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四川省雅安市雨城區(qū)雅安中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程為()A. B.C D.2.已知向量,,且,則實(shí)數(shù)等于()A1 B.2C. D.3.若展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為,則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為()A. B.C. D.4.直線的傾斜角的大小為A. B.C. D.5.第屆全運(yùn)會(huì)于年月在陜西西安順利舉辦,其中水上項(xiàng)目在西安奧體中心游泳跳水館進(jìn)行,為了應(yīng)對(duì)比賽,大會(huì)組委會(huì)將對(duì)泳池進(jìn)行檢修,已知泳池深度為,其容積為,如果池底每平方米的維修費(fèi)用為元,設(shè)入水處的較短池壁長(zhǎng)度為,且據(jù)估計(jì)較短的池壁維修費(fèi)用與池壁長(zhǎng)度成正比,且比例系數(shù)為,較長(zhǎng)的池壁維修費(fèi)用滿足代數(shù)式,則當(dāng)泳池的維修費(fèi)用最低時(shí)值為()A. B.C. D.6.函數(shù)f(x)=xex的單調(diào)增區(qū)間為()A.(-∞,-1) B.(-∞,e)C.(e,+∞) D.(-1,+∞)7.如圖,在四面體中,,,,,為線段的中點(diǎn),則等于()A B.C. D.8.等差數(shù)列前項(xiàng)和,已知,,則的值是().A. B.C. D.9.已知雙曲線,過(guò)其右焦點(diǎn)作漸近線的垂線,垂足為,延長(zhǎng)交另一條漸近線于點(diǎn)A.已知為原點(diǎn),且,則()A. B.C. D.10.命題P:ax2+2x﹣1=0有實(shí)數(shù)根,若¬p是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.{a|a<1} B.{a|a≤﹣1}C.{a|a≥﹣1} D.{a|a>﹣1}11.曲線與曲線的()A.實(shí)軸長(zhǎng)相等 B.虛軸長(zhǎng)相等C.焦距相等 D.漸進(jìn)線相同12.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊為,若,,,則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō):“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),先到河邊飲馬再回到軍營(yíng),怎樣走才能使總路程最短?在如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)軍營(yíng)所在平面區(qū)域?yàn)閧(x,y)|x2+y2≤},河岸線所在直線方程為x+2y-4=0.假定將軍從點(diǎn)P(,)處出發(fā),只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng),當(dāng)將軍選擇最短路程時(shí),飲馬點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為_(kāi)_____.最短總路程為_(kāi)_____14.在不等邊△ABC(三邊均不相等)中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且有,則角C的大小為_(kāi)_______15.若函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn),則k的取值范圍是______16.已知向量,,且,則實(shí)數(shù)______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓,離心率分別為左右焦點(diǎn),橢圓上一點(diǎn)滿足,且的面積為1.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn).過(guò)點(diǎn)且平行于的直線交橢圓于點(diǎn),證明:為定值.18.(12分)已知在長(zhǎng)方形ABCD中,AD=2AB=2,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),沿BE折起平面ABE,使平面ABE⊥平面BCDE.(1)求證:在四棱錐A-BCDE中,AB⊥AC.(2)在線段AC上是否存在點(diǎn)F,使二面角A-BE-F的余弦值為?若存在,找出點(diǎn)F的位置;若不存在,說(shuō)明理由.19.(12分)已知向量,,且.(1)求滿足上述條件的點(diǎn)M(x,y)的軌跡C的方程;(2)設(shè)曲線C與直線y=kx+m(k≠0)相交于不同的兩點(diǎn)P,Q,點(diǎn)A(0,1),當(dāng)|AP|=|AQ|時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)為、,動(dòng)點(diǎn)P滿足(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程;(2)設(shè)過(guò)且不垂直于坐標(biāo)軸的動(dòng)直線l交軌跡E于A、B兩點(diǎn),問(wèn):線段上是否存在一點(diǎn)D,使得以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形?若存在,請(qǐng)給出證明:若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由21.(12分)已知拋物線,過(guò)焦點(diǎn)的直線l交拋物線C于M、N兩點(diǎn),且線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2(1)求直線l的方程;(2)設(shè)x軸上關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)P、Q,(其中P在Q的右側(cè)),過(guò)P的任意一條直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn),求證:始終被x軸平分22.(10分)已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,成等比數(shù)列且滿足________.