第4章 綜合指標(biāo)分析

第四章綜合指標(biāo)分析第四節(jié)變異指標(biāo)第三節(jié)平均指標(biāo)第二節(jié)相對指標(biāo)第一節(jié)總量指標(biāo)目錄CONTENTS2原始數(shù)據(jù)加工數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)靜態(tài)分布動態(tài)趨勢總量指標(biāo)絕對規(guī)模相對指標(biāo)相對關(guān)系平均指標(biāo)集中趨勢變異指標(biāo)離散趨勢水平指標(biāo)絕對規(guī)模速度指標(biāo)相對變化因素分析趨勢預(yù)測人口總數(shù)人口性別比例平均年齡年齡標(biāo)準(zhǔn)差不同年份人口數(shù)人口自然增長率人口數(shù)量模型4第一節(jié)總量指標(biāo)一總量指標(biāo)的概念二總量指標(biāo)的作用總量指標(biāo)的種類三四四總量指標(biāo)的計(jì)量單位總量指標(biāo)的種類五Excel應(yīng)用舉例一、總量指標(biāo)

反映社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象在一定條件下的總規(guī)模、總水平或工作總量的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，即數(shù)量指標(biāo)，也稱為絕對數(shù)?？偭恐笜?biāo)是認(rèn)識社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的起點(diǎn)；是實(shí)行社會管理的基本依據(jù)；是計(jì)算其他統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的基礎(chǔ)?？偭恐笜?biāo)的作用：總體標(biāo)志總量總體單位總量按反映的總體內(nèi)容不同分為：總量指標(biāo)的基本分類按反映的時(shí)間狀況不同分為：時(shí)期指標(biāo)時(shí)點(diǎn)指標(biāo)按計(jì)量單位不同分為：實(shí)物指標(biāo)價(jià)值指標(biāo)勞動指標(biāo)總體標(biāo)志總量總體單位總量一個(gè)總體中只有一個(gè)單位總量，但可以有多個(gè)標(biāo)志總量，它們由總體單位的數(shù)量標(biāo)志值匯總而來。例如：研究某城市居民家庭消費(fèi)水平，居民家庭月消費(fèi)總額是標(biāo)志總量；居民家庭數(shù)是總體單位總量。總體單位某一數(shù)量標(biāo)志的標(biāo)志值總和總體所包含的總體單位的數(shù)量總量指標(biāo)的基本分類時(shí)期指標(biāo)時(shí)點(diǎn)指標(biāo)表明現(xiàn)象總體在一段時(shí)期內(nèi)發(fā)展過程的總量，如在某一段時(shí)期內(nèi)的出生人數(shù)、死亡人數(shù)表明現(xiàn)象總體在某一時(shí)刻（瞬間）的數(shù)量狀況，如在某一時(shí)點(diǎn)的總?cè)丝跀?shù)具有可加性、數(shù)值大小與時(shí)期長短有直接關(guān)系、需要連續(xù)登記匯總不具有可加性、數(shù)值大小與時(shí)期長短沒有直接關(guān)系、由一次性登記調(diào)查得到總量指標(biāo)的基本分類出生人數(shù)人口總數(shù)死亡人數(shù)t1時(shí)段t2時(shí)段t3時(shí)段t關(guān)于一個(gè)人口總體的總量指標(biāo)時(shí)期指標(biāo)時(shí)點(diǎn)指標(biāo)實(shí)物單位自然單位度量衡單位標(biāo)準(zhǔn)實(shí)物單位價(jià)值單位勞動單位總量指標(biāo)的計(jì)量單位多個(gè)單位的結(jié)合運(yùn)用：復(fù)合單位雙重單位多重單位（如：人·次、噸·公里）（如：人/平方公里）（如：艘/噸/千瓦）適用范圍綜合能力差強(qiáng)大小如：臺、件如：米、平方米如：標(biāo)準(zhǔn)噸如：工日、工時(shí)如：元

公頃

人輛計(jì)量單位單一單位復(fù)合單位：工時(shí)、噸公里等自然單位：個(gè)、臺等度量衡單位：噸等12第二節(jié)相對指標(biāo)一相對指標(biāo)的概念和作用二相對指標(biāo)的表現(xiàn)形式相對指標(biāo)的種類和計(jì)算方法三四四正確運(yùn)用相對指標(biāo)的原則甲企業(yè)乙企業(yè)利潤總額資金占用資金利潤率500萬元5000萬元3000萬元40000萬元16.7%12.5%比較兩廠經(jīng)濟(jì)效益不可比不可比可比第二節(jié)相對指標(biāo)指用兩個(gè)有聯(lián)系的指標(biāo)進(jìn)行對比的比值來反映社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象數(shù)量特征和數(shù)量關(guān)系的綜合指標(biāo)，也稱為相對數(shù)。相對指標(biāo)將對比基礎(chǔ)抽象化，是一種抽象化的數(shù)值；抽象化掩蓋了絕對數(shù)的規(guī)模。相對指標(biāo)的特點(diǎn)：總?cè)藬?shù)30人男生人數(shù)20人女生人數(shù)10人男生比重為2/3女生比重為1/3男女比例為2:1總量指標(biāo)非總量指標(biāo)相對指標(biāo)無名數(shù)有名數(shù)用倍數(shù)、系數(shù)、成數(shù)、﹪、‰等表示用雙重計(jì)量單位表示的復(fù)名數(shù)相對指標(biāo)的基本表現(xiàn)形式倍數(shù)與成數(shù)應(yīng)當(dāng)用整數(shù)的形式來表述5倍、3成、近7成3.25倍、8.6成

分母為1分母為1.00分母為10分母為100分母為1000反映現(xiàn)象間數(shù)量對比關(guān)系；男：女=10：7三次產(chǎn)業(yè)之比為2：3：5彌補(bǔ)總量指標(biāo)的不足，使不能直接對比的現(xiàn)象找到共同的比較基礎(chǔ)；大小企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益對比，勞動生產(chǎn)率高低用來綜合反映有關(guān)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象之間的聯(lián)系程度。例如：比率、速度、程度2021年GDP增長8.1%相對指標(biāo)的作用：相對指標(biāo)的種類與計(jì)算結(jié)構(gòu)相對數(shù)比例相對數(shù)比較相對數(shù)計(jì)劃完成程度相對數(shù)強(qiáng)度相對數(shù)動態(tài)相對數(shù)掌握它們的計(jì)算和作用。

說明⒈為無名數(shù)；⒉同一總體各組的結(jié)構(gòu)相對數(shù)之和為1；⒊用來分析現(xiàn)象總體的內(nèi)部構(gòu)成狀況；4.分子分母不能互換結(jié)構(gòu)相對數(shù)公式概念總體內(nèi)某一部分?jǐn)?shù)值與總體全部數(shù)值對比的比值。說明總體內(nèi)部構(gòu)成情況。表示：一般用％分子與分母比較同:總體、內(nèi)容、時(shí)間；異：范圍哦，恩格爾系數(shù)就是結(jié)構(gòu)相對數(shù)。例：某工廠共生產(chǎn)某種產(chǎn)品1000件，其中合格品為940件，次品為60件。則

⒈為無名數(shù)，可用百分?jǐn)?shù)或一比幾或幾比幾表示；⒉用來反映組與組之間的聯(lián)系程度或比例關(guān)系；3.分子、分母可互換。說明比例相對數(shù)概念公式分子與分母比較同一總體內(nèi)不同組成部分的指標(biāo)數(shù)值對比的結(jié)果，表明總體內(nèi)部的比例關(guān)系。同：總體、內(nèi)容、時(shí)間；異：范圍哦，男女性別比是比例相對數(shù)。例：我國某年國民收入使用額為19715億元，其中消費(fèi)額為12945億元，積累額為6770億元。則

