人A選擇性必修第三冊數(shù)學(xué)

eq\a\vs4\al(第六章)eq\a\vs4\al(計(jì)數(shù)原理)6．1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理1.通過實(shí)例，能歸納總結(jié)出分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.能根據(jù)具體問題的特征，選擇“分類”或“分步”.能利用兩個(gè)原理解決一些簡單的實(shí)際問題.3.通過理解兩個(gè)原理的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)，通過利用兩個(gè)原理解決實(shí)際問題的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).第一課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理知識點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理(一)教材梳理填空[微思考]若完成一件事情有n類不同的方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法……在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？提示：共有m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．(二)基本知能小試1．判斷正誤(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事．()(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．()答案：(1)√(2)×2.完成一項(xiàng)工作，有兩種方法，有5個(gè)人只會用第一種方法，另外有4個(gè)人只會用第二種方法，從這9個(gè)人中選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作，則不同的選法共有()A．5種 B．4種C．9種 D．45種解析：選C會用第一種方法的有5個(gè)人，選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作有5種選擇；會用第二種方法的有4個(gè)人，選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作有4種選擇；兩者相加一共有9種選擇，故選C.3．從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法數(shù)為________．解析：分三類：第一類，乘汽車，從3次中選1次有3種走法；第二類，乘火車，從4次中選1次有4種走法；第三類，乘輪船，從2次中選1次有2種走法．所以，共有3＋4＋2＝9種不同的走法．答案：9知識點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理(一)教材梳理填空[微思考]完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，則完成這件事共有多少種不同的方法？提示：共有m1×m2×…×mn種不同的方法．(二)基本知能小試1．判斷正誤(1)從甲地經(jīng)乙地到丙地是分步問題．()(2)分類就是能“一步到位”，分步只能“局部到位”．()(3)分類時(shí)，各類之間是互相獨(dú)立且排斥的，分步時(shí)，各步之間是互相依存、互相聯(lián)系的．()答案：(1)√(2)√(3)√2．已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，則x·y可表示不同的值的個(gè)數(shù)為()A．10 B．6C．8 D．9解析：選D因?yàn)閤從集合{2,3,7}中任取一個(gè)值共有3個(gè)不同的值，y從集合{－3，－4,8}中任取一個(gè)值共有3個(gè)不同的值，故x·y可表示3×3＝9個(gè)不同的值．3．某地地鐵一號線正式開通的時(shí)候，兩位同學(xué)同時(shí)去乘坐地鐵，已知該列地鐵有6節(jié)車廂，兩人進(jìn)入車廂的方法數(shù)共有()A．15種 B．30種C．36種 D．64種解析：選C每位同學(xué)都可以進(jìn)入地鐵中的任何一節(jié)車廂，每個(gè)人都有6種方法，所以兩人進(jìn)入車廂的方法數(shù)共有6×6＝36種．故選C.

題型一分類加法計(jì)數(shù)原理[學(xué)透用活](1)分類加法計(jì)數(shù)原理中的“完成一件事有兩類不同方案”，是指完成這件事的所有方案可以分為兩類，即任何一類方案中的任何一種方法都可以完成任務(wù)，兩類方案中沒有相同的方法，且完成這件事的任何一種方法都在某一類方案中．(2)分類時(shí)要根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)，即分類要按同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類，一般地，標(biāo)準(zhǔn)不同，分類的結(jié)果也不同．(3)分類時(shí)要注意滿足一個(gè)基本要求：完成這件事的任何一種方法必須屬于且只能屬于某一類方案，即“不重不漏”，如下所示．[典例1]在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為__________．[解析]法一：根據(jù)題意，將十位上的數(shù)字按1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個(gè)，7個(gè)，6個(gè)，5個(gè)，4個(gè)，3個(gè)，2個(gè)，1個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個(gè))．法二：分析個(gè)位數(shù)字，可分以下幾類：個(gè)位是9，則十位可以是1,2,3，…，8中的一個(gè)，故共有8個(gè)；個(gè)位是8，則十位可以是1,2,3，…，7中的一個(gè)，故共有7個(gè)；同理，個(gè)位是7的有6個(gè)；……個(gè)位是2的有1個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個(gè))．[答案]36eq\a\vs4\al([方法技巧])利用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)時(shí)的解題流程[提醒]確定分類標(biāo)準(zhǔn)時(shí)要確保每一類都能獨(dú)立的完成這件事．[對點(diǎn)練清]1．[變條件]若本例條件變?yōu)閭€(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字且為偶數(shù)，那么這樣的兩位數(shù)有多少個(gè)？解：當(dāng)個(gè)位數(shù)字是8時(shí)，十位數(shù)字取9，只有1個(gè)．當(dāng)個(gè)位數(shù)字是6時(shí)，十位數(shù)字可取7,8,9，共3個(gè)．當(dāng)個(gè)位數(shù)字是4時(shí)，十位數(shù)字可取5,6,7,8,9，共5個(gè)．同理可知，當(dāng)個(gè)位數(shù)字是2時(shí)，共7個(gè)，當(dāng)個(gè)位數(shù)字是0時(shí)，共9個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有1＋3＋5＋7＋9＝25(個(gè))．2．某校高三共有三個(gè)班，其各班人數(shù)如下表：班級男生人數(shù)女生人數(shù)總?cè)藬?shù)高三1班302050高三2班303060高三3班352055(1)從三個(gè)班中選一名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會主席，有多少種不同的選法？(2)從1班、2班男生中或從3班女生中選一名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會生活部部長，有多少種不同的選法？解：(1)從三個(gè)班中任選一名學(xué)生，可分三類：第一類，從1班任選一名學(xué)生，有50種不同選法；第二類，從2班任選一名學(xué)生，有60種不同選法；第三類，從3班任選一名學(xué)生，有55種不同選法．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的選法種數(shù)為N＝50＋60＋55＝165.(2)由題設(shè)知共有三類方案：第一類，從1班男生中任選一名學(xué)生，有30種不同選法；第二類，從2班男生中任選一名學(xué)生，有30種不同選法；第三類，從3班女生中任選一名學(xué)生，有20種不同選法．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的選法種數(shù)為N＝30＋30＋20＝80.題型二分步乘法計(jì)數(shù)原理[學(xué)透用活](1)分步乘法計(jì)數(shù)原理中的“完成一件事需要兩個(gè)步驟”，是指完成這件事的任何一種方法都要分成兩個(gè)步驟，任取一種方法，相繼完成這兩個(gè)步驟就能完成這件事，即各個(gè)步驟是相互依存的，每個(gè)步驟都要做完才能完成這件事．(2)分步時(shí)，要根據(jù)問題的特點(diǎn)確定分步標(biāo)準(zhǔn)，標(biāo)準(zhǔn)不同，分成的步驟數(shù)也會不同．(3)合理的步驟應(yīng)當(dāng)滿足：①完成這件事情必須連續(xù)做完所有步驟，即分別從各個(gè)步驟中選一種完成該步驟的方法，將各步驟中所選方法依次完成就得到完成這件事情的一種方法；②完成任何一個(gè)步驟可選用的方法與其他步驟所選用的方法無關(guān)．簡而言之，就是應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理時(shí)要做到“步驟完整”．[典例2]從－2，－1,0,1,2,3這六個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)不重復(fù)的數(shù)字作為二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的系數(shù)a，b，c，則可以組成拋物線的條數(shù)為多少？[解]由題意知a不能為0，故a的值有5種選法；b的值也有5種選法；c的值有4種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，可以組成拋物線的條數(shù)為5×5×4＝100(條)．eq\a\vs4\al([方法技巧])利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)時(shí)的解題流程[提醒]分步時(shí)要注意不能遺漏步驟，否則就不能完成這件事．