第八章 桿件的組合變形

第八章

桿件的組合變形材料力學1第八章桿件的組合變形本章內容:8.1斜彎曲8.2拉伸（壓縮）和彎曲的組合變形8.3彎曲和扭轉的組合變形8.4拉伸（壓縮）和扭轉的組合變形2

在第三章中已得到桿件在組合變形時的內力的計算方法。如果桿件最終仍然處于彈性變形階段，且應力不超過材料的比例極限，與內力計算相同，可采用疊加原理計算組合變形時的應力。將在基本變形時同一截面上同一點的同一種應力疊加，得到桿件在組合變形時的應力，從而確定桿件危險點的應力狀態(tài)和主應力，為進一步的強度分析打下基礎。第八章桿件的組合變形3

設F力作用在梁自由端截面的形心，并與豎向形心主慣性軸夾角（圖8.1）。將F力沿兩形心主慣性軸分解，得8.1斜彎曲1.正應力分析第八章桿件的組合變形求得距固定端的x處的截面內力為式中

，表示F力引起的彎矩。4

8.1斜彎曲第八章桿件的組合變形

由疊加原理，得橫截面上任一點處的正應力為（8.1）5為了確定最大正應力，首先要確定中性軸的位置。設中性軸上任一點的坐標為y0和z0。因中性軸上各點處的正應力為零，所以將y0和z0代入（8.1）式后，可得8.1斜彎曲第八章桿件的組合變形2.中性軸與最大正應力因M≠0，故（8.2）這就是中性軸的方程。它是一條通過橫截面形心的直線。68.1斜彎曲第八章桿件的組合變形

（8.3）

圖8.2中性軸與合彎矩78.1斜彎曲第八章桿件的組合變形對于有凸角的截面，例如矩形、工字形截面等，應力分布如圖8.3所示，角點b產生最大拉應力，角點c產生最大壓應力，由(8.1)式，它們分別為

橫截面上的最大正應力，發(fā)生在離中性軸最遠的點，整個桿件上的最大彎曲正應力，在彎矩最大的截面，即梁的固定端Mmax=Fl。（8.4）圖8.3凸角截面的應力分布沒有凸角的截面，最大應力的點的確定如左圖8懸臂梁自由端因Fy和Fz引起的撓度分別為8.1斜彎曲第八章桿件的組合變形3.變形分析（8.5）沿y軸的正向，

沿z軸的負向，自由端的總撓度為總撓度w與y軸的夾角為β，即9一般情況下，，即，說明撓曲線所在平面與外力作用平面不重合，這樣的彎曲稱為斜彎曲。8.1斜彎曲第八章桿件的組合變形除此之外，斜彎曲還有以下特征：（1）由（8.3）式，對于矩形、工字形等

的截面，由于

，因而中性軸與外力F作用方向不垂直；與合彎矩M作用方向不重合；見圖8.2。（2）比較(8.5)式與(8.3)式，有

，即

，斜彎曲的撓度與中性軸是相互垂直的（圖8.2b）。。（3）對于圓形、正方形和正多邊形等截面，由于任意一對形心軸都是形心主慣性軸，且截面對任一形心主慣性軸的慣性矩都相等

，則

，即撓曲線所在平面與外力作用平面重合。這表明，對這類截面只要橫向力通過截面形心，不管作用在什么方向，均為平面彎曲。正應力可用合成彎矩M按照彎曲正應力公式（4.39）計算。108.1斜彎曲第八章桿件的組合變形例8.1

圖a所示懸臂梁，采用25a號工字鋼。在豎直方向受均布荷載q=5kN/m作用，在自由端受水平集中力F=2kN作用。已知截面的幾何性質為：I

z=5023.54cm4，Wz=401.9cm3，Iy=280.0cm4，Wy=48.28cm3。材料的彈性模量E=2×105MPa。試求：梁的最大拉應力和最大壓應力。118.1斜彎曲第八章桿件的組合變形解：均布荷載q

使梁在xy平面內彎曲，集中力F使梁在xz平面內彎曲，故為雙向彎曲問題。兩種荷載均使固定端截面產生最大彎矩，所以固定端截面是危險截面。由變形情況可知，在該截面上的A點處產生最大拉應力，B

點處產生最大壓應力，且兩點處應力的數(shù)值相等。128.2拉伸（壓縮）和彎曲的組合變形第八章桿件的組合變形8.2.1橫向力和軸向力共同作用

該桿受軸向力F拉伸時，任一橫截面上的正應力為

受均布載荷作用時，距固定端為x的任意橫截面上的彎曲正應力為上兩式疊加得截面上任一點A(y，z)處的正應力為138.2拉伸（壓縮）和彎曲的組合變形第八章桿件的組合變形