⒈為無名數(shù)，一般用倍數(shù)、系數(shù)表示；⒉用來說明現(xiàn)象發(fā)展的不均衡程度；3.注意對比指標(biāo)必須是同質(zhì)現(xiàn)象；4.分子、分母可互換說明比較相對數(shù)概念公式兩個(gè)同類現(xiàn)象在同一時(shí)間不同國家、不同地區(qū)、不同單位對比。分子與分母比較同：時(shí)間、內(nèi)容；異：總體例：某年某地區(qū)甲、乙兩個(gè)公司商品銷售額分別為5.4億元和3.6億元。則

是同一現(xiàn)象在不同時(shí)期的兩個(gè)數(shù)值進(jìn)行動態(tài)對比得出的相對數(shù)。動態(tài)相對數(shù)公式⒈為無名數(shù)；⒉用來反映現(xiàn)象的數(shù)量在時(shí)間上的變動程度;3.分子分母不能互換、同一總體說明分子與分母比較同：總體、內(nèi)容；異：時(shí)間

強(qiáng)度相對數(shù)是同總體同時(shí)間兩個(gè)不同性質(zhì)有聯(lián)系的指標(biāo)數(shù)值對比的結(jié)果。（不同指標(biāo)對比）⒈一般為有名數(shù)，有時(shí)用無名數(shù)；⒉分子分母有時(shí)可互換，形成正指標(biāo)和逆指標(biāo)如：勞動生產(chǎn)率具有平均含義，但不同于平均指標(biāo)(分子、分母的不完全對應(yīng)性）。說明分子與分母比較同：總體、時(shí)間；異：內(nèi)容哦，人口密度就是強(qiáng)度相對數(shù)。強(qiáng)度相對數(shù)無名數(shù)的強(qiáng)度相對數(shù)一般用﹪、‰表示。其特點(diǎn)是分子來源于分母，但分母并不是分子的總體，二者所反映現(xiàn)象數(shù)量的時(shí)間狀況不同。例：某年某地區(qū)年平均人口數(shù)為100萬人，在該年度內(nèi)出生的人口數(shù)為8600人。則該地區(qū)

作用：①反映一國一地的發(fā)展水平、力量強(qiáng)弱。②反映事物存在的密度、普遍程度、運(yùn)動強(qiáng)度、負(fù)擔(dān)強(qiáng)度。③反映經(jīng)濟(jì)效益的高低。例：某地區(qū)某年末現(xiàn)有總?cè)丝跒?00萬人，醫(yī)院床位總數(shù)為24700張。則該地區(qū)

（正指標(biāo)）（逆指標(biāo)）為用雙重計(jì)量單位表示的復(fù)名數(shù)，反映的是一種依存性的比例關(guān)系或協(xié)調(diào)關(guān)系，可用來反映經(jīng)濟(jì)效益、經(jīng)濟(jì)實(shí)力、現(xiàn)象的密集程度等。有名數(shù)的強(qiáng)度相對數(shù)

直接應(yīng)用上述公式:A.計(jì)劃任務(wù)數(shù)表現(xiàn)為絕對數(shù)和平均數(shù)時(shí)計(jì)劃完成程度相對數(shù)例1：己知某廠2021年的計(jì)劃產(chǎn)品產(chǎn)量為2000件，實(shí)際產(chǎn)量為2400件。則：

超額完成（或未完成）絕對數(shù)=實(shí)際完成數(shù)－計(jì)劃數(shù)例2：己知某企業(yè)勞動生產(chǎn)率計(jì)劃達(dá)到8000元/人，某種產(chǎn)品計(jì)劃單位成本為100元，該企業(yè)實(shí)際勞動生產(chǎn)率達(dá)到9200元/人，該產(chǎn)品實(shí)際單位成本為90元。則：

計(jì)算結(jié)果表明，該企業(yè)勞動生產(chǎn)率實(shí)際比計(jì)劃提高了15%，而某產(chǎn)品單位成本實(shí)際比計(jì)劃降低了10%。（正指標(biāo)）（逆指標(biāo)）計(jì)劃執(zhí)行進(jìn)度相對數(shù)的計(jì)算方法

可以分段檢查計(jì)劃進(jìn)行的松緊情況。例3.某企業(yè)某年計(jì)劃生產(chǎn)某種產(chǎn)品2000件，第一、第二、第三季度實(shí)際產(chǎn)量分別為：450件、560件、600件。截至第三季度末，該產(chǎn)品的產(chǎn)量計(jì)劃執(zhí)行進(jìn)度為：

計(jì)算結(jié)果表明，截至第三季度末，應(yīng)完成全年計(jì)劃任務(wù)的75%，而實(shí)際計(jì)劃執(zhí)行進(jìn)度為80.5%，說明達(dá)到了進(jìn)度要求。計(jì)劃執(zhí)行過程中要時(shí)刻監(jiān)督，可以用該指標(biāo)衡量計(jì)劃完成的程度。在檢查中長期計(jì)劃的完成情況時(shí)，根據(jù)計(jì)劃指標(biāo)的性質(zhì)不同，計(jì)算可分為水平法和累計(jì)法。水平法

根據(jù)計(jì)劃末期（最后一年）實(shí)際達(dá)到的水平與計(jì)劃規(guī)定的同期應(yīng)達(dá)到的水平相比較，來確定全期是否完成計(jì)劃。

例4：某旅游公司按5年計(jì)劃規(guī)定的最后一年的接待人數(shù)應(yīng)達(dá)到50萬人，實(shí)際執(zhí)行情況如下表。采用水平法計(jì)算，只要有連續(xù)1年時(shí)間（可以跨年度）實(shí)際完成水平達(dá)到最后一年計(jì)劃水平，就算完成了5年計(jì)劃，余下的時(shí)間就是提前完成計(jì)劃時(shí)間。在此例中，實(shí)際從5年計(jì)劃的第四年第三季度到第五年第二季度連續(xù)1年的人數(shù)達(dá)到了50萬人，剩下下半年時(shí)間就是提前完成計(jì)劃時(shí)間。年度第一年第二年第三年第四年第五年上半年下半年第一季度第二季度第三季度第四季度第一季度第二季度第三季度第四季度接待人數(shù)4345222511121212.212.8131314

累計(jì)法根據(jù)整個(gè)計(jì)劃期間實(shí)際完成的累計(jì)數(shù)與同期計(jì)劃數(shù)相比較，來確定計(jì)劃完成程度。

例5：同例4數(shù)據(jù)，如果該旅游公司五年計(jì)劃累計(jì)接待游客208萬人。提前完成計(jì)劃時(shí)間=（計(jì)劃期月數(shù)－實(shí)際完成月數(shù)）+（超額完成計(jì)劃數(shù)/超額期日均完成數(shù)）

計(jì)算結(jié)果說明：該旅游公司超額12.98%完成五年計(jì)劃。提前兩個(gè)季度完成計(jì)劃任務(wù)（43+45+22+25+11+12+12+12.2+12.8+13=208）。

B.計(jì)劃任務(wù)數(shù)表現(xiàn)為相對數(shù)時(shí)例6：己知某廠2021年的計(jì)劃規(guī)定產(chǎn)品產(chǎn)量要比上年實(shí)際提高5﹪而實(shí)際提高了7﹪。則