[對點(diǎn)練清]1．[變條件]若本例中的二次函數(shù)圖象開口向下，則可以組成多少條拋物線？解：需分三步完成，第一步確定a有2種方法，第二步確定b有5種方法，第三步確定c有4種方法，故可組成2×5×4＝40條拋物線．2．[變條件、變設(shè)問]若從本例的六個(gè)數(shù)字中選2個(gè)作為橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的參數(shù)m，n，則可以組成橢圓的個(gè)數(shù)是多少？解：據(jù)條件知m>0，n>0，且m≠n，故需分兩步完成，第一步確定m，有3種方法，第二步確定n，有2種方法，故可以組成橢圓的個(gè)數(shù)為3×2＝6(個(gè))．3．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的點(diǎn)．問：(1)點(diǎn)P可表示平面上多少個(gè)不同的點(diǎn)？(2)點(diǎn)P可表示平面上第二象限內(nèi)多少個(gè)不同的點(diǎn)？解：(1)確定平面上的點(diǎn)P(a，b)，可分兩步完成：第1步確定a的值，有6種不同的結(jié)果；第2步確定b的值，也有6種不同的結(jié)果．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到點(diǎn)P可表示平面上不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6×6＝36.(2)確定平面上第二象限內(nèi)的點(diǎn)P(a，b)，可分兩步完成：第1步確定a的值，由于a<0，所以有3種不同的結(jié)果；第2步確定b的值，由于b>0，所以有2種不同的結(jié)果．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到點(diǎn)P可表示平面上第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3×2＝6.題型三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的簡單綜合應(yīng)用[探究發(fā)現(xiàn)]如何區(qū)分一個(gè)問題是“分類”還是“分步”？提示：如果完成這件事，可以分幾種情況，每種情況中任何一種方法都能完成任務(wù)，則是分類；而從其中一種情況中任取一種方法只能完成一部分任務(wù)，且只有依次完成各種情況，才能完成這件事，則是分步．[學(xué)透用活][典例3]王華同學(xué)有課外參考書若干本，其中有5本不同的外語書，4本不同的數(shù)學(xué)書，3本不同的物理書，他欲帶參考書到圖書館閱讀．(1)若他從這些參考書中帶1本去圖書館，有多少種不同的帶法？(2)若帶外語、數(shù)學(xué)、物理參考書各1本，有多少種不同的帶法？[解](1)要完成的事情是帶1本參考書，無論是帶外語書，還是帶數(shù)學(xué)書、物理書，事情都可完成，從而根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有5＋4＋3＝12(種)不同的帶法．(2)要完成的事情是帶3本不同學(xué)科的參考書，只有從外語、數(shù)學(xué)、物理書中各選1本后，才能完成這件事，因此根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5×4×3＝60(種)不同的帶法．eq\a\vs4\al([方法技巧])利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn)(1)當(dāng)題目無從下手時(shí)，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事，然后給出完成這件事的一種或幾種方法，從這幾種方法中歸納出解題方法．(2)分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重不漏，有時(shí)要恰當(dāng)畫出示意圖或樹形圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律．(3)綜合問題一般是先分類再分步．[對點(diǎn)練清]某電視臺的主持人在某綜藝節(jié)目中拿出兩個(gè)信箱，其中放著競猜中成績優(yōu)秀的觀眾來信，甲箱中有30封，乙箱中有20封，現(xiàn)由主持人抽獎(jiǎng)確定幸運(yùn)觀眾，若先從中確定一名幸運(yùn)之星，再從兩箱中各確定一名幸運(yùn)觀眾，則有多少種不同結(jié)果？解：①若幸運(yùn)之星在甲箱中抽取，則有30×29×20＝17400(種)不同的結(jié)果；②若幸運(yùn)之星在乙箱中抽取，則有20×19×30＝11400(種)不同的結(jié)果．故共有17400＋11400＝28800(種)不同結(jié)果．[課堂思維激活]一、綜合性——強(qiáng)調(diào)融會貫通1．(多選)幾只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：(1)甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝A，B，C；(2)乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝D，E，F(xiàn)；(3)丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝G，A，C；(4)丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝B，D，H；(5)戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝I，C，E.下列結(jié)論正確的有()A．最高處的樹枝為G，I當(dāng)中的一個(gè)B．最低處的樹枝一定是FC．這九棵樹枝從高到低不同的順序共有33種D．這九棵樹枝從高到低不同的順序共有32種解析：選AC由題判斷出部分樹枝由高到低的順序?yàn)镚ABCEF，還剩下D，H，I，且樹枝I比C高，樹枝D在樹枝B，E之間，樹枝H比D低，故A選項(xiàng)正確；先看樹枝I，有4種可能，若I在B，C之間，則D有3種可能：①D在B，I之間，H有5種可能；②D在I，C之間，H有4種可能；③D在C，E之間，H有3種可能，此時(shí)樹枝的高低順序有5＋4＋3＝12(種)可能．若I不在B，C之間，則I有3種可能，D有2種可能，若D在B，C之間，則H有4種可能，若D在C，E之間，則H有3種可能，此時(shí)樹枝的高低順序有3×(4＋3)＝21(種)可能，故這九根樹枝從高到低不同的順序共有12＋21＝33(種)，故C選項(xiàng)正確．故選A、C.二、應(yīng)用性——強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用2．如圖，一只螞蟻沿著長方體的棱，從頂點(diǎn)A爬到相對頂點(diǎn)C1，求其中經(jīng)過3條棱的路線共有多少條？解：從總體上看有三類方法，分別經(jīng)過AB，AD，AA1.從局部上看每一類又需分兩步完成．故第一類：經(jīng)過AB，有1×2＝2(條)；第二類：經(jīng)過AD，有1×2＝2(條)；第三類：經(jīng)過AA1，有1×2＝2(條)．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，從頂點(diǎn)A到頂點(diǎn)C1經(jīng)過3條棱的路線共有N＝2＋2＋2＝6(條)．三、創(chuàng)新性——強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維3.若自然數(shù)n使得作豎式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，則稱n為“開心數(shù)”．例如：32是“開心數(shù)”，因?yàn)?2＋33＋34不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象；23不是“開心數(shù)”，因?yàn)?3＋24＋25產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，那么，小于100的“開心數(shù)”的個(gè)數(shù)為()A．9 B．10C．11 D．12解析：選D根據(jù)題意個(gè)位數(shù)需要滿足要求：∵n＋(n＋1)＋(n＋2)＜10，即n＜2.3，∴個(gè)位數(shù)可取0,1,2三個(gè)數(shù)，∵十位數(shù)需要滿足：3n＜10，∴n＜3.3，∴十位可以取0,1,2,3四個(gè)數(shù)，故小于100的“開心數(shù)”共有3×4＝12(個(gè))．故選D.4.數(shù)學(xué)與文學(xué)有許多奇妙的聯(lián)系，如詩中有回文詩“兒憶父兮妻憶夫”，既可以順讀也可以逆讀．?dāng)?shù)學(xué)中有回文數(shù)，如343,12521等．兩位數(shù)的回文數(shù)有11,22,33，…，99共9個(gè)，則在三位數(shù)的回文數(shù)中偶數(shù)的個(gè)數(shù)是____________．解析：由題意，若三位數(shù)的回文數(shù)是偶數(shù)，則末(首)位可能為2,4,6,8.如果末(首)位為2，中間一位數(shù)有10種可能，同理可得，如果末(首)位為4或6或8，中間一位數(shù)均有10種可能，所以有4×10＝40(個(gè))．答案：40[課下梯度訓(xùn)練]層級(一)“四基”落實(shí)練1．甲、乙兩個(gè)班級分別有29名、30名學(xué)生，從兩個(gè)班中選一名學(xué)生，則()A．有29種不同的選法B．有30種不同的選法C．有59種不同的選法D．有29×30種不同的選法解析：選C分兩類：第一類從甲班選有29種方法，第二類從乙班選有30種方法．由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有29＋30＝59種不同方法．故選C.2．從集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)a＋bi，其中虛數(shù)有()A．30個(gè) B．42個(gè)C．36個(gè) D．35個(gè)解析：選C要完成這件事可分兩步，第一步確定b(b≠0)有6種方法，第二步確定a有6種方法，故由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有6×6＝36個(gè)虛數(shù)．3．已知某教學(xué)大樓共有四層，每層都有東、西兩個(gè)樓梯，則從一層到四層不同的走法種數(shù)為()A．32B．23C．43解析：選B根據(jù)題意，從一層到二層，有2種走法，同理從二層到三層、從三層到四層也各有2種走法，則從一層到四層共有2×2×2＝23種走法．4．將3名防控新冠疫情志愿者全部分配給2個(gè)不同的社區(qū)服務(wù)，不同的分配方案有()A．12種 B．9種C．8種 D．