2022-2023學(xué)年北京市第一零九中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市第一零九中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將〖答案〗正確填寫在答題卡上一、單選題1.已知數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選:C.2.若數(shù)列的前4項(xiàng)分別是，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)閿?shù)列的前4項(xiàng)分別是，正負(fù)項(xiàng)交替出現(xiàn)，分子均為1，分母依次增加1，所以對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)，正確.故選：D.3.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則等于（）A.22 B.30 C.36 D.42〖答案〗B〖解析〗∵數(shù)列的前n項(xiàng)和，∴，∴，，∴，故選：B．4.在展開式中，的系數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)榈耐?xiàng)為，當(dāng)時(shí)，.所以的系數(shù)為.故選：B.5.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（）A.4 B.6 C.8 D.9〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?故選：B.6.已知函數(shù)，則的值為（）A. B. C.D.〖答案〗D〖解析〗..故選:D.7.、、、四人并排站成一排，如果與相鄰，那么不同的排法種數(shù)是（）A.24種 B.12種 C.48種 D.23種〖答案〗B〖解析〗由題意，因?yàn)榕c相鄰，將與放在一起，共有種排法，將與看成一個(gè)整體，與、進(jìn)行全排列，共有種排法，綜上共有種排法，故選：B．8.某單位安排甲、乙、丙、丁四人去、、三個(gè)勞動(dòng)教育基地進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)人去一個(gè)基地，每個(gè)基地至少安排一個(gè)人，則乙被安排到基地的排法總數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗分以下兩種情況討論：若基地只安排乙一人，將其余人分為組，人數(shù)分別為、，此時(shí)不同的排法種數(shù)為種；若基地安排兩人，則需從甲、丙、丁中再選擇一人安排至基地，此時(shí)不同的排法種數(shù)為.綜上所述，乙被安排到基地的排法總數(shù)為種.故選：B.9.如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列判斷正確的是（）A.在區(qū)間上，是增函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，取到極小值C.在區(qū)間上，是減函數(shù)D.在區(qū)間上，是增函數(shù)〖答案〗D〖解析〗由導(dǎo)函數(shù)圖象知，在時(shí)，，遞減，A錯(cuò)；時(shí)，取得極大值（函數(shù)是先增后減），B錯(cuò)；時(shí)，，遞增，C錯(cuò)；時(shí)，，遞增，D正確．故選：D.10.垃圾分類的目的是提高垃圾的資源價(jià)值和經(jīng)濟(jì)價(jià)值，減少垃圾處理量和處理設(shè)備的使用，降低處理成本，減少土地資源的消耗，具有社會(huì)、經(jīng)濟(jì)和生態(tài)等多方面的效益．為配合垃圾分類在學(xué)校的全面展開，某學(xué)校舉辦了一次垃圾分類知識(shí)比賽活動(dòng)．高一、高二、高三年級(jí)分別有名、名、名同學(xué)獲一等獎(jiǎng)．若將上述獲一等獎(jiǎng)的名同學(xué)排成一排合影，要求同年級(jí)同學(xué)排在一起，則不同的排法共有（）A.種 B.種 C.種 D.種〖答案〗A〖解析〗將三個(gè)年級(jí)的學(xué)生分別捆綁，形成三個(gè)“大元素”，考慮三個(gè)“大元素”之間的順序及各“大元素”內(nèi)部之間的順序，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的排法種數(shù)為種.故選：A.二、填空題11.在等比數(shù)列{an}中，，且，則＝___________．〖答案〗8〖解析〗，又an＞0，則故〖答案〗為：8.12.已知{an}是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，a4+a5=24，a3a6=128，則公比q的值是___________.〖答案〗2〖解析〗由等比數(shù)列性質(zhì)知，聯(lián)立,解得或，因?yàn)槭菃握{(diào)遞增的等比數(shù)列,所以，即.故〖答案〗為：2.13.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為___________.〖答案〗〖解析〗的展開式通項(xiàng)公式為，令，解得，故，所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為.故〖答案〗為：.14.已知某質(zhì)點(diǎn)的位移s（單位：米）與時(shí)間t（單位：秒）的運(yùn)動(dòng)方程為，則該質(zhì)點(diǎn)在秒時(shí)的瞬時(shí)速度為__________米/秒．〖答案〗0〖解析〗根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義，對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)得;，令解得；即該質(zhì)點(diǎn)在秒時(shí)的瞬時(shí)速度為0，故〖答案〗為：0.15.某集團(tuán)第一年年初給下屬企業(yè)甲制造廠投入生產(chǎn)資金萬元，到年底資金增長(zhǎng)了，以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年相同.集團(tuán)要求甲制造廠從投入生產(chǎn)資金開始，每年年底上繳資金萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第年年底甲制造廠上繳資金后的剩余資金為萬元，若，則正整數(shù)的最小值為_____________.（取，）〖答案〗〖解析〗由題意知：；當(dāng)時(shí)，，，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，則，令，則，，解得：，正整數(shù)的最小值為.