例7：己知某廠2021年的計(jì)劃規(guī)定產(chǎn)品成本比上年降低5%，實(shí)際降低提高6﹪。則

即實(shí)際比計(jì)劃單位成本下降了1.05%.百分點(diǎn)相當(dāng)于百分?jǐn)?shù)的計(jì)量單位，一個(gè)百分點(diǎn)就指1﹪。

上例6中，實(shí)際比計(jì)劃多提高的百分點(diǎn)為（7﹪-5﹪）×100=2（個(gè)百分點(diǎn)）實(shí)際工作中常用，但并不是相對數(shù)正確選擇對比基礎(chǔ)；指標(biāo)對比要有可比性；相對指標(biāo)要與總量指標(biāo)結(jié)合運(yùn)用；多種相對指標(biāo)結(jié)合運(yùn)用。使用相對指標(biāo)應(yīng)注意的問題正確選擇對比基礎(chǔ)本單位歷史水平本行業(yè)（全國）平均（先進(jìn)）水平經(jīng)濟(jì)效益指數(shù)＝某經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)實(shí)際值該經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)值價(jià)格定基指數(shù)＝某期價(jià)格水平某固定基期的價(jià)格水平經(jīng)濟(jì)發(fā)展、價(jià)格水平均較為正常的時(shí)期注意指標(biāo)間的可比性

2019年的工業(yè)總產(chǎn)值（當(dāng)年價(jià)格）1980年的工業(yè)總產(chǎn)值（當(dāng)年價(jià)格）2018年中國的國民收入（人民幣元）2018年美國的國民收入（美元）

相對指標(biāo)抽象掉了具體的數(shù)量差異:1:2=50%10000:20000=50%1998年相對于1997年，美國的GDP增長速度為3.9％，同期中國GDP增長速度為7.8％，恰好為美國的2倍；但根據(jù)同期匯率（1美元兌換8.3元人民幣），1998年中國GDP總量約合9671億美元，約相當(dāng)于同期美國GDP總量84272億美元的1/9。相對指標(biāo)應(yīng)當(dāng)結(jié)合總量指標(biāo)使用結(jié)構(gòu)相對數(shù)比例相對數(shù)比較相對數(shù)動態(tài)相對數(shù)計(jì)劃完成相對數(shù)強(qiáng)度相對數(shù)（部分與總體關(guān)系）（部分與部分關(guān)系）（橫向?qū)Ρ汝P(guān)系）（縱向?qū)Ρ汝P(guān)系）（實(shí)際與計(jì)劃關(guān)系）（關(guān)聯(lián)指標(biāo)間關(guān)系）多種相對指標(biāo)應(yīng)當(dāng)結(jié)合運(yùn)用人口性別比為1.03：11999年末我國共有總?cè)丝?2.6億人，其中男性人口為6.4億，女性人口為6.2億。男性人口的比重為50.8﹪比1980年末的9.9億人增加了28﹪人口密度是美國的4.5倍人口密度為130人/平方公里人口出生率為15.23‰女性人口的比重為49.2﹪數(shù)據(jù)分布特征的測度數(shù)據(jù)特征的測度眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)方差和標(biāo)準(zhǔn)差峰態(tài)系數(shù)四分位差全距偏態(tài)系數(shù)分布的形狀集中趨勢離散程度平均差離散系數(shù)45第三節(jié)平均指標(biāo)一平均指標(biāo)的含義、特點(diǎn)、作用和種類二數(shù)值平均數(shù)四三位置平均數(shù)第三節(jié)平均指標(biāo)又稱平均數(shù)，是反映社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象總體各單位某一數(shù)量標(biāo)志在一定時(shí)間、地點(diǎn)和條件下所達(dá)到的一般水平的綜合指標(biāo)。反映總體分布的集中趨勢。平均指標(biāo)平均數(shù)數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)平均指標(biāo)的作用概括說明總體的數(shù)量特征；對比同類現(xiàn)象在不同條件下的差異；分析現(xiàn)象的依存關(guān)系；消除不同總體數(shù)量差異，進(jìn)行估計(jì)推算。基本形式：例：直接承擔(dān)者※注意區(qū)分算術(shù)平均數(shù)與強(qiáng)度相對數(shù)算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)與強(qiáng)度相對數(shù)的比較1、概念不同。強(qiáng)度相對數(shù)是兩個(gè)有聯(lián)系而性質(zhì)不同的總體對比而形成相對數(shù)指標(biāo)。算術(shù)平均數(shù)是反映同質(zhì)總體單位標(biāo)志值一般水平的指標(biāo)。2、主要作用不同。強(qiáng)度相對數(shù)反映兩不同總體現(xiàn)象形成的密度、強(qiáng)度。算術(shù)平均數(shù)反映同一現(xiàn)象在同一總體中的一般水平。3、計(jì)算公式及內(nèi)容不同。算術(shù)平均數(shù)分子、分母分別是同一總體的標(biāo)志總量和總體單位數(shù)，分子、分母的元素具有一一對應(yīng)的關(guān)系，即分母每一個(gè)總體單位都在分子可找到與之對應(yīng)的標(biāo)志值，反之，分子每一個(gè)標(biāo)志值都可以在分母中找到與之對應(yīng)的總體單位。而強(qiáng)度相對數(shù)是兩個(gè)總體現(xiàn)象之比，分子分母沒有一一對應(yīng)關(guān)系。STAT算術(shù)平均數(shù)83名女生的身高變量一般水平、代表性數(shù)值分布的集中趨勢、中心數(shù)值算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算算術(shù)平均數(shù)=總體標(biāo)志總量總體單位總數(shù)數(shù)據(jù)集數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)N簡單算術(shù)平均數(shù)A.簡單算術(shù)平均數(shù)——適用于總體資料未經(jīng)分組整理、尚為原始資料的情況式中：為算術(shù)平均數(shù);為總體單位總數(shù)；為第i個(gè)單位的標(biāo)志值。算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法某班40名學(xué)生《統(tǒng)計(jì)學(xué)》成績?nèi)缦拢骸纠?9、88、76、99、74、60、82、60、89、86、92、85、70、93、99、94、82、77、79、97、78、95、84、79、63、72、87、84、79、65、98、67、59、83、66、65、73、81、56、77簡單算術(shù)平均數(shù)特點(diǎn)受各變量值本身大小的影響不會超過變量值的變動范圍受極端變量值的影響較明顯B.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)——適用于總體資料經(jīng)過分組整理形成變量數(shù)列的情況式中：為算術(shù)平均數(shù);為第組的次數(shù)；為組數(shù)；為第組的標(biāo)志值或組中值。算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法【例】某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下：日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）15161718192061017282217合計(jì)100計(jì)算該企業(yè)該日全部工人的平均日產(chǎn)量。算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法