6種解析：選C每名防控新冠疫情志愿者都有兩種不同的分配方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的分配方案總數(shù)為23＝8種．故選C.5．小紅有4件不同顏色的襯衣，3件不同花樣的裙子，另有2套不同樣式的連衣裙．“五一”節(jié)需選擇一套服裝參加歌舞演出，則小紅選擇穿的不同的衣服有()A．24種 B．14種C．10種 D．9種解析：選B首先分兩類．第一類是穿襯衣和裙子，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有4×3＝12種；第二類是穿連衣裙有2種．所以由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有12＋2＝14種穿衣服的方式．6．一學(xué)習(xí)小組有4名男生、3名女生，任選一名學(xué)生當(dāng)數(shù)學(xué)課代表，共有________種不同選法；若選男女生各一名當(dāng)組長，共有________種不同選法．解析：任選一名當(dāng)數(shù)學(xué)課代表可分兩類，一類是從男生中選，有4種選法；另一類是從女生中選，有3種選法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同選法共有4＋3＝7(種)．若選男女生各一名當(dāng)組長，需分兩步：第1步，從男生中選一名，有4種選法；第2步，從女生中選一名，有3種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同選法共有4×3＝12(種)．答案：7127．某學(xué)生去書店，發(fā)現(xiàn)3本好書，決定至少買其中一本，則購買方式共有________種．解析：分3類：買1本好書，買2本好書和買3本好書，各類的購買方式依次有3種、3種和1種，故購買方式共有3＋3＋1＝7(種)．答案：78．直線方程Ax＋By＝0，若從0,1,2,3,5,7這6個(gè)數(shù)字中每次取兩個(gè)不同的數(shù)作為A，B的值，則可表示________條不同的直線．解析：若A或B中有一個(gè)為零時(shí)，有2條；當(dāng)AB≠0時(shí)，有5×4＝20條，則共有20＋2＝22(條)，即所求的不同的直線共有22條．答案：229．某公園休息處東面有8個(gè)空閑的凳子，西面有6個(gè)空閑的凳子，小明與爸爸來這里休息．(1)若小明爸爸任選一個(gè)凳子坐下(小明不坐)，有幾種坐法？(2)若小明與爸爸分別就座，有多少種坐法？解：(1)小明爸爸選凳子可以分兩類：第一類：選東面的空閑凳子，有8種坐法；第二類：選西面的空閑凳子，有6種坐法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，小明爸爸共有8＋6＝14種坐法．(2)小明與爸爸分別就座，可以分兩步完成：第一步，小明先就座，從東西面共8＋6＝14個(gè)空閑凳子中選一個(gè)坐下，共14種坐法(小明坐下后，空閑凳子數(shù)變成13)；第二步，小明爸爸再就座，從東西面共13個(gè)空閑凳子中選一個(gè)坐下，共13種坐法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，小明與爸爸分別就座共有14×13＝182種坐法．10．已知a∈{1,2,3}，b∈{4,5,6,7}，r∈{8,9}，則方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示多少個(gè)不同的圓？解：完成表示不同的圓這件事，可以分為三步：第一步：確定a有3種不同的選取方法；第二步：確定b有4種不同的選取方法；第三步：確定r有2種不同的選取方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圓共有3×4×2＝24(個(gè))．層級(二)能力提升練1．若m，n均為非負(fù)整數(shù)，在做m＋n的加法時(shí)各位均不進(jìn)位(例如，134＋3802＝3936)，則稱(m，n)為“簡單的”有序?qū)Γ鴐＋n稱為有序數(shù)對(m，n)的值，那么值為2964的“簡單的”有序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)是()A．525 B．1050C．432 D．864解析：選B由題意知本題是一個(gè)分步乘法計(jì)數(shù)原理，第一位取法有3種，分別為0,1,2，第二位取法有10種，分別為0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，第三位取法有7種，分別為0,1,2,3,4,5,6，第四位取法有5種，分別為0,1,2,3,4根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有3×10×7×5＝1050(個(gè))．故選B.2.如圖，一條電路從A處到B處接通時(shí)，可構(gòu)成線路的條數(shù)為()A．8 B．6C．5 D．3解析：選B從A處到B處的電路接通可分兩步：第一步，前一個(gè)并聯(lián)電路接通有2條線路；第二步，后一個(gè)并聯(lián)電路接通有3條線路．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知電路從A處到B處接通時(shí)，可構(gòu)成線路的條數(shù)為2×3＝6，故選B.3．已知集合A＝{0,3,4}，B＝{1,2,7,8}，集合C＝{x|x∈A或x∈B}，則當(dāng)集合C中有且只有一個(gè)元素時(shí)，C的情況有________種．解析：分兩種情況：當(dāng)集合C中的元素屬于集合A時(shí)，有3種；當(dāng)集合C中的元素屬于集合B時(shí)，有4種．因?yàn)榧螦與集合B無公共元素，所以集合C的情況共有3＋4＝7(種)．答案：74．從集合{1,2,3，…，10}中任意選出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列有多少個(gè)？解：當(dāng)公比為2時(shí)，等比數(shù)列可為1,2,4；2,4,8；當(dāng)公比為3時(shí)，等比數(shù)列可為1,3,9；當(dāng)公比為eq\f(3,2)時(shí)，等比數(shù)列可為4,6,9.同時(shí)，4,2,1；8,4,2；9,3,1和9,6,4也是等比數(shù)列，共8個(gè)．5．標(biāo)號為A，B，C的三個(gè)口袋，A袋中有1個(gè)紅色小球，B袋中有2個(gè)不同的白色小球，C袋中有3個(gè)不同的黃色小球，現(xiàn)從中取出2個(gè)小球．(1)若取出的兩個(gè)球的顏色不同，有多少種取法？(2)若取出的兩個(gè)小球顏色相同，有多少種取法？解：(1)若兩個(gè)球顏色不同，則應(yīng)在A，B袋中各取1個(gè)，或A，C袋中各取1個(gè)，或B，C袋中各取1個(gè)，共有1×2＋1×3＋2×3＝11種取法．(2)若兩個(gè)球顏色相同，則應(yīng)在B袋中取出兩個(gè)，或在C袋中取出兩個(gè)，共有1＋3＝4種取法．第二課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用題型一數(shù)字排列組數(shù)問題[學(xué)透用活][典例1]用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字，(1)可以排成多少個(gè)三位數(shù)？(2)可以排出多少個(gè)三位數(shù)字的號碼？(3)可以排成多少個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？[解](1)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種排法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100個(gè)．(2)三位數(shù)字的號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個(gè)位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125個(gè)．(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12種排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18種排法．因而有12＋18＝30種排法，即可以排成30個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．eq\a\vs4\al([方法技巧])解決組數(shù)問題的方法(1)對于組數(shù)問題，一般按特殊位置(一般是末位和首位)優(yōu)先的方法分類或分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法從反面求解．(2)解決組數(shù)問題，應(yīng)特別注意其限制條件，有些條件是隱藏的，要善于挖掘．排數(shù)時(shí)，要注意特殊元素、特殊位置優(yōu)先的原則．[提醒]數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位．[對點(diǎn)練清]1．[變設(shè)問]在本例條件下，可以排成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？解：完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個(gè)位，只能從1,3中任取一個(gè)，有2種方法；第二步定首位，把1,2,3,4中除去用過的一個(gè)還有3個(gè)可任取一個(gè)，有3種方法；第三步，第四步把剩下的包括0在內(nèi)的還有3個(gè)數(shù)字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有2×3×3×2＝36個(gè)．2．[變設(shè)問]在本例條件下，可以排成多少個(gè)能被3整除的四位數(shù)？解：一個(gè)四位數(shù)能被3整除，必須各位上數(shù)字之和能被3整除，故組成四位數(shù)的四個(gè)數(shù)字只能是0,1,2,3或0,2,3,4兩類．所以滿足題設(shè)的四位數(shù)共有2×3×3×2×1＝36個(gè)．題型二選(抽)取與分配問題[學(xué)透用活][典例2]在7名學(xué)生中，有3名會下象棋但不會下圍棋，有2名會下圍棋但不會下象棋，另2名既會下象棋又會下圍棋，現(xiàn)在從7人中選2人分別參加象棋比賽和圍棋比賽，共有多少種不同的選法？[解]法一.