故〖答案〗為：.三、解答題16.已知等比數(shù)列滿足，，為數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求的值解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得：，.（2），，解得：.17.在15件產(chǎn)品中，有3件不合格品，從中任取5件，問：（1）“恰有2件不合格品”的取法有多少種？（2）“沒有不合格品”的取法有多少種？（3）“至少有1件不合格品”的取法有多少種？解：（1）（種）；（2）（種）；（3）（種）.18.已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，在①，；②，；③，；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，將序號(hào)補(bǔ)充在下面橫線處，并根據(jù)題意解決問題.問題：若，且______，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答給分.）解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，解得或（舍去）.所以，.（2）選①，由，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)等式也成立，所以，選②，由，，①當(dāng)時(shí)，，②②-①得，即，所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)等式也成立，所以，選③，由，，①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，②②-①得，即，又，所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，則，，19.已知的數(shù)在處取得極值-14．（1）求a，b的值；（2）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（3）求函數(shù)在上的最值．解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以，又函數(shù)在處取得極值.則有，即，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，符合題意，故.（2）由（1）知：則，，故.所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即（3）由（1）知：函數(shù)，則，令，解得：，在時(shí)，隨的變化，的變化情況如下表所示：?jiǎn)握{(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增由表可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值；因?yàn)椋?，故函?shù)在上的最小值為，最大值為.20.設(shè)函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求a的值．解：（1）的定義域?yàn)椋?，則，在上單調(diào)遞增．若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；（2）由（1）知，若，則當(dāng)時(shí)，，矛盾．因此．由（1）知此時(shí)．恒成立等價(jià)于恒成立．設(shè)，即恒成立，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，顯然函數(shù)在處有唯一零點(diǎn)，且．而恒成立，所以，所以．21.已知函數(shù)為實(shí)常數(shù)）．（1）若，求證：在上是增函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值與最小值及相應(yīng)的值；（3）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（1）證明：由題可知函數(shù)的定義域，因?yàn)?所以，所以，令解得，所以在上是增函數(shù).（2）解：因?yàn)?所以，所以，令解得，令解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值為.（3）由得，即，因?yàn)椋?，所以，且?dāng)時(shí)，所以在恒成立，所以，即存在時(shí)，，令，，令，令，解得，令，解得，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，所以時(shí)，恒成立，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.北京市第一零九中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將〖答案〗正確填寫在答題卡上一、單選題1.已知數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選:C.2.若數(shù)列的前4項(xiàng)分別是，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)閿?shù)列的前4項(xiàng)分別是，正負(fù)項(xiàng)交替出現(xiàn)，分子均為1，分母依次增加1，所以對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)，正確.故選：D.3.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則等于（）A.22 B.30 C.36 D.42〖答案〗B〖解析〗∵數(shù)列的前n項(xiàng)和，∴，∴，，∴，故選：B．4.在展開式中，的系數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)榈耐?xiàng)為，當(dāng)時(shí)，.所以的系數(shù)為.故選：B.5.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（）A.4 B.6 C.8 D.9〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所?故選：B.6.已知函數(shù)，則的值為（）A. B. C.D.〖答案〗D〖解析〗..故選:D.7.、、、四人并排站成一排，如果與相鄰，那么不同的排法種數(shù)是（）A.24種 B.12種 C.48種 D.23種〖答案〗B〖解析〗由題意，因?yàn)榕c相鄰，將與放在一起，共有種排法，將與看成一個(gè)整體，與、進(jìn)行全排列，共有種排法，綜上共有種排法，故選：B．8.