解：算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法若上述資料為組距數(shù)列，則應(yīng)取各組的組中值作為該組的代表值用于計(jì)算；此時(shí)求得的算術(shù)平均數(shù)只是其真值的近似值。說明【例】某企業(yè)50名工人加工零件均值計(jì)算表如下：按零件分組組中值x頻數(shù)fxf105～110110～115115～120120～125125～130130～135135～140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064322.5562.5940.01715.01275.0795.0550.0合計(jì)-----506160.0算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法解：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的大小，不僅取決于研究對象的變量值，而且受各變量值重復(fù)出現(xiàn)的頻數(shù)的影響，頻數(shù)大的組對算術(shù)平均數(shù)影響就大。分析：成績（分）人數(shù)（人）甲班乙班丙班603915010013950平均成績（分）619980起到權(quán)衡輕重的作用算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法決定平均數(shù)的變動范圍思考1思考：若分組資料中的各組權(quán)數(shù)f均相等，即加權(quán)算術(shù)平均數(shù)簡單算術(shù)平均數(shù)表現(xiàn)為次數(shù)、頻數(shù)、單位數(shù)；即公式中的表現(xiàn)為頻率、比重；即公式中的指變量數(shù)列中各組標(biāo)志值出現(xiàn)的次數(shù)，是變量值的承擔(dān)者，反映了各組的標(biāo)志值對平均數(shù)的影響程度權(quán)數(shù)絕對權(quán)數(shù)相對權(quán)數(shù)思考2思考:絕對權(quán)數(shù)與相對權(quán)數(shù)的區(qū)別權(quán)重比重重要程度234567819權(quán)數(shù)與加權(quán)234567819權(quán)數(shù)與加權(quán)234567819權(quán)數(shù)與加權(quán)234567819權(quán)數(shù)與加權(quán)234567819權(quán)數(shù)與加權(quán)234567819算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算取決于變量值和權(quán)數(shù)的共同作用：變量值決定平均數(shù)的范圍；權(quán)數(shù)則決定平均數(shù)的位置⒈變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差之和衡等于零，即：⒉變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方和為最小，即：算術(shù)平均數(shù)的主要數(shù)學(xué)性質(zhì)離差的概念12345678-1-1-213交替標(biāo)志平均數(shù)1、概念：交替標(biāo)志又稱是非標(biāo)志，它是一個(gè)只有兩種答案的標(biāo)志。如：性別只有男、女；一批產(chǎn)品只有合格品、不合格品等就可用是非標(biāo)志來反映。2、表示形式：1：具有某種屬性的單位標(biāo)志值。0：不具有某種屬性的單位標(biāo)志值。N：全部總體單位數(shù)。N1：具有某種屬性的總體單位數(shù)。N2：不具有某種屬性的總體單位數(shù)。P=N1/N：具有某種屬性的單位數(shù)所占的比重。Q=N2/N：不具有某種屬性的單位數(shù)所占的比重。其中：P+Q=1交替標(biāo)志平均數(shù)是總體各單位標(biāo)志值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，又叫倒數(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)具體分為簡單調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)

調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)基本原理是一致的，主要區(qū)別是掌握資料不同。A.簡單調(diào)和平均數(shù)——適用于總體資料未經(jīng)分組整理、尚為原始資料的情況式中：為調(diào)和平均數(shù);

為變量值的個(gè)數(shù)；

為第個(gè)變量值。調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算方法簡單調(diào)和平均數(shù)—舉例(1)我各買1公斤?(2)我各買1元?…

2.50元/kg2.00元/kg1.00元/kg(加權(quán)算術(shù)平均)兩種計(jì)算結(jié)果為什么不一致?(1)平均價(jià)格=(2.5+2+1)/3=1.833(元/公斤)(2)平均價(jià)格:加權(quán)算術(shù)平均數(shù)=(2.5*0.4+2*0.5+1*1)/1.9=1.579(元/公斤)加權(quán)調(diào)和平均=(1+1+1)/(1/2.5+1/2+1/1)=1.579(元/公斤)舉例計(jì)算:B.加權(quán)調(diào)和平均數(shù)——適用于總體資料經(jīng)過分組整理形成變量數(shù)列的情況式中：為第組的變量值；為第組的標(biāo)志總量。調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算方法——當(dāng)已知各組變量值和標(biāo)志總量時(shí)，作為算術(shù)平均數(shù)的變形使用。因?yàn)椋赫{(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用x、f

為已知若只知

x和xf

，而f

未知，則不能使用加權(quán)算術(shù)平均方式，只能使用其變形即加權(quán)調(diào)和平均方式。蘋果單價(jià)購買量總金額品種（元）（公斤）（元）紅富士236青香蕉1.859日產(chǎn)量（件）各組工人日總產(chǎn)量（件）10111213147001100456019501400合計(jì)9710【例】某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下：計(jì)算該企業(yè)該日全部工人的平均日產(chǎn)量。調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用即該企業(yè)該日全部工人的平均日產(chǎn)量為12.1375件。調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用解調(diào)和平均數(shù)的特點(diǎn)易受極端值的影響，且受極小值的影響比受極大值的影響更大；只要有一個(gè)變量值為零，就不能計(jì)算調(diào)和平均數(shù)；應(yīng)用范圍較小。調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)

當(dāng)m=xf時(shí)：加權(quán)調(diào)和平均數(shù)公式就變成加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式結(jié)論是:調(diào)和平均與算術(shù)平均的計(jì)算只是由于資料不同而出現(xiàn)的差異,其經(jīng)濟(jì)含義完全一致。算術(shù)平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)的其他應(yīng)用

（教材P94）產(chǎn)值利潤率（%）一季度二季度企業(yè)數(shù)（個(gè)）實(shí)際產(chǎn)值（萬元）企業(yè)數(shù)（個(gè)）實(shí)際利潤（萬元）5－1010－2020－303070505700205002250050802071035142250合計(jì)150487001506474一季度的平均產(chǎn)值潤率二季度的平均產(chǎn)值利潤率比值的平均數(shù)的計(jì)算方法由于比值（平均數(shù)或相對數(shù)）不能直接相加，求解比值的平均數(shù)時(shí)，需將其還原為構(gòu)成比值的分子、分母原值總計(jì)進(jìn)行對比設(shè)比值分子變量分母變量則有：己知，采用基本平均數(shù)公式己知，采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式己知，采用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)公式比值比值的平均數(shù)的計(jì)算方法【例A】某季度某工業(yè)公司18個(gè)工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計(jì)劃完成情況如下：計(jì)劃完成程度（﹪）組中值（﹪）企業(yè)數(shù)（個(gè)）計(jì)劃產(chǎn)值（萬元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合計(jì)—1824900計(jì)算該公司該季度的平均計(jì)劃完成程度。比值的平均數(shù)的計(jì)算方法【例A】某季度某工業(yè)公司18個(gè)工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計(jì)劃完成情況如下：計(jì)劃完成程度（﹪）組中值（﹪）企業(yè)數(shù)（個(gè)）計(jì)劃產(chǎn)值（萬元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合計(jì)—1824900計(jì)算該公司該季度的平均計(jì)劃完成程度。分析：

應(yīng)采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式計(jì)算比值的平均數(shù)的計(jì)算方法【例B】某季度某工業(yè)公司18個(gè)工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計(jì)劃完成情況如下（按計(jì)劃完成程度分組）：組別企業(yè)數(shù)（個(gè)）計(jì)劃產(chǎn)值（萬元）實(shí)際產(chǎn)值（萬元）12342310380025001720044006802375180605060合計(jì)182490026175計(jì)算該公司該季度的平均計(jì)劃完成程度。比值的平均數(shù)的計(jì)算方法【例B】某季度某工業(yè)公司18個(gè)工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計(jì)劃完成情況如下（按計(jì)劃完成程度分組）：組別企業(yè)數(shù)（個(gè)）計(jì)劃產(chǎn)值（萬元）實(shí)際產(chǎn)值（萬元）12342310380025001720044006802375180605060合計(jì)182490026175計(jì)算該公司該季度的平均計(jì)劃完成程度。求解比值的平均數(shù)的方法分析：