分四類：第1類，從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，同時(shí)從2名只會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽，有選法3×2＝6(種)；第2類，從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，同時(shí)從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽，有選法3×2＝6(種)；第3類，從2名只會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽，同時(shí)從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，有選法2×2＝4(種)；第4類，從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中各選1名分別參加象棋比賽和圍棋比賽，有選法2×1＝2(種)．故不同的選法共有6＋6＋4＋2＝18(種)．法二.分兩類：第1類，從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，這時(shí)7人中還有4人會下圍棋，從中選1名參加圍棋比賽．有選法3×4＝12(種)．第2類，從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選一名參加象棋比賽，這時(shí)7人中還有3人會下圍棋，從中選1名參加圍棋比賽．有選法2×3＝6(種)．故不同的選法共有12＋6＝18(種)．eq\a\vs4\al([方法技巧])解決抽取(分配)問題的方法(1)當(dāng)涉及對象數(shù)目不大時(shí)，一般選用枚舉法、樹形圖法、框圖法或者圖表法．(2)當(dāng)涉及對象數(shù)目很大時(shí)，一般有兩種方法：①直接使用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理．一般地，若抽取是有順序的就按分步進(jìn)行；若按對象特征抽取的，則按分類進(jìn)行．②間接法：去掉限制條件計(jì)算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可．[對點(diǎn)練清]1．某班有9名運(yùn)動員，其中5人會打籃球，6人會踢足球，現(xiàn)從中選出2人分別參加籃球賽和足球賽，則不同的選派方案有()A．28種 B．30種C．27種 D．29種解析：選A有9名運(yùn)動員，其中5人會打籃球，6人會踢足球，則有2人既會踢足球又會打籃球，有3人只會打籃球，有4人只會踢足球，所以選派的方案有四類：選派兩種球都會的運(yùn)動員有2種方案；選派兩種球都會的運(yùn)動員中一名踢足球，只會打籃球的運(yùn)動員打籃球，有2×3＝6(種)方案；選派兩種球都會的運(yùn)動員中一名打籃球，只會踢足球的運(yùn)動員踢足球，有2×4＝8(種)方案；選派只會打籃球和踢足球的運(yùn)動員分別打籃球和踢足球，有3×4＝12(種)方案．綜上可知，共有2＋6＋8＋12＝28(種)方案，故選A.2．高二年級的三個(gè)班去甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠參觀學(xué)習(xí)，去哪個(gè)工廠可以自由選擇，甲工廠必須有班級要去，則不同的參觀方案有()A．16種 B．18種C．37種 D．48種解析：選C根據(jù)題意，若不考慮限制條件，每個(gè)班級都有4種選擇，共有4×4×4＝64種情況，其中甲工廠沒有班級去，即每個(gè)班都選擇了其他三個(gè)工廠，此時(shí)每個(gè)班級都有3種選擇，共有3×3×3＝27種方案；則符合條件的有64－27＝37種．題型三涂色問題[學(xué)透用活][典例3]用3種不同顏色填涂圖中A，B，C，D四個(gè)區(qū)域，且使相鄰區(qū)域不同色，若按從左到右依次涂色，有多少種不同的涂色方案？ABCD[解]涂A區(qū)域有3種涂法，B，C，D區(qū)域各有2種不同的涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理將A，B，C，D四個(gè)區(qū)域涂色共有3×2×2×2＝24(種)不同方案．eq\a\vs4\al([方法技巧])求解涂色問題一般是直接利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解，常用方法有：(1)按區(qū)域的不同以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析；(2)以顏色為主分類討論，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”問題，用分類加法計(jì)數(shù)原理分析；(3)根據(jù)不同要求，涂色問題可以采用分類法，也可以采用分步法，有時(shí)分類中又有分步，或者一個(gè)步驟中又有分類，這時(shí)要處理好“類中有步”“步中有類”的關(guān)系，為避免出錯(cuò)，在解題時(shí)一定要按照類別分開列式．[對點(diǎn)練清]1．在本例中，若恰好用3種不同顏色涂A，B，C，D四個(gè)區(qū)域，那么哪些區(qū)域必同色？把四個(gè)區(qū)域涂色，共有多少種不同的涂色方案？解：恰用3種不同顏色涂四個(gè)區(qū)域，則A，C區(qū)域，或A，D區(qū)域，或B，D區(qū)域必同色．由分類加法計(jì)數(shù)原理可得恰用3種不同顏色涂四個(gè)區(qū)域共3×2×1＋3×2×1＋3×2×1＝18(種)不同的方案．2．在本例中，若恰好用2種不同顏色涂完四個(gè)區(qū)域，則哪些區(qū)域必同色？共有多少種不同的涂色方案？解：若恰好用2種不同顏色涂四個(gè)區(qū)域，則A，C區(qū)域必同色，且B，D區(qū)域必同色．先從3種不同顏色中任取兩種顏色，共3種不同的取法，然后用所取的2種顏色涂四個(gè)區(qū)域共2種不同的涂法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得恰好用2種不同顏色涂四個(gè)區(qū)域共有3×2＝6(種)不同的涂色方案．[課堂思維激活]一、綜合性——強(qiáng)調(diào)融會貫通1．從0,2中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．24 B．18C．12 D．6解析：選B分兩類情況討論：第1類，奇偶奇，個(gè)位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有2種選擇，共有3×2×2＝12(個(gè))；第2類，偶奇奇，個(gè)位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有1種選擇，共有3×2×1＝6(個(gè))．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有12＋6＝18(個(gè))．二、應(yīng)用性——強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用2.如圖，圓形花壇分為4部分，現(xiàn)在這4部分種植花卉，要求每部分種植1種，且相鄰部分不能種植同一種花卉，現(xiàn)有5種不同的花卉供選擇，則不同的種植方案共有________種(用數(shù)字作答)．解析：根據(jù)題意：當(dāng)1,3相同時(shí)，分為2,4相同或不同兩類，有5×4×(1＋3)＝80(種)，當(dāng)1,3不相同時(shí)，分為2,4相同或不同兩類，有5×4×3×(1＋2)＝180(種)，所以不同的種植方案共有80＋180＝260(種)．答案：2603．中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對應(yīng)了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，甲、乙、丙三位同學(xué)依次選一個(gè)作為禮物，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、兔、狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，如果讓三位同學(xué)選取的禮物都滿意，那么不同的選法有()A．50種 B．60種C．70種 D．90種解析：選C根據(jù)題意，分2種情況討論：如果同學(xué)甲選牛，那么同學(xué)乙只能選兔、狗和羊中的一種，丙同學(xué)可以從剩下的10種中任意選，所以選法有3×10＝30(種)；如果同學(xué)甲選馬，那么同學(xué)乙能選牛、兔、狗和羊中的一種，丙同學(xué)可以從剩下的10種中任意選，所以選法有4×10＝40(種)．綜上，不同的選法共有30＋40＝70(種)，故選C.三、創(chuàng)新性——強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維4．定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)．若m＝4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列A．18個(gè) B．16個(gè)C．14個(gè) D．12個(gè)解析：選C由題意必得a1＝0，a8＝1，具體情況如下：00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14個(gè)．[課下梯度訓(xùn)練]層級(一)“四基”落實(shí)練1．由數(shù)字0,1,2,3,4可組成無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是()A．25 B．20C．16 D．12解析：選C分兩步：先選十位，再選個(gè)位，可組成無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為4×4＝16.2．把3封信投到4個(gè)信箱，所有可能的投法共有()A．24種 B．4種C．43種 D．34種解析：選C第1封信投到信箱中有4種投法；第2封信投到信箱中也有4種投法；第3封信投到信箱中也有4種投法，只要把這3封信投完，就做完了這件事情，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有43種方法．3．從1,2,3,4,5五個(gè)數(shù)中任取3個(gè)，可組成不同的等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為()A．2 B．4C．6 D．8解析：選D第一類，公差大于0，有①1,2,3，②2,3,4，③3，4,5，④1,3,5，共4個(gè)等差數(shù)列；第二類，公差小于0，也有4個(gè)．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有4＋4＝8個(gè)不同的等差數(shù)列．4．用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有()A．144個(gè) B．120個(gè)C．96個(gè) D．72個(gè)解析：選B由題意可知，符合條件的五位數(shù)的萬位數(shù)字是4或5.當(dāng)萬位數(shù)字為4時(shí)，個(gè)位數(shù)字從0,2中任選一個(gè)，共有2×4×3×2＝48個(gè)偶數(shù)；當(dāng)萬位數(shù)字為5時(shí)，個(gè)位數(shù)字從0,2,4中任選一個(gè)，共有3×4×3×2＝72個(gè)偶數(shù)．