某單位安排甲、乙、丙、丁四人去、、三個(gè)勞動(dòng)教育基地進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)人去一個(gè)基地，每個(gè)基地至少安排一個(gè)人，則乙被安排到基地的排法總數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗分以下兩種情況討論：若基地只安排乙一人，將其余人分為組，人數(shù)分別為、，此時(shí)不同的排法種數(shù)為種；若基地安排兩人，則需從甲、丙、丁中再選擇一人安排至基地，此時(shí)不同的排法種數(shù)為.綜上所述，乙被安排到基地的排法總數(shù)為種.故選：B.9.如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列判斷正確的是（）A.在區(qū)間上，是增函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，取到極小值C.在區(qū)間上，是減函數(shù)D.在區(qū)間上，是增函數(shù)〖答案〗D〖解析〗由導(dǎo)函數(shù)圖象知，在時(shí)，，遞減，A錯(cuò)；時(shí)，取得極大值（函數(shù)是先增后減），B錯(cuò)；時(shí)，，遞增，C錯(cuò)；時(shí)，，遞增，D正確．故選：D.10.垃圾分類的目的是提高垃圾的資源價(jià)值和經(jīng)濟(jì)價(jià)值，減少垃圾處理量和處理設(shè)備的使用，降低處理成本，減少土地資源的消耗，具有社會(huì)、經(jīng)濟(jì)和生態(tài)等多方面的效益．為配合垃圾分類在學(xué)校的全面展開，某學(xué)校舉辦了一次垃圾分類知識(shí)比賽活動(dòng)．高一、高二、高三年級(jí)分別有名、名、名同學(xué)獲一等獎(jiǎng)．若將上述獲一等獎(jiǎng)的名同學(xué)排成一排合影，要求同年級(jí)同學(xué)排在一起，則不同的排法共有（）A.種 B.種 C.種 D.種〖答案〗A〖解析〗將三個(gè)年級(jí)的學(xué)生分別捆綁，形成三個(gè)“大元素”，考慮三個(gè)“大元素”之間的順序及各“大元素”內(nèi)部之間的順序，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的排法種數(shù)為種.故選：A.二、填空題11.在等比數(shù)列{an}中，，且，則＝___________．〖答案〗8〖解析〗，又an＞0，則故〖答案〗為：8.12.已知{an}是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，a4+a5=24，a3a6=128，則公比q的值是___________.〖答案〗2〖解析〗由等比數(shù)列性質(zhì)知，聯(lián)立,解得或，因?yàn)槭菃握{(diào)遞增的等比數(shù)列,所以，即.故〖答案〗為：2.13.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為___________.〖答案〗〖解析〗的展開式通項(xiàng)公式為，令，解得，故，所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為.故〖答案〗為：.14.已知某質(zhì)點(diǎn)的位移s（單位：米）與時(shí)間t（單位：秒）的運(yùn)動(dòng)方程為，則該質(zhì)點(diǎn)在秒時(shí)的瞬時(shí)速度為__________米/秒．〖答案〗0〖解析〗根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義，對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)得;，令解得；即該質(zhì)點(diǎn)在秒時(shí)的瞬時(shí)速度為0，故〖答案〗為：0.15.某集團(tuán)第一年年初給下屬企業(yè)甲制造廠投入生產(chǎn)資金萬元，到年底資金增長(zhǎng)了，以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年相同.集團(tuán)要求甲制造廠從投入生產(chǎn)資金開始，每年年底上繳資金萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第年年底甲制造廠上繳資金后的剩余資金為萬元，若，則正整數(shù)的最小值為_____________.（取，）〖答案〗〖解析〗由題意知：；當(dāng)時(shí)，，，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，則，令，則，，解得：，正整數(shù)的最小值為.故〖答案〗為：.三、解答題16.已知等比數(shù)列滿足，，為數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求的值解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得：，.（2），，解得：.17.在15件產(chǎn)品中，有3件不合格品，從中任取5件，問：（1）“恰有2件不合格品”的取法有多少種？（2）“沒有不合格品”的取法有多少種？（3）“至少有1件不合格品”的取法有多少種？解：（1）（種）；（2）（種）；（3）（種）.18.已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，在①，；②，；③，；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，將序號(hào)補(bǔ)充在下面橫線處，并根據(jù)題意解決問題.問題：若，且______，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答給分.）解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，解得或（舍去）.所以，.（2）選①，由，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)等式也成立，所以，選②，由，，①當(dāng)時(shí)，，②②-①得，即，所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)等式也成立，所以，選③，由，，①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，②②-①得，即，又，所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，則，，19.已知的數(shù)在處取得極值-14．（1）求a，b的值；（2）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（3）求函數(shù)在上的最值．解：（1）因