應(yīng)采用簡單算數(shù)平均數(shù)基本公式計(jì)算比值的平均數(shù)的計(jì)算方法【例C】某季度某工業(yè)公司18個(gè)工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計(jì)劃完成情況如下：計(jì)劃完成程度（﹪）組中值（﹪）企業(yè)數(shù)（個(gè)）實(shí)際產(chǎn)值（萬元）90以下90～100100～110110以上8595105115231036802375180605060合計(jì)—1826175計(jì)算該公司該季度的平均計(jì)劃完成程度。計(jì)劃完成程度（﹪）組中值（﹪）X企業(yè)數(shù)（個(gè)）計(jì)劃產(chǎn)值（萬元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合計(jì)—1824900求解比值的平均數(shù)的方法【例C】某季度某工業(yè)公司18個(gè)工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計(jì)劃完成情況如下：分析：

應(yīng)采用調(diào)和平均數(shù)的基本公式計(jì)算計(jì)算該公司該季度的平均計(jì)劃完成程度。是N項(xiàng)變量值連乘積的開N次方根。幾何平均數(shù)用于計(jì)算現(xiàn)象的平均比率或平均速度應(yīng)用：各個(gè)比率或速度的連乘積等于總比率或總速度；相乘的各個(gè)比率或速度不為零或負(fù)值。應(yīng)用的前提條件：A.簡單幾何平均數(shù)——適用于總體資料未經(jīng)分組整理尚為原始資料的情況式中：為幾何平均數(shù);為變量值的個(gè)數(shù)；為第個(gè)變量值。幾何平均數(shù)的計(jì)算方法【例】某流水生產(chǎn)線有前后銜接的四道工序。某日各工序產(chǎn)品的合格率分別為95﹪、94﹪、96﹪、97﹪，求整個(gè)流水生產(chǎn)線產(chǎn)品的平均合格率。分析：設(shè)最初投產(chǎn)100A個(gè)單位，則第一道工序的合格品為100A×0.95；第二道工序的合格品為（100A×0.95）×0.94；……第四道工序的合格品為（100A×0.95×0.94×0.96）×0.97；因該流水線的最終合格品即為第四道工序的合格品，故該流水線總的合格品應(yīng)為100A×0.95×0.94×0.96×0.97；則該流水線產(chǎn)品總的合格率為：

即該流水線總的合格率等于各工序合格率的連乘積，符合幾何平均數(shù)的適用條件，故需采用幾何平均法計(jì)算。

解：思考若上題中不是由四道連續(xù)作業(yè)的工序組成的流水生產(chǎn)線，而是四個(gè)獨(dú)立作業(yè)的車間，且各車間的合格率同前，又假定各車間的產(chǎn)量相等均為100件，求該企業(yè)的平均合格率。幾何平均數(shù)的計(jì)算方法因各車間彼此獨(dú)立作業(yè)，所以有第一車間的合格品為：100×0.95；第二車間的合格品為：100×0.94；……第四車間的合格品為：100×0.97。則該企業(yè)全部合格品應(yīng)為各車間合格品的總和，即總合格品=100×0.95+……+100×0.97幾何平均數(shù)的計(jì)算方法分析：不再符合幾何平均數(shù)的適用條件，需按照求解比值的平均數(shù)的方法計(jì)算。又因?yàn)?/p>

應(yīng)采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式計(jì)算，即B.加權(quán)幾何平均數(shù)——適用于總體資料經(jīng)過分組整理形成變量數(shù)列的情況式中：為幾何平均數(shù);為第組的次數(shù)；為組數(shù)；為第組的標(biāo)志值或組中值。幾何平均數(shù)的計(jì)算方法【例】某金融機(jī)構(gòu)以復(fù)利計(jì)息。近10年來的年利率有前4年為6﹪，中間3年為8﹪，后3年為10﹪。求平均年利率。設(shè)本金為V，則至各年末的本利和應(yīng)為：第1年末的本利和為：

第2年末的本利和為：………………

第10年末的本利和為：分析：第2年的計(jì)息基礎(chǔ)第10年的計(jì)息基礎(chǔ)

則該筆本金10年總的本利率為：即10年總本利率等于各年本利率的連乘積，符合幾何平均數(shù)的適用條件，故計(jì)算平均年本利率應(yīng)采用幾何平均法。

解：幾何平均數(shù)的計(jì)算方法思考若上題中不是按復(fù)利而是按單利計(jì)息，且各年的利率與上相同，求平均年利率。分析第1年末的應(yīng)得利息為：

第2年末的應(yīng)得利息為：

第10年末的應(yīng)得利息為：

…………設(shè)本金為V，則各年末應(yīng)得利息為：則該筆本金10年應(yīng)得的利息總和為：=V（0.06×4+0.08×3+0.1×3）這里的利息率或本利率不再符合幾何平均數(shù)的適用條件，需按照求解比值的平均數(shù)的方法計(jì)算。因?yàn)榧俣ū窘馂閂

所以，應(yīng)采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式計(jì)算平均年利息率，即：

解：（比較：按復(fù)利計(jì)息時(shí)的平均年利率為7.79﹪）

【例】甲投資銀行某項(xiàng)投資的年利率是按復(fù)利計(jì)算的，將過去20年的年利率資料整理為如表所示。要求：計(jì)算20年的平均年利率。

解：即平均年利率為8.27%?！纠恳阎呈?011-2015年國內(nèi)生產(chǎn)總值的發(fā)展速度（以上年為100%）分別為112%、108%、114%、116%和113%。要求：計(jì)算這5年國內(nèi)生產(chǎn)總值的平均發(fā)展速度。解：注意：如果已知的是各年的增長速度，要計(jì)算若干年的平均增長速度，則需要先將增長率加上100%得到發(fā)展速度，再根據(jù)上述方法計(jì)算平均發(fā)展速度，最后用平均發(fā)展速度減100%得到平均增長速度。幾何平均數(shù)的特點(diǎn)受極端值的影響較算術(shù)平均數(shù)?。蛔兞恐祽?yīng)該均大于零；應(yīng)用范圍較小，僅適用于具有等比或近似等比關(guān)系的數(shù)據(jù)；幾何平均數(shù)的對數(shù)是各變量值對數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。是否為比率或速度各個(gè)比率或速度的連乘積是否等于總比率或總速度是否為其他比值是否否是否是幾何平均法算術(shù)平均法求解比值的平均數(shù)的方法數(shù)值平均數(shù)計(jì)算公式的選用順序指標(biāo)算術(shù)平均與幾何平均更為常用一些，其中幾何平均數(shù)對小的極端值敏感，算術(shù)平均數(shù)對大的極端值敏感。注意某系83名女生身高資料（按序排列）次序統(tǒng)計(jì)量的概念