故符合條件的偶數(shù)共有48＋72＝120(個(gè))．5.如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽(約3世紀(jì)初)在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案共有()A．120種 B．260種C．340種 D．420種解析：選D由題意可知上下兩塊區(qū)域可以相同，也可以不同，則共有5×4×3×1×3＋5×4×3×2×2＝180＋240＝420(種)涂色方案．故選D.6.如圖所示，從點(diǎn)A沿圓或三角形的邊運(yùn)動到點(diǎn)C，則不同的走法有________種．解析：由A直接到C有2種不同的走法，由A經(jīng)點(diǎn)B到C有2×2＝4種不同的走法．因此由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有2＋4＝6種不同的走法．答案：67．甲、乙、丙3個(gè)班各有3,5,2名三好學(xué)生，現(xiàn)準(zhǔn)備推選2名來自不同班的三好學(xué)生去參加校三好學(xué)生代表大會，共有________種推選方法．解析：分為三類：①甲班選1名，乙班選1名，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有3×5＝15(種)選法；②甲班選1名，丙班選1名，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有3×2＝6(種)選法；③乙班選1名，丙班選1名，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有5×2＝10(種)選法．綜上，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有15＋6＋10＝31(種)推選方法．答案：318.如圖所示，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有______種．解析：按要求涂色至少需要3種顏色，故分兩類：一是4種顏色都用，這時(shí)A有4種涂法，B有3種涂法，C有2種涂法，D有1種涂法，共有4×3×2×1＝24(種)涂法；二是用3種顏色，這時(shí)A，B，C的涂法有4×3×2＝24(種)，D只要不與C同色即可，故D有2種涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(種)．答案：729．3個(gè)不同的小球放入5個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至多放一個(gè)小球，共有多少種方法？解：法一：(以小球?yàn)檠芯繉ο?分三步來完成.第一步.放第一個(gè)小球有5種選擇；第二步.放第二個(gè)小球有4種選擇；第三步.放第三個(gè)小球有3種選擇．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得：共有方法數(shù)N＝5×4×3＝60.法二.(以盒子為研究對象)盒子標(biāo)上序號1,2,3,4,5，分成以下10類.第一類.空盒子標(biāo)號為(1,2)：選法有3×2×1＝6(種)；第二類.空盒子標(biāo)號為(1,3)：選法有3×2×1＝6(種)；第三類.空盒子標(biāo)號為(1,4)：選法有3×2×1＝6(種)；分類還有以下幾種情況：空盒子標(biāo)號分別為(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10類，每一類都有6種方法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得，共有方法數(shù)N＝6＋6＋…＋6＝60(種).10．現(xiàn)有高一學(xué)生50人，高二學(xué)生42人，高三學(xué)生30人，組成冬令營．(1)若從中選1人作總負(fù)責(zé)人，共有多少種不同的選法？(2)若每年級各選1名負(fù)責(zé)人，共有多少種不同的選法？(3)若從中推選兩人作為中心發(fā)言人，要求這兩人要來自不同的年級，則有多少種選法？解：(1)從高一選1人作總負(fù)責(zé)人有50種選法；從高二選1人作總負(fù)責(zé)人有42種選法；從高三選1人作總負(fù)責(zé)人有30種選法．由分類加法計(jì)數(shù)原理，可知共有50＋42＋30＝122(種)選法．(2)從高一選1名負(fù)責(zé)人有50種選法；從高二選1名負(fù)責(zé)人有42種選法；從高三選1名負(fù)責(zé)人有30種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可知共有50×42×30＝63000(種)選法．(3)①從高一和高二各選1人作為中心發(fā)言人，有50×42＝2100(種)選法；②從高二和高三各選1人作為中心發(fā)言人，有42×30＝1260(種)選法；③從高一和高三各選1人作為中心發(fā)言人，有50×30＝1500種選法．綜上，共有2100＋1260＋1500＝4860種選法．層級(二)能力提升練1．從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法有()A．24種 B．18種C．12種 D．6種解析：選B法一：(直接法)若黃瓜種在第一塊土地上，則有3×2＝6種不同的種植方法．同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上均有3×2＝6種不同的種植方法．故不同的種植方法共有6×3＝18種．法二：(間接法)從4種蔬菜中選出3種種在三塊地上，有4×3×2＝24種方法，其中不種黃瓜有3×2×1＝6種方法，故共有不同的種植方法24－6＝18種．2．2021年7月1日是中國共產(chǎn)黨成立100周年紀(jì)念日．某校為了慶祝建黨100周年特舉辦文藝匯演，原節(jié)目單上有10個(gè)節(jié)目已經(jīng)排好順序，又有3個(gè)新節(jié)目需要加進(jìn)去，不改變原來節(jié)目的順序，則新節(jié)目單的排法有()A．165種 B．286種C．990種 D．1716種解析：選D第一步：10個(gè)節(jié)目空出11個(gè)位置，加入1個(gè)新來的節(jié)目，所以加入一個(gè)新節(jié)目有11種方法，第二步：從排好的11個(gè)節(jié)目空出的12個(gè)位置中，加入第2個(gè)新節(jié)目，有12種方法，第三步：從排好的12個(gè)節(jié)目空出的13個(gè)位置中，加入第3個(gè)新節(jié)目，有13種方法，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，加入3個(gè)新節(jié)目后的節(jié)目單的排法有11×12×13＝1716(種)．故選D.3．(多選)甲同學(xué)有5本不同的數(shù)學(xué)書，4本不同的物理書，3本不同的化學(xué)書，現(xiàn)在乙同學(xué)向甲同學(xué)借書，則下列說法中正確的有()A．借1本書，則有12種借法B．每科各借1本書，則有60種借法C．任借2本不同科的書，則有47種借法D．借2本不同科的書，其中有數(shù)學(xué)書，則有30種借法解析：選ABC對于A，需完成的事情是“借1本書”，所以借給乙同學(xué)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)書中的任何1本都可以完成這件事情，故可分類完成．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有5＋4＋3＝12種借法，故A正確．對于B，需完成的事情是“每科各借1本書”，意味著要借給乙同學(xué)3本書，只有從數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科中各借1本，才能完成這件事情，故需分步完成．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5×4×3＝60種借法，故B正確．對于C，任借2本不同科的書，應(yīng)分以下三類：第一類：借數(shù)學(xué)、物理各1本，分步完成，共有5×4＝20種借法；第二類：借數(shù)學(xué)、化學(xué)各1本，分步完成，共有5×3＝15種借法；第三類：借物理、化學(xué)各1本，分步完成，共有4×3＝12種借法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，任借2本不同科的書共有20＋15＋12＝47種借法，故C正確．對于D，分兩類：第一類：借數(shù)學(xué)、物理各1本，分步完成，共有5×4＝20種借法；第二類：借數(shù)學(xué)、化學(xué)各1本，分步完成，共有5×3＝15種借法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，借2本不同科的書，其中有數(shù)學(xué)書，共有20＋15＝35種借法，故D錯(cuò)誤．故選A、B、C.4．從集合{1,2,3，…，11}中任選2個(gè)元素作為橢圓方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1中的m和n，則落在矩形區(qū)域B＝{(x，y)||x|＜11且|y|＜9}內(nèi)的橢圓個(gè)數(shù)為________．解析：根據(jù)題意，知當(dāng)m＝1時(shí)，n可等于2,3，…，8，共對應(yīng)7個(gè)不同的橢圓；當(dāng)m＝2時(shí)，n可以等于1,3，…，8，共對應(yīng)7個(gè)不同的橢圓．同理可得，當(dāng)m＝3,4,5,6,7,8時(shí)，各分別對應(yīng)7個(gè)不同的橢圓；當(dāng)m＝9時(shí)，n可以等于1,2，…，8，共對應(yīng)8個(gè)不同的橢圓；當(dāng)m＝10時(shí)，共對應(yīng)8個(gè)不同的橢圓．綜上所述，對應(yīng)的橢圓共有7×8＋8×2＝72(個(gè))．答案：725．甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)參加某項(xiàng)競賽，決出了第一名到第五名的5個(gè)名次．甲、乙兩人去詢問成績，組織者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍．”對乙說：“你當(dāng)然不會是最差的．”從組織者的回答分析，這五名同學(xué)的名次排列共有多少種不同的情況．解：根據(jù)題意，甲、乙都沒拿到冠軍，而乙不是最后一名，分兩種情況討論：①甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，即乙有3種情況，剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，有6種情況，此時(shí)共有3×6＝18種名次排列情況．