請(qǐng)?jiān)冖伲虎?;③,這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面題干中,并回答以下問(wèn)題.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.【詳解】由題意可知所求直線的方程為,即.故選:B.2、C【解析】利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算即可得解【詳解】因向量,,且,則,解得,所以實(shí)數(shù)等于.故選:C3、C【解析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得的值,再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,求得結(jié)果即可.【詳解】解:因?yàn)檎归_(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為,則,所以,令,求得,所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.故選:C.4、A【解析】考點(diǎn):直線的傾斜角專題:計(jì)算題分析:因?yàn)橹本€的斜率是傾斜角的正切值,所以欲求直線的傾斜角,只需求出直線的斜率即可,把直線化為斜截式,可得斜率,問(wèn)題得解解答:解:∵x-y+1=0可化為y=x+,∴斜率k=設(shè)傾斜角為θ,則tanθ=k=,θ∈[0,π)∴θ=故選A點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系,屬于直線方程的基礎(chǔ)題型,需要學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)熟練掌握5、A【解析】根據(jù)題意得到泳池維修費(fèi)用的的解析式,再利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可【詳解】解:設(shè)泳池維修的總費(fèi)用為元,則由題意得,則,令,解得,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,故當(dāng)時(shí),有最小值因此,當(dāng)較短池壁為時(shí),泳池的總維修費(fèi)用最低故選A6、D【解析】求出,令可得答案.【詳解】由已知得,令,得,故函數(shù)f(x)=xex的單調(diào)增區(qū)間為(-1,+∞).故選:D.7、D【解析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解【詳解】由已知,故選:D8、C【解析】由題意,設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,故,故,故選9、C【解析】畫(huà)出圖象,結(jié)合漸近線方程得到,,進(jìn)而得到,結(jié)合漸近線的斜率及角度關(guān)系,列出方程,求出,從而求出.【詳解】漸近線為,如圖,過(guò)點(diǎn)F作FB垂直于點(diǎn)B,交于點(diǎn)A,則到漸近線距離為,則,又,由勾股定理得:,則,又,,所以,解得:,所以.故選:C10、C【解析】根據(jù)是假命題,判斷出是真命題.對(duì)分成,和兩種情況,結(jié)合方程有實(shí)數(shù)根,求得的取值范圍.詳解】┐p是假命題,則p是真命題,∴ax2+2x﹣1=0有實(shí)數(shù)根,當(dāng)a=0時(shí),方程為2x﹣1=0,解得x=0.5,有根,符合題意;當(dāng)a≠0時(shí),方程有根,等價(jià)于△=4+4a≥0,∴a≥﹣1且,綜上所述,a的可能取值為a≥﹣1故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)命題否定的真假性求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】將曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程后即可求解.【詳解】化為標(biāo)準(zhǔn)方程為,由于,則兩曲線實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦距均不相等,而漸近線方程同為.故選:12、B【解析】利用正弦定理角化邊得到,再利用余弦定理構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】,,由余弦定理得:,,.故選:B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①.②.【解析】求出P(,)關(guān)于直線x+2y4=0對(duì)稱點(diǎn)P'的坐標(biāo),再求出線段OP'與直線x+2y-4=0的交點(diǎn)A,再利用圓的幾何性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】設(shè)P(,)關(guān)于直線x+2y4=0的對(duì)稱點(diǎn)為P'(m,n),則解得因?yàn)閺狞c(diǎn)P到軍營(yíng)總路程最短,所以A為線段OP'與直線x+2y4=0的交點(diǎn),聯(lián)立得y=(42y),解得y=.所以“將軍飲馬”的最短總路程為=,故答案為,.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)稱問(wèn)題以及圓的幾何性質(zhì),屬于中檔題.解析幾何中點(diǎn)對(duì)稱問(wèn)題,主要有以下三種題型:(1)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),利用,且點(diǎn)在對(duì)稱軸上,列方程組求解即可;(2)直線關(guān)于直線對(duì)稱,利用已知直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)以及直線上特殊點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)(利用(1)求解),兩點(diǎn)式求對(duì)稱直線方程;(3)曲線關(guān)于直線對(duì)稱,結(jié)合方法(1)利用逆代法求解.14、【解析】由正弦定理可得,又,,,,,在三角形中,.