身高人數(shù)（CM）（人）152115421552156415711582159216012161716281634身高人數(shù)（CM）（人）1643165816651673168716911705171217231741總計(jì)83152154154155155156156156156157158158159159160160160160160160160160160160160160161161161161161161161162162162162162162162162163163163163164164164165165165165165165165165166166166166166167167167168168168168168168168169170170170170170171171172172172174將變量值按順序排列起來，當(dāng)反映分布集中趨勢的度量值僅僅由數(shù)列中某個(gè)位置的值來確定時(shí)，這個(gè)值就稱為次序統(tǒng)計(jì)量，也可以稱為位置平均數(shù)。位置平均數(shù)與數(shù)值平均數(shù)的基本區(qū)別在于其不需要依據(jù)每一個(gè)變量值來計(jì)算。某系83名女生身高資料（按序排列）次序統(tǒng)計(jì)量的概念身高人數(shù)（CM）（人）152115421552156415711582159216012161716281634身高人數(shù)（CM）（人）1643165816651673168716911705171217231741總計(jì)83將變量值按順序排列起來，當(dāng)反映分布集中趨勢的度量值僅僅由數(shù)列中某個(gè)位置的值來確定時(shí)，這個(gè)值就稱為次序統(tǒng)計(jì)量，也可以稱為位置平均數(shù)。位置平均數(shù)與數(shù)值平均數(shù)的基本區(qū)別在于其不需要依據(jù)每一個(gè)變量值來計(jì)算。152154154155155156156156156157158158159159160160160160160160160160160160160160161161161161161161161162162162162162162162162163163163163164164164165165165165165165165165166166166166166167167167168168168168168168168169170170170170170171171172172172174數(shù)列中點(diǎn)的值即第42個(gè)值指總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，用表示,它不受極端數(shù)值的影響，用來說明總體中大多數(shù)單位所達(dá)到的一般水平。眾數(shù)位置平均數(shù)眾數(shù)（mode）：出現(xiàn)次數(shù)最多即出現(xiàn)頻率最高的變量值。身高人數(shù)（CM）（人）152115421552156415711582159216012161716281634身高人數(shù)（CM）（人）1643165816651673168716911705171217231741總計(jì)83152154154155155156156156156157158158159159160160160160160160160160160160160160161161161161161161161162162162162162162162162163163163163164164164165165165165165165165165166166166166166167167167168168168168168168168169170170170170170171171172172172174眾數(shù)的確定方法某年級83名女生身高資料

身高人數(shù)（CM）（人）152115421552156415711582159216012161716281634

身高人數(shù)（CM）（人）1643165816651673168716911705171217231741總計(jì)83眾數(shù)MO＝160結(jié)論：根據(jù)定義確定單項(xiàng)式分布數(shù)列的眾數(shù)。

身高人數(shù)比重（CM）（人）（%）150-15533.61155-1601113.25160-1653440.96165-1702428.92170以上1113.25

總計(jì)83100某年級83名女生身高資料眾數(shù)的確定方法眾數(shù)的原理及應(yīng)用83名女生身高原始數(shù)據(jù)83名女生身高組距數(shù)列日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）101112131470100380150100合計(jì)800【例A】已知某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下:眾數(shù)的確定（單值數(shù)列）計(jì)算該企業(yè)該日全部工人日產(chǎn)量的眾數(shù)。眾數(shù)的確定（組距數(shù)列）【例B】某車間50名工人月產(chǎn)量的資料如下：月產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）向上累計(jì)次數(shù)（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合計(jì)50—計(jì)算該車間工人月產(chǎn)量的眾數(shù)。概約眾數(shù)：眾數(shù)所在組的組中值，在本例為500件【例】某高校電影院在安排2016年影片放映計(jì)劃時(shí)，為滿足學(xué)生的需求，分別按性別隨機(jī)抽取男女學(xué)生共400名，登記其對影片類型的取向。要求：分析學(xué)生對影片取向的集中趨勢。解：對于男生而言，眾數(shù)即為動作片這種影片類型；對于女生而言，眾數(shù)即為言情片這種影片類型；男女生對影片類型的綜合取向，眾數(shù)即為動作片這種影片類型。當(dāng)數(shù)據(jù)分布存在明顯的集中趨勢，且有顯著的極端值時(shí)，適合使用眾數(shù)；眾數(shù)不一定存在，存在時(shí)也不一定是唯一的；當(dāng)數(shù)據(jù)分布的集中趨勢不明顯或存在兩個(gè)以上分布中心時(shí)，不適合使用眾數(shù)（前者無眾數(shù)，后者為雙眾數(shù)或多眾數(shù)，也等于沒有眾數(shù)）眾數(shù)的原理及應(yīng)用出生1981.01980.01979.01978.01977.01976.01975.0160140120100806040200沒有突出地集中在某個(gè)年份413名學(xué)生出生時(shí)間分布直方圖眾數(shù)的原理及應(yīng)用（無眾數(shù)）192.5190.5188.5186.5184.5182.5180.5178.5176.5174.5172.5170.5168.5166.5164.5162.5160.5158.5156.5154.5152.5150.5148.56050403020100413名學(xué)生的身高分布直方圖（雙眾數(shù)）當(dāng)數(shù)據(jù)分布呈現(xiàn)出雙眾數(shù)或多眾數(shù)時(shí)，可以斷定這些數(shù)據(jù)來源于不同的總體。出現(xiàn)了兩個(gè)明顯的分布中心眾數(shù)的特點(diǎn)眾數(shù)不受分布數(shù)列的極大或極小值影響，代表性強(qiáng)；當(dāng)分組數(shù)列中沒有明顯的集中趨勢，近似均勻分布時(shí)，該分配數(shù)列無眾數(shù)；如果與眾數(shù)組相鄰的上下兩組的次數(shù)相等，則眾數(shù)組的組中值就是眾數(shù)值；缺乏敏感性。將總體各單位標(biāo)志值按大小順序排列后，指處于數(shù)列中間位置的標(biāo)志值，用表示中位數(shù)不受極端數(shù)值的影響，在總體標(biāo)志值差異很大時(shí)，具有較強(qiáng)的代表性。中位數(shù)的作用：位置平均數(shù)中位數(shù)把標(biāo)志值數(shù)列分為兩個(gè)部分,一部分標(biāo)志值小于或等于它,另一部分標(biāo)志值大于或等于它.中位數(shù)的確定（未分組原始資料）首先，將標(biāo)志值按大小排序；其次，按(n+1)/2確定中位數(shù)的位置；最后，按下面的方式確定中位數(shù)。（n為奇數(shù)）（n為偶數(shù)）中位數(shù)的位次為：

即第5個(gè)單位的標(biāo)志值就是中位數(shù)

【例A】某售貨小組9個(gè)人，某天的銷售量按從小到大的順序排列為26件、30件、33件、35件、39件、40件、42件、43件、46件，則中位數(shù)的確定（未分組資料）中位數(shù)的位次為

中位數(shù)應(yīng)為第5和第6個(gè)單位標(biāo)志值的算術(shù)平均數(shù)，即

【例B】若上述售貨小組為10個(gè)人，某天的銷售量按從小到大的順序排列為26件、30件、33件、35件、36件、39件、40件、42件、43件、46件，則中位數(shù)的確定（未分組資料）【例】某班第一、第二兩個(gè)小組《統(tǒng)計(jì)學(xué)》期末考試成績排序結(jié)果如表所示，要求計(jì)算第一、第二兩個(gè)小組考試成績的中位數(shù)。

解：兩個(gè)學(xué)習(xí)小組的考試成績已經(jīng)分別按由低到高的順序排列第一小組，有7名學(xué)生，中位數(shù)所處的位置=4，即第四名學(xué)生的成績75分就是中位數(shù)；第二小組，有8名學(xué)生，中位數(shù)的位置=4.5，即中位數(shù)是處于中間位置的兩名學(xué)生成績的平均數(shù)

中位數(shù)

中位數(shù)的確定（分組資料）單項(xiàng)數(shù)列確定中位數(shù)方法：首先，由確定中位數(shù)的位置；其次，按次數(shù)累計(jì)確定中位數(shù)。

組距數(shù)列確定中位數(shù)方法：首先，按確定中位數(shù)所在組的位置；其次，再按下限公式或上限公式確定中位數(shù)。下限公式上限公式中位數(shù)的確定（組距數(shù)列）共個(gè)單位共個(gè)單位共個(gè)單位共個(gè)單位LU中位數(shù)組組距為d共個(gè)單位假定該組內(nèi)的單位呈均勻分布共有單位數(shù)