顯然，固定端截面為危險截面。該橫截面上正應力σ′和σ″的分布如圖8.5b,c所示。（8.6）在這三種情況下，橫截面的中性軸分別在橫截面內、橫截面邊緣和橫截面以外。由應力分布圖可見，該橫截面的上、下邊緣處各點可能是危險點。這些點處的正應力為148.2拉伸（壓縮）和彎曲的組合變形第八章桿件的組合變形例8.2圖所示托架，受荷載F=45kN作用。設AC桿為22b號工字鋼，試計算AC桿的最大工作應力。解：取AC桿進行分析，其受力如圖b所示。

AC桿的AB段桿的變形是拉伸和彎曲的組合變形，BC段發(fā)生彎曲。內力圖（c）、（d）。

B點左側的橫截面是危險截面,上邊緣各點處的拉應力最大，是危險點。22b號工字鋼，Wz=325cm3，A=46.6cm2，此時的最大拉應力為由平衡方程，求得158.2拉伸（壓縮）和彎曲的組合變形第八章桿件的組合變形8.2.1偏心壓縮與截面核心1.正應力的計算內力計算現(xiàn)考察任意橫截面上第一象限中的任意點B(y，z)處的應力，B點處的正應力分別為168.2拉伸（壓縮）和彎曲的組合變形第八章桿件的組合變形對應于上述三個內力,B點處的正應力分別為疊加得B點處的總應力為（8.7）178.2拉伸（壓縮）和彎曲的組合變形第八章桿件的組合變形令（8.8）188.2拉伸（壓縮）和彎曲的組合變形第八章桿件的組合變形2.中性軸的位置設y0

和z0

為中性軸上任一點的坐標，將y0

和z0代入得即中性軸是一條不通過橫截面形心的直線198.2拉伸（壓縮）和彎曲的組合變形第八章桿件的組合變形中性軸在y軸和z軸上的截距式中負號表明，中性軸的位置和外力作用點的位置總是分別在橫截面形心的兩側。中性軸一邊的橫截面上產生拉應力，另一邊產生壓應力。208.2拉伸（壓縮）和彎曲的組合變形第八章桿件的組合變形

最大正應力發(fā)生在離中性軸最遠的點處。對于有凸角的截面，最大正應力一定發(fā)生在角點處。角點D1產生最大壓應力，角點D2產生最大拉應力，如圖8.9d所示。實際上，對于有凸角的截面，可不必求中性軸的位置，即可根據(jù)變形情況，確定產生最大拉應力和最大壓應力的角點。對于沒有凸角的截面，當中性軸位置確定后，作與中性軸平行并切于截面周邊的兩條直線，切點D1和D2即為產生最大壓應力和最大拉應力的點，如圖8.10所示。圖8.10無凸角截面的最大正應力點的位置218.2拉伸（壓縮）和彎曲的組合變形第八章桿件的組合變形例8.3

一端固定并有切槽的桿，如圖a所示。試求最大正應力

解：由觀察判斷，切槽處桿的橫截面是危險截面，如圖b所示。A點為危險點，該點處的最大拉應力為228.2拉伸（壓縮）和彎曲的組合變形第八章桿件的組合變形3.截面核心

土建工程中的混凝土或磚、石偏心受壓柱，往往不允許橫截面上出現(xiàn)拉應力。這就要求偏心壓力只能作用在橫截面形心附近的某個范圍內；這個范圍稱之為截面核心。

要使偏心壓力作用下桿件橫截面上不出現(xiàn)拉應力，那么中性軸就不能與橫截面相交，一般情況下充其量只能與橫截面的周邊相切，而在截面的凹入部分則是與周邊外接。截面核心的邊界正是利用中性軸與周邊相切和外接時偏心壓力作用點的位置來確定的。238.2拉伸（壓縮）和彎曲的組合變形第八章桿件的組合變形

圖中所示任意形狀的截面，y軸和z軸為其形心主慣性軸。

為確定截面核心的邊界(圖中的封閉曲線1-2-3-4-5-1)，可作一系列與截面周邊相切和外接的直線把它們視為中性軸。24得出每一與圓邊相切或外接的直線（中性軸）所對應的偏心壓力作用點的位置，亦即截面核心邊界上相應點的坐標ryi,rzi

根據(jù)這些直線中每一直線在y軸和z軸上的截距ayi和azi即可由前面已講過的中性軸在形心主慣性軸上截距的計算公式8.2拉伸（壓縮）和彎曲的組合變形第八章桿件的組合變形25

連接這些點所得封閉曲線其包圍的范圍就是截面核心。8.2拉伸（壓縮）和彎曲的組合變形第八章桿件的組合變形應該注意的是，截面核心的每一邊界點與對應的截面周邊上的切線和外接的直線（中性軸）總是位于截面形心的相對兩側。26

圖中y軸和z軸為矩形截面的形心主慣性軸。對于這兩根軸的慣性半徑iy和iz的平方為

顯然，要使整個橫截面上只受同一符號的應力，則中性軸至少應與截面周邊相切。例8.4：確定矩形截面的截面核心8.2拉伸（壓縮）和彎曲的組合變形第八章桿件的組合變形27