②甲不是最后一名，甲、乙需要排在第二、三、四名，有6種情況，剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，有6種情況，此時(shí)共有6×6＝36種名次排列情況．故共有18＋36＝54種名次排列情況．層級(三)素養(yǎng)強(qiáng)化練1．若在一個(gè)各位都為自然數(shù)的三位數(shù)中，有且僅有兩個(gè)數(shù)字一樣，我們就把這樣的三位數(shù)定義為“單重?cái)?shù)”．例如：232,114等，則不超過200的“單重?cái)?shù)”中，從小到大排列第22個(gè)“單重?cái)?shù)”是()A．166 B．171C．181 D．188解析：選B由題意可得：不超過200的數(shù)，兩個(gè)數(shù)字一樣同為0時(shí)，有100,200，有2個(gè)，兩個(gè)數(shù)字一樣同為1時(shí)，有110,101,112,121,113,131，一直到191,119，共18個(gè)，兩個(gè)數(shù)字一樣同為2時(shí)，有122，有1個(gè)，同理，兩個(gè)數(shù)字一樣同為3,4,5,6,7,8,9時(shí)各1個(gè)，綜上，不超過200的“單重?cái)?shù)”共有2＋18＋8＝28個(gè)，其中最大的是200，較小的依次為199,191,188,181,177,171，故第22個(gè)“單重?cái)?shù)”為171，故選B.2．如果一個(gè)三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1＜a2，且a解：分8類，當(dāng)中間數(shù)為2時(shí)，百位只能選1，個(gè)位可選1,0，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，凸數(shù)的個(gè)數(shù)為1×2＝2；當(dāng)中間數(shù)為3時(shí)，百位可選1,2，個(gè)位可選0,1,2，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，凸數(shù)的個(gè)數(shù)為2×3＝6；同理可得：當(dāng)中間數(shù)為4時(shí)，凸數(shù)的個(gè)數(shù)為3×4＝12；當(dāng)中間數(shù)為5時(shí)，凸數(shù)的個(gè)數(shù)為4×5＝20；當(dāng)中間數(shù)為6時(shí)，凸數(shù)的個(gè)數(shù)為5×6＝30；當(dāng)中間數(shù)為7時(shí)，凸數(shù)的個(gè)數(shù)為6×7＝42；當(dāng)中間數(shù)為8時(shí)，凸數(shù)的個(gè)數(shù)為7×8＝56；當(dāng)中間數(shù)為9時(shí)，凸數(shù)的個(gè)數(shù)為8×9＝72.故所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240.6．2排列與組合6．2.1排列1.理解排列的概念，理解樹狀圖法的應(yīng)用，并能利用樹狀圖法正確寫出一些簡單問題的所有排列.2.理解排列的概念及簡單應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng).(一)教材梳理填空(1)排列：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．(2)兩個(gè)排列相同的充要條件：兩個(gè)排列的元素完全相同，且元素的排列順序也相同．[微思考]課本第14頁問題1中，“甲參加上午的活動，乙參加下午的活動”與“乙參加上午的活動，甲參加下午的活動”相同嗎？提示：不同．(二)基本知能小試1．下列問題屬于排列問題的是()①從10個(gè)人中選2人分別去種樹和掃地；②從10個(gè)人中選2人去掃地；③從班上30名男生中選出5人組成一個(gè)籃球隊(duì)；④從數(shù)字5,6,7,8中任取兩個(gè)不同的數(shù)作冪運(yùn)算．A．①④ B．①②C．③④ D．①③④解析：選A由排列的定義知①④是排列問題．2．從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)數(shù)做加、減、乘、除運(yùn)算，分別計(jì)算它們的結(jié)果，在這些問題中，有幾種運(yùn)算可以看作排列問題()A．1 B.2C．3 D.解析：選B因?yàn)榧臃ê统朔M足交換律，所以選出兩個(gè)數(shù)做加法和乘法時(shí)，結(jié)果與兩數(shù)字位置無關(guān)，故不是排列問題．而減法、除法與兩數(shù)字的位置有關(guān)，故是排列問題．故選B.3．平面上有5個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，D，E，以其中兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有()A．25條 B.10條C．20條 D．30條解析：選C要解決這個(gè)問題，可以分2個(gè)步驟完成．第一步，確定有向線段的起點(diǎn)，在5個(gè)字母中任取1個(gè)，有5種方法；第二步，確定有向線段的終點(diǎn)，從余下的4個(gè)字母中任取1個(gè)，有4種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共可得到5×4＝20(條)不同的有向線段．4．甲、乙、丙3人排成一列，有幾種不同的排法？請列出來．解：有6種不同的排法：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲．題型一排列的有關(guān)概念[學(xué)透用活]判斷是否為排列問題，關(guān)鍵是看選出的元素在被安排時(shí)，是否與順序有關(guān)．若與順序有關(guān)，就是排列問題，否則就不是排列問題．[典例1]判斷下列問題是否是排列問題．(1)從1到10這十個(gè)自然數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)組成直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)，可得到多少個(gè)不同的點(diǎn)的坐標(biāo)？(2)從10名同學(xué)中任抽2名同學(xué)去開座談會，有多少種不同的抽取方法？(3)某商場有四個(gè)大門，若從一個(gè)大門進(jìn)去，購買物品后，再從另一個(gè)大門出來，不同的出入方式有多少種？(4)有紅球、黃球、白球各一個(gè)，現(xiàn)從這三個(gè)小球中任取兩個(gè)，分別放入甲、乙兩個(gè)盒子里，有多少種不同的放法？[解](1)是．由于取出的兩數(shù)組成的點(diǎn)的坐標(biāo)與哪一個(gè)數(shù)是橫坐標(biāo)，哪一個(gè)數(shù)是縱坐標(biāo)的順序有關(guān)，所以這是一個(gè)排列問題．(2)不是．因?yàn)槿魏我环N從10名同學(xué)中抽取2名同學(xué)去開座談會的方式不需要考慮兩個(gè)人的順序，所以這不是排列問題．(3)是．因?yàn)閺囊婚T進(jìn)，從另一門出是有順序的，所以這是排列問題．(4)是．任取兩球分別放入甲、乙兩個(gè)盒子里，這是不同的，有順序之分，所以這是排列問題．eq\a\vs4\al([方法技巧])排列中元素所滿足的兩個(gè)特性(1)無重復(fù)性：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)不同的元素，否則不是排列問題．(2)有序性：安排這m個(gè)元素時(shí)是有順序的，有序的就是排列，無序的不是排列．而檢驗(yàn)它是否有順序的依據(jù)是變換元素的位置，看結(jié)果是否發(fā)生變化，有變化就是有順序，無變化就是無順序．[對點(diǎn)練清]判斷下列問題是否為排列問題．(1)北京、上海、天津三地之間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價(jià)格(假設(shè)來回的票價(jià)相同)；(2)選2個(gè)小組分別去植樹和種菜；(3)選2個(gè)小組去種菜；(4)選10人組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組；(5)選3個(gè)人分別擔(dān)任班長、學(xué)習(xí)委員、生活委員．解：(1)中票價(jià)只有三種，雖然機(jī)票是不同的，但票價(jià)是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題．(2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．(3)，(4)不存在順序問題，不屬于排列問題．(5)中每個(gè)人的職務(wù)不同，例如甲當(dāng)班長或當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．題型二排列的簡單應(yīng)用[學(xué)透用活][典例2](1)A，B，C三名同學(xué)照相留念，成“一”字形排隊(duì)，所有排列的方法有()A．3種 B．4種C．6種 D．12種(2)北京、廣州、南京、天津4個(gè)城市相互通航，應(yīng)該有________種機(jī)票．[解析](1)所有的排法有：A—B—C，A—C—B，B—A—C，B—C—A，C—A—B，C—B—A，共6種．(2)列出每一個(gè)起點(diǎn)和終點(diǎn)情況，如圖所示．故符合題意的機(jī)票種類有：北京→廣州，北京→南京，北京→天津，廣州→南京、廣州→天津、廣州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→廣州，天津→北京，天津→廣州，天津→南京，共12種．[答案](1)C(2)12eq\a\vs4\al([方法技巧])利用“樹形圖”法解決簡單排列問題的適用范圍及策略(1)適用范圍：“樹形圖”在解決排列元素個(gè)數(shù)不多的問題時(shí)，是一種比較有效的表示方式．(2)策略：在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個(gè)元素為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，再安排第二個(gè)元素，并按此元素分類，依次進(jìn)行，直到完成一個(gè)排列，這樣能做到不重不漏，然后再按樹形圖寫出排列．[對點(diǎn)練清]1．從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字組成兩位數(shù)，則共有________個(gè)不同的兩位數(shù)．解析：所有兩位數(shù)是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12個(gè)不同的兩位數(shù)．答案：122．寫出A，B，C，D四名同學(xué)站成一排照相，A不站在兩端的所有可能站法．解：作出樹形圖如圖所示：故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共12種．