中位數(shù)下限公式為

該段長度應(yīng)為【例C】某學(xué)校40名同學(xué)獲獎(jiǎng)學(xué)金資料如下：獎(jiǎng)學(xué)金金額（元/人）獲獎(jiǎng)人數(shù)（人）向上累計(jì)次數(shù)（人）5001000150020002500300056897551119283540合計(jì)40—計(jì)算該學(xué)校獎(jiǎng)學(xué)金金額的中位數(shù)。中位數(shù)的位次：

中位數(shù)的確定（單值數(shù)列）中位數(shù)的確定（組距數(shù)列）【例D】某車間160名工人日產(chǎn)量的資料如下：日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）向上累計(jì)次數(shù)（人）100以下100～110110～120120~130130~140140~1501500以上1018493526148102877112138152160合計(jì)160—計(jì)算該車間工人日產(chǎn)量的中位數(shù)。

中位數(shù)一定存在；中位數(shù)與算術(shù)平均數(shù)相近；中位數(shù)不受極端值影響；變量值與中位數(shù)離差絕對值之和最?。蝗狈γ舾行?；有些離散型變量的單項(xiàng)式數(shù)列，當(dāng)次數(shù)分布偏態(tài)時(shí)，中位數(shù)的代表性會受影響。中位數(shù)的作用及用法中位數(shù)一定存在；中位數(shù)與算術(shù)平均數(shù)相近；中位數(shù)不受極端值影響；變量值與中位數(shù)離差絕對值之和最小。中位數(shù)的作用及用法

變量值34556910中位數(shù)5平均值6與中位數(shù)離差-2-100145與平均數(shù)離差-3-2-1-1034絕對數(shù)值之和

13

14分位數(shù)1、分位數(shù)的概念中位數(shù)也稱為二分位數(shù)，因?yàn)樗哂型ㄟ^一個(gè)點(diǎn)，將一組數(shù)據(jù)分為兩半，一半在其之下，一半在其之上的特點(diǎn)。與其原理類似，分位數(shù)還有四分位數(shù)、十分位數(shù)、百分位數(shù)等。四分位數(shù)，是指將按升序排列的一組數(shù)據(jù)劃分為4等分的3個(gè)變量值。十分位數(shù)，是指將按升序排列的一組數(shù)據(jù)通過9個(gè)點(diǎn)劃分為10等分的9個(gè)變量值。百分位數(shù)，是將按升序排列的一組數(shù)據(jù)通過99個(gè)點(diǎn)劃分為100個(gè)等分的99個(gè)變量值。2、分位數(shù)的計(jì)算四分位數(shù)、十分位數(shù)、百分位數(shù)的計(jì)算方法與中位數(shù)類似，在此只介紹四分位數(shù)的計(jì)算方法。設(shè)下四分位數(shù)為

，上四分位數(shù)為

，各四分位數(shù)的位置分別為：【例】某學(xué)習(xí)小組的統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績?nèi)缦卤?，要求?）計(jì)算中位數(shù)、四分位數(shù)；（2）如果增加一個(gè)學(xué)生的成績95分，試計(jì)算16個(gè)學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績的中位數(shù)、四分位數(shù)。解：（1）（2）算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的比較(對稱分布)正偏態(tài)分布（右）負(fù)偏態(tài)分布(左）XfXfXf算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的比較應(yīng)用平均指標(biāo)的基本原則總體的同質(zhì)性是計(jì)算和應(yīng)用平均指標(biāo)的前提；應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)，應(yīng)注意各自特點(diǎn)和適用條件；用組平均數(shù)補(bǔ)充總體平均數(shù)。141第四節(jié)標(biāo)志變異指標(biāo)一標(biāo)志變異指標(biāo)的概念二標(biāo)志變異指標(biāo)的作用二三標(biāo)志變異指標(biāo)的計(jì)算集中趨勢弱、離散趨勢強(qiáng)集中趨勢強(qiáng)、離散趨勢弱第四節(jié)標(biāo)志變異指標(biāo)

標(biāo)志變異指標(biāo)統(tǒng)計(jì)上用來反映總體各單位標(biāo)志值之間差異程度大小的綜合指標(biāo)，也稱做標(biāo)志變動度。

平均指標(biāo)是一個(gè)代表性數(shù)值，它反映總體各單位某一數(shù)量標(biāo)志的一般水平，而把總體各單位之間的差異抽象化了。但總體各單位之間的差異是客觀存在的，這種差異也是統(tǒng)計(jì)總體的重要特征之一。因此，要全面反映一個(gè)總體的特征，還必須測定總體各單位之間差異程度。

作用1、衡量平均指標(biāo)代表性的大小2、反映社會經(jīng)濟(jì)活動過程的均衡性和穩(wěn)定性3、揭示總體變量分布的離中趨勢4、計(jì)算抽樣誤差和確定樣本容量的依據(jù)。測定標(biāo)志變異度的絕對量指標(biāo)（與原變量值名數(shù)相同）測定標(biāo)志變異度的相對量指標(biāo)（表現(xiàn)為無名數(shù)）全距平均差標(biāo)準(zhǔn)差全距系數(shù)平均差系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)標(biāo)志變異指標(biāo)的種類指所研究的數(shù)據(jù)中，最大值與最小值之差，又稱極差。全距最大變量值或最高組上限或開口組假定上限最小變量值或最低組下限或開口組假定下限【例A】某售貨小組5人某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，則標(biāo)志變異指標(biāo)的種類【例B】某季度某工業(yè)公司18個(gè)工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計(jì)劃完成情況如下：計(jì)劃完成程度（﹪）組中值（﹪）企業(yè)數(shù)（個(gè)）計(jì)劃產(chǎn)值（萬元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合計(jì)—1824900計(jì)算該公司該季度計(jì)劃完成程度的全距。標(biāo)志變異指標(biāo)的種類優(yōu)點(diǎn):計(jì)算方法簡單、易懂；缺點(diǎn):易受極端數(shù)值的影響，不能全面反映所有標(biāo)志值差異大小及分布狀況，準(zhǔn)確程度差往往應(yīng)用于生產(chǎn)過程的質(zhì)量控制中全距的特點(diǎn)標(biāo)志變異指標(biāo)的種類二、四分位差1、四分位差是指一組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差。四分位差2、優(yōu)缺：計(jì)算簡單，意義清楚，反映現(xiàn)象的差異程度較粗略和不全面，實(shí)用價(jià)值甚小。全距和四分位差均只使用部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。特點(diǎn)：（1）它反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度（2）主要用于對順序數(shù)據(jù)離散程度的測度（3）不受極端值的影響（4）用于衡量中位數(shù)的代表性【例】某學(xué)習(xí)小組的統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績?nèi)缦卤恚螅?）計(jì)算中位數(shù)、四分位數(shù)；（2）如果增加一個(gè)學(xué)生的成績95分，試計(jì)算16個(gè)學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績的中位數(shù)、四分位數(shù)。解：（1）（2）

【例】前面例子中，依據(jù)人數(shù)分別為15、16的2個(gè)學(xué)習(xí)小組的《統(tǒng)計(jì)學(xué)》成績計(jì)算了中位數(shù)、四分位數(shù)，試計(jì)算學(xué)生成績的四分位差，并比較中位數(shù)的代表性。

