(第1講)高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座 對(duì)集合的理解及集合思想應(yīng)用的問題

題目高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座對(duì)集合的理解及集合思想應(yīng)用的問題高考要求集合是高中數(shù)學(xué)的基本知識(shí)，為歷年必考內(nèi)容之一，主要考查對(duì)集合基本概念的認(rèn)識(shí)和理解，以及作為工具，考查集合語言和集合思想的運(yùn)用本節(jié)主要是幫助考生運(yùn)用集合的觀點(diǎn)，不斷加深對(duì)集合概念、集合語言、集合思想的理解與應(yīng)用重難點(diǎn)歸納1解答集合問題，首先要正確理解集合有關(guān)概念，特別是集合中元素的三要素；對(duì)于用描述法給出的集合{x|x∈P},要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質(zhì)P；要重視發(fā)揮圖示法的作用，通過數(shù)形結(jié)合直觀地解決問題2注意空集的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時(shí)，要考慮到空集的可能性，如AB,則有A=或A≠兩種可能，此時(shí)應(yīng)分類討論典型題例示范講解例1設(shè)A={(x,y)|y2－x－1=0},B={(x,y)|4x2+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=，證明此結(jié)論命題意圖本題主要考查考生對(duì)集合及其符號(hào)的分析轉(zhuǎn)化能力，即能從集合符號(hào)上分辨出所考查的知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)而解決問題知識(shí)依托解決此題的閃光點(diǎn)是將條件(A∪B)∩C=轉(zhuǎn)化為A∩C=且B∩C=，這樣難度就降低了錯(cuò)解分析此題難點(diǎn)在于考生對(duì)符號(hào)的不理解，對(duì)題目所給出的條件不能認(rèn)清其實(shí)質(zhì)內(nèi)涵，因而可能感覺無從下手技巧與方法由集合A與集合B中的方程聯(lián)立構(gòu)成方程組，用判別式對(duì)根的情況進(jìn)行限制，可得到b、k的范圍，又因b、k∈N,進(jìn)而可得值解∵(A∪B)∩C=，∴A∩C=且B∩C=∵∴k2x2+(2bk－1)x+b2－1=0∵A∩C=∴Δ1=(2bk－1)2－4k2(b2－1)<0∴4k2－4bk+1<0,此不等式有解，其充要條件是16b2－16>0,即b2>1 ①∵∴4x2+(2－2k)x+(5+2b)=0∵B∩C=,∴Δ2=(1－k)2－4(5－2b)<0∴k2－2k+8b－19<0,從而8b<20,即b<25②由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0組成的不等式組，得∴k=1,故存在自然數(shù)k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=例2向50名學(xué)生調(diào)查對(duì)A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對(duì)A、B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對(duì)A、B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人問對(duì)A、B都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人？命題意圖在集合問題中，有一些常用的方法如數(shù)軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實(shí)掌握本題主要強(qiáng)化學(xué)生的這種能力知識(shí)依托解答本題的閃光點(diǎn)是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來錯(cuò)解分析本題難點(diǎn)在于所給的數(shù)量關(guān)系比較錯(cuò)綜復(fù)雜，一時(shí)理不清頭緒，不好找線索技巧與方法畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系解贊成A的人數(shù)為50×=30，贊成B的人數(shù)為30+3=33，如上圖，記50名學(xué)生組成的集合為U，贊成事件A的學(xué)生全體為集合A；贊成事件B的學(xué)生全體為集合B設(shè)對(duì)事件A、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x,則對(duì)A、B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30－x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33－x依題意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21所以對(duì)A、B都贊成的同學(xué)有21人，都不贊成的有8人例3已知集合A={(x,y)|x2+mx－y+2=0},B={(x,y)|x－y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠,求實(shí)數(shù)m的取值范圍解由得x2+(m－1)x+1=0 ①∵A∩B≠∴方程①在區(qū)間［0，2］上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解首先，由Δ=(m－1)2－4≥0,得m≥3或m≤－1,當(dāng)m≥3時(shí)，由x1+x2=－(m－1)＜0及x1x2=1>0知，方程①只有負(fù)根，不符合要求當(dāng)m≤－1時(shí)，由x1+x2=－(m－1)>0及x1x2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在區(qū)間(0，1］內(nèi)，從而方程①至少有一個(gè)根在區(qū)間［0，2］內(nèi)故所求m的取值范圍是m≤－1學(xué)生鞏固練習(xí)1集合M={x|x=,k∈Z},N={x|x=,k∈Z},則()AM=N BMN CMN DM∩N=2已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m－1}且B≠,若A∪B=A，則()A－3≤m≤4 B－3<m<4C2<m<4 D2<m≤43已知集合A={x∈R|ax2－3x+2=0,a∈R},若A中元素至多有1個(gè)，則a的取值范圍是_________4x、y∈R,A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|=1,a>0,b>0},當(dāng)A∩B只有一個(gè)元素時(shí)，a,b的關(guān)系式是_________5集合A={x|x2－ax+a2－19=0},B={x|log2(x2－5x+8)=1}，C={x|x2+2x－8=0},求當(dāng)a取什么實(shí)數(shù)時(shí)，A∩B和A∩C=同時(shí)成立6已知{an}是等差數(shù)列，d為公差且不為0，a1和d均為實(shí)數(shù)，它的前n項(xiàng)和記作Sn,設(shè)集合A={(an,)|n∈N*},B={(x,y)|x2－y2=1,x,y∈R}試問下列結(jié)論是否正確，如果正確，請(qǐng)給予證明；如果不正確，請(qǐng)舉例說明(1)若以集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這些點(diǎn)都在同一條直線上；(2)A∩B至多有一個(gè)元素；(3)當(dāng)a1≠0時(shí)，一定有A∩B≠7已知集合A={z||z－2|≤2,z∈C},集合B={w|w=zi+b,b∈R},當(dāng)A∩B=B時(shí)，求b的值8設(shè)f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f［f(x)］=x}(1)求證AB;(2)如果A={－1，3}，求B參考答案1解析對(duì)M將k分成兩類k=2n或k=2n+1(n∈Z),M={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z},對(duì)N將k分成四類，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),N={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+π,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}答案C2解析∵A∪B=A，∴BA,又B≠,∴即2＜m≤4答案D3a=0或a≥4解析由A∩B只有1個(gè)交點(diǎn)知，圓x2+y2=1與直線=1相切，則1=,即ab=答案ab=5解log2(x2－5x+8)=1,由此得x2－5x+8=2，∴B={2,3}由x2+2x－8=0，∴C={2,－4},又A∩C=，∴2和－4都不是關(guān)于x的方程x2－ax+a2－19=0的解，而A∩B,即A∩B≠,∴3是關(guān)于x的方程x2－ax+a2－19=0的解，∴可得a=5或a=－2當(dāng)a=5時(shí)，得A={2，3}，∴A∩C={2}，這與A∩C=不符合，所以a=5(舍去)；當(dāng)a=－2時(shí)，可以求得A={3，－5}，符合A∩C=，A∩B，∴a=－26解(1)正確在等差數(shù)列{an}中，Sn=,則(a1+an),這表明點(diǎn)(an,）的坐標(biāo)適合方程y(x+a1),于是點(diǎn)(an,)均在直線y=x+a1上(2)正確設(shè)(x,y)∈A∩B,則(x,y)中的坐標(biāo)x,y應(yīng)是方程組的解，由方程組消去y得2a1x+a12=－4(*)，當(dāng)a1=0時(shí)，方程(*)無解，此時(shí)A∩B=；當(dāng)a1≠0時(shí)，方程(*)只有一個(gè)解x=,此時(shí)，方程組也只有一解,故上述方程組至多有一解∴A∩B至多有一個(gè)元素(3）不正確取a1=1,d=1,對(duì)一切的x∈N*,有an=a1+(n－1)d=n>0,>0,這時(shí)集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，其橫、縱坐標(biāo)均為正，另外，由于a1=1≠0如果A∩B≠,那么據(jù)(2）的結(jié)論，A∩B中至多有一個(gè)元素(x0,y0）,而x0=＜0,y0=＜0,這樣的(x0,y0）A,產(chǎn)生矛盾，故a1=1,d=1時(shí)A∩B=，所以a1≠0時(shí)，一定有A∩B≠是不正確的7解由w=zi+b得z=,∵z∈A,∴|z－2|≤2,代入得|－2|≤2,化簡(jiǎn)得|w－(b+i)|≤1∴集合A、B在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合是兩個(gè)圓面，集合A表示以點(diǎn)(2，0）為圓心，半徑為2的圓面，集合B表示以點(diǎn)(b,1)為圓心，半徑為1的圓面又A∩B=B，即BA，∴兩圓內(nèi)含因此≤2－1,即(b－2)2≤0，∴b=28(1)證明設(shè)x0是集合A中的任一元素，即有x0∈A∵A={x|x=f(x)},∴x0=f(x0)即有f［f(x0)］=f(x0)=x0,∴x0∈B,故