題型三排列的實(shí)際應(yīng)用問題[學(xué)透用活][典例3](1)有7本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？(2)有7種不同的書，要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？[解](1)從7本不同的書中選3本送給3名同學(xué)，相當(dāng)于從7個(gè)元素中任取3個(gè)元素的一個(gè)排列，所以共有7×6×5＝210(種)不同的送法．(2)從7種不同的書中買3本書，這3本書并不要求都不相同，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有7×7×7＝343(種)不同的送法．eq\a\vs4\al([方法技巧])對于簡單的排列問題，首先要明確研究的元素是什么，有無順序．一般的情況下，其解題思路可借助分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行，即采用元素分析法或位置分析法求解．[對點(diǎn)練清]從4面不同顏色(紅、黃、藍(lán)、綠)的旗子中，選出3面排成一排作為一種信號，共能組成多少種信號？解：從4面不同顏色(紅、黃、藍(lán)、綠)的旗子中，選出3面排成一排作為信號，相當(dāng)于從4面不同顏色(紅、黃、藍(lán)、綠)的旗子中取出3面旗子放入如圖所示的3個(gè)方格中．第1步：第一個(gè)位置可以從4面不同顏色的旗子中任選1面，有4種方法；第2步：第二個(gè)位置可以從除了確定在第一個(gè)位置的那面旗子之外的3面中任選1面，有3種方法，即第一個(gè)位置的每一種方法都對應(yīng)3種方法；第3步：第三個(gè)位置只能從除了確定在第一個(gè)位置和第二個(gè)位置的2面旗子之外剩下的2面中任選1面，有2種方法，即第一個(gè)位置和第二個(gè)位置確定的每一種方法都對應(yīng)2種方法，如圖．因此，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從4面不同顏色(紅、黃、藍(lán)、綠)的旗子中，選出3面排成一排作為信號，共有4×3×2＝24種排法．每一種排法可以對應(yīng)一種信號，故能組成24種信號．[課堂思維激活]一、綜合性——強(qiáng)調(diào)融會貫通1．甲、乙兩位同學(xué)解“在1,2,3,4的排列a1a2a3a4中，求滿足a1>a2,a3>a2，a3>a甲同學(xué).首先注意a1位置的數(shù)比a2位置的數(shù)大，可以借助樹形圖進(jìn)行篩選．滿足a1>a2的樹形圖是：其次滿足a3>a2的樹形圖是：所以共有2134,2143,3124,3142,3241,4123,4132,4231，共8個(gè)．乙同學(xué).首先注意a1位置的數(shù)比a2位置的數(shù)大，可以借助樹形圖進(jìn)行篩選．滿足a1>a2的樹形圖是：其次滿足a3>a2的樹形圖是：再滿足a3>a4的排列有：2143,3142,3241,4132,4231，共5個(gè)．試分析甲、乙兩位同學(xué)的解題過程是否正確？原因何在？提示：甲解析存在失誤，乙解析正確．錯(cuò)誤的根本原因在于甲同學(xué)忽視了條件a3>a4，造成失誤．二、應(yīng)用性——強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用2．滬寧高鐵線上有六個(gè)大站：上海、蘇州、無錫、常州、鎮(zhèn)江、南京，鐵路部門應(yīng)為滬寧線上的六個(gè)大站(這六個(gè)大站之間)準(zhǔn)備不同的火車票的種數(shù)為()A．15 B．30C．12 D．36解析：選B對于兩個(gè)大站A和B，從A到B的火車票與從B到A的火車票不同，因?yàn)槊繌堒嚻睂?yīng)一個(gè)起點(diǎn)站和一個(gè)終點(diǎn)站，因此，每張火車票對應(yīng)從6個(gè)不同元素(大站)中取出2個(gè)不同元素(起點(diǎn)站和終點(diǎn)站)的一種排列，故不同的火車票有6×5＝30(種)．[課下梯度訓(xùn)練]層級(一)“四基”落實(shí)練1．(多選)下列問題中不是排列問題的有()A．從8名同學(xué)中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法？B．10個(gè)人互相通信一次，共寫了多少封信？C．平面上有5個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，這5個(gè)點(diǎn)最多可確定多少條直線？D．從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)相乘，其結(jié)果共有多少種？解析：選ACD排列問題是與順序有關(guān)的問題，四個(gè)選項(xiàng)中只有B中的問題是與順序有關(guān)的，其他問題都與順序無關(guān)．故選A、C、D.2．2022年春季新型冠狀病毒肺炎防疫防控期間，A，B，C三名醫(yī)護(hù)人員安排中午，下午，晚上三個(gè)時(shí)間段值班，所有排列的方法種數(shù)為()A．12種 B．3種C．6種 D．4種解析：選C所有的排法有：A－B－C，A－C－B，B－A－C，B－C－A，C－A－B，C－B－A，共6種．3．由1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字組成的首位數(shù)字是1，且恰有三個(gè)相同數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)有()A．9個(gè) B．12個(gè)C．15個(gè) D．18個(gè)解析：選B本題要求首位數(shù)字是1，且恰有三個(gè)相同的數(shù)字，用樹形圖表示為：由此可知共有12個(gè)．4．三人互相傳球，由甲開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有()A．6種 B．10種C．8種 D．16種解析：選B記另外兩人為乙、丙，若甲第一次把球傳給乙，則不同的傳球方式有其中經(jīng)過5次傳球后，球仍回到甲手中的有5種，同理：若甲第一次把球傳給丙也有5種不同的傳球方式，所以共有10種傳球方式．5．世界華商大會的某分會場有A，B，C三個(gè)展臺，將甲，乙，丙，丁4名“雙語”志愿者分配到這三個(gè)展臺，每個(gè)展臺至少1人，其中甲、乙兩人被分配到同一展臺的不同分法的種數(shù)為()A．12種 B．10種C．8種 D．6種解析：選D因?yàn)榧?、乙兩人被分配到同一展臺，所以甲與乙捆在一起，看成一個(gè)人，然后將3個(gè)人分到3個(gè)展臺進(jìn)行排列，即有3×2×1＝6種，所以甲、乙兩人被分配到同一展臺的不同分法的種數(shù)為6種．6．在編號為1,2,3,4的四塊土地上分別試種編號為1,2,3,4的四個(gè)品種的小麥，但1號地不能種1號小麥，2號地不能種2號小麥，3號地不能種3號小麥，則共有______種不同的試種方案．解析：畫出樹形圖，如圖所示：由樹形圖可知，共有11種不同的試種方案．答案：117．若從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四種不同的工作，則分配方案共有________種．解析：這是一個(gè)排列問題，分配方案共有6×5×4×3＝360(種)．答案：3608．現(xiàn)有8種不同的菜種，任選4種種在不同土質(zhì)的4塊地上，有________種不同的種法．(用數(shù)字作答)解析：將4塊不同土質(zhì)的地看作4個(gè)不同的位置，從8種不同的菜種中任選4種種在4塊不同土質(zhì)的地上，則本題即為從8個(gè)不同元素中任選4個(gè)元素的排列問題．所以不同的種法共有8×7×6×5＝1680(種)．答案：16809．判斷下列問題是否為排列問題．(1)會場有50個(gè)座位，要求選出3個(gè)座位有多少種方法？若選出3個(gè)座位安排三位客人，又有多少種方法？(2)從集合M＝{1,2，…，9}中，任取兩個(gè)元素作為a，b，可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1？可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1?(3)從1,3,5,7,9中任取3個(gè)數(shù)字，有多少種方法？若這3個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)的三位數(shù)，又有多少種方法？解：(1)第一問不是排列問題，第二問是排列問題．“入座”問題同“排隊(duì)”問題都與順序有關(guān)，故選3個(gè)座位安排三位客人是排列問題．(2)第一問不是排列問題，第二問是排列問題．若方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則必有a>b，a，b的大小關(guān)系一定；在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1中，不管a>b還是a<b，方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1均表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，且是不同的雙曲線，故是排列問題．(3)第一問不是排列問題，第二問是排列問題．從5個(gè)數(shù)中取3個(gè)數(shù)，與順序無關(guān)；若這3個(gè)數(shù)組成不同的三位數(shù)，則與順序有關(guān)．10．從0,1,2,3這四個(gè)數(shù)字中，每次取出三個(gè)不同數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù)．(1)能組成多少個(gè)不同的三位數(shù)，并寫出這些三位數(shù)；(2)若組成的這些三位數(shù)中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在個(gè)位，則這樣的三位數(shù)共有多少個(gè)，并寫出這些三位數(shù)．解：(1)組成三位數(shù)分三個(gè)步驟：第一步：選百位上的數(shù)字，0不能排在首位，故有3種不同的排法；第二步：選十位上的數(shù)字，有3種不同的排法；第三步：選個(gè)位上的數(shù)字，有2種不同的排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有3×3×2＝18個(gè)不同的三位數(shù)．畫出下列樹形圖：由樹形圖知，所有的三位數(shù)為102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.(2)直接畫出樹形圖：由樹形圖知，符合條件的三位數(shù)有8個(gè)：201,210,230,231,301,302,310,312.層級(二)能力提升練1．若一個(gè)三位數(shù)的十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字和百位數(shù)字都大，則稱這個(gè)數(shù)為“傘數(shù)”．