先將與AB邊重合的直線①作為中性軸，它在y、z軸上的截距分別為：

與之對應的1點的坐標為：第八章桿件的組合變形8.2拉伸（壓縮）和彎曲的組合變形28

同理可求得當中性軸②與BC邊重合時，與之對應的2點的坐標為

中性軸③與CD

邊重合時，與之對應的3點的坐標為

中性軸④與DA邊重合時，與之對應的4點的坐標為第八章桿件的組合變形8.2拉伸（壓縮）和彎曲的組合變形29為了解決這一問題，現(xiàn)研究中性軸從與一個周邊相切，轉到與另一個周邊相切時，外力作用點的位置變化的情況。例如，當外力作用點由1點沿截面核心邊界移動到2點的過程中，與外力作用點對應的一系列中性軸將繞B點旋轉，B點是這一系列中性軸共有的點。因此，將B點的坐標和代入(8.9)式，即得第八章桿件的組合變形8.2拉伸（壓縮）和彎曲的組合變形確定了截面核心邊界上的4個點后，還要確定這4個點之間截面核心邊界的形狀。30在這一方程中，只有外力作用點的坐標和是變量，所以這是一個直線方程。它表明，當中性軸繞B點旋轉時，外力作用點沿直線移動。因此，聯(lián)接1點和2點的直線，就是截面核心的邊界。同理，2點、3點和4點之間也分別是直線。最后得到矩形截面的截面核心是一個菱形，其對角線的長度分別是和。由此例可以看出，對于矩形截面桿，當壓力作用在對稱軸上，并在“中間三分點”以內時，截面上只產生壓應力，這一結果在土建工程中經常用到。其它截面形狀，也可用同樣的方法確定。第八章桿件的組合變形8.2拉伸（壓縮）和彎曲的組合變形311、彎曲和扭轉組合變形下應力計算

以鋼制直角曲拐中的圓桿AB為例，研究桿在彎曲和扭轉組合變形下應力計算的方法。第八章桿件的組合變形8.3彎曲和扭轉的組合變形

首先將力F向AB桿B端截面形心簡化，得到一橫向力F及力偶矩T=Fa，如圖b所示。力F使AB桿彎曲，力偶矩T使AB桿扭轉，故AB桿同時產生彎曲和扭轉兩種變形。AB桿的內力圖，見圖c、d。（8.11）實際上AB桿的各截面上還有剪力FS，因此，AB桿的任一截面上既有正應力，又有扭轉切應力和彎曲切應力。但一般來說在彎扭組合變形中，由橫向力（剪力FS）引起的彎曲切應力，與扭轉產生的扭轉切應力相比非常小，一般可以忽略不計。

固定端A處是危險截面，其彎矩和扭矩分別為32第八章桿件的組合變形8.3彎曲和扭轉的組合變形從應力分布圖可見，橫截面的上、下兩點C1和C2都是危險點。彎曲正應力和扭轉切應力分別為（8.12）（8.13）A截面的彎曲正應力和扭轉切應力的分布如下332、彎曲和扭轉組合變形下主應力計算

第八章桿件的組合變形8.3彎曲和扭轉的組合變形（8.14）則主應力為（8.15）根據(jù)主應力公式（7.5）式，有34第八章桿件的組合變形8.3彎曲和扭轉的組合變形代入（8.15），并注意到Wt=2Wz=W，則得到以內力形式表示的主應力計算公式（8.16）最大切應力為（8.17）35第八章桿件的組合變形8.3彎曲和扭轉的組合變形（1）只需得到截面上的內力M、T，即可求出該截面上危險點的主應力；（2）主應力的大小與扭矩的轉向無關；（3）即使不知道危險點的位置，只要知道截面上的內力M、T，就可確定主應力的大小。由式（8.16）可以看出,彎曲和扭轉的組合變形:36第八章桿件的組合變形8.3彎曲和扭轉的組合變形例8.6圖示鋼制實心圓軸的直徑為d=50mm，，其齒輪C上作用鉛直切向力5kN，徑向力1.82kN；齒輪D上作用有水平切向力10kN，徑向力3.64kN。齒輪C的直徑dC=400mm，齒輪D的直徑dD=200mm。試求圓軸的危險點的主應力和最大切應力。37第八章桿件的組合變形8.3彎曲和扭轉的組合變形解：（1）外力分析：圓軸產生彎曲和扭轉的組合變形。圖b所示（2）內力分析：畫出內力圖。

對于圓軸，由于包含軸線的任一平面都是縱向對稱平面，所以把同一橫截面的兩個彎矩My和Mz按矢量合成后，合成總彎矩M的作用平面仍然是縱向對稱面，仍然可按照對稱彎曲計算彎曲正應力。合成總彎矩M為B截面為危險截面，其上內力為38第八章桿件的組合變形8.3彎曲和扭轉的組合變形（3）主應力：圓軸的抗彎截面系數(shù)為主