解：（1）已知（2）已知結(jié)論：兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)均為76分，因?yàn)?，相對而言，第二組的中位數(shù)代表性相對大些，成績波動范圍小些。⑴簡單平均差——適用于未分組資料是各個(gè)數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)的離差絕對值的算術(shù)平均數(shù)，用A.D表示平均差計(jì)算公式：總體算術(shù)平均數(shù)總體單位總數(shù)第個(gè)單位的變量值標(biāo)志變異指標(biāo)的種類【例A】有甲乙兩個(gè)工作組各有10名員工，其年齡如下：甲：20222935363843484960乙：31363738393939404041求甲乙組年齡的平均差。解：

即乙組員工平均年齡代表性大于甲組員工。標(biāo)志變異指標(biāo)的種類⑵加權(quán)平均差——適用于分組資料平均差的計(jì)算公式總體算術(shù)平均數(shù)第組變量值出現(xiàn)的次數(shù)第組的變量值或組中值【例B】計(jì)算下表中某公司日產(chǎn)量的平均差日產(chǎn)量（件）組中值（件）職工人數(shù)（人）150～170170～190190～210210～230230～25016018020022024031219106合計(jì)—50

解：即該公司日產(chǎn)量的平均差為13.264件。優(yōu)點(diǎn):不易受極端數(shù)值的影響，能綜合反映全部單位標(biāo)志值的實(shí)際差異程度；缺點(diǎn):用絕對值的形式消除各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的正負(fù)值問題，不便于作數(shù)學(xué)處理和參與統(tǒng)計(jì)分析運(yùn)算。平均差的特點(diǎn)一般情況下都是通過計(jì)算另一種標(biāo)志變異指標(biāo)——標(biāo)準(zhǔn)差，來反映總體內(nèi)部各單位標(biāo)志值的差異狀況平均差的應(yīng)用1、兩個(gè)總體平均數(shù)相等條件下可以直接比較兩個(gè)總體的平均差說明平均數(shù)代表性和總體內(nèi)部差異程度。平均差越小說明代表性強(qiáng)，內(nèi)部差異小。2、兩個(gè)總體平均數(shù)不相等條件下不能直接比較平均差，應(yīng)該計(jì)算平均差系數(shù)并比較系數(shù)。平均差系數(shù)與代表性成反比，與內(nèi)部差異成正比。⑴簡單標(biāo)準(zhǔn)差——適用于未分組資料是各個(gè)數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方的算術(shù)平均數(shù)的開平方根，用來表示；標(biāo)準(zhǔn)差的平方又叫作方差，用

來表示。標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式：總體單位總數(shù)第個(gè)單位的變量值總體算術(shù)平均數(shù)【例A】有甲乙兩個(gè)工作組各有10名員工，其年齡如下：甲：20222935363843484960乙：31363738393939404041求甲乙組年齡的標(biāo)準(zhǔn)差。解：（比較：甲乙的平均差分別為8.6歲和2歲）

即乙組年齡標(biāo)準(zhǔn)差小于甲組，平均年齡代表性更強(qiáng)。

⑵加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差——適用于分組資料標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式總體算術(shù)平均數(shù)第組變量值出現(xiàn)的次數(shù)第組的變量值或組中值【例B】計(jì)算下表中某公司日產(chǎn)量的標(biāo)準(zhǔn)差。日產(chǎn)量（件）組中值（件）職工人數(shù)（人）150～170170～190190～210210～230230～25016018020022024031219106合計(jì)—50解：

（比較：其工資的平均差為13.264元）即該公司日產(chǎn)量的標(biāo)準(zhǔn)差為21.48元。

由同一資料計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)差的結(jié)果一般要略大于平均差。證明：當(dāng)a,b,c≥0時(shí)，有標(biāo)準(zhǔn)差的特點(diǎn)不易受極端數(shù)值的影響，能綜合反映全部單位標(biāo)志值的實(shí)際差異程度；用平方的方法消除各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的正負(fù)值問題，可方便地用于數(shù)學(xué)處理和統(tǒng)計(jì)分析運(yùn)算.簡單標(biāo)準(zhǔn)差加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差的簡捷計(jì)算避免離差平方和計(jì)算過程的出現(xiàn)目的:變量值平方的平均數(shù)變量值平均數(shù)的平方1.總體方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式總體標(biāo)準(zhǔn)差2.樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：方差的計(jì)算公式標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式注意：樣本方差用自由度n-1去除!【例】考察一臺機(jī)器的生產(chǎn)能力，利用抽樣程序來檢驗(yàn)其生產(chǎn)出來的產(chǎn)品質(zhì)量是否穩(wěn)定。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，如果樣本零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差大于0.3厘米，則表明零件的質(zhì)量不穩(wěn)定，需對該機(jī)器進(jìn)行停工檢修。抽樣搜集的數(shù)據(jù)如表，試判斷該機(jī)器是否需要停工檢修。解：結(jié)論：由于計(jì)算出來的樣本標(biāo)準(zhǔn)差為0.2126厘米，小于0.3厘米，表明該臺機(jī)器還不需要停工檢修。【例】要求根據(jù)抽樣獲得的表中數(shù)據(jù)計(jì)算120名職工通信費(fèi)用支出額的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。解：

計(jì)算結(jié)果表明，樣本中每名職工月通信費(fèi)用支出額與月平均通信費(fèi)用支出額165.5元的水平相比，差異有大有小，但平均偏差是51.4元。注意：標(biāo)準(zhǔn)差是一個(gè)重要的偏差，描述了各觀察值與均值的平均距離。測定標(biāo)志變異度的絕對量指標(biāo)（與原變量值名數(shù)相同）測定標(biāo)志變異度的相對量指標(biāo)（表現(xiàn)為無名數(shù)）全距平均差標(biāo)準(zhǔn)差全距系數(shù)平均差系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)標(biāo)志變異指標(biāo)的種類可比變異系數(shù)指標(biāo)身高的差異水平：cm體重的差異水平：kg用變異系數(shù)可以相互比較可比平均差系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)變異系數(shù)用來對比不同水平的同類現(xiàn)象，特別是不同類現(xiàn)象總體平均數(shù)代表性的大小:——標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)小的總體，其平均數(shù)的代表性大；反之，亦然。應(yīng)用:各種變指標(biāo)與其算術(shù)平均數(shù)之比。一般用V表示?！纠看笠粚W(xué)生抽取100人，身高和體重的平均分別為168cm和52kg，相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為9cm和5kg，比較身高和體重的差異。解：

身高的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)為：體重的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)為：

因?yàn)?，所以體重的差異大于身高差異。

【例】為了調(diào)查2015年職工的年收入，某管理局從其所屬的兩家企業(yè)中各隨機(jī)抽取10名職工，調(diào)查獲得他們的年收入數(shù)據(jù)如表所示，要求計(jì)算甲、乙企業(yè)的職工年平均收入及離散系數(shù)，說明兩組數(shù)據(jù)的離散程度及平均數(shù)的代表性。

結(jié)論：計(jì)算結(jié)果表明，v乙<v甲，說明乙企業(yè)職工年收入的離散程度小于甲企業(yè)的。表明乙企業(yè)職工年收入平均水平比的甲企業(yè)的更具有代表性。v甲=4667014354.25=30.76%v乙=5338015277.4=28.62%解：3.標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)是指一組數(shù)據(jù)中的單個(gè)變量值與其平均數(shù)的離差除以標(biāo)準(zhǔn)差的值，也稱為標(biāo)準(zhǔn)化值，記為

。標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的計(jì)算公式為

（樣本數(shù)據(jù)）

（總體數(shù)據(jù)）

（1）測度某一個(gè)變量值在一組數(shù)據(jù)中相對位置；（2）判斷一組數(shù)據(jù)是否有離群點(diǎn)(離群數(shù)