四川省蒼溪中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題含解析

四川省蒼溪中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點(diǎn)，在雙曲線上，線段的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.2．我們通常稱離心率是的橢圓為“黃金橢圓”．如圖，已知橢圓，，，，分別為左、右、上、下頂點(diǎn)，，分別為左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，下列條件中能使橢圓為“黃金橢圓”的是（）A. B.C.軸，且 D.四邊形的一個內(nèi)角為3．已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、，過作軸的平行線交橢圓于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的虛軸長為，且以、為頂點(diǎn)，以直線、為漸近線，則橢圓的短軸長為（）A. B.C. D.4．下列說法正確的有（）個.①向量，，，不一定成立；②圓與圓外切③若，則數(shù)是數(shù)，的等比中項.A.1 B.2C.3 D.05．直線被圓截得的弦長為（）A.1 B.C.2 D.36．直線的斜率是（）A. B.C. D.7．已知圓C的方程為，點(diǎn)P在圓C上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（）A.3 B.C. D.8．已知橢圓的右焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別為F，A，離心率為，且，則n的值為（）A.4 B.3C.2 D.9．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.（±4，0） B.（0，±4）C.（±5，0） D.（0，±5）10．在的展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則（）A.5 B.6C.7 D.811．《張邱建算經(jīng)》記載：今有女子不善織布，逐日織布同數(shù)遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計織三十日，問第11日到第20日這10日共織布（）A.30尺 B.40尺C.6尺 D.60尺12．已知三棱錐，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，且，用表示，則等于()A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．底面半徑為1，母線長為2的圓錐的體積為______14．若圓平分圓的周長,則直線被圓所截得的弦長為____________15．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓T：，過橢圓上一點(diǎn)P的兩條直線PA，PB分別與橢圓交于A，B，設(shè)PA，PB的中點(diǎn)分別為D，E，直線PA，PB的斜率分別是，，若直線OD，OE的斜率之和為2，則的最大值為_______16．將連續(xù)的正整數(shù)填入n行n列的方陣中，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)之和相等，可得到n階幻方.記n階幻方每條對角線上的數(shù)之和為，如圖：，那么的值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程.18．（12分）有時候一些東西吃起來口味越好，對我們的身體越有害.下表給出了不同品牌的一些食品所含熱量的百分比記為和一些美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價分?jǐn)?shù)記為：食品品牌12345678910所含熱量的百分比25342019262019241914百分制口味評價分?jǐn)?shù)88898078757165626052參考數(shù)據(jù)：，，，參考公式：，（1）已知這些品牌食品的所含熱量的百分比與美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價分?jǐn)?shù)具有相關(guān)關(guān)系.試求出回歸方程（最后結(jié)果精確到）；（2）某人只能接受食品所含熱量百分比為及以下的食品.現(xiàn)在他想從這些食品中隨機(jī)選取兩種購買，求他所選取的兩種食品至少有一種是美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價分?jǐn)?shù)為分以上的概率.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的焦距為4，且過點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)橢圓C的上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F，直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，問是否存在直線l，使得F為的垂心（高的交點(diǎn)），若存在，求出直線l的方程：若不存在，請說明理由.20．