現(xiàn)從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中“傘數(shù)”有()A．80個(gè) B．40個(gè)C．20個(gè) D．10個(gè)解析：選C十位數(shù)只能是3,4,5.當(dāng)十位數(shù)為3時(shí)只有：132,231，共2個(gè)；當(dāng)十位數(shù)是4時(shí)有：142,143,241,243,341,342，共6個(gè)；當(dāng)十位數(shù)是5時(shí)有：152,153,154,251,253,254,351,352,354,451,452,453，共12個(gè)，故共有2＋6＋12＝20個(gè)．2．四張卡片上分別標(biāo)有數(shù)字“2”“0”“1”“1”，則由這四張卡片可組成不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．6 B．9C．12 D．24解析：選B第一類，0在個(gè)位有2110,1210,1120，共3個(gè)；第二類，0在十位有2101,1201,1102，共3個(gè)；第三類，0在百位有2011,1021,1012，共3個(gè)，故由這四張卡片可組成不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為9.3．現(xiàn)從8名學(xué)生干部中選出3名同學(xué)分別參加全?！百Y源”“生態(tài)”和“環(huán)?！比齻€(gè)夏令營活動，則不同的選派方案的種數(shù)是________．解析：從8名學(xué)生干部中選出3名同學(xué)排列的種數(shù)為8×7×6＝336，故共有336種不同的選派方案．答案：3364．連擲一顆骰子三次，投擲出的數(shù)字順序排成一個(gè)三位數(shù)，此時(shí)：(1)各位數(shù)字互不相同的三位數(shù)有多少個(gè)？(2)可以排出多少個(gè)不同的三位數(shù)？解：(1)三位數(shù)的每位上數(shù)字均為1,2,3,4,5,6之一．第一步，得百位數(shù)字，有6種不同結(jié)果；第二步，得十位數(shù)字，有5種不同結(jié)果；第三步，得個(gè)位數(shù)字，有4種不同結(jié)果，故可得各位數(shù)字互不相同的三位數(shù)有6×5×4＝120(個(gè))．(2)三位數(shù)，每位上數(shù)字均可從1,2,3,4,5,6六個(gè)數(shù)字中得一個(gè)，共有這樣的三位數(shù)6×6×6＝216(個(gè))．層級(三)素養(yǎng)強(qiáng)化練某藥品研究所研制了5種消炎藥a1，a2，a3，a4，a5,4種退熱藥b1，b2，b3，b4，現(xiàn)從中取兩種消炎藥和一種退熱藥同時(shí)進(jìn)行療效試驗(yàn)，但a1，a2兩種藥或同時(shí)用或同時(shí)不用，a3，b4兩種藥不能同時(shí)使用，試寫出所有不同的試驗(yàn)方法．解：如圖，由樹形圖可寫出所有不同試驗(yàn)方法如下：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，6．2.2排列數(shù)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(1.了解排列數(shù)公式的推導(dǎo)過程，掌握排列數(shù)公式的兩種形式.,2.能利用排列數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算和證明.能解決簡單的排列問題.,3.通過對排列數(shù)概念的理解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).,通過對排列數(shù)公式的計(jì)算及應(yīng)用，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).))(一)教材梳理填空1．排列數(shù)的定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號Aeq\o\al(m,n)表示．[微思考](1)“得到從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列”的含義是什么？提示：包括兩個(gè)方面：①從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素；②按照一定順序排列．(2)排列數(shù)公式中對m，n有何條件的要求？提示：n，m∈N*，m≤n.2．全排列把n個(gè)不同的元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列，此時(shí)m＝n，即有Aeq\o\al(n,n)＝n×(n－1)×…×3×2×1，叫做n的階乘，用n！表示．3．排列數(shù)公式(1)乘積形式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．(這里n，m∈N*且m≤n)(2)階乘形式：Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！).(n，m∈N*，且m≤n)(3)性質(zhì)：Aeq\o\al(n,n)＝n！，規(guī)定Aeq\o\al(0,n)＝1,0?。?.[微提醒]在連乘形式的排列數(shù)公式中，當(dāng)m，n是較復(fù)雜的含有字母的式子時(shí)，容易把最后一個(gè)因式寫錯(cuò)，這時(shí)要先確定首尾兩個(gè)數(shù)．如Aeq\o\al(k－2,k＋4)，第一個(gè)數(shù)是k＋4，最后一個(gè)數(shù)是(k＋4)－(k－2)＋1＝7，即Aeq\o\al(k－2,k＋4)＝(k＋4)×(k＋3)×…×7.4．排列與排列數(shù)的區(qū)別“一個(gè)排列”是指從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，不是數(shù)，是一種排法；“排列數(shù)”是指從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)數(shù)．所以符號Aeq\o\al(m,n)只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列．(二)基本知能小試1．89×90×91×…×100可表示為()A．Aeq\o\al(10,100) B．Aeq\o\al(11,100)C．Aeq\o\al(12,100) D．Aeq\o\al(13,100)解析：選CAeq\o\al(12,100)＝100×99×…×(100－12＋1)＝100×99×…×89.2．Aeq\o\al(2,4)＝________，Aeq\o\al(3,3)＝________.解析：Aeq\o\al(2,4)＝4×3＝12；Aeq\o\al(3,3)＝3×2×1＝6.答案：1263．方程Aeq\o\al(2,n－1)－n＝7的解集為________．解析：由Aeq\o\al(2,n－1)－n＝7，得(n－1)(n－2)－n＝7，整理，得n2－4n－5＝0，解得n＝5或n＝－1(舍去)．答案：{5}題型一排列數(shù)的計(jì)算問題[學(xué)透用活]排列數(shù)的兩個(gè)公式的特點(diǎn)(1)第一個(gè)公式右邊是若干數(shù)的連乘積，其特點(diǎn)是：第一個(gè)因數(shù)是n(下標(biāo))，后面的每一個(gè)因數(shù)都比它前面的因數(shù)少1，最后一個(gè)因數(shù)為n－m＋1(下標(biāo)－上標(biāo)＋1)，共有m(上標(biāo))個(gè)連續(xù)自然數(shù)相乘．(2)排列數(shù)的第二個(gè)公式是階乘的形式，所以又叫排列數(shù)的階乘式．它是一個(gè)分式的形式，分子是下標(biāo)n的階乘，分母是下標(biāo)減上標(biāo)即(n－m)的階乘．公式中的n，m應(yīng)該滿足n，m∈N*，m≤n，當(dāng)m>n時(shí)不成立．[典例1](1)已知a∈N*，且a<20，則(27－a)·(28－a)·(29－a)·…·(34－a)用排列數(shù)表示為()A．Aeq\o\al(8,27－a) B．Aeq\o\al(27－a,34－a)C．Aeq\o\al(7,34－a) D．Aeq\o\al(8,34－a)(2)eq\f(A\o\al(2,7)－A\o\al(2,6),A\o\al(1,4))的值為()A．3 B．30C．24 D．12[解析](1)由已知34－a最大，且共有34－a－(27－a)＋1＝8個(gè)數(shù)的積，所以表示為Aeq\o\al(8,34－a).(2)原式＝eq\f(7×6－6×5,4)＝eq\f(12,4)＝3.[答案](1)D(2)Aeq\a\vs4\al([方法技巧])排列數(shù)的計(jì)算方法(1)排列數(shù)的計(jì)算主要是利用排列數(shù)的乘積公式進(jìn)行，應(yīng)用時(shí)注意：連續(xù)正整數(shù)的積可以寫成某個(gè)排列數(shù)，其中最大的是排列元素的總個(gè)數(shù)，而正整數(shù)(因式)的個(gè)數(shù)是選取元素的個(gè)數(shù)，這是排列數(shù)公式的逆用．(2)應(yīng)用排列數(shù)公式的階乘形式時(shí)，一般寫出它們的式子后，再提取公因式，然后計(jì)算，這樣往往會減少運(yùn)算量．[對點(diǎn)練清]1．9×10×11×…×20可表示為()A．Aeq\o\al(10,20) B．Aeq\o\al(11,20)C．Aeq\o\al(12,20) D．Aeq\o\al(13,20)解析：選C因?yàn)锳eq\o\al(12,20)＝20×19×18×…×(20－12＋1)＝20×19×18×…×9.2．計(jì)算：(1)eq\f(A\o\al(6,7)－A\o\al(5,6),A\o\al(4,5))；(2)eq\f(4A\o\al(4,8)＋2A\o\al(5,8),A\o\al(8,8)－A\o\al(5,9)).解：(1)因?yàn)锳eq\o\al(6,7)＝7×6×5×4×3×2，Aeq\o\al(5,6)＝6×5×4×3×2，Aeq\o\al(4,5)＝5×4×3×2，所以eq\f(A\o\al(6,7)－A\o\al(5,6),A\o\al(4,5))＝7×6－6＝36.(2)原式＝eq\f(4A\o\al(4,8)＋2×4A\o\al(4,8),4×3×2A\o\al(4,8)－9A\o\al(4,8))＝eq\f(4＋8,24－9)＝eq\f(12,15)＝eq\f(4,5).題型二與排列數(shù)有關(guān)的方程、不等式及證明[學(xué)透用活][典例2](1)計(jì)算：①若Aeq\o\al(2,x)＝30，則x＝________.②若3Aeq\o\al(x,8)＝4Aeq\o\al(x－1,9)，則x＝________.(2)解不等式Aeq\o\al(x,9)>6Aeq\o\al(x－2,9)，其中x≥3，x∈N*.(3)求證：Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m