shí)，設(shè)其余兩邊為x、y，則，從而，x＝，y＝3；②2對(duì)應(yīng)5時(shí)，，從而，x＝，y＝；③當(dāng)2與6對(duì)應(yīng)時(shí)，，得，x＝，y＝。例5、已知：△ABC中，AB＝16，AC＝12，D是AC上的一點(diǎn)，AD＝5，過(guò)點(diǎn)D作直線DE交AB于，以A，B，E三點(diǎn)的三角形與△ABC能否相似，若能，求AE的長(zhǎng)；若不能，說(shuō)明理由。解析：由于AE可能與AB，AC是對(duì)應(yīng)邊，從而造成“兩值”。當(dāng)AE與AB對(duì)應(yīng)時(shí)，注意前提條件，圖形已知∠Ａ是公共角，所以當(dāng)時(shí)，△AED∽△ABC，代人數(shù)據(jù)可求AE。當(dāng)AE與AC對(duì)應(yīng)時(shí)，，代入數(shù)據(jù)，可求AE。例6、已知：梯形