（12分）在等比數(shù)列中，是與的等比中項，與的等差中項為6（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列前項和21．（12分）已知函數(shù)，.（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知點(diǎn)，橢圓：離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)過點(diǎn)的動直線與相交于，兩點(diǎn)（1）求橢圓的方程（2）是否存在直線，使得的面積為？若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】先根據(jù)中點(diǎn)弦定理求出直線的斜率，然后求出直線的方程，聯(lián)立后利用弦長公式求解的長.【詳解】設(shè)，，則可得方程組：，兩式相減得：，即，其中因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，故，故，即直線的斜率為，故直線的方程為：，聯(lián)立，解得：，由韋達(dá)定理得：，，則故選：D2、B【解析】先求出橢圓的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)，對于A，根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)求出離心率判斷A；對于B，根據(jù)勾股定理以及離心率公式判斷B；根據(jù)結(jié)合斜率公式以及離心率公式判斷C；由四邊形的一個內(nèi)角為,即即三角形是等邊三角形，得到，結(jié)合離心率公式判斷D.【詳解】∵橢圓∴對于A，若，則，∴，∴，不滿足條件，故A不符合條件；對于B，，∴∴，∴∴，解得或（舍去），故B符合條件；對于C，軸，且，∴∵∴，解得∵，∴∴，不滿足題意，故C不符合條件；對于D，四邊形的一個內(nèi)角為,即即三角形是等邊三角形，∴∴，解得∴，故D不符合條件故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了求橢圓離心率，涉及了勾股定理，斜率公式等的應(yīng)用，充分利用建立的等式是解題關(guān)鍵.3、C【解析】不妨取點(diǎn)在第一象限，根據(jù)橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，以及它們之間的聯(lián)系，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，再將其代入橢圓的方程中，解之即可【詳解】解：由題意知，在橢圓中，有，在雙曲線中，有，，即，雙曲線的漸近線方程為，不妨取點(diǎn)在第一象限，則的坐標(biāo)為，即，將其代入橢圓的方程中，有，，解得，橢圓的短軸長為故選：4、A【解析】由向量數(shù)量積為實(shí)數(shù)，以及向量共線定理，即可判斷①；求出圓心距，即可判斷兩圓位置關(guān)系，從而判斷②；取，即可判斷③【詳解】對于①，與共線，與共線，故不一定成立，故①正確；對于②，圓的圓心為，半徑為，圓可變形為，故其圓心為，半徑為，則圓心距，由，所以兩圓相交，故②錯誤；對于③，若，取，則數(shù)不是數(shù)的等比中項，故③錯誤故選：A5、C【解析】利用直線和圓相交所得的弦長公式直接計算即可.【詳解】由題意可得圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，所以由直線和圓相交所得的弦長公式可得弦長為：.故選：C.6、D【解析】把直線方程化為斜截式即得【詳解】直線方程的斜截式為，斜率為故選：D7、B【解析】化簡判斷圓心和半徑，利用圓的性質(zhì)判斷連接線段OC，交圓于點(diǎn)P時最小，再計算求值即得結(jié)果.【詳解】化簡得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故圓心是，半徑，則連接線段OC，交圓于點(diǎn)P時最小，因?yàn)樵c(diǎn)到圓心的距離，故此時.故選：B.8、B【解析】根據(jù)橢圓方程及其性質(zhì)有，求解即可.【詳解】由題設(shè)，，整理得，可得.故選：B9、A【解析】根據(jù)橢圓的方程求得的值，進(jìn)而求得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到答案.【詳解】由橢圓，可得，則，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和.故選：A.10、B【解析】當(dāng)n為偶數(shù)時，展開式中第項二項式系數(shù)最大，當(dāng)n為奇數(shù)時，展開式中第和項二項式系數(shù)最大.【詳解】因?yàn)橹挥幸豁椂検较禂?shù)最大，所以n為偶數(shù)，故，得.故選：B11、A【解析】由題意可知，每日的織布數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，由等差數(shù)列的求和公式得解.【詳解】由題女子織布數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)第日織布為，有，所以，故選:A.12、D【解析】連接，利用，化簡即可得到答案.【詳解】連接，如下圖.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先由勾股定理求圓錐的高，再結(jié)合圓錐的體積公式運(yùn)算即可得解.