考點(diǎn):1正弦定理;2正弦的二倍角公式.15、【解析】求導(dǎo)得有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)有一個(gè)不等于1的零點(diǎn),分離參數(shù)得,令,利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性并作出的圖象,根據(jù)圖象即可得出k的取值范圍【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,,令,解得或,若函?shù)有2個(gè)極值點(diǎn),則函數(shù)與圖象在上恰有1個(gè)橫坐標(biāo)不為1的交點(diǎn),而,令,令或,故在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又,如圖所示,由圖可得.故答案為:16、【解析】利用向量平行的條件直接解出.【詳解】因?yàn)橄蛄?,,且,所以,解?故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】(1)方法一:根據(jù)離心率以及,可得出,將條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在以為直徑的圓上,即為圓與橢圓的交點(diǎn),將的面積用表示,求出,進(jìn)而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;方法二:根據(jù)橢圓的定義,,再根據(jù)勾股定理和直角三角形的面積公式,即可解得,又由離心率求出,則可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)出直線的方程,代入橢圓方程,根據(jù)韋達(dá)定理表示出,再將直線的方程代入橢圓方程,求出,則為定值.【小問(wèn)1詳解】方法一:由離心率,得:,所以橢圓上一點(diǎn),滿足,所以點(diǎn)為圓:與橢圓的交點(diǎn),聯(lián)立方程組解得所以,解得:,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.方法二:由橢圓定義;,因?yàn)?,所以,得到:,即,又,得所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:;【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線AB的方程為:.得設(shè)過(guò)點(diǎn)且平行于的直線方程:.18、(1)證明見(jiàn)解析(2)點(diǎn)F為線段AC的中點(diǎn)【解析】(1)由平面幾何知識(shí)證得CE⊥BE,再根據(jù)面面垂直的性質(zhì),線面垂直的判定和性質(zhì)可得證;(2)取BE的中點(diǎn)O,以O(shè)為原點(diǎn),分別以的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,假設(shè)在線段AC上存在點(diǎn)F,設(shè)=λ,運(yùn)用二面角的向量求解方法可求得,可得點(diǎn)F的位置.【小問(wèn)1詳解】證明:因?yàn)樵陂L(zhǎng)方形ABCD中,AD=2AB=2,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),所以BE=CE=2,又BC=2,所以,所以CE⊥BE,又平面ABE⊥平面BCDE,面面,所以CE⊥平面ABE,所以AB⊥CE.又AB⊥AE,,所以AB⊥平面AEC,即得AB⊥AC.【小問(wèn)2詳解】解:存在點(diǎn)F,F(xiàn)為線段AC的中點(diǎn).由(1)得△ABE和△BEC均為等腰直角三角形,取BE的中點(diǎn)O,則,又平面ABE⊥平面BCDE,面面,所以面,以O(shè)為原點(diǎn),分別以的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,取平面ABE的一個(gè)法向量為.假設(shè)在線段AC上存在點(diǎn)F,使二面角A-BE-F的余弦值為.則A(0,0,1),B(1,0,0),C(-1,2,0),E(-1,0,0),=(1,0,1),=(-1,2,-1),設(shè)=λ,則+λ=(1-λ,2λ,1-λ),又=(2,0,0),設(shè)平面BEF的法向量為,可得,即得,可取y=1,得,所以,解得λ=,即當(dāng)點(diǎn)F為線段AC的中點(diǎn)時(shí),二面角A-BE-F的余弦值為.19、(1)+y2=1;(2).【解析】(1)應(yīng)用向量垂直的坐標(biāo)表示得x2+3y2=3,即可寫(xiě)出M的軌跡C的方程;(2)由直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),設(shè)直線y=kx+m(k≠0),聯(lián)立方程整理所得方程有,且由根與系數(shù)關(guān)系用m,k表示x1+x2,x1x2,若N為PQ的中點(diǎn)結(jié)合|AP|=|AQ|知PQ⊥AN可得m、k的等量關(guān)系,結(jié)合即可求m的范圍.【詳解】(1)∵,即,∴,即有x2+3y2=3,即點(diǎn)M(x,y)的軌跡C的方程為+y2=1.(2)由得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0.∵曲線C與直線y=kx+m(k≠0)相交于不同的兩點(diǎn),∴Δ=(6km)2-12(1+3k2)(m2-1)=12(3k2-m2+1)>0,即3k2-m2+1>0①,且x1+x2=,x1x2=.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),線段PQ的中點(diǎn)N(x0,y0),則.∵|AP|=|AQ|,即知PQ⊥AN,設(shè)kAN表示直線AN的斜率,又k≠0,∴kANk=-1.即·k=-1,得3k2=2m-1②,而3k2>0,有m>.將②代入①得2m1m2+1>0,即2m<0,解得0<m<2,∴m的取值范圍為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:1、由向量垂直,結(jié)合其坐標(biāo)表示得到關(guān)于x,y的方程,寫(xiě)出曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.2、由直線與曲線C相交,聯(lián)立方程有,由|AP|=|AQ|得直線的垂直關(guān)系,即斜率之積為-1,進(jìn)而可求參數(shù)的范圍.20、(1);(2)存在,理由見(jiàn)解析.【解析】(1)根據(jù)題意用定義法求解軌跡方程;(2)在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上,
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