【詳解】解：設(shè)圓錐的高為，由勾股定理可得，由圓錐的體積可得，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的體積公式，重點(diǎn)考查了勾股定理，屬基礎(chǔ)題.14、6【解析】根據(jù)兩圓的公共弦過圓的圓心即可獲解【詳解】兩圓相減得公共弦所在的直線方程為由題知兩圓的公共弦過圓的圓心,所以即,又,所以到直線的距離所以直線被圓所截得的弦長為故答案為:615、【解析】設(shè)的坐標(biāo)，用點(diǎn)差法求和與的關(guān)系同，與的關(guān)系，然后表示出，求得最大值【詳解】設(shè)，，，則，兩式相減得，∴，，則，同理，，又，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓相交問題，考查橢圓弦中點(diǎn)問題．橢圓中涉及到弦的中點(diǎn)時，常常用點(diǎn)差法確定關(guān)系，即設(shè)弦端點(diǎn)為，弦中點(diǎn)為，把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，相減后可得16、34【解析】根據(jù)每行數(shù)字之和相等，四行數(shù)字之和剛好等于1到16之和可得.【詳解】4階幻方中，4行數(shù)字之和，得.故答案為：34三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】（1）由離心率公式、將點(diǎn)代入橢圓方程得出橢圓的方程；（2）聯(lián)立橢圓和直線的方程，由判別式得出的范圍，再由韋達(dá)定理結(jié)合三角形面積公式得出，求出的值得出直線的方程.【詳解】解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以.①又因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以有.②聯(lián)立①②可得，，，所以橢圓的方程為.（2）由題意可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為.由消去整理得，.因?yàn)橹本€與橢圓交于不同兩點(diǎn)，所以，即，所以設(shè)，，則，.由題意得，面積，即.因?yàn)榈拿娣e為，所以，即.化簡得，，即，解得或，均滿足，所以或.所以直線的方程為或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在第二問中，關(guān)鍵是由韋達(dá)定理建立的關(guān)系，結(jié)合三角形面積公式求出斜率，得出直線的方程.18、（1）（2）【解析】（1）首先求出、、，即可求出，從而求出回歸直線方程；（2）由表可知某人只能接受的食品共有種，評價為分以上的有種可記為，，另外種記為，，，，用列舉法列出所有的可能結(jié)果，再根據(jù)古典概型的概率公式計算可得；【小問1詳解】解：設(shè)所求的回歸方程為，由，，，，所求的回歸方程為：.【小問2詳解】解：由表可知某人只能接受的食品共有種，其中美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價為分以上的有種可記為，，另外種記為，，，.任選兩種分別為：，，，，，，，，，，，，，，，共15個基本事件.記“所選取的兩種食品至少有一種是美食家以百分制給出的對此食品口味的評價分?jǐn)?shù)為分以上”為事件，則事件包含，，，，，，，，共個基本事件，故事件發(fā)生的概率為.19、（1）（2）存在：【解析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于a，b，c的關(guān)系，計算求值，即可得答案.（2）由（1）可得B、F點(diǎn)坐標(biāo)，可得直線BF的斜率，根據(jù)F為垂心，可得，可得直線l的斜率，設(shè)出直線l的方程，與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合垂心的性質(zhì)，列式求解，即可得答案.【小問1詳解】因?yàn)榻咕酁?，所以，即，又過點(diǎn)，所以，又，聯(lián)立求得，所以橢圓C的方程為【小問2詳解】由（1）可得，所以，因?yàn)镕為垂心，直線BF與直線l垂直，所以，則，即直線l的斜率為1，設(shè)直線l的方程為，，與橢圓聯(lián)立得，，所以，因?yàn)镕為垂心，所以直線BN與直線MF垂直，所以，即，又，所以，即，所以，解得或，由，解得，又時，直線l過點(diǎn)B，不符合題意，所以，所以存在直線l：，滿足題意.20、（1）；（2）.【解析】(1)設(shè)出等比數(shù)列的公比，根據(jù)給定條件列出方程求解作答.(2)由(1)的結(jié)論求出，再利用分組求和法計算作答.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，依題意，，即，解得，所以的通項公式【小問2詳解】由(1)知，，.21、(1).(2).【解析】分析：（1）由和可由點(diǎn)斜式得切線方程；（2）由函數(shù)在上是減函數(shù)，可得在上恒成立，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得解.詳解：（1）當(dāng)時，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以在上恒成立.做法一：令,有，得故.實(shí)數(shù)的取值范圍為做法二：即在上恒成立，則在上恒成立，令，顯然在上單調(diào)遞減，則，得實(shí)